1.2.1函数的概念
一﹑【学习目标】
（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；
（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域；
二﹑【自主梳理】
1、初中学过了哪些的函数概念？
2、函数的有关概念：
（1）、函数的定义域、值域
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的_________，使对于集合A中的___________在集合B中都有___________和它对应，那么就称f：A→B为_____________的一个函数，记作__________ , x∈A，其中x叫做自变量，_____________ 叫做函数的定义域， 与x 的值相对应的y值叫做函数值，_________________________________叫做函数的值域。
（2）、一个函数的构成要素：__________ , __________ , __________ 。
（3）、相等函数：
如果两个函数的__________相同 ，并且_________完全一致，我们就称这两个函数相等，
3、区间的概念：（这里的实数a与b叫做相应区间的__________ ）
定义
名称
符号
数轴
闭区间
（a，b）
{x|a≤x＜b}
4、无穷大的概念：
定义
符号
{︱-∞＜＜+∞}
{︱＜＜+∞}
{︱-∞＜＜}
【重点领悟】1.求函数y=的定义域.
答案：{x|x≤1,且x≠-1}.
2.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于( )
A.M B.N C.M D.N
分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.
答案：A
3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________.
分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：［0,1］
4.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
②y=与y=·;
③y=1+与u=1+;
④y=x2与y=x;
⑤y=2|x|与y=
⑥y=f(x)与y=f(u).
是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).
解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.
①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;
②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;
③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;
④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;
⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;
⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.
故填③⑤⑥.
【探究提升】已知a，bN*，f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则＋…＋＝__________．
解析：分子是f(x)，分母是f(x－1)，故先根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)，求出f(x)与f(x－1)的关系，即求出的值，再代入求值．
∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，
∴令a＝b＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)＝4．∴＝2．
∴令a＝2，b＝1，得f(3)＝f(2)·f(1)＝8．∴＝2．
故猜测＝2，下面我们具体来求的值．
令a＝x－1，b＝1，
得f(x)＝f(x－1＋1)＝f(x－1)·f(1)＝2f(x－1)，
于是＝2(x≥2，xN*)．
故＋…＋
＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024．
答案：4 024
【学法引领】1.具体函数定义域的求法﹑分段函数的求法是怎样的？
2.怎样判断两个函数是否相等？
【巩固训练】1. 函数f(x)＝0＋的定义域为( )
A. B．(－2，＋∞)
C.∪ D.
解析： 要使函数式有意义，必有x－≠0
且x＋2>0，即x>－2且x≠.
答案： C
2．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
解析： 由f(1)＝f(2)＝0，得
∴∴f(x)＝x2－3x＋2，
∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
答案： C
3．若函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)的值是( )
A．9 B．7
C．5 D．3
解析： g(3)＝g(1＋2)＝2×1＋3＝5.
答案： C
4.已知函数 （ ）
A. B. C. D.
【解析】有意义,则,即，故选B.
5.函数y＝的定义域为________．
分析: 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.
【答案】 {x|x≥－1且x≠0}
【解析】要使函数有意义，需解得
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
6. (2013·高考浙江卷)已知函数f(x)= 若f(a)=3，则实数a= ____________.
【答案】10
【解析】由已知得到 所以a-1=9 所以 a=10 ，所以答案为10.
7.已知函数f(x)＝的定义域是集合A，函数g(x)＝的定义域是集合B，若AB＝B，求实数a的取值范围．
解：要使函数f(x)有意义，自变量x的取值需满足解得－1＜x＜1．因此A＝{x|－1＜x＜1}．
要使函数g(x)有意义，自变量x的取值需满足解得2a＜x＜1＋a．
由于函数的定义域不是空集，所以有2a＜1＋a，解得a＜1．
因此B＝{x|2a＜x＜1＋a}．
由于AB＝B，则BA，则有解得≤a≤0．
故实数a的取值范围是≤a≤0，即a．
8.已知函数f(x)＝的定义域是集合A，函数g(x)＝的定义域是集合B，若AB＝B，求实数a的取值范围．
解：要使函数f(x)有意义，自变量x的取值需满足解得－1＜x＜1．因此A＝{x|－1＜x＜1}．
要使函数g(x)有意义，自变量x的取值需满足解得2a＜x＜1＋a．
由于函数的定义域不是空集，所以有2a＜1＋a，解得a＜1．
因此B＝{x|2a＜x＜1＋a}．
由于AB＝B，则BA，则有解得≤a≤0．
故实数a的取值范围是≤a≤0，即a．
【学习反思】１．我们学会了哪些知识？
２．我们学会了哪些问题的解法
1.2.1函数的概念
教材分析
1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.
2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用 ，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。
三维目标
1﹑知识与技能：
（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；
（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法．
3、情态与价值：通过“恩格尔系数”了解我国的经济发展状况，增加民族自豪感，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性．
教学重点
理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.
教学难点
符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.
教学策略
１．通过大量的实例让学生体会了解函数的概念．
２．通过比喻的方式人学生理解函数的概念，符号“y=f(x)”的含义．
教学准备
教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率．
教学环节
课堂导入
复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y是x的函数.
学过的函数：
正比例函数： 一次函数：
反比例函数： 二次函数：
课堂讲授
⑴阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
思考：（课本P15）给出三个实例：
A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是．
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况．
C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表．
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：
⑵函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction），记作：
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。
注意：1.对符号“”的理解：
①“”是函数符号，可以用任意字母表示，如等．
②f(x)的含义：f(x)表示与对应的函数值，而不是乘，比如有一个人我们如果认识他就说张三，李四，不认识他可以说人，函数也是一样，如果知道一个函数就表示为，如果不知道就说函数y=f(x)，等．
③f(x)与的区别与联系：一般而言，表示当时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量．
④符号表示从集合A到集合B的一个函数，是对应关系，在不同的问题中，其含义是不同的，它可以是一个或几个解析式，可以是图象﹑表格，也可以是文字描述．
2．对函数概念的理解：
①集合A、B必须是非空的数集．
②A中的任意一个数x，都能在在集合B中找到唯一确定的数与它对应．
③函数的定义域是集合A，值域是集合B．
④函数是一种对应，是一对一或多对一，一对多的对应不是函数关系．
⑤打个比方，函数就像一个加工厂，函数的定义域就是原料，值域就是产品，对应关系就是加工方法，原料是苹果，加工方法是榨汁，产品就是苹果汁，加工方法是做罐头，产品就是苹果罐头，原料是桃子，加工方法是榨汁，则产品就是桃汁．对应关系就是把自变量怎样“加工”，比如，对应关系就是把先乘以2再加1，就是把平方．
⑶我们学过函数的定义域﹑值域：
①一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；
②二次函数 (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。
③ 反比例函数的定义域是，值域是。
⑷区间及写法：
设a、b是两个实数，且a满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为
。
巩固练习：
用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}
（学生做，教师订正）
⑸例题讲解：例１．已知函数，
求的值；
当a>0时，求的值。
分析：
(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0, 有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.
(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的值.
(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.
分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.
解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=+=-1;
f()==.
(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=+;
f(a-1)==.
⑹相等函数： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
例２．下列函数中哪个与函数 相等？
⑴ ⑵
⑶ ⑷
解：⑴（）与函数（）定义域不同，所以两个函数不相等．
⑵（）与（）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所以两个函数相等．
⑶（）与函数（）定义域相同，但是对应关系不同，所以两个函数不相等．
⑷定义域是{x|x≠0}，与函数（）定义域不同，所以两个函数不相等．
课堂练习1.求函数y=的定义域.
答案：{x|x≤1,且x≠-1}.
2.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于( )
A.M B.N C.M D.N
分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.
答案：A
3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________.
分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：［0,1］
4.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
②y=与y=·;
③y=1+与u=1+;
④y=x2与y=x;
⑤y=2|x|与y=
⑥y=f(x)与y=f(u).
是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).
解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.
①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;
②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;
③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;
④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;
⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;
⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.
故填③⑤⑥.
课堂活动：1.教师引导学生探究函数的概念及其有关概念，学生自己学习区间的概念，相等函数的概念．
２．学生自主完成课堂练习，教师订正．
４﹑课堂小结：①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。
5﹑作业布置课本P24习题1．2（A组） 第1,2,4题 （B组）第1题
板书设计
函数及其表示
1.2.1函数的概念
一﹑教材分析
二﹑三维目标
三﹑教学重点
四﹑教学难点
五﹑教学策略
六﹑教学准备
七﹑教学环节
教学反思：１．通过大量实例和打比喻让学生真正了解函数概念是本节的重点，从而为解决后面的问题打下基础．
２．引领学生不断探究解决问题，逐步培养分析问题解决问题的能力贯穿整个课堂．
课件19张PPT。集合与函数概念 1．2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念1．掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数.
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 ．
3．掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域． 自 主 梳 理1、初中学过了哪些的函数概念？
2、函数的有关概念：
（1）、函数的定义域、值域
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的_________，使对于集合A中的___________在集合B中都有___________和它对应，那么就称f：A→B为_____________的一个函数，记作__________ , x∈A，其中x叫做自变量，_____________ 叫做函数的定义域， 与x 的值相对应的y值叫做函数值，_________________________________叫做函数的值域。
（2）、一个函数的构成要素：__________ , __________ , __________ 。
（3）、相等函数：
如果两个函数的__________相同 ，并且_________完全一致，我们就称这两个函数相等．3、区间的概念：（这里的实数a与b叫做相应区间的__________ ）
4、无穷大的概念：
1.求函数 的定义域. 【重点领悟】 答案：{x|x≤1,且x≠-1}.2.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集
U=R,则M∩N等于( )
A.M B.N C.M D.N
分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.
答案：A3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义
域是________.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足
-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：［0,1］4.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
②y=与y=·;
③y=1+与u=1+;
④y=x2与y=x;
⑤y=2|x|与y=⑥y=f(x)与y=f(u).
是同一个函数的是________(把是同一个
函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.
①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;
②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;
③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;
④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;
⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;
⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.
故填③⑤⑥.【探究提升】 已知函数 的定义域是 ，求函
数 的定义域． 解：已知函数的 定义域是 ，
即 故对于应有
∴ ，∴ ．
∴ 的定义域是 ．【学法引领】1.具体函数定义域的求法﹑分段函数的
求法是怎样的？
2.怎样判断两个函数是否相等？一、选择填空题
1．函数y＝ 的定义域是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C． (－1，∞] D．(－1，∞)
2．已知集合P＝{x|－4≤x≤4}，Q＝{y|－2≤y≤2}，下列函数不表示从P到Q的函数的是( )
A．2y＝x B．y2＝ (x＋4)
C．y＝ x2－2 D．x2＝－8yB D 1．“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”．
2．函数符合“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，f(x)是一个数，而不是f乘x.
3．构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域．
4．函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其它字母，这是函数抽象的重要原因．5．函数的定义域包含三种形式：
(1)自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等)；
(2)限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
(3)实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义．
6．求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学目前只要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题如二次函数．
7．定义域习惯上用区间表示．
