湘教版2022-2023学年度下学期七年级期末练习数学试4（含解析）

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湘教版2022-2023学年度下学期七年级期末练习数学试4
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将木条和用螺丝钉在一起，且，若木条位置不动，将木条绕固定点顺时针旋转，使得，则旋转的角度可以是（ ）

A． B． C． D．
5．某校6名学生参加课外实践活动的时间分别为：3，3，5，4，7（单位：小时），这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和7 B．3和3 C．3和4 D．3和5
6．下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何 ”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱 设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是方程的解，那么常数m的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
11．如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．计算： _________．
14．为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8．这组数据的众数是________．
15．如图是一条长方形纸片，已知，则_________．
16．如图，的两边、均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，则的度数是______ ．
17．已知，则代数式的值是______________．
18．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，右图（2）是一个未完成的幻方，则__________．
四、解答题（本大题共8小题，共76分）
19．解方程组：
(1)
(2)
20．已知，，求下列各式的值．
(1)
(2)
21．某开发区去年出口创汇额为25亿美元，今年达到亿美元，已知今年上半年出口创汇额比去年同期增长，下半年比去年同期增长，求去年上半年和下半年的出口创汇额各是多少亿美元？
22．如图，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
23．从甲、乙两名同学中选拔一人参加“诵读经典”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，86，82，85，83； 乙：88，81，85，81，80．
回答下列问题：
(1)甲成绩的中位数是________，乙成绩的众数是________；
(2)经计算知，．请你求出甲的方差，并运用学过的统计知识推荐参加比赛的合适人选．
24．如图，已知于F，于M，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
25．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若、、为非零实数，且，求证：．
26．如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F．
(1)若的周长是，求的长；
(2)若，试求的度数．
参考答案：
1．【分析】根据分解因式的定义解答即可．
因为不是将多项式化成整式乘积的形式，所以A不符合题意；
因为是将多项式化成整式乘积的形式，所以B符合题意；
因为不是将多项式化成整式乘积的形式，所以C不符合题意；
因为不是将多项式化成整式乘积的形式，所以D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分解因式的判断，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．
2．【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案．
解：A. 由，不能得到，此选项不符合题意；
B. 由，得到，不能得出，此选项不符合题意；
C. 由，不能得到，此选项不符合题意；
D. 由，能得到，此选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
3．【分析】把代入①得求出，再把代入得即可求解．
解：在中，把代入①得
，
解得，
把代入得，
∴方程组的解是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，理解代入法和加减消元法是解答关键．
4．【分析】根据“三线八角”可知与是同位角，若旋转木条使，则，从而由得到旋转角度．
解：根据题意，当木条绕固定点顺时针旋转，使得时，，
未旋转前，，
旋转后，，即木条绕固定点顺时针旋转，使得，则旋转的角度可以是，
故选：B．
【点评】本题考查“三线八角”及平行线的判定与性质，读懂题意，弄清旋转前后的角度变化是解决问题的关键．
5．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；据此作答即可．
解：将数据从小到大排列：3，3，4，5，7
出现次数最多的是3，
因此众数为3，
处在第3位的是4，
因此中位数为：4，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，是解题的关键．
6．【分析】根据平方差公式为逐项判断即可．
解：A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B． ，符合平方差公式，故本选项符合题意；
C． ，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D． 只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为是解答本题的关键．
7．【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方运算法则逐项计算即可．
解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂乘、幂的乘方等知识点，熟练运用相关运算法则是解题关键．
8．【分析】根据“甲的钱乙所有钱的一半”和“乙的钱甲所有钱的”列出方程组即可解答．
解：根据题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系是解答本题的关键．
9．【分析】直接把代入方程中求出m的值即可．
解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故选C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
10．【分析】依据旋转的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，结合等量代换，得出，再根据垂线的定义，进一步判断即可．
解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
延长，与交于F，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故选项A，B，D结论正确，不合题意，
而和的数量关系未知，
则和不一定相等，故选项C结论不正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质、垂线的定义，掌握旋转的性质是本题的关键．
11．【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、由“内错角相等，两直线平行”知，根据能判断，符合题意；
B、由“同位角相等，两直线平行”知，根据能判断，不符合题意；
C、由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据能判断，符合题意；
D、，不能判断，不符合题意；
故选：AC．
【点评】本题考查的是平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．【分析】利用因式分解的定义及方法一一判断即可．
解：A.，故该选项因式分解错误，不符合题意；
B.，故该选项因式分解正确，符合题意；
C.，故该选项因式分解错误，不符合题意；
D.，故该选项因式分解正确，符合题意；
故选：BD．
【点评】此题考查了因式分解的定义及方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．【分析】根据同底数幂相乘，即可求解．
解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
14．【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，求解即可．
解：由题意可得，出现次数最多的数是4，
所以众数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查求众数，熟练掌握知识点是解题关键．
15．【分析】由题意可知，图形由长方形纸条折叠得到，则折痕是角平分线，长方形的上下两条边互相平行，据此求解即可．
如图：∵长方形纸条经过折叠得到，
∴，上下两边互相平行，
∵
∴，
∴；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练地掌握平行线的性质和是解题的关键．
16．【分析】如图（见解析），过点作，交于点，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据入射角等于反射角可得，从而可得，然后根据平行线的性质即可得．
解：如图，过点作，交于点，
，
，
，
，
，
入射角等于反射角，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂直、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和入射角等于反射角是解题关键．
17．【分析】由可得，再把代入即可求得．
解：
故答案为：．
【点评】本题考查了利用因式分解求整式的值问题，根据整式的特点，用含有已知条件的式子表示出待求值的式子是解决本题的关键．
18．【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故答案为：12．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）先整理，然后利用加减消元法解答，即可求解．
（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
由②得，③，
①+③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
则方程组的解为．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法－代入消元法，加减消元法是解题的关键．
20．【分析】（1）根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可．
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键．
21．【分析】设去年上半年出口创汇额为x亿美元，去年下半年的出口创汇额为y亿美元，可表示出今年的上半年和下半年的出口创汇额，由条件可列出方程组，求解即可．
解：设去年上半年出口创汇额为x亿美元，去年下半年的出口创汇额为y亿美元，
则今年上半年出口创汇额为亿美元，今年下半年的出口创汇额为亿美元，
根据题意可列方程组，
解得，
答：去年上半年出口创汇额为10亿美元，去年下半年的出口创汇额为15亿美元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题关键．
22．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得，结合已知条件可得，根据同旁内角互补，即可证明两直线平行；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（2）根据方差计算公式，进行计算；根据方差作出判断即可．
（1）解：∵将甲成绩从小到大进行排序为79，82，83，85，86，排在中间位置的数为83，
∴甲成绩的中位数是83，
∵乙成绩中出现次数最多的81，
∴乙成绩的众数为81，
故答案为：83；81．
（2）解：，
，
∵，，
∴推荐甲去参加比赛．
【点评】本题主要考查了方差、平均数、众数、中位数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
24．【分析】（1）由，得，根据平行线的性质得，得出，平行线的判定得到，再得出，然后根据平行线的判定即可证明；
（2）根据邻补角的定义求出，再根据平行线的性质得出，求出，再根据平行线性质求出即可．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明与计算．
25．【分析】（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；
（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
【点评】本题考查分组分解法，阅读材料，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键．
26．【分析】（1）由轴对称的性质可得，由三角形周长公式得到，则，即；
（2）根据轴对称的性质得到，进一步推出．
（1）解：∵点M，N分别是点P关于的对称点，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，即；
（2）解：如图所示，连接，
∵点M，N分别是点P关于的对称点，
∴，
∴ ．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到，是解题的关键．
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