江苏省苏州市三校2022-2023学年高一下学期5月期中数学试题（含解析）

苏州市三校2022-2023学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设，，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知集合，那么是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
5. 下列说法中正确的个数是( )
平面与平面，都相交，则这三个平面有条或条交线．
如果，是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面．
直线不平行于平面，则不平行于内任何一条直线．
如果，，那么．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. B. C. D.
7. 如图，正方体的棱长为，为的中点，为的中点，过点，，的平面截正方体所得的截面的面积( )
A. B. C. D.
8. 已知，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数的共轭复数为，且满足：，则下列说法正确的有( )
A. B. 复数对应的点的轨迹为一条直线
C. D. 复数的虚部是
10. 在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
11. 已知向量，，，，，则( )
A. 若，则在方向上的投影向量为
B. 与共线的单位向量为
C. 若，则
D. 的最小值为
12. 如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 复数，为虚数单位，则 ．
14. 如图，在单位圆中，，，分别在单位圆的第一、二象限内运动，若，为等边三角形，则 ．
15. 已知中，角，，对应的边分别为，，，且，，，则的最大值为 ．
16. 已知圆锥底面圆的直径为，高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，，与的夹角是．
计算：
当为何值时，
18. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
当时，求的最大值和最小值．
19. 本小题分
某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线所有路线均不考虑宽度，经测量得：，，，，，且．
求的长度；
景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．
20. 本小题分
如图在四棱锥中，，，分别是，的中点，．
求证：平面
若点在棱上且满足，平面，求的值．
21. 本小题分
在，，C.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在中，角，，的对边分别是，，， ．
求角的值
若角的平分线交于点，且，求的最小值．
22. 本小题分
已知函数
Ⅰ当时，解不等式；
Ⅱ证明：方程最少有个解，最多有个解，并求该方程有个解时实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了交集运算、指数函数的值域、正弦函数的值域等，属基础题．
【解答】
解：，，．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数、对数比较大小，属于基础题．
【解答】
解：，故，又，故．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系，属于基础题．
先求出集合，可知是的真子集，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
【解答】
解：由可得，所以，
由可得，所以，
所以是的真子集，
所以是的充分不必要条件．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如下图
其中：，，
故原平面图形的面积为．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
直接利用直线和平面的位置关系的应用，平面和平面位置关系判定即可．
【解答】
解：中，交线也可能是条以书本为例
也可能在过的平面内两平行直线确定一个平面
中不平行于平面，则可能在平面内，平面内有与平行的直线
中，也可能在内故四个命题都是错误的，
故本题选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理、解三角形的实际应用，属于基础题．
解三角形得出，再结合正弦定理得到，进而能求．
【解答】
解：在中，，
在中，，，
故，
由正弦定理，，
所以，
而，
在中，
．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面截正方体所得截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，延长交棱、于点、，分别连接、交两条棱于、，
所以过点，，的平面截该正方体所得的截面为，
因为为的中点，为线段的中点，
结合正方体的性质可知，，为等腰梯形，，
在中，，
可得，，，
设等腰梯形的高为，的高为，
则，
所以
．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式性质和对勾函数，属于中档题；
由知，且可得，再由，再利用函数的单调性，即可求解；
【解答】
解：对因式分解可知，，
而，所以，
，
因为函数在上单调递减，在山单调递增，
，
所以的取值范围是，

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，复数的概念，复数的代数形式的几何意义，属于基础题．
由复数的乘除运算化简，由复数的乘法、乘方运算，复数的代数形式与点的对应，复数的虚部逐个进行判断．
【解答】
解：由题意，，
，
，故A正确；
复数对应的点为，故B不正确；
，故C正确；
复数的虚部是，故D不正确．
故选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用正弦定理解三角形，涉及余弦函数的单调性，两角和的正弦公式，属于中档题．
【解答】
解：对于，当时，满足，
当时，，，满足，故A正确；
对于，由正弦定理可得：，无解，故B错误；
对于，若，则，
所以，，均为锐角，所以为锐角三角形，故C正确；
C.若，则，
即，
即，即，
当时为直角，可得是直角三角形；
当时，，可得是等腰三角形，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量坐标的运算、模的计算，向量的数量积，共线向量，投影向量等概念与计算，考查了基本运算能力，属于中档题．
【解答】
解：，，，
对于，，，由
在方向上的投影向量为故A正确；
对于，与共线的单位向量为或，故B错误．
对于，，即，
所以，解得，，则，故C错误；
对于，，
所以，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，故D正确．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的结构特征，圆锥的侧面积，棱锥的体积，最短路径问题，属于中档题．
求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断；当时，体积最大，利用棱锥体积公式即可判断；先求出的范围，再利用，求范围即可判断；将以为轴旋转到与共面，得到，则，利用已知条件求解即可判断．
【解答】
解：在中，，
则圆锥的母线长，半径，
对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A正确；
对于选项B：当时，的面积最大，
此时，
则三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：当点与点重合时，为最小角，
当点与点重合时，，达到最大值，
又因为与，不重合，则，
又，所以，故选项C正确；
对于选项D：由，，，
得，又，
则为等边三角形，则，
将以为轴旋转到与共面，得到，
则为等边三角形，，
如图：
则，
因为，
，
则，故选项D错误；
故选ABC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的除法运算，复数模的计算，属于基础题．
【解答】
解：，，
则

14.【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及正弦函数的两角差公式，属于中档题．
【解答】
解：，解得，
而点在第二象限，则，
，
．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量的线性表示及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，然后结合向量的线性表示及数量积的性质可得，的关系，再由基本不等式可求．
【解答】
解：因为，
由正弦定理得，，
整理得，，
由余弦定理得，，
因为为三角形内角，所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
解得，即最大值．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，考查了空间想象能力与计算能力，属于难题．
【解答】
解：依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，
故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：
则，，
则，
则为等边三角形，
故是的中心，
连接，则平分，
，
所以，即，
即四面体的外接球的半径为，
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，
，
又，
所以．

17.【答案】解：，
，
．
即．
．

【解析】本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用数量积定义及其运算性质即可得出；
由于，，展开即可得出．
18.【答案】解：因为，
所以的最小正周期；
，
故的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查三角函数中的恒等变换的应用，考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
利用三角恒等变换，化简得，利用其周期公式可求得的最小正周期；
当时，可求得的值域，从而可求得的最大值和最小值．
19.【答案】解：在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得或舍．
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
此时面积最大值，
所以当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为．

【解析】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，由基本不等式求最值，属于中档题．
在中，根据正弦定理，可得的长，在中，根据余弦定理，即可得答案．
在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案．
20.【答案】解：取的中点为，连接，；
，、分别为、的中点
，面，面面；
又为的中点；
，面，面面；
面面面．
连接交于点，连接，
面，面面，面；
，
在直角梯形中，∽，，
，，．

【解析】本题考查的是线面平行的判定与性质，面面平行的判断与性质，属于中档题．
21.【答案】解：选择条件．
，
由正弦定理，得
，，
即，
，，，．
选择条件．
由，得，
．
则由余弦定理，得．
．
选择条件．
，，
结合，得C.
由正弦定理，得，即．
则由余弦定理，得．
在中，
在中，，
在中，，
所以
当且仅当，，时“”成立．
的最小值为．

【解析】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，属中档题．
22.【答案】解：当时，，
当时，，即为，解得；
当时，，即为，解得．
综上可得，的解集为；
证明：当时，，记的两根为，，
，方程在只有个解；
当时，，
当时，方程无解；
当时，，若，则，当且仅当时取等号，方程在无解；
若，则，当且仅当时取等号，方程在只有一个解；
当时，，
由，，
可得，
则方程在无解．
综上可得，时，只有一个解；
时，有两个解．
【解析】求出时，分段函数的解析式，讨论时，时，解不等式，求并集即可得到所求解集；
讨论：当时，当时，当时，考虑函数式与方程的解，即可得证，并求出的范围．
本题考查分段函数的应用：解不等式，注意各段的解析式，考查方程解的个数，注意运用函数方程思想，考查分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于难题．
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