函数的基本性质
学习目标
1、掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；
2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习重点、难点
1、掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；
2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；
知识梳理
1、函数单调性（局部性质）
(1) 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2) 函数单调区间与单调性的判定方法 (定义法)：
任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方,一定要化成一系列因子乘积形式）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(3)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“_______________”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有___________，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_____________，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于_________对称；奇函数的图象关于_________对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
3．函数最大（小）值（定义见课本）
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
基础练习
一、选择题、每个题目中，只有一个选项是正确的。
1、函数f(x)=+是（ C ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数2．在区间上为增函数的是 （B ）
A． B．
C． D．
3．函数是单调函数时，的取值范围 （ B ）
A． B． C ． D．
4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ A ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ C ）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y= D．y=2x2＋x＋1
6．函数y=(x－1)-2的减区间是_（_1，＋∞）
函数的基本性质
教学目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
教学过程
函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。
2、单调性的判定方法
（1）定义法：
判断下列函数的单调区间：
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：
设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数。
①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。
②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）
练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．
（2）的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数
4．例题分析
证明：函数在上是减函数。
证明：设任意，∈（0，+∞）且，
则，
由，∈（0，+∞），得，又，得，
∴，即
所以，在上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说
是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。
二、函数的奇偶性
1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。
（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2） 或必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在时有定义，则．
2、函数的奇偶性判定方法
（1）定义法
（2）图像法
（3）性质罚
3．例题分析：
判断下列函数的奇偶性：
（1） （ ） （2）（ ）
说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可以考虑与1或的关系。
五．小结：1．函数奇偶性的定义；
2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。
三、函数的最大值或最小值
1．最大值的定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
⑵存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值．
2
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．
3．例题分析：
例4．（教材P35例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
巩固练习：（教材P36练习5）
基础练习：
一、选择题、每个题目中，只有一个选项是正确的。
1、函数f(x)=+是（ C ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数2．在区间上为增函数的是 （B ）
A． B．
C． D．
3．函数是单调函数时，的取值范围 （ B ）
A． B． C ． D．
4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ A ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ C ）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y= D．y=2x2＋x＋1
6．函数y=(x－1)-2的减区间是_（_1，＋∞）
课件30张PPT。函数的基本性质1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1①若 ，则f(x)在区间D上是增函数．
②若 ，则f(x)在区间D上是减函数．基础知识梳理f(x1)f(x2) (2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是 或
，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．基础知识梳理增函数减函数区间D基础知识梳理思考？1.单调区间与函数定义域有何关系？
【思考·提示】 单调区间是定义域的子区间．2．函数的最值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
①对于任意的x∈I，都有 .
②存在x0∈I，使得 .
则称M是f(x)的最大值．基础知识梳理f(x)≤Mf(x0)＝M(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
①对于任意的x∈I，都有 .
②存在x0∈I，使得 .
则称M是f(x)的最小值．基础知识梳理f(x)≥Mf(x0)＝M基础知识梳理思考？2.函数的最值与函数值域有何关系？
【思考·提示】 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值，但只有了函数的最大 (小)值，未必能求出函数的值域．3．函数的奇偶性基础知识梳理y轴原点基础知识梳理思考？3.奇偶函数的定义域有何特点？
【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性．4．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)．基础知识梳理相同相反 (2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ；
②两个偶函数的和、积是 ；
③一个奇函数，一个偶函数的积是
．基础知识梳理奇函数偶函数偶函数奇函数1．在(－∞，0)上是减函数的是( )
答案：D三基能力强化2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )三基能力强化答案：B3．(教材习题改编)函数f(x)＝x2－2x，x∈[a2＋1,4]的最大值为________．
答案：8三基能力强化函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小的规律．在定义区间上任取x1、x2，且x1f(x2)，这一过程就是实施不等式的变换过程．课堂互动讲练课堂互动讲练 例1 求证：函数 f(x)＝－ －1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．【思路点拨】 利用定义进行判断，主要判定f(x2)－f(x1)的正负． 证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝(－ －1)－(－ －1)
＝ － ＝ ．
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以 ＞0，即f(x2)－f(x1)＞0， 所以f(x2)＞f(x1)．
故f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．【规律小结】 用定义证明函数单调性的一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．课堂互动讲练(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．
(4)判断：根据定义得出结论．课堂互动讲练课堂互动讲练练习：证明函数 是增函数 判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数．课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨】 可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系．课堂互动讲练故f(x)为非奇非偶函数．
(3)当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝－(－x)2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则
f(－x)＝(－x)2－x
＝x2－x＝－f(x)．课堂互动讲练综上，对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(4)易知f(x)的定义域是(－1,0)∪(0,1)，
∴f(x)是奇函数．
课堂互动讲练【说明】 对于(1)的结论不能只说奇函数或偶函数．课堂互动讲练规律方法总结2．理解函数的奇偶性应注意的问题
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．规律方法总结规律方法总结(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真．
②若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0.
③若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．规律方法总结
