函数的单调性与最值
学习目标：
1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；
2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
学习重难点：
重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
难点：函数单调性的判断与证明。
一．自主梳理
1.教材助读：观察函数，的图象
从左至右看函数图象的变化规律:
(1). 的图象是（上升）的，
的图象在y轴左侧是______的，
在y轴右侧是_______的.
函数的单调性: 一般的，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或 ，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的
二．探究提升
下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 的图象,根据图象说出 的单调区间,以及在每一区间上, 是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有：
___________________________________________
在区间____________, _____________上是减函数
在区间____________, _____________上是减函数。
小结：图象法是研究函数单调性的方法之一
练习1.如图,已知的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一区间上,函数是增函数还是减函数.
例2．证明函数 在区间 上是增函数
证：
=____________________
即 _____________
∴函数 _______________ 在区间 _____________ 上是 ______________。
总结：用定义法证明函数的单调性 “五步曲”:——————————————————
注意：下结论要强调三点：
哪个函数？ （2）在哪个区间 （3）是增（减）函数
练习2.判断函数 在 是增函数还是减函数？证明你的结论。
解：函数 的图象如图所示：
由图可知 在上是_______________
证明如下:
练习3 判断函数在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
例3、物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
三．课后作业
1.函数在上单调递减，则的取值范围是（ D ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1
2．已知函数在（－2，3）上是减函数，则有（ C ）
A. f(-1)3. 若函数定义在上，且满足则函数在区间的单调性为（ D ）
（A）增函数 （B）减函数 （C）先减后增 （D）无法判断其单调性
4.判断正误：函数，
在上为减函数（ √ ） 单调减区间是（ × ）
在上为增函数（ × ） 单调减区间是（ √ ）
§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）
学习目标
1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P30~ P32，找出疑惑之处）
复习1：指出函数的单调区间及单调性，并进行证明.
复习2：函数的最小值为 ，的最大值为 .
复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数
最高点
最低点
,
,
讨论体现了函数值的什么特征？
新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.
试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
反思：
一些什么方法可以求最大（小）值？
※ 典型例题
例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？
解：h是关于t的二次函数，当t=13秒时，h取得最大值，最大值为845米
小结：
数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.
例2例2．（教材P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
小结：
先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.
试试：函数的最小值为 ，最大值为 . 如果是呢？
※ 动手试试
练1. 用多种方法求函数最小值.
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
练2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 函数最大（小）值定义；.
2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.
※ 知识拓展
求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求在区间上的值域，则先求得对称轴，再分、、、等四种情况,由图象观察得解.
学习评价
函数的单调性与最大（小）值
教材分析
本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力
二、教学目标
1、知识与技能目标
（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。
（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
???2、过程与方法目标
?????（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
?????（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。
三、教学重点
函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，
四、教学难点
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值
五、教学策略
在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
六、教学准备
利用多媒体教学
七、教学过程：
一、知识导向或者情景引入
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
（1）随x的增大，y的值有什么变化？
（2）能否看出函数的最大、最小值？
（3）函数图象是否具有某种对称性？
2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
4、判定函数单调性的常见方法
（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法
（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：
（3.1）函数的单调性相反
（3.2）函数恒为正或恒为负时，函数的单调性相反。
（3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数 等
提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。
（二）典型例题
例1．（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：见教材
例2．（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：见教材
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。
巩固练习：
证明函数在（1，+∞）上为增函数。
归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（三）函数的最大（小）值
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
（3.1）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（3.2）典型例题
例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形）
例2．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例2．（教材P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
课堂练习
教材32页练习1、2、3、4
四、作业布置：
习题A组1、2、3、4
教学反思
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.
考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
课件18张PPT。1.3 函数的基本性质1.3.1函数的单调性画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1.从左至右图象上升还是下降 ____?
2.在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ．f(x) = x(-∞, +∞)增大上升1.在区间_______上,f(x)的值随
着x的增大而_____．
2. 在区间_______上,f(x)的值随
着x的增大而 _____． f(x) = x2(-∞, 0](0, +∞)增大减小?画出下列函数的图象，观察其变化规律： 一、函数单调性定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1间D上是增函数 1．增（减）函数（f(x1)>f(x2)）减函数例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数，
在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5]. 二.典例精析区间端点问题例2.证明：函数 在 上是增函数.证明：在区间 上任取两个值 且 ，且所以函数 在区间上 是增函数. 取值判号定论三、判断函数单调性的方法步骤 ①取值： 任取x1，x2∈D，且x1②作差：f(x1)－f(x2)；
③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：四、归纳小结 3.函数单调性的证明，证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论
2.会利用函数图像找出函数的单调区间1.函数单调性的定义1．函数的最大值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于 ，都有f(x)≤M，
②存在 ，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．函数的最小值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于 ，都有f(x)≥M，
②存在 ，使f(x0)＝M.
(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？
【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．2．求函数的最大(小)值应注意的问题是什么？
【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．
(2)最大值M必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．
例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域．如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数解析式未知；
②函数图象已知．
解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图象易作出的函数求最值较常用．(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
