指数与指数幂的运算
【学习目标】理解指数的含义及指数幂的运算.
【自主梳理】叫做根式 n叫做根指数，叫做被开方数.
【重点领悟】
根式的性质:(1)当n为奇数时，，（）；
(2)当n为偶数时，，（）；
，（）.
注意：当n为偶数时，包含两个隐含条件①；②.
【探究提升】
分数指数幂：；
0指数幂：，；
负指数幂：，.
【学法引领】
幂运算法则：
（1），；
（2），；
（3）.
【巩固训练】
1．化简下列各式：
(1) ＝______________；
答案：π－3
(2) ＝______________.
答案：a2
答案：C
解析：＝
＝21－2n＋6＝27－2n
＝2n－7.
答案：D
5．设a≥0，化简：＝____________ ，由此推广可得：＝________(m，n，p∈N*)．
答案：a2 am
6．若8＜x<12，则＋＝_______________________________________________________.
解析：＋(∵8＜x＜12)＝x－8＋12－x＝4.
答案：4
7．设a，b∈R，下列各式总能成立的是( )
A．(－)6＝a－b
B.＝a2＋b2
C.－＝a－b
D.＝a＋b
答案：B
10．已知0<2x－1<3，化简＋2|x－2|.
解析：由0<2x－1<3，得∴＋2|x－2|＝＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.
【知识网络】
根式的定义：
叫做根式 n叫做根指数，叫做被开方数.
根式的性质：
当n为奇数时，，（）；
当n为偶数时，，（）；
，（）.
注意：当n为偶数时，包含两个隐含条件①；②.
根式与指数幂的转化：
分数指数幂：；
0指数幂：，；
负指数幂：，.
4.幂运算法则：
（1），；
（2），；
（3）.
【学习反思】
1．进行指数幂运算时，要将指数化为正指数，还要善于利用幂的运算法则．
2．注意根式运算与有理数指数幂的相互转化．
3．利用指数幂的运算性质进行化简变化时，要注意次序．
4．含有绝对值或偶次方根的运算，必要时需要分类讨论.
2.1.1 指数与指数幂的运算
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质
四、教学难点
教学难点：根式概念的理解
五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
七、教学环节
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
回顾初中时的整数指数幂及运算性质.
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
老师提问，
学生回答.
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
复习
引入
观察以下式子，并总结出规律：＞0
①
②
③
④
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
即：
老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”从而推广到正数的分数指数幂的意义.
数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.
形成
概念
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．
让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．
深化
概念
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
（2）
（3）
若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.
即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)
所以，是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂
是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
让学生讨论、研究，教师引导．
通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
应用
举例
例题
例1（P56，例2）求值
；；；.
例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）
；；.
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：；
；
.
课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题
补充练习：
1. 计算：的结果；
2. 若
.
学生思考，口答，教师板演、点评．
例1解：
①
；
②
；
③
；
④
.
例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：
；
；
.
练习答案：
1.解：原式=
==512；
2.解：原式=
=.
通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．
归纳
总结
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
先让学生独自回忆，然后师生共同总结．
巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．
课后
作业
作业：2.1 第二课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
八、板书设计
第二章 基本初等函数（I）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
九、教学反思
通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。
课件24张PPT。第二章 基本初等函数（I）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算一、整数指数幂的运算性质(1)am·an=am+n (m, n∈Z); (2)am÷an=am-n (a?0, m, n∈Z); (3)(am)n=amn (m, n∈Z); (4)(ab)n=anbn (n∈Z). 二、根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*), 那么这个数叫
做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n>1
且 n∈N*. 三、根式的性质5.负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零.四、分数指数幂的意义注: 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义. 五、有理数指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s (a>0, r, s∈Q); (2)ar÷as=ar-s (a>0, r, s∈Q); (3)(ar)s=ars (a>0, r, s∈Q); (4)(ab)r=arbr (a>0, b>0, r∈Q). 函数 y=ax(a>0, 且a?1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R.六、指数函数(1) 定义域: R (2) 值 域: (0, +∞) (3) 过点(0, 1), 即 x=0 时, y=1. (4) 在 R 上是增函数. (4) 在 R 上是减函数. 七、指数函数的图象和性质课堂练习CA课堂练习DD课堂练习C典型例题1.化简下列各式: 典型例题1.化简下列各式: =xy. ∴a-1<0. 2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x. 解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-2?2x · 2-x (2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-3?2x · 2-x(2x+2-x) =25-2=23; =125-15=110. 3.已知 2a · 5b=2c · 5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).证: 由已知 2a · 5b=10=2 · 5, 2c · 5d=10=2 · 5, ∴ 2a-1 · 5b-1=1, 2c-1 · 5d-1=1. ∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1) =1. ∴ 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1). ∴ (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). ∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1). 4.若关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 x=2, 求 a 的值并求方程其余的根. t2-2xt+1=0, 解法二: 将已知式整理得: 以下同上. 6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.∴f(a+2)=3a+2=18. 解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, ∴3a=2. ∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x. 即 g(x)=2x-4x. 6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.解：(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得. 由已知 x?[0, 1], 则 t?[1, 2], ∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减, g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, 证明如下: ∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间. 对于任意的 x1, x2?[0, 1], 且 x1g(x2). 故函数 g(x) 在 [0, 1] 上单调递减. =(2x1-4x1)-(2x2-4x2) =(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2) =(2x1-2x2)(1-2x1-2x2) =(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)>0. ∴ x?[0, 1] 时有: 解: (3)∵g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, g(1)≤g(x)≤g(0). ∵g(1)=21-41=-2, g(0)=20-40=0, ∴ -2≤g(x)≤0 . 故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0]. 6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.解: (1)∵ f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, ∴a2=1. ∵a>0, ∴a=1. 此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数. ∴a=1 即为所求. (2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, x?R, f(x)?R. ∵ f(x) 是奇函数, ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数. ∵ y=e-x 是 R 上的减函数, ∴ y=-e-x 是 R 上的增函数. 又∵ y=ex 是 R 上的增函数, ∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数. ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数. 综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数. 课 堂 小 结1. 分数指数幂的意义；
2. 分数指数幂与根式的互化；
3. 有理数指数幂的运算性质．
