2.2.2 对数函数及其性质
【学习目标】理解对数函数及其性质.
【自主梳理】对数函数定义、图像的画法以及性质.
【重点领悟】
对数函数定义:
对数函数图像的画法：列表、描点、连线.
对数函数的性质：性质结合图像记忆.
【探究提升】
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；
对数函数对底数的限制：；
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：
①； ②.
【学法引领】
a>1
0
图
象
定义域： R
值域：
性
质
(1)过定点：（0，1）即时，
(2)单调性：在R上是增函数
在R上是减函数
(3)最值：没有最值
(4)奇偶性：不具有奇偶性
与的对应关系
当时，
当时，
当时，
当时，
【巩固训练】
1．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
2．函数y＝log2|x|的大致图象是( )
3．若loga2＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(1,2) B．(0,1)∪(2，＋∞)
C．(0,1)∪(1,2) D．(0，)
4．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
5．已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
6.
答案：1. A 2.D 3.B 4.D 5.B
6.
【知识网络】
1对数函数定义:
2.对数函数图像与性质
a>1
0
图
象
定义域： R
值域：
性
质
(1)过定点：（0，1）即时，
(2)单调性：在R上是增函数
在R上是减函数
(3)最值：没有最值
(4)奇偶性：不具有奇偶性
与的对应关系
当时，
当时，
当时，
当时，
【学习反思】
1．能正确判断什么样的是对数函数．
2．在画对数函数图像时要掌握列表、描点、连线．
3．在做对数函数题目时注意结合图像．
2.2.2 对数函数及其性质
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2.2 对数函数及其性质的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）掌握对数函数的概念。
（2）根据函数图象探索并理解对数函数的性质。
2．过程与方法
（1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。
（2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、
3．情感、态度与价值观
（1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。
（2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。
三、教学重点
对数函数的定义、图象和性质
四、教学难点
用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。
五、教学策略
回顾引入教学法
1.复习引入：
（1）指对数互化关系：
（2）的图象和性质．
（3）细胞分裂问题。
2.研习新课
对数函数的概念：
概念中我们要注意什么问题？
六、教学准备
回顾交流，适时引入新课
（教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a与分裂次数b的关系式为为a=2b。
师：上述关系式都是什么类型的式子？
生：都是指数式。
师：你能把它改写成对数式吗？
生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b
师：请大家观察这两个式子有何共同特征？
(生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程)
生甲：n是m的函数，a是b的函数。
生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。
师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它对应，所以n是m的函数，a是b的函数。
师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表示它们吗？
生：y=log1.073x，y=log2x
师：能用一个共同的解析式表达吗？
部分生(齐答)：y=logax
部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1
师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。
(引入新课，师板书课题：对数函数)
七、教学环节
一、复习导入：
（1）知识方法准备
我们在前面学习了指数函数及其性质，那么指数函数具有哪些性质呢？下面我和同学们一起来借助指数函数的图象来复习它的性质.
a>1
0
图
象
定义域： R
值域：
性
质
(1)过定点：（0，1）即时，
(2)单调性：在R上是增函数
在R上是减函数
(3)最值：没有最值
(4)奇偶性：不具有奇偶性
与的对应关系
当时，
当时，
当时，
当时，
引导学生复习指数函数的性质，适时的把性质在挂图上补充完整，完成后表扬学生，激发学生学习新知识的兴趣.
（2）引例：在练习题3中，我们知道某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……不难得出下表：
细胞分裂次数
1
2
3
4
5
…
分裂后细胞个数
…
由对数的意义可知，当分裂后细胞个数为2时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为4时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为8时，细胞分裂次数为次……当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次，我们发现对于每一个分裂后细胞个数，通过对应关系，细胞分裂次数都有唯一的值与之对应，从而是关于的函数，这是一个什么样的函数呢？这就是我们今天要研究的对数函数.
二、推进新课
1、对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
②对数函数对底数的限制：
2、在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：
（1）①； ②；
做图步骤：列表、描点、用平滑曲线连结起来
……
1
2
4
……
……
0
1
2
……
……
2
1
0
……
（2）③ ④
思考：这些函数的图象有什么关系？
类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称，得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称
同理我们也可以画出底数为……等等的对数函数图象，我们不难发现如下共同特征：
3、类比指数函数图象和性质，研究对数函数图象和性质
a>1
0
图
象
定义域：
值域： R
性
质
(1)过定点：（1，0）即时，
(2)单调性：在上是增函数
在上是减函数
(3)最值：没有最值
(4)奇偶性：不具有奇偶性
与的对应关系
当时，
当时，
当时，
当时，
学生以大组为单位讨论对数函数的性质，5分钟后每一组推举一名表达较好的代表来描述对数函数性质，对于拿不准的同学
给予鼓励，对于描述正确的同学予以表扬.
例．函数f(x)＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
解：令t＝3x2－ax＋5，则y＝logt在[－1，＋∞)上单调递减，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)单调递增，且t＞0(即当x＝－1时t＞0)．
因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝，所以??－8＜a≤－6.
八、板书设计
第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质
九、教学反思
通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。
课件22张PPT。第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 a叫做对数的底数，N叫做真数。复习对数的概念定义： 由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，··· ，1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞？如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次数x呢？由对数式与指数式的互化可知：上式可以看作以y为自变量的函数表达式对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与之对应，把y看作自变量，x就是y的函数，但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即这就是本节课要学习的：， 对数函数
判断：以下函数是对数函数的是 （ ）
1. y=log2(3x-2) 2. y=log(x-1)x
3. y=log1/3x2 4.y=lnx
5.小试牛刀4 列表描点连线 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 思考这两个函数的图象有什么关系呢？关于x轴对称… … … … … … y=log1/2xy=log2x2.思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化？有规律吗？对数函数 的图象。猜猜: 底大图右y=1问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：3.对数函数的图象与性质：非奇非偶函数非奇非偶函数( 0 , + ∞ )R( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数当 x＞1 时，y＞0
当 0＜x ＜1 时， y＜0当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x＜1 时，y＞0例3 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2＞1
所以它在(0,+∞)上是增函数,于是
log 23.4＜log 28.5⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3,
即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8＞log 0.32.7 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:
当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是log a5.1＜log a5.9
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是log a5.1＞log a5.9⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )注:例3是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.例4 比较下列各组中两个值的大小:
⑴.log 67 , log 7 6 ; ⑵.log 3π , log 2 0.8 . 解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴ log67＞log76 ⑵ ∵ log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴ log3π＞log20.8注:例4是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.
当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一
个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小.考一考小结对数函数的图象与性质(与指数函数作比较)(4)当 时,在定义域上是增函数,
(1)定义域：(0,＋∞)(2)值域: R(3)定点(1,0),(2)值域:(0,＋∞)(3)定点(0,1),(1)定义域: R当 时,在定义域上是减函数。(4)当 时,在定义域上是增函数,
当 时,在定义域上是减函数。 a >1 01 0（2）在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数性质的应用是本小节的重点．