2.2.1 对数与对数运算
【学习目标】理解对数的含义及对数的运算.
【自主梳理】
1．对数的定义 其中 与
2．指数式与对数式的互化
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵，
⑶对数恒等式
4．指数运算法则
【重点领悟】
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a ＞ 0，a ( 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：
证明：①设M=p, N=q． 由对数的定义可以得：M=，N=．
∴MN= = ∴MN=p+q， 即证得MN=M + N．
②设M=p，N=q． 由对数的定义可以得M=，N= ．
∴ ∴ 即证得．
③设M=P 由对数定义可以得M=,
∴＝ ∴=np， 即证得=nM．
【探究提升】
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：；
（3）底数的对数是1：；
（4）对数恒等式：；
（5）．
【学法引领】
例1． 用，，表示下列各式：
．
解：（1）=（xy）-z=x+y- z
（2）=（
= +=2x+．
例2． 计算
（1）， （2）， （3）， （4）
解：（1）25= =2 （2）1=0．
（3）（×25）= + = + = 2×7+5=19．
（4）lg=．
例3．计算：
(1) (2)
(3)
解：(1) ＝＝
＝＝＝1；
(2) ＝＝＝2；
(3)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．?
解法二：
lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18=lg
【巩固训练】
1.把下列各题的指数式写成对数式:
(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.
解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;
(6)-2=log3;(7)-2=log16.
2.把下列各题的对数式写成指数式:
(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;
(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;
(9)log2128=7;(10)log327=a.
解:(1)5x＝27;
(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;
(6)()-3=27;(7)()6=x;(8)x-6=64;
(9)27=128;(10)3a=27.
3.求下列各式中x的值:
(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.
解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;
(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;
(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;
(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.
4、 已知，那么用表示是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、 ，则的值为（ ）
A、 B、4 C、1 D、4或1
6、 若logm9
A、m>n>1 B、n>m>1
C、07、 若1A、a8、 若logax＝logby＝－logc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝，则xy＝________
9 、若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________
10、 3a＝2，则log38－2log36＝__________
答案：
4、A；5、B；6、C；7、D 8、
9、
10、a－2
【知识网络】
1.对数的运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，N>0有：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2.利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质.
【学习反思】
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3.指数式与对数式的互化
2.2.1 对数与对数运算
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
（2）．理解和掌握对数的性质；
（3）．掌握对数式与指数式的关系。
2．过程与方法
（1）通过实例认识对数模型，体会引入对数的必要性；
（2）通过观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化；
（3）通过分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
3．情感、态度与价值观
（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；
（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；
（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．
三、教学重点
教学重点：（1）对数的定义；
（2）指数式与对数式的互化
四、教学难点
教学难点：推导对数性质
五、教学策略
讲练结合
掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握
六、教学准备
（对数教学目标）—对数的文化意义、对数概念（讲一讲）—对数式与指数式转化（做一做）—例题（讲一讲）、习题（做一做）—两种特殊的对数（讲一讲）—求值（做一做）—评价、小结—作业。
七、教学环节
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设情境提出问题
引例
一尺之锤，日取其半，万世不竭。
（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？
2.2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年GDP是2002年的2倍？
1.分析: （1）这是同学们熟悉的指数模型，易得
（2）可设取x次，则有
2.分析：设经过x年，则有
由学过的指数知识，
引入课题，培养学生探究意识
概念形成
一、对数的概念
一般地，如果函数那么数x叫做以a为底N的对数，记作
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
注意：（1）底数的限制：;
(2)对数的书写格式；
二．对数与指数的互化
问题：对数的定义中，为什么规定“”.
两个重要对数
（1）常用对数：以10为底的对数，简记为；
（2）自然对数：以e为底的对数，简记为
师：由于对数是由指数反推过来的，所以由前面的知识得到且 .
让学生了解对数与指数的关系，明确对数与指数的区别，及它们互化，体会等价转化这个数学思想
概念
深化
课堂练习
1：将下列指数式写出对数式：
（1）；（2）
2.将下列对数式写出指数式：
（2）；（2）
3.求下列各式的值：
（1） （2）
解：1（1） ；
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）6 （2）3
本练习让学
生独立阅读
课本例1和
例2后思考
完成，从而熟
悉对数式与
指数式的相
互转化
能力
提升
四、对数的性质
探究活动1
求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）
思考：你发现了什么？
“1”的对数等于“0”，即
，类比
探究活动由学生独立完成，通过思考，然后小组讨论自己得出结论，培养学生类比、分类、归纳的能力
探究活动2
求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；
思考：你发现了什么？
底数的对数等于“1”，即
探究活动3
求下列各式的值：
（1）；（2）；
思考：你发现了什么？
对数恒等式：
探究活动4
求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）
思考：你发现了什么？
对数恒等式：
八、板书设计
第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
九、教学反思
对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，以双基为教学主题，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。
课件24张PPT。第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算复 习 引 入 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？复 习 引 入 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？复 习 引 入 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 已知底数和幂的值，求指数．你能
看得出来吗？怎样求呢？ 讲 授 新 课 一般地，如果(a＞0, a≠1)的b次幂
等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a
为底N的对数，记作logaN＝b.讲 授 新 课 一般地，如果(a＞0, a≠1)的b次幂
等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a
为底N的对数，记作logaN＝b.ab＝N ? logaN＝b.底数指数底数指数幂底数指数底数幂底数指数真数底数幂底数指数真数底数对数幂底数两个重要的对数常用对数：以10为底的对数 简记为以e为底的对数自然对数：简记为e为无理数 e = 2.71828……讲 授 新 课1．积、商、幂的对数运算法则：讲 授 新 课1．积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：讲 授 新 课1．积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：讲 授 新 课1．积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：讲 授 新 课1．积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
将下列对数式写成指数式：例1
例
题
（3）（1）（4）（2）；；；解:(1)(2)(3)(4)(1)由于底与真数相同,由对数的性质(2)知(2)由于真数为1,由对数的性质(1)知解:1、将下列指数式转化为对数式：探究活动一：log31=0log81=00log0.51=0log2.91=你发现了什么？“1”的对数等于零,即loga1=0(1) 30=1(2)80=1(3)0.50=1(4)2.90=1对数的性质2、求下列各式的值：(1) log22=1(2) log1616=11(3) log0.50.5=1(4) log99=你发现了什么?底数的对数等于“1”,即logaa=1探究活动二：课 堂 小 结1. 对数的定义；
2. 指数式与对数式互换；
3. 求对数式的值．