11.2 与三角形有关的角（1）
一、选择题:
1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60°
3.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( )
A.60°,90°,75° B.48°,72°,60°
C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°
4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100° B.120° C.140° D.160°
5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )
A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角
C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角
7.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、填空题:
1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.
2.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.
3.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.
三、解答题
在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.
参考答案:
一、1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B
二、1.40° 2.直角 钝角 3.36°或90°
三、∠A=50°,∠B=55°,∠C=75.
11．1与三角形有关的角（1）
学习目标：
⒈经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的方法.
⒉能应用三角形内角和定理.
学习重点：三角形内角和定理以及定理的应用.
学习难点：三角形内角和定理的推理过程
教学过程：
一、操作探究
1.实验：用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路：同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，你有哪些方法？你发现了什么？
⒉证明：试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的？
如图⑴ 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：延长BC到D,过点C作CE∥BC .
∵CE∥BC (已知)
∴∠2＝ （ ）
∠1＝ （ ）
又∵∠1＋∠2＋ ＝180°（ ）
∴∠A＋∠B＋ ＝180°（ ）
⒊三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
二、三角形内角和定理的应用:
⒈利用三角形内角和定理来直接计算角度.
⑴△ABC中，若①若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C＝ ；
②若∠A＝30°，∠B∶∠C＝3∶2，则∠B＝ ；
⑵在直角三角形中，两锐角之差为20°，则这两个锐角的度数分别为 .
⑶在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ .
⑷如图⑵，在△ABC中∠C＝90°CD⊥AB，∠B＝50°.则∠DCA＝ .
⑸△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°,AD平分∠BAC，则∠DAC＝ .
⒉阅读课本P12“例1”，并思考例1的其它解法
⒊如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB.
三、课堂练习
教科书P13练习
四、课堂小结：
五、当堂清
⑴下列说法正确的是 （ ）
A、三角形的内角中最多只有一个锐角 B、三角形的内角中最多只有两个锐内角
C、三角形的内角中最多有一个直角 D、三角形的内角都大于60°
⑵△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是 （ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
⑶下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 （ ）
A、∠A＋∠B＝∠C B、∠A＋∠B＝90°C、∠A－∠B＝∠C D、∠A＝2∠B＝5∠C
⑷已知△ABC中，∠A＝2﹙∠B＋∠C﹚，则∠A的度数为 （ ）
A、100° B、 120° C、140° D、160°
⑸如图⑷，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，
若∠BOC＝132°，求∠A的度数。
参考答案：1.C 2.B 3. D 4. B 5. 解：∵∠BOC＝132°，
∴∠OBC＋∠OCB＝180－∠BOC＝48°
又∵∠OBC＝1／2∠ABC，∠OCB＝1／2∠ACB（角平分线的定义）
∴∠ABC＋∠ACB＝96°
∴∠Ａ＝180°－96°＝84°.
六、学习反思
课题：7.2.1 三角形的内角
教学目标
知识与技能
1、了解三角形的内角；
2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；
3、学会解决与求角有关的实际问题；
过程与方法
经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的方法.
情感态度价值观
初步培养学生的说理能力。
教学重点
三角形的内角和定理及其运用
教学难点
三角形内角和定理的推理过程
教学准备
三角尺、小剪刀、量角器。
教学过程（师生活动）
设计理念
动手操作初步感知
我们都知道，任意一个三角形的内角和都等于180°，怎么说明这个结论的正确性呢？
在纸上画一个三角形将将它的内角剪下，试着拼拼看。
情境教学对激发学生的学习兴趣有很大的作用。
实践说理深入新知
用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路：同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，你有哪些方法？你发现了什么？
问题：
由刚才拼合而成的图形，你能想出说明“三角形内角和等于180度"这个结论的正确方法吗？
证明：试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的？
如图⑴ 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：延长BC到D,过点C作CE∥AB .
∵CE∥AB (已知)
∴∠2＝∠B （两直线平行，同位角相等）
∠1＝∠A （两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＋∠2＋∠3＝180° （平角定义）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
从拼图活动中发展学思维的灵活性，创造性
在说理过程 中，更加深刻地理解多种拼图方法，创设不同说理方法的表达情境。
应用新知
1、教科书12页例1。
2. 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
分析:虽然本题已给图形,但我们必须从画图入手, 记住画图的过程就是理解题目的开始,C岛在A岛的北偏东50°方向,就是以A岛为中心画方向线AC,B岛在A 岛的北偏东80°,也是以岛为中心画方向线AB,C岛在B岛的北偏西40°方向,这就是以B 岛为中心画出方向线BC、AC与BC交于C.
由于A、B、C三点构成△ABC.
所求∠ACB是△ABC的一个内角,这样就要懂得∠CAB和∠ABC的度数.
根据方向线不难得到∠CAB=80°-50°=30°,
由BF∥AE得∠FBA=100°,即∠CBA=60°,
解:（略）
向学生展示分析问题的基本方法，培养学生思维的广阔性。
课堂练习
1.完成教科书13页练习1、2.
2.已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
巩固了前面的已学知识，进一步提高学生的说理能力。
小结与作业
课堂小结
采用让学生归纳、补充，然后教师补充的方式进行。
1.本节课我们学了什么知识？
2.你有什么收获？
发挥学生主体意识，培养学生语言概括能力。
本课作业
必做题：
选做题：
作业分层，供不同层次的学生使用
课件17张PPT。11.1 与三角形有关的角（1）旧知回顾我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么证明这个结论呢?方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和为180°.验证：三角形的三个内角和是180°图1图2 图3ABCAABBCC
结论：三角形的内角和等于1800.证明：过点A作EF∥BC则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）已知：△ABC.求证：∠A +∠B +∠C =180°E F三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线CE.方法二证明:过A作AE∥BC，
∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)方法三三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.1三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,
过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE.
∴∠BAF=∠ABD
∠ECA=∠FAC
(两条直线平行,内错角相等.)
∴ ⊿ABC的三个内角
∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ ∠FAC=
=∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°方法四思路总结为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.一个三角形中能有两个直角吗？
一个三角形中能有两个钝角吗？
三个内角都能小于600吗？
讨论例题讲解 例1.已知: 在△ ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数。例题讲解 例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?练一练 1.求出下列图中x的值: xx x x =600x x x =4502 x x┐x =300练一练2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=50°
练一练 3.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.
列出方程 x+3x+5x=180°
x=20°
答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。练一练证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
（等式性质）
即∠A+∠B=90゜ABC已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
求证：∠A＋∠B＝90 ゜1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需
转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。作 业 这节课我们学习到这里，再见！11.2 与三角形有关的角（2）
一、选择题:
1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120°
4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )
A.等腰直角三角形; B.一般的等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰钝角三角形
5.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
6.如图2所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是( )
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A; B.∠2=∠5-∠A; C.∠5=∠1+∠4; D.∠1=∠ABC+∠4
二、填空题:
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.如图所示,∠1=_______.
3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
三、解答题
如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.
参考答案:
一、1.C 2.C 3.C 4. B 5.C
二、1.1 2.120° 3.95 4.30°或75°
三、∠BOC=125°
11．1与三角形有关的角（2）
学习目标：
1.了解三角形的外角；
2、探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
学习重点：三角形的外角性质.
学习难点：能准确地表达推理的过程和方法
教学过程：
一、学前准备
1.三角形的内角和定理是什么？
2. 把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它与三角形的内角有什么关系？
二、合作探究
1.定义：
三角形一边与 组成的角，叫做三角形的外角
2. 三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上。
②一条边是三角形的一条边。
③另一条边是三角形的
想一想：三角形的外角有几个？
3. 问：三角形的外角与和它不相邻内角有什么关系?
结论：
三角形的一个外等于与 的和
三、例题讲解
教科书P15例5
四、课堂练习
1.教科书P15练习
2. 如图1，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC，∠B=80度，∠C=46度，。
(1)你会求∠DAE的度数吗？
(2)你能发现∠DAE与∠B、∠C的度数吗？
(3)若只知道∠B-∠C=20度，你能求出∠DAE的度数吗？
五、课堂小结：
三角形的内角和与外角和各是多少？
三角形的外角有什么性质？
六、当堂清
1.一个三角形的外角中锐角最多有___________个.
2.如图所示，直线a∥b，则∠A=_________°
3.如图所示，D是△ABC中AC边上一点，E是BD上一点，则∠1、∠2、∠A之间的关系是__________________.
4.若△ABC的三个内角度数之比为2∶3∶4，则相应的外角度数之比为______________.
5.如图，△ABC中，∠1=∠A，∠2=∠C，∠ABC=∠C，求∠ADB的度数.
6.如图，AC、BD相交于点O，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，且交于点P
(1)若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数.
(2)试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系.
参考答案：1.1 2.22 3. ∠A＜∠1＜∠2
4. 7∶6∶5 5. 108°
6.(1)由∠CEB=∠D+∠DCE=∠P+∠EBP，得60°+∠DCO+∠p+∠EBA
∠P=60°+(∠DCO-∠EBA) 由∠OFB=∠P+∠PCF=∠A+∠FBA可得
∠P=70°+(∠EBA-∠DCO).∴∠P=65°.
(2)由∠CEB=∠D+∠DCO=∠P+∠EBA，可得
∠P=∠D+(∠DCO-∠EBA).由∠OFB=∠P+∠DCO=∠A+∠EBA，
可得∠P=∠A+(∠EBA-∠DCO)∴2∠P=∠A+∠D即∠P=(∠A+∠D).
七、学习反思
11.2 与三角形有关的角（2）
教学目标
知识与技能
1.了解三角形的外角；
2、探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
过程与方法
通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。学会运用简单的说理来计算三角形相关的角
情感态度价值观
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的推理能力及学习热情
教学重点
三角形的外角性质
知识难点
能准确地表达推理的过程和方法
教学准备
三角尺、铅画纸、小剪刀。
教学过程（师生活动）
设计理念
设置情境
1.三角形的内角和定理是什么？
2. 把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？
它是三角形的外角。
通过对旧知识的复习回忆唤醒学生已有知识，有助于后继问题的解决
探索新知
1. 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上。
②一条边是三角形的一条边。
③另一条边是三角形的某条边的延长线。
想一想：三角形的外角有几个？
每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角
2. 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。
3.小组讨论：问：三角形的外角与和它不相邻内角有什么关系?(互补)
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图11.2-8所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。
4.结论：
三角形的一个外等于与它不相邻的两个内角的和。
进一步锻炼学生操作能力和语言表达能力。
应用新知
完成教科书15页练习。
如图1，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC，∠B=80度，∠C=46度，。
你会求∠DAE的度数吗？
你能发现∠DAE与∠B、∠C的度数吗？
若只知道∠B-∠C=20度，你能求出∠DAE的度数吗？
分析：（1）∠DAE是哪个三角形的内角或外角？
△ADE中，已知什么？要求出∠DAE，只需求什么？
∠AED是哪个三角形的外角？
在△AEC中已知什么？要求∠AEB，只需求什么？
怎么样求∠EAC的度数？
引申：（1）还有其他方法求∠DAE的度数吗？
（2）你能说明为什么∠DAE=（∠B-∠C）吗？
增加第2小题的主要目的是加强学生对三角形内、外角性质的综合运用能力。
探索提高
做一做
在一张白纸上画出如图2所示图形，把∠1、∠2、∠3剪下来拼在一起，看看会出现什么结果，你能说说理由吗
说一说
在上图中，∠1+ =，∠2+ =，∠3+ =，三式相加可以得到①∠1+∠2+∠3+ + + = 而 ②∠ACB+∠BAC+∠ABC= ，把①和②作比较，你能得到什么结论？
你还有更好的说理方法吗？
了解三角形外角和等于360度，为后面学习多边形做铺垫。
渗透数形结合的数学思想方法。
提高学生的“说理”能力
小结与作业
课堂小结
引导学生小组合作交流：
三角形的内角和与外角和各是多少？
三角形的外角有哪些性质？
发挥学生主体意识，培养学生语言概括能力。
本课作业
课件21张PPT。11.1 与三角形有关的角（2）旧知回顾1.三角形的内角和定理的内容2、在ABC中，
（1）若∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= ；65°60°（2）若∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
旧知回顾3、在△ＡＢＣ中，
若∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，则∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ , ∠Ｃ＝ . 40°60°80°D定义：三角形的一边与
另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．画图并思考： 画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？归纳： 每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点处的外角都有２个,这两个外角是对顶角．1(1)(2)(3)判断下列图中∠１是否为△ＡＢＣ的外角？(4)练一练 如图 (1)∠ ＢＥＣ是哪个三角形的外角？
（１）△ＡＥＣ （２）△ＢＥＦ和△ＤＣＦ
(2)∠ ＥＦＤ是哪个三角形的外角？练一练三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间有何关系？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ AD三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ AD三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。D∠ACD+ ∠ACB=180°∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD 解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ∵∠ACD 是△ABC的一个外角,
∴∠ACD= ∠B+ ∠A2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；三角形的外角与内角的关系：1、说出下列各图中∠1的度数。∠1=90°∠1=95°∠1=85°∠1=80°, ∠2=40°巩固练习例题讲解 321ABC结论：三角形的外角和等于360° ∵∠1+∠4=180°,
∠2+∠5=180°,
∠3+∠6=180°
∴∠1+∠4+∠2+∠5+∠3+∠6=540°
∵∠4+∠5+∠6=180°
∴∠1+∠2+∠3=360°2如图，在△ABC的每个顶点处各取一个外角∠1、∠2 、∠3 ，你能求出∠1＋∠2 ＋∠3 的度数吗?练一练1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.练一练ADECFBNPM2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.∵∠A+∠B=∠1，∠C+∠D=∠2，∠E+∠F=∠3
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F= 360°2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；(二)三角形的外角与内角的关系：(三) 三角形的外角和为360°。(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角.作 业 这节课我们学习到这里，再见！
