函数的奇偶性
（一）学习目标1理解函数奇偶性的定义，了解什么是奇函数，什么是偶函数
2.能够根据函数图像及解析式判断函数的奇偶性
3快乐学习的过程中领会合作探究的精神初步掌握研究问题的方法。
重点与难点
能够根据函数图像及解析式判断函数的奇偶性
课前复习
一自主梳理
1、初中平面几何学过的对称图形分为_____对称图形和_______对称图形。
2、列举生活中体现图形的对称美的例子。
3、在平面直角坐标系中，两个分别关于轴、轴或原点对称的点，其坐标各具有什么特征呢？
二、自主学习：
1、对称点的坐标特征：
（1）、我的坐标是，我与点关于___x轴_______对称。
（2）、我的坐标是，我与点关于____y轴_____对称。
（3）、我的坐标是，我与点关于____原点______对称。
2、方法提炼：
一般地，设点为平面内的任意一点，则
（1）点关于轴的对称点的坐标为__（a，-b）________
（2）点关于轴的对称点的坐标为__（-a，b）________
（3）点关于原点的对称点的坐标为_（-a，-b）_________。
3、小组讨论并展示：
（1）关于轴的对称点的坐标__（-2，-3）_________；
（2）关于轴的对称点的坐标_（-x，y）_____,关于原点的对称点的坐标_（-x，-y）_____
（3）函数上的一点关于轴的对称点的坐标__（-a，f（a））__________，关于原点的对称点的坐标___（-a，-f（a））_______。
重点领悟
自主学习教材33--36页内容，（10分钟）完成以下的题目
任务1：理解奇函数和偶函数的定义
判断函数的奇偶性
1、．
2、
解：1、函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
2、函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
任务2：根据函数图像，判断函数的奇偶性
练习：根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
( 偶函数 ( 奇函数
非奇非偶函数
非奇非偶函数
小结：由图像判断函数的奇偶性步骤
1、观察定义域是否关于原点对称2、观察图像是否关于原点或y轴对称
任务3：根据奇偶函数定义，判断函数的奇偶性
例2 利用定义判断下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数
答案：（1）奇函数 （2）偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数
小结：由定义判断函数的奇偶性步骤：
( 定义域关于原点对称 ( 判断f（x）与f（-x）的关系
【学习检测】1、函数的奇偶性是 （ C ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、 若函数是偶函数，则是（ A ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
3、若函数是奇函数，且，则必有 （ B ）
A． B. C. D.不确定
4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各B式成立的是
（ ）
A． B.
C. D.
5、已知函数是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实数根的和为 （ D ）
A．4 B.2 C.1 D.0
6、函数是___偶函数____函数.
7、若函数为R上的奇函数，那么__0____________.
8、如果奇函数在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么在区间[-7,-3]上的最___大___________值为______-5______.
课后练习与提高
一、选择题
1、函数的奇偶性是 （ C ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（ C ）
A． B. C. D.
二、填空题：
3、为R上的偶函数，且当时，，则当时，______x（x-1）_______________________.
4、函数为偶函数，那么的大小关系为_____相等_____________.
函数的奇偶性
教材分析
教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．
【教学目标】
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3.学会判断函数的奇偶性；
【教学重难点】
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
－1 0
通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
（2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。
变式训练1
（1）、 （2）、
（3）、
解：（1）、函数的定义域为R，
所以为奇函数
（2）、函数的定义域为，定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数
（3）、函数的定义域为{-2，2},,所以函数既是奇函数又是偶函数
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数
点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论：
若；
若．
变式训练2
判断函数的奇偶性：
解：（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
四、当堂检测．1、函数的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、 若函数是偶函数，则是（ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
3、若函数是奇函数，且，则必有 （ ）
A． B. C. D.不确定
4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是
（ ）
A． B.
C. D.
5、已知函数是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实数根的和为 （ ）
A．4 B.2 C.1 D.0
6、函数是_______函数.
7、若函数为R上的奇函数，那么______________.
8、如果奇函数在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么在区间[-7,-3]上的最______________值为____________.
五、归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
一些结论：
1.偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
2.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
【板书设计】
函数奇偶性的概念
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
课件17张PPT。函数的奇偶性xyoxyo 观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 我们得到,这两个函数图象都关于
y轴对称.从函数值对应表可以看到，
当自变量x取一对相反数时,相应的
两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象
上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。
我们能否利用函数解析式来描述函
数图象的特征呢？y=x2 -xx当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)
当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2)
对任意x，f(-x)=f(x)
偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=
-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。思考:偶函数与奇函数图象有什么
特征呢?偶函数的图象关于
Y轴对称.函数y=x2的图像偶函数的图像特征奇函数的图像特征函数y=x3的图像O
奇函数的图象关于原点对称.
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
yxyxyx-12yx-11例1.判断下列函数的奇偶性:解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有
所以函数 为奇函数。（1） （2）先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系. (3) (2)对于函数 ,其定义域为
{x|x 0},定义域内每个x,都有
故f(x)为偶函数。(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有
故f(x)为奇函数.（5）（4） 定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域不关于原点对称，所以
f(x)为非奇非偶函数。解：（4）变式：(1)若f(x)=2x呢？(2)f(x)=2x+ b呢？ （5）,故函数f(x)为非奇非偶函数。解:(1)f(x)=2x的定义域为R,其内
每个x,都有f(-x)=-f(x).
故f(x)为奇函数.
(2)f(x)=2x+b的定义域为R,
f(-x)=-2x+b,又f(x)=2x+b,
当b=0时,f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数;
当b 0时,f(-x) f(x),且f(-x) -f(x),
故f(x)是非奇非偶函数.判断函数奇偶性步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断
定义域是否关于原点对称;
(2)确定f(x)与f(-x)的关系;
(3)作出结论.
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,
则f(x)是偶函数;
若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0,
则f(x)是奇函数.思考：(1)判断函数 的奇偶性.
(2)如果右图是函数
图象一部分,你能根据f(x)
的奇偶性画出它在y轴
左边的图象吗?yx0f(x)是奇函数.
其图象关于原点对称.小结：奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内）
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必
要条件。
性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
判断奇偶性方法：图象法，定义法。
思考题：
判断下列函数奇偶性.
(1)f(x)=0;
(2)
(3)f(x)=
x(1-x),(x>0)x(1+x),(x 0).作业: 课本：1 , 2
