2.1.2 指数函数及其性质
【学习目标】
1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．
2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．
3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
4．熟练掌握指数函数的图象和性质．
5．会求指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性．
6．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识．
【自主梳理】
1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__________，其中x是自变量．
因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数，所以指数函数的定义域为______．
2．底数为什么不能是负数、零和1?
(1)当a＜0时，如y＝(－2)x，当x＝，，…等时，在实数范围内函数值不存在；
(2)当a＝0时，若x≤0，y＝0x无意义；
(3)当a＝1时，y＝1x＝1是一个常数，没有讨论的必要．
3．在指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的表达式中，ax的系数必须是1，自变量x在指数的位置上．
例如：函数y＝2x，y＝()x是________；但y＝2·3x，y＝2x＋1等不是指数函数．
答案：1.指数函数R
3.指数函数
【重点领悟】
4．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质：
(1)图象
(2)性质
5．将函数y＝2x的图象向右平移一个单位即可得到函数____________的图象．
6．设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则有：
①f(0)＝______，f(1)＝______；
②若x≠0，则__________________；
③若x≠1，则__________________；
④f(x)取遍所有正数当且仅当：________.
7．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率为p，则经过时间x年后的总量y＝__________.
答案：
5．y＝2x－1
6．①1 a ②f(x)＞0且f(x)≠1
③f(x)＞0且f(x)≠a ④x∈R
7.
【探究提升】
1）．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？
解析：形如y＝(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数，它是一种形式定义．因为a＞0，x是任意一个实数时，是确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
2）．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？
解析：①如果a＝0，
②如果a＜0，比如y＝，这里对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．
③如果a＝1，比如y＝＝1，是一个常量，对他就没有研究必要．为避免上述情况，所以规定a＞0且a≠1.
3）．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？
解析：底数越大，函数的图象在y轴右侧部分越远离x轴，此性质可通过x＝1的函数值大小去理解．
4）．指数函数y＝的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围是多少？
[0，＋∞)
5）．指数函数y＝的函数值能否为负值？
不能
【学法引领】
【例1】函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a＞0且a≠1
解析：由指数函数定义知所以解得a＝3．
答案：C
【例2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝；④y＝xx；⑤y＝；⑥y＝．
解析：
序号
是否
理由
①
否
()x的系数不是1
②
否
2x－1的指数不是自变量x
③
是
满足指数函数的概念
④
否
底数是x，不是常数
⑤
否
指数不是自变量x
⑥
否
底数不是常数且指数不是自变量x
答案：③
【例3】函数y＝(－1)x在R上是( )
A．增函数B．奇函数
C．偶函数D．减函数
解析：由于0＜－1＜1，所以函数y＝(－1)x在R上是减函数．
因为f(－1)＝(－1)－1＝， f(1)＝－1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝(－1)x不具有奇偶性．
答案：D
【例4】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．
(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．
答案：B
析规律底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．
【例5】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．
分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．
解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg．
1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，
则人均一年占有粮食为kg，
2年后，人均一年占有粮食为kg，
……
x年后，人均一年占有粮食为y＝kg，
即所求函数解析式为(xN*)．
点技巧指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示．这是非常有用的函数模型．
【巩固训练】
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)
解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.
答案：C
2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )
A．5天B．6天
C．8天D．9天
答案：D
3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：A
3．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.
答案：C
4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．
答案：y＝2x－1＋2
5．函数y＝x－2x在区间[－1, 1]上的最大值为________．
解析：∵y＝x－2x在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x＝－1时，有最大值为.
答案：
【知识网络】
根式的定义：
叫做根式 n叫做根指数，叫做被开方数.
根式的性质：
当n为奇数时，，（）；
当n为偶数时，，（）；
，（）.
注意：当n为偶数时，包含两个隐含条件①；②.
根式与指数幂的转化：
分数指数幂：；
0指数幂：，；
负指数幂：，.
4.幂运算法则：
（1），；
（2），；
（3）.
【学习反思】
1．熟记整数幂的运算性质．
2．理解n次方根与根式的概念．
3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.
2.1. 2指数函数及其性质
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1.2指数函数及其性质的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：指数函数的的概念和性质．
四、教学难点
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质
五、教学策略
发现教学法
经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
七、教学环节
引入课题
（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
到2050年我国的人口将达到多少？
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？
新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponential fun_ction），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征
函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； （4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．
解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；
(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．
例2 截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?
解 设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，
1999年底，我国人口约为13亿；
经过1年(即2000年)人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；
经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；
经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；
……
经过x年人口数为13(1＋1%)x亿；则y＝13(1＋1%)x.
当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．
答 经过20年后，我国人口数最多为16亿．
作业布置
1．已知指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于( )
A. B．2
C．4 D.
解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，
∴端点处取得最大、小值，
∴a0＋a＝3，故a＝2.
答案：B
2．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.
答案：C
3．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．
答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m)
4．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝2时， 有x1＞x2，则a，b的大小关系是( )
A．a＝b B．a＞b
C．a＜b D．不能确定
解析：∵a＞1，b＞1，
由图示知b＞a.
答案：C
八、板书设计
第二章 基本初等函数（I）
2.1 指数函数
2.1. 2指数函数及其性质
九、教学反思
通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。
课件20张PPT。第二章 基本初等函数（I）
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质细胞分裂过程细胞个数第一次第二次第三次284………… 第x次……细胞个数y关于分裂次数x的关系为一、引入问题之一：
一把长为1尺子第1次截去它的一半,第2次截去剩余部分的一半，第3次截去第2次剩余部分的一半， ······ ，依次截下去,问截的次数x与剩下的尺子长度y之间的关系.
问题之二：半中折半 次数 长度 1次 2次 3次 4次 …… 我们可以看到每截一次后尺的长度都减为前一次的二分之一倍，一把尺子截x次后，得到的尺子的长度y与x的函数关系式是x次在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一
个大于0且不等于1的常数的函数叫做指数函数. 对指数函数认识 以及相关的性质就是本课要学习和研讨的主要内容知识要点：1:指数函数的定义:2：指数函数 y=ax 的图像和性质:（2）值域：（ ）；x>0时，y （ ） ;
x<0时，y （ ） x>0时，y （ ）
x<0时，y （ ）（1）定义域 ：( ) ；(3) 过定点 :（ ）是R上的增函数(4) 是R上的减函数(5) 值域变化情况：牢记底的限制；
熟悉单调分类；
弄清值域变化；
掌握草图画法。＞0且单增；单减；一撇一捺例1：看图说出下列各题中两个值的大小：解：① ∵函数y=1.7x在R上是增函数，(1)1.72.5__ 1.73(3)1.70.5__ 0.82.5(2)0.8—1__0.8--2∴1.72.5 < 1.73又∵ 2.5 < 3 ，典型题例：② ∵函数y=0.8x在R上是减函数，∴ 0.8—1 < 0.8 — 2又∵ -1 > -2 ，(2)0.8—1__0.8--2∴1.70.5 > 0.82.5 ③ ∵ 1.7 0.5 > 1.70 = 1= 0.80 >0.8 2.5 ， (3)1.70.5__ 0.82.5练习：1 比较下列各组数的大小：2.比较下列各组数的大小练习： 例2. 确定函数 的单调区间，并对其加以证明．典型题例：(1)当x1，x2∈(－∞，1]时，x1＋x2－2＜0，
这时(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0即 ＞1，
∴y2＞y1，此时函数单调递增；
(2)当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2－2＞0,
这时(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0即 ＜1，
∴y2＜y1，此时函数单调递减．
∴函数 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．3.已知a＞0且a≠1，讨论函数 的单调性．18小结1、指数函数概念； 2、指数比较大小的方法； ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 函数y = ax(a?0，且a ?1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像.3、指数函数的性质：（1）定义域： 值 域：（2）函数的特殊值：（3）函数的单调性：
