1.2.2函数的表示法
一﹑【学习目标】
（1）理解函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
（3）通过具体实例，掌握简单的分段函数及应用．
二﹑【自主梳理】
1、回忆引入：初中学习的函数表示法有哪些？ 。
例：下列各题用的什么函数表示法？填入括号内。
（ ）
名称
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张诚
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
2、请画出函数y=|x－3|的图象？你首先想到的
是做什么？ 。
你发现两个函数y=x－3和y=3－x与函数
y=|x－3|有什么关系？
3、定义：
（1）分段函数指：
。
你能举出在日常生活中分段函数的例子吗？
（2）映射指：
。
理解“映射”概念所抓的要素是：
。
映射与函数概念有什么区别？
【重点领悟】１．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．
解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．
因此该分段函数的定义域为[－1,0)[0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1)[－1,0]＝[－1,1)．
答案：[－1,2] [－1,1)
２．已知函数f(x)＝求f(2)，f(－3)的值．
解：∵2＞0，∴f(2)＝22＝4．
∵－3≤0，∴f(－3)＝0．
３．求下列函数解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．
(2)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．
解析： (1)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
【探究提升】求下列函数解析式．
(1)已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
解析： (1)∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴将以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
【学法引领】１．怎样了解分段函数以及分段函数有关问题的处理方法？
２．映射与函数的区别与联系？
解析：１，①研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
分段函数是一个函数．
定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏．
值域是各段函数值的并集．
最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再比较．
求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
２．
【巩固训练】1.已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是( )
解析：根据函数的定义，观察图象，对于选项A，B，值域为{y|0≤y≤2}，不满足题意，而C中当0＜x＜2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数．故选D．
答案：D
２．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于( )
A．8 B．1
C．5 D．－1
解析： 由f(2x＋1)＝3x＋2，令2x＋1＝t，
∴x＝，∴f(t)＝3·＋2，
∴f(x)＝＋2，
∴f(a)＝＋2＝2，∴a＝1.
答案： B
３．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2
C．3 D．4
解析： ∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.
答案： A
4．(2012·临沂高一检测)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x－a)2(b－x) B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b) D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
５．已知函数y＝，使函数值为5的x的值是( )
A．－2或2 B．2或－
C．－2 D．2或－2或－
解析： 若x≤0，则x2＋1＝5
解得x＝－2或x＝2(舍去)
若x>0，则－2x＝5，∴x＝－(舍去)，
综上x＝－2.
答案： C
６．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
解析： ∵f(3)＝1，＝1，
∴f＝f(1)＝2.
答案： 2
７．已知f(x)＝，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
解析： (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
８． “水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y.(单位：元)
解析： 由题意知，当0当5y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.
当6y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.
所以y＝.
【学习反思】１．我们学会了哪些知识？
２．我们学会了哪些问题的解法
1.2.2函数的表示法
教材分析
教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.教材将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.
三维目标
1．知识与技能
（1）理解函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
（3）通过具体实例，掌握简单的分段函数及应用．
2．过程与方法：
学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．
教学重点：
函数的三种表示方法，映射的概念．
四﹑教学难点：
分段函数的概念，分段函数的表示及其图象．
五﹑教学策略：
通过实例分析比较三种函数表示法的特点，分析比较映射与函数的区别与联系．
六﹑教学准备
教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课容量，提高效率
七﹑教学环节
课堂导入
⑴.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.
⑵.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).
课堂讲授
⑴提出问题
初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：①解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.
②图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.
③列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.
⑵明确三种方法各自的特点？
解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况．
总结为下表：
优点
缺点
联系
解
析
法
变量关系特明显，
给定任意自变量，带入式子值好求．
不形象来不直观，
变化趋势难判断，
有些函数无法用．
解析﹑列表和图象，三法各有优缺点，面对实际问题时，根据需要恰当选
列
表
法
不用计算只需看，任意给定自变量，表中查找很容易．
变量增多好麻烦，此时难表无限多，
只限数量不多时．
图
象
法
很形象来很直观，
变化趋势很明显．
近似表达对应值，误差较大误判断．
⑶例题讲解：例３．1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},
用解析法可将函数y=f(x)表示为
y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.
图1-2-2-1
例４．2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.
解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.
图1-2-2-3
由图1-2-2-3可看到:
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;
张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.
例５．1.画出函数y=|x|的图象.
分析：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.
解法一：由绝对值的概念,我们有y=
所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.
图1-2-2-10
解法二：画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.
归纳总结：带有绝对值问题的处理方法…………………………去掉绝对值符号．
例６．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),
如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
分析：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.
解：设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈(0,20］.
由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
图1-2-2-13
y=
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.
归纳总结分段函数：
研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
分段函数是一个函数．
定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏．
值域是各段函数值的并集．
最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再比较．
求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
⑷映射的概念
①．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
②．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（ⅰ）开平方；
（ⅱ）求正弦；
（ⅲ）求平方；
（ⅳ）乘以2．
归纳引出映射概念：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
记作“：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
例７．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={是数轴上的点}，B=R，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={是平面直角坐标中的点}，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B=：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={是新华中学的班级}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生．
解：⑴⑵⑶中的对应： A→B是从集合A到集合B的一个映射，⑷中的对应： A→B不是从集合A到集合B的一个映射．
课堂练习：１．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．
解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．
因此该分段函数的定义域为[－1,0)[0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1)[－1,0]＝[－1,1)．
答案：[－1,2] [－1,1)
２．已知函数f(x)＝求f(2)，f(－3)的值．
解：∵2＞0，∴f(2)＝22＝4．
∵－3≤0，∴f(－3)＝0．
３．求下列函数解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．
(2)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．
解析： (1)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
【探究提升】求下列函数解析式．
(1)已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
解析： (1)∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴将以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
３﹑课堂活动：１．教师引导学生完成三种函数表示法的比较，并且归纳它们的优缺点．
２．教师引导学生完成教材例３﹑例４﹑例５﹑例６．
４﹑课堂小结：①分段函数的表示，求值等问题．
②表示函数的三种方法，映射的概念．
５﹑作业布置：课本P28 习题1．2（A组） 第7题 （B组）第3题
板书设计
函数及其表示
1.2.２函数的表示法
一﹑教材分析
二﹑三维目标
三﹑教学重点
四﹑教学难点
五﹑教学策略
六﹑教学准备
七﹑教学环节
九﹑教学反思：１．通过５个例题让学生体会三种表示函数的方法，掌握分段函数及其
的概念．
２． 通过例５例６逐步培养学生分类讨论的数学思想，通过例４培养学生分析问题的能力．
课件19张PPT。集合与函数概念 1．2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法【学习目标】 （1）理解函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的
方法表示函数；
（3）通过具体实例，掌握简单的分段
函数及应用． 【自主梳理】 1、回忆引入：初中学习的函数表示法有
哪些？ 。
例：下列各题用的什么函数表示法？填入
括号内。（ ）
2、请画出函数y=|x－3|的图象？你首先想到的
是做什么？ 。
你发现两个函数y=x－3和y=3－x与函数
y=|x－3|有什么关系？3、定义：
（1）分段函数指：
。
你能举出在日常生活中分段函数的例子吗？
（2）映射指：
。
理解“映射”概念所抓的要素是：
。
映射与函数概念有什么区别？【重点领悟】 １．如图为一分段函数的图象，则
该函数的定义域为__________，
值域为__________．解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域
为[0,1)；
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．
因此该分段函数的定义域为[－1,0)[0,2]＝[－1,2]，值
域为[0,1)[－1,0]＝[－1,1)．
答案：[－1,2] [－1,1)２．已知函数f(x)＝求f(2)，f(－3)的值．
解：∵2＞0，∴f(2)＝22＝4．
∵－3≤0，∴f(－3)＝0．３．求下列函数解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－
f(x)＝2x＋9，求f(x)．(2)已知f(x＋1)＝
＋4x＋1，求f(x)的解析式．解析： (1)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝ ＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝ ＋2t－2.
∴所求函数为f(x)＝ ＋2x－2.【探究提升】 求下列函数解析式． (1)已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝ ＋2x，求f(x)．解析： (1)∵f(x)＋2 ＝x，将原式中的x与 互换，
得 ＋2f(x)＝ .
于是得关于f(x)的方程组
解得 ．
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝ ＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝ －2x，
∴将以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝ －6x，
∴f(x)＝ －2x. 【巩固训练】 一、选择填空题
1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )2．若f(x＋1)＝2x＋3，则f(3)的大小为( )
A．9 B．7
C．11 D．12解析：取x＝2，则由f(x＋1)＝2x＋3，
得f(3)＝7.
答案：B
