云南省临沧市凤庆县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

凤庆县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若，则（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值.现在让我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数在处的导数（ ）
A.与都有关 B.仅与有关而与无关
C.仅与有关而与无关 D.与均无关
6.已知双曲线，其中成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.如图所示，梯形中，，点为的中点，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设分别为线段上的动点，且，则的最大值是（ ）
A.不存在 B. C. D.
8.已知等差数列满足，数列满足.记数列的前项和为，则使的的最小值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7.5
10.已知复数，则下列有关复数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知圆，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则（ ）
A.四边形面积的最小值为4
B.四边形面积的最大值为8
C.当最大时，
D.当最大时，直线的方程为
12.在不透明的甲 乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为，乙盒中有3个小球，标号分别为.现从甲 乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（ ）
A.事件与事件相互独立 B.事件与事件互斥
C. D.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知是等差数列的前项和，，则__________.
14.幂函数在单调递减，则__________.
15.已知数列中，，若，则正整数的值为__________.
16.已知抛物线的焦点为，抛物线上两点在第一象限，且满足，则直线的斜率为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知公比大于1的等比数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求的前项和.
18.（本小题满分12分）
在中，角对边分别为，已知，且.
（1）求角；
（2）若为中点，求的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，平面为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）记，数列的前项和为，求.
21.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，，侧面为菱形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值
22.（本小题满分12分）
设椭圆的左 右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
（3）若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由.
凤庆县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案
一 选择题
1.B 【解析】
，所以.故选B.
2.D 【解析】根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生 初中生 高中生抽取人数分别为：，根据图②知抽取的小学生 初中生 高中生中，近视的人数分别为：，所以该地区学生的平均近视率为.故选D.
3.D 【解析】设圆柱的内切球半径为，则圆柱底面圆半径为，高为，所以圆柱的体积与球的体积之比为.故选.
4.D 【解析】，，所以.故选D.
5.B 【解析】函数在处存在导数，则，所以仅与有关而与无关.故选B.
6.B 【解析】由双曲线知，又成等差数列，得，焦点在轴上，渐近线方程：.故选B.
7.D 【解析】梯形为直角梯形，
，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，所以，由且可得，令，则由对勾函数单调性知，当时单调递减，时单调递增，故，由知，，故最大值为.故选D.
8.C 【解析】设等差数列的公差为，则由得：，解得：，则当6时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，
，
，
，当时，
当时，，则使得的的最小值为10.
故选.
二 多选题
9.BC 【解析】由，且，可得
，
当且仅当时，即
时，等号成立，又因为不等式恒成立，
所以，又，结合选项，可得符合题意.故选.
10.CD 【解析】当时，显然，
显然有，故错误；设，
，
故正确；
，所以，故D正确.故选CD.
11.ACD 【解析】由圆的几何性质可得，圆，半径为2，如下图所示：
对于，由切线长定理可得，又因为，所以，所以四边形的面积，因为，当时，取最小值，且，所以四边形的面积的最小值为，故A正确；对于，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误；对于，因为为锐角，，且，故当最小时，最大，此时最大，此时，故正确；对于，由上可知，当最大时，且，故四边形为正方形，且有，直线，则的方程为，联立，可得，即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，故D正确.故选ACD.
12.ACD 【解析】从甲盒 乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：，，，共12种.事件，；事件，，，故正确；事件和事件都有，事件与事件不互斥，故错误；事件，故C正确；事件，
，，故正确.故选ACD.
三 填空题
13.36 【解析】因为，所以，
所以.故答案为36.
14. 【解析】幂函数在单调递减，
，.故答案为.
15.8 【解析】因为，可得，
因为，则，即，可得，同理可得，以此类推可知，对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1，所以，故，由可得.故答案为8.
16. 【解析】设，由题可知的斜率存在，设的斜率为.因为都在轴上方，由题意知，由抛物线定义，则，注意到，所以.故答案为.
四 解答题
17.解：（1）设等比数列的公比为，则，
又所以，两式相除得，
解得或（舍），则，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可得，所以，
则，
，
两式相减
，
.
18.解：（1）因为，即
又因为，故，
由正弦定理，有，
即
因为，所以，
因为，故.
（2）因为为中点，所以，
于是，
又因为，
所以.
故，
当且仅当时等号成立，故，
所以的最大值为.
19.证明：（1）在直角梯形中，，
则，而，
于是
有，则，
因为平面平面，
即有
而平面，因此平面，
又平面，所以平面平面.
（2）为的中点，，则.
以为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
.
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
设直线与面所成角为，
则.
所以直线与面所成角的正弦值为.
20.解：（1）由，
当时，，解得，
当时，，
所以
，
整理得：，①
所以有，②
①-②可得，
所以为等差数列，，
所以公差为
所以.
（2），
.
21.证明：（1）由，
故，
且，
所以，又，又，
平面，
所以平面，
而平面，则
因为四边形是菱形，所以，
由平面，于是平面.
又平面，因此平面平面.
（2）因为，四边形是荎形，所以是正三角形.
取的中点，连接，则，
由（1）知：平面平面，
所以平面平面.
又平面平面平面，
所以平面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，
在面内过且与平行的直线为轴，建立则
，
，
.
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则
，令，
则.
设二面角的大小为，
则，
二面角的余弦值为.
22.解：（1）由离心率，长轴为4，得，
所以，故椭圆的标准方程为：
（2）由（1）得椭圆的右焦点的坐标为，
设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，
由得，
，则，
所以，
因为，
所以，即，
解得，
故直线的斜率为.
（3）是定值，理由如下，
由（2）得直线的方程为：，
直线与椭圆交于两点，
，
则
，
由是椭圆经过原点的弦，设，
，直线的斜率为，
则，
由得，，且，
得，
所以，为定值.