11.3 多边形及其内角和
一、填空题
1.一个多边形是正多边形的条件是___________.
2.从多边形的一个顶点可以引出3条对角线，这个多边形是________________________.
3.一个多边形共有5条对角线，这个多边形是______________________
4.从八边形的—个顶点可以引___________条对角线，八边形总共有___________条对角线.
5.n边形一共有___________条对角线.
6.如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为_____________.
7.过四边形的一个顶点可以把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，可以分别把它们分成___________个三角形；过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成___________个(用含n的代数式表示)三角形.
二、选择题
8.六边形内角和为( )
A.360° B.540° C.720° D.1080°
9.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，那么这张纸片原来的形状不可能是( )
A.六边形 B.五边形
C.四边形 D.三角形
三、解答题
10.下面的两个网格中，每个小正方形的边长均为1 cm，请你分别在每个网格中画出—个顶点在格点上，且周长为12 cm的形状和大小不同的凸多边形.
11. 如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A=120°，∠B=80°，求∠C和∠D的度数.
参考答案：1.每条边相等，每个角都相等 2.六边形 3.五边形
4. 5；20 5. 6. 6 7. 3或4；(n-2)
8.C 9.A
10.
11. 向两边延长AB、CD、EF，分别交于H、M、G.
因为∠BAF=120°，∠ABC=80°，
根据邻补角定义知∠GAF=60°，∠HBC=100°.
又因为AF∥CD，根据两直线平行，同位角相等，可得∠H=∠GAF=60°.
又因为∠BCD是△BHC的一个外角，所以
∠BCD=∠H+∠HBC=160°.
因为AB∥DE，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EDM=∠H=60°.
由邻补角的定义可得∠CDE°=180°-∠EDM=120°.
11.3多边形及其内角和（1）
学习目标
1、，认识一些简单的几何体（四边形、五边形）；
2、了解多边形及其内角、对角线等数学概念．
学习重点：了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别
学习难点：凸多边形的辨别．
学习过程：
一、学习准备
1.什么是三角形？怎样表示？
2.什么是三角形的边，角以及外角
二、合作探究
1. 你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗？
这些线段围成的图形有何特性？
2. 仿照三角形的定义给多边形下定义
在平面内，由一些线段 组成的图形叫做多边形．
思考：为什么要说“在平面内”？
3.相关概念：
多边形的边与 组成的角叫做多边形的外角．
连接多边形的 两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
4.正多边形的定义
. 相等， 都相等的多边形叫做正多边形．
请写出下面正多边形的名称
三、巩固练习
1.课本P21练习1．
2. 课本P21练习2．
四、课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.你还有什么疑问？
五、当堂清
一、判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
2．由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
3．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（ ）
二、填空题．
4．从n边形的一个顶点可以引 条对角线，它们把n边形分成 个三角形
5．多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形．
6．各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．
三、解答题．
7．画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．
8．如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
9．如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
4．如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
参考答案：1.× 2.× 3.√ 4. n-3， n-2
5.一条边，同一侧 6.相等 相等 7.略
8. 可以得4个三角形，它与边数相等 9. 可以得4个三角形，它比边数少1
10. 可以得4个三角形，它比边数少2
七、学习反思
11.3多边形及其内角和（1）
教学目标
知识与技能
观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形），了解多边形及其内角、对角线等数学概念
过程与方法
能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识
情感态度价值观
了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学的道理．
教学重点
了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别。
教学难点
正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别。
教学准备
教师：多媒体课件（某几个重点教学片段使用）、三角尺。
教学过程（师生活动）
设计理念
引入新课
复习：1.什么是三角形？怎样表示？
2.什么是三角形的边，角以及外角？
图片观赏：
你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗？
学生回答，相互补充，教师点明本节课题．
利用现实生活情境吸引学生尽快投入到数学课堂中来。让学生们观察、回答、补充，既能体现主体性，又能较自然地过渡到新课教学中来。
新知探究
这些线段围成的图形有何特性？
【（1）它们在同一平面内．
（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．】
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？
归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）
明确概念：
1.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角
2.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
让学生画出五边形的所有对角线．
4．凸多边形与凹多边形
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．
5．正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
运用类比方法学习新知识，便于发现新旧知识的异同点，同时完善学生的认知结构。
通过对比，学习凸多边形与凹多边形的概念，加深认识
巩固练习
课本P21练习1．2．
小结与作业
课堂小结
今天本节课学习的主要内容（概念）。
本节课学习新知识过程中运用哪种重要的思想方法。
生活中处处有几何。
本课作业
必做题 ：
选做题 ：
课件17张PPT。11.3多边形及其内角和(1) ）知识回顾什么是三角形、三角形的边、顶点、内角和外角？从这些图形你能抽象出什么平面图形？生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。多边形的定义你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？边顶点定义:
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。对角线连接不相邻两个顶点的线段叫对角线.
如图:
五边形ABCDE中对角线共有多少条？多边形的有关概念.DBAEC内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。内角外角多边形的有关概念.问题 1 五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？答：五边形有5个内角，10个（5对）外角；
六边形有6个内角，12个（6对）外角.问题：n边形有多少个内角？多少个外角？答：n边形有n个内角，2n个（n对）外角.比一比你能说出这两幅图形的异同点吗？（1）（2）如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？ 在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形 2.你还有什么疑问？1. 通过这节课的学习你有什么收获？作 业 这节课我们学习到这里，再见！11.3 多边形的内角和(2)
一、填空题
1.五边形的内角和等于________度；(3n-2)边形的内角和是________.
2.一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________.
3.已知一个五边形的4个内角都是100°，则第5个内角的度数是________.
4.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是___________.
5.四边形的四个内角度数之比为4∶5∶6，则这个四边形各内角度数分别为_____________.
6.一个多边形除了一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数等于______.
二、选择题
7.正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.多边形的内角和不可能为( )
A.180° B.680° C.1080° D.1980°
三、解答题
9. 已知一个多边形，它的外角和等于内角和的四分之—，求这个多边形的边数.
10. 己知一个多边形的各个内角都是120°，求这个多边形的边数.
参考答案:
1. 540；(3n-1)·180° 2. 1140° 3.140°
4. 十二边形 5. 60°、80°、100°、120° 6. 130° 7. D 8.C
9. 设多边形的边数为n，因为它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得(n-2)·180=300.
解得n=10.
答:这个多边形的边数是10
10. 解法一 设这个多边形的边数为n，则有(n-2)·180°=n·150
解得n=12
解法二 设这个多边形的边数为n，则有
n·(180-150)=360
解得n=12
11.3多边形的内角和(2)
学习目标
1、掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题
2、能推导出多边形内角和计算公式
学习重点：多边形的内角和以及外角和
学习难点：用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
学习过程
一、学前准备
1.你三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和等于
2.长方形的内角和等于 ，正方形的内角和等于
二、合作探究
1. 探索四边形的内角和
你有什么办法？
能否利用对角线将四边形分割成三角形的方法探索？（下面是备用图）
结论：四边形的内角和等于
2. 探索五边形的内角和
你有什么办法？
能否利用对角线将五边形分割成三角形的方法探索？（下面是备用图）
结论：五边形的内角和等于
3、探索多边形内角和
你能用刚才类似的方法计算出ｎ边形的内角和吗？
结论：多边形内角和等于
三、新知应用
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
结论：多边形的外角和等于 ．
四、巩固练习
1.教材24页练习1
2.教材24页练习2
3.教材24页练习3
五、课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.你还有什么疑问？
六、当堂清
1.七边形的内角和是（ ）
A.360° B.720° C.900° D.1 260°
2. 内角和与外角和相等的多边形一定是（ ）
A.八边形 B.六边形
C.五边形 D.四边形
3. 正十二边形的每一个外角等于_________.
4.如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____________.
5.一个多边形的每一个外角等于36°，则该多边形的内角和等于__________.
6.在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3，则∠B=_________，∠C=_________，∠D=__________.
7.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°，求n的值.
8.如图所示，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，CF平分∠BCD.若AE∥CF，由公式判定AE是否平分∠BAD.说明理由.
参考答案：1.C 2.D 3. 30° 4,. 6 5. 1 440° 6. 45° 90° 135°
7.根据题意有：3×90+2n=(5-2)×180,得n=135.
8.AE平分∠BAD，理由如下：
因为AE∥CF，所以∠DEA=∠DCF，∠CFB=∠EAB，
又∠DCF=∠BCF，∠BCF+∠BFC=90°，∠DEA+∠DAE=90°，
所以∠DAE=∠BFC=∠EAB.
所以AE平分∠BAD.
七、学习反思
11.3多边形的内角和(2)
教学目标
知识与技能
1.掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题；
过程与方法
通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力
情感态度价值观
通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质
教学重点
多边形的内角和以及外角和
教学难点
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
教学准备
学生：量角器、直尺（三角尺）；教师：教具（全等四边形四个）。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境引入新课
1. (1)你知道三角形的内角和是多少度吗？
【三角形的内角和等于180°】
(2)长方形的内角和等于 ，正方形的内角和等于
2、你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？通过今天的学习我们就能明白其中的一些道理，引出课题．
利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去
新课教学
1. 探索四边形的内角和
学生叙述对四边形内角和的认识．
（如：通过测量相加求内角和，通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等）．
建议：①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，并提出是数学学习中的一种常用方法；
③可以启示学生用其他方法证明四边形内角和为360度
A
D
B C
【分成2个三角形180°×2=360°】
【分割成4个三角形180°×4-360°=360°】
【分割成3个三角形180°×3-180°=360°】
小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和
2. 你知道五边形的内角和是多少度吗？
A E
B
D
C
A E
O
B D
C
A E
B
D
P
C
3、探索多边形内角和问题
提出阶梯式问题：
（1）你能用刚才类似的方法计算出六边形的内角和吗？
（2）十边形、ｎ边形呢？
结论：多边形内角和等于(n-2)·180°
鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决。
通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，在探索过程中进一步体现新课标“以人为本”的思想，发展学生的语言表达能力
知识应用
合作探究
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
巩固练习
教材24页练习1、2、3.
巩固新知识；
小结与作业
课堂小结
学生回顾本节课所学内容（包括数学思想方法）
本课作业
1.必做题：
2．选做题：
课件20张PPT。11.3多边形及其内角和(2)知识回顾 你还记得三角形内角和是多少度？
A
B C
（三角形内角和 180°）知识回顾 你知道长方形和正方形内角和是多少吗？
ADBCADBC（都是360°） 任意画一个四边形，量出它的4个内角的度数，并计算它们的和.你还有其他方法得到四边形的内角和吗？ABCD在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180°，得到四边形内角和等于360°。你能说明它的合理性吗？并且启发你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？PABCD图 1如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×4 － 360°= 360°PABDC图 2如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°PABCD图 3如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？请你选择喜欢的一种方法解答上述问题。n－2(n－2)·180°1234180°360°540°720°……探究：想一想
你知道n边形的内角和吗？利用在探究上述多边形内角何时得到的规律，可得
n边形的内角和等于(n－2) ×180°.探究
2、我们也可以利用下列不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组
对角有什么关系？例题讲解例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，
这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角
和等于多少？结论：多边形外角和等于3600 .例题讲解巩固练习1（抢答） 8边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？（8－2) × 180°= 1080°(10－2) ×180°=1440°巩固练习2求下列图形中x的值：CABDE(4)AB∥CD巩固练习3已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形的边数？解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5 答：这个多边形是五边形。巩固练习4如图：AD ⊥AB,BC ⊥CD,则∠B与∠D是什么关系？为什么？解： ∠B与∠D是互补。因为AD ⊥AB,BC ⊥CD, 所以∠A= ∠C= 90° 所以∠B＋∠D= 180° 因为四边形内角和等于360°1、我们学会了许多解决数学问题的思想方法，如将多边形问题转化为三角形问题，以及类比方法，化未知为已知的思想方法等。
2、通过探索多边形的内角和公式，我们尝试了从不同的角度寻求解决问题的方法，并且能有效地解决问题。
3、我们还学会了运用多边形内角和公式进行相关计算。作 业 这节课我们学习到这里，再见！
