湖南省永州市2022-2023学年八年级下学期第三次月考数学试题

第三次课后服务练习（范围：1—4单元）
一．选择题（共12小题）
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
3．（3分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形
D．有一组对边平行且相等的四边形是菱形
5．（3分）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
6．（3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
7．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，﹣2＜y＜0
B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2
C．当y＞﹣2时，x＞0
D．不等式ax+b≤0的解集是x≤0
10．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共7小题）
11．（3分）如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形是 　 　边形．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，DE⊥BC于点E．若BE＝3，DE＝4，则四边形ABED的面积为 　 　．
13．（3分）已知一次函数y＝mx+n与x轴的交点为（﹣5，0），则方程mx+n＝0的解是 　 　．
14．（3分）已知P1（﹣1，y1），P2（﹣2，y2）在函数y＝2x+b的图象上，则y1　 　y2．（填写＞，＜或者＝）
15．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为 　 　．
16．（3分）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h； ②m＝160； ③点H的坐标是（7，85）；④n＝7.4，其中正确的有 　 　（填序号）．
三．解答题（共10小题）
17．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
18．（6分）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是（﹣4，2），实验楼的坐标是（﹣4，0）．
（1）坐标原点应为 　 　的位置；
（2）在图中画出此平面直角坐标系；
（3）校门在第 　 　象限：图书馆的坐标是 　 　；分布在第二象限的是 　 　．
19．（6分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC＝DF，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝65°，求∠AGF的度数．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，CD＝2AB，E是CD的中点．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AC＝6，AD＝10，求 ABCE的面积．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，并且DE⊥AB，若AB＝4，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．
22．（9分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1；
（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；
（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
23．（9分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
24．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”．某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
25．（10分）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向点A运动，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
第三次课后服务练习（范围：1—4单元）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
【考点】勾股数．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、52+122＝132，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、72+252≠262，不是勾股数，此选项符合题意；
D、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．（3分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【考点】含30度角的直角三角形．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝4，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这个性质是解题的关键．
4．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形
D．有一组对边平行且相等的四边形是菱形
【考点】命题与定理．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边是四菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】考查了菱形的判定，解题的关键是了解特殊的四边形的判定方法，难度不大．
5．（3分）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【考点】角平分线的性质．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6．（3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【考点】勾股定理的证明；数学常识．
【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，
∴股b＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4
故选：A．
【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
7．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念．
【解答】解：∵选项A，C，D中对于自变量x取值范围内的很多值，都有两个y的值与其对应，
故不符合题意；
∵选项B中每个自变量x，都有唯一的函数值与其对应，
∴选项B符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了利用图象理解函数概念的能力，关键是能准确理解函数的概念和能数形结合解决相关问题．
8．（3分）已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．
【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴函数y＝﹣ax+2的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，﹣2＜y＜0
B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2
C．当y＞﹣2时，x＞0
D．不等式ax+b≤0的解集是x≤0
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程．
【解答】解：由函数y＝ax+b的图象可知，
A、当x＞0时，y＞﹣2，原说法错误，不符合题意；
B、方程ax+b＝0的解是x＝1，原说法错误，不符合题意；
C、当y＞﹣2时，x＞0，正确，符合题意；
D、不等式ax+b≤0的解集是x≤1，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】菱形的性质．
【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，
∴DH＝，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
二．填空题（共7小题）
11．（3分）如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形是 　九　边形．
【考点】多边形内角与外角．
【解答】解：设它的边数为n，根据题意，得（n﹣2） 180°＝1260°，
所以n＝9．
所以这是一个九边形．
故答案为：九．
【点评】本题考查多边形内角和与外角，掌握多边形的内角和公式结合方程是解决问题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，DE⊥BC于点E．若BE＝3，DE＝4，则四边形ABED的面积为 　18　．
【考点】三角形中位线定理；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝AC，
∵DE⊥BC，
∴BE＝EC＝3，
∴BC＝2BE＝6，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝8，
∴四边形ABED的面积＝△ABC的面积﹣△DEC的面积
＝AB BC﹣DE EC
＝×8×6﹣×4×3
＝24﹣6
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13．（3分）已知一次函数y＝mx+n与x轴的交点为（﹣5，0），则方程mx+n＝0的解是 　x＝﹣5　．
【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+n与x轴的交点为（﹣5，0），
∴方程mx+n＝0的解是x＝﹣5，
故答案为：x＝﹣5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
14．（3分）已知P1（﹣1，y1），P2（﹣2，y2）在函数y＝2x+b的图象上，则y1　＞　y2．（填写＞，＜或者＝）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+b中k＝2＞0，
∴函数y＝2x+b的函数值是y随x的增大而增大，
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题开查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为 　x≤1．　．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），
可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，
整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，
∴﹣bx+b≥0，
由图象可知b＞0，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1，
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
16．（3分）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h； ②m＝160； ③点H的坐标是（7，85）；④n＝7.4，其中正确的有 　①②④　（填序号）．
【考点】一次函数的应用．
【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，
∴乙的速度为120km/h．
故①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，
则此时甲乙距离4×40＝160km，则m＝160，
故②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），
故③错误；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）＝0.4小时，
则n＝6+1+0.4＝7.4，
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
三．解答题（共10小题）
17．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，B1（2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（3，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．
18．（6分）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是（﹣4，2），实验楼的坐标是（﹣4，0）．
（1）坐标原点应为 　高中楼　的位置；
（2）在图中画出此平面直角坐标系；
（3）校门在第 　四　象限：图书馆的坐标是 　（4，1）　；分布在第二象限的是 　初中楼　．
【考点】坐标确定位置．
【解答】解：（1）由题意得，可以建立如下坐标系，
∴坐标原点应为高中楼的位置，
故答案为：高中楼；
（2）如图所示，该平面直角坐标系即为所求；
（3）由坐标系可知，校门在第四象限，图书馆的坐标为（4，1），分布在第一象限的是，图书馆和操场，
故答案为：四，（4，1），初中楼．
【点评】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确找到原点是解题的关键．
19．（6分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC＝DF，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝65°，求∠AGF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BE，
∴∠B＝90°，
∵DE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即CB＝EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
（2）解：∵∠A＝65°，AB⊥BE，
∴∠ACB＝90°﹣65°＝25°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE＝25°，
∴∠AGF＝∠ACB+∠DFE＝50°
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质；证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，CD＝2AB，E是CD的中点．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AC＝6，AD＝10，求 ABCE的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥CE，
∵点E是CD的中点，
∴CD＝2CE，
∵CD＝2AB，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝6，AD＝10，
∴CD＝＝＝8，
∵CD＝2AB，
∴AB＝4，
∴S平行四边形ABCE＝AB AC＝4×6＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形ABCE为平行四边形是解题的关键．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，并且DE⊥AB，若AB＝4，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．
【考点】菱形的性质．
【解答】解：（1）∵E为AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°；
（2）∵AB＝4，
∴AD＝AB＝4，AE＝AB＝2，
∴DE＝＝2，
∵△ABD是等边三角形，AO⊥BD，DE⊥AB，
∴AO＝DE＝2，
∴AC＝4；
（3）S菱形ABCD＝AB DE＝4×2＝8．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（9分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1；
（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；
（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过点P（2，0），
∴0＝（1﹣2m）×2+m+1，
解得，m＝1，
即m的值是1；
（2）①∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴，
解得，﹣1＜m＜；
②∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1﹣2m＞0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵点M（a﹣1，y1），N（a，y2）在该一次函数的图象上，a﹣1＜a，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
23．（9分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴FE＝BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，
∴FE＝7，
∴FB＝FE﹣BE＝5，
∴CE＝BF＝5，
∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝AC＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
24．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”．某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，
解得k1＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），
根据题意得，，
解得，
∴y＝24x+300．
∴y＝；
（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，
∴40≤x≤60，
当40≤x≤50时，w1＝30x+25（100﹣x）＝5x+2500．
当x＝40 时．wmin＝2700 元，
当50＜x≤60时，w2＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．
当x＝60时，wmin＝2740 元，
∵2740＞2700，
∴当x＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．
此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
25．（10分）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向点A运动，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k＝．
∴k＝，b＝4，m＝2．
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B（﹣1，5），C′（2，﹣2），
∴直线BC′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得到x＝，
∴E（，0）．
（3）如图，由题意AC＝＝2，
当AC＝AP＝2时，t＝6﹣2，
当P′C＝P′A时，∠AP′C＝90°，AP′＝2，
∴t＝6﹣2＝4，
当AC＝CP时，P（0，0），此时t＝2．
综上所述，满足条件的t的值为6﹣2或4或2．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．