2022-2023学年江苏省宿迁市重点中学高二年级下学期调研测试数学（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市重点中学高二年级下学期调研测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2. 直线与直线互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 若直线是曲线在某点处的切线，则实数( )
A. B. C. D.
4. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
5. 圆与圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
6. 在各项均为正数的等比数列中，若，则等于( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左焦点为，斜率为的直线过原点且与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则( )
A. 数列是单调递减数列
B.
C. 数列的公差的取值范围是
D. 当时，
10. 已知函数，是的导函数，下列结论正确的有( )
A. ，
B. 若，则是的极值点
C. 若是的极小值点，则在上单调递增
D. 若，则函数至少存在一个极值点
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )
A.
B. 若延长交直线于，则点在直线上
C. 平分
D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等
12. 设为圆上的一个动点，线段的延长线交直线于点，点为圆上离较近的一点且满足，则正确的是( )
A. 点到圆的最小距离为 B. 点到圆的最大距离为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若数列的前项和满足：，且，则的值为 ．
14. 过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ．
15. 已知椭圆：，对于上的任意一点，圆：上均存在点，使得，则的离心率的取值范围是
16. 已知定义在上的函数的导函数为，且，设，，则，的大小关系为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在正项等比数列中，，
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
18. 本小题分
已知函数，是函数的一个极值点．
求函数的增区间；
当时，求函数的最小值．
19. 本小题分
已知圆，直线．
当直线与圆相交，求的取值范围；
当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程；
已知点，过点作圆的切线，求出切线方程．
20. 本小题分
已知数列的各项均为正数，前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．
求抛物线的方程；
设直线的斜率为且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．
22. 本小题分
已知函数，．
判断函数在区间上的单调性；
求证：当时，函数有两个零点；
若函数有两个零点分别为，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的性质与通项公式，属于基础题．
利用等差数列的性质可得，进而可得，利用通项公式求即可．
【解答】
解：在等差数列中，，，设公差为，
则，故，
所以，
故，
所以．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线垂直的判定及应用，属于基础题．
根据两条直线垂直的条件列出方程，即可求解．
【解答】
解：，，
，，
解得．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
求出导函数，通过切线的斜率，求解切点坐标，然后求解即可．
【解答】
解：设切点为，
由，得，则，
又，联立解得．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线标准方程及其渐近线，属基础题．
由题意设双曲线的方程为，，将点代入求解即可．
【解答】
解：由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线的方程为，，
又双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的标准方程是．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系、公切线，属于基础题．
【解答】
解：因为圆 ，即，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆与圆的圆心距，
即以圆与圆相离，故有条公切线．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等比数列的性质，涉及到对数式的化简求值，属于基础题．
根据等比数列的性质和对数运算法则可知所求式子等于，代入可求得结果．
【解答】
解：由等比数列性质可得：，
．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线离心率的求解，为中档题．
【解答】
解：记双曲线的右焦点为，为第二象限上的点，
连接，，，，根据双曲线和直线位置关系的对称性知，
四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，
而，故，，则，，
则故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于综合题．
【解答】
解：令，则当时，，单调递减当时，
，单调递增故，即当且仅当时等号成立，
从而，即，
因为，所以，即，故．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的性质，前项和公式，属于基础题，
根据等差数列的性质，前项和公式逐项判断即可．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，，
所以，
所以数列是单调递减数列，故选项A正确；
，即，故选项B错误；
，所以，
，所以，
所以数列的公差的取值范围是，故选项C正确；
因为，所以，
所以，
因为数列是单调递减数列，
所以当时，，故选项D正确．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的运算法则、单调性与极值的关系等基础知识与方法，属于中档题．
【解答】
解：显然，当时，当时，．
故，，A正确．
，当时，，，
但不是的极值点，故B，不正确．
若是的极小值点，则当时，，
所以在区间上单调递增，C正确．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数学运算能力，导数的几何意义，属于中档题．
由题意可得焦点，，可得直线方程为，联立抛物线方程得点坐标为，进而即可判断；根据平行线的性质即可判断；利用导数求出切线斜率为，求得的斜率为，的斜率为，再根据斜率与倾斜角的关系即可判断求解．
【解答】
解：由题意可得，方程为，焦点，
将代入，解得，则，
则直线方程为：，
由，解得，则点坐标为，
则，故A错误；
为坐标原点，可得直线方程为：，
当时，，则点坐标为，
又，所以直线：，
所以点在直线上，故B正确；
由，所以，
又，所以，
所以，
所以不平分，故C错误；
当时，，即为，则，
则抛物线在点处的切线斜率为：，
设抛物线在点处的切线与直线、所成角分别为，，
又的斜率为，的斜率为，
可知，
，
则，
所以，
所以抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，圆有关的最值问题，余弦定理，属于较难题．
根据点到直线上的点的距离求得的最小值，即可判定；过点作圆的切线为切点，则有，根据，可判断；当，可判定是等腰三角形，且，这与的最小值为矛盾，可判定；若最大，则最大，即最小，最大；当与圆相切时，最大值为，根据余弦定理求得，即可求得的最大值，可判定．
【解答】
解：因为线段的延长线交直线于点，所以点位于直线的左下方，如图所示，
对于：因为为直线：上的点，
所以点到直线上的点的距离的最小值为，
则点到圆上的点的距离的最小值为，故A正确；
对于：过点作圆的切线为切点，则有，
因为，所以，
所以，则，
则点到圆上的点的距离的最大值为，故B错误；
对于若，则为等边三角形，则，，
因为，所以，
所以是等腰三角形，且，这与的最小值为矛盾，
故的最小值不可能是，故C错误
对于：若最大，则最大，即最小，最大，
当与圆相切时，最大值为，
因为，所以最小值为，即最大为，
在中，由余弦定理得，故D正确．
故本题选AD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题．
当时，，可得，即可求解．
【解答】
解：当时，，
，
令，，则，
，
．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了求直线方程，涉及平行线的性质，属于基础题．
【解答】
解：设中点为，
因为，所以在直线上，
由在直线上，
联立可得，解得，即中点为，
所以直线的斜率，所以的方程为，即．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求椭圆的离心率的范围，属于基础题．
连接，当不为椭圆的上下顶点时，设直线，分别与圆切于，点，设，由存在点，使得，得，即，进而可得，根据，得，再根据离心率进行求解即可．
【解答】
解：如图，连接，
当不为椭圆的上下顶点时，设直线，分别与圆切于，，设，
因为存在点，使得，所以，
所以，所以，
可得，而，即，可得，
所以椭圆的离心率，
当点位于椭圆的上下顶点时，点、位于圆与轴的左右交点时，，
所以此时在圆上存在点，使得．
所以椭圆的离心率的取值范围是
故答案为：

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，属于中档题．
根据题意，设，求导分析可得，则函数在上为增函数，又由，，结合函数的单调性分析可得，变形即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设，
其导数，
又由与满足，则有，
则函数在上为增函数，
则，，
且，即，
则有．
故答案为．

17.【答案】解：设正项等比数列中公比为，，，所以，
解得负值舍去，
所以．
由于，所以，
所以，
所以．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式．
利用的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
18.【答案】解：，
因为是函数的一个极值点．
所以，即，解得，
所以，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可得是函数的一个极值点，满足题意，
所以的单调递增区间为，．
结合可得，当变化时，，的变化情况如下表：


单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，函数的最小值为．
【解析】本题考查利用导数根据极值点求参，利用导数求函数的单调区间、最值，属于中档题．
根据极值点求出的值，求导，利用导数大于，可得函数的单调递增区间；
确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值．
19.【答案】解：圆方程可化为，得圆心，半径为，
当直线与圆相交时，由题意得，解得，
则的取值范围是；
由题意得，解得或，
则直线的方程为或；
当过点直线斜率不存在时，直线方程为，满足与圆相切，
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，则直线方程为，
综上，切线方程为或．

【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的弦长问题，属于中档题．
由点到直线的距离公式列不等式求解即可；
由勾股定理与点到直线的距离公式列式求解即可；
讨论直线的斜率存在与不存在，设出直线方程后由点到直线的距离公式列式求解即可．
20.【答案】解：由得时，
两式相减得
整理得
因为，所以
所以数列是以为公差的等差数列
在中令解得
所以
令数列的前项和为
当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，
即
所以
【解析】本题考查了求数列的通项，数列求和，属于中档题．
21.【答案】解：因为，在抛物线方程中，令，可得．
于是当直线与轴垂直时，，解得．
所以抛物线的方程为．
由题意知直线的方程为，
因为抛物线的准线方程为，所以．
由，消去得．
设，，则，．
若点满足条件，则，
即，
因为点，，均在抛物线上，所以．
代入化简可得，
将，代入，解得．
将代入抛物线方程，可得．
于是点为满足题意的点．

【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题．
由题意可得，即可求出抛物线的方程．
由题意知直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理结合直线，，的斜率成等差数列，即可求出点的坐标．
22.【答案】解：函数的定义域为，由，得，
当时，，又因为，所以恒成立，
此时在上单调递增
当时，由得，，由得，，
当时，，
此时在上单调递增
当时，，
所以当时，，当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增
综上，当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增
由知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，
因为，所以，从而，
又因为，
所以在上有且仅有一个零点，且，
又，令，，
令，，
所以函数在区间上单调递增，且，即，
所以函数在单调递增，所以，所以，
令，则，
所以函数在单调递增，
所以，所以当时，，
所以在上有且仅有一个零点，且，
综上，当时，函数有两个零点
因为函数有两个零点，，
所以，，
所以要证，即证，
等价于，也即，
即证，
不妨设，令，式等价于，
也即，于是只要证，
令，
则，
又令，得，
所以在单调递减，
，从而，在单调递减，
所以，即证原不等式成立．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题，属于难题．
对函数求导，根据的取值范围确定函数的单调性
构造函数，根据函数的单调性求解
将问题转化为：，构造函数，结合函数的单调性求解．
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