湘教版2022-2023学年度下学期七年级期末练习数学试1（含解析）

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湘教版2022-2023学年度下学期七年级期末练习数学试1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（　　）
A． 要消去y，可以将①×5+②×2 B． 要消去x，可以将①×3+②×（-5）
C． 要消去y，可以将①×5+②×3 D． 要消去x，可以将①×（-5）+②×2
若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（　　）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
下列因式分解正确的是（　　）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，EG平分∠AEF，则∠1的度数为（ ）
A． 20° B． 30° C． 45° D． 60°
如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：
人数（人） 9 16 14 11
时间（小时） 7 8 9 10
这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16，15 B．11，15 C．8，8.5 D．8，9
下列计算正确的是（　　）
A．x4+x4=2x8B．x3 x2=x6C．（x2y）3=x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2
a是有理数，则整式a2（a2-2）-2a2+4的值（ ）
A． 不是负数 B． 恒为正数 C． 恒为负数 D． 不等于0
“小小竹排水中游,巍巍青山两岸走”所描绘的图形变换主要是 ( )
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．中心对称
100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（　　）元．
A．216 B．218 C．238 D．236
数据1、5、7、4、8的中位数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
根据如图提供的信息，小红去商店买一只水瓶和一只杯子应付（　　）
A．30元 B．32元 C．31元 D．34元
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
计算的结果等于__________．
结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．
已知方程租与有相同的解，则m+n=　　．
若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是 ．
在一次班级数学测试中，65分为及格分数线，全班的总平均分为66分，而所有成绩及格的学生的平均分为72分，所有成绩不及格的学生的平均分为58分，为了减少不及格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上了5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分变为75分，所有成绩不及格的学生的平均分变为59分，已知该班学生人数大于15人少于30人，该班共有_____位学生．
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
（1）解一元一次方程：；
（2）解方程组：．
如图，∠AHC=49°，∠BGH=131°，∠C=∠D，探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由。
已知多项式A=（3﹣2x）（1+x）+（3x5y2+4x6y2﹣x4y2）÷（x2y）2．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2=6，求A的值．
小明家买了一辆小轿车，小明连续记录了一周每天行驶的路程：
请你用学过的统计知识解决下面的问题：
(1)小明家的轿车每月(按30天计算)要行驶多少千米？
(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.64元，请你算出小明家一年(按12个月计算)的汽油费用大约是多少元(精确到百位)．
为了更好地保护环境，治污公司决定购买若干台污水处理设备．现有A．B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元．求A．B两种型号设备的单价．
已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1 .
(1)根据点和的位置确定旋转中心是点______________．
(2)请在图中画出;
(3)请具体描述一下这个旋转：________________________________．
阅读下列材料，并解决问题：
材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”如122，；
材料2：若一个数能够写成均为正整数，且，则我们称这样的数为“不完全平方差数”，最大时，我们称此时的、为的一组“最优分解数”，井规定．例如，因为：，，，所以；
（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；
（2）若一个小于300的三位数其中，，且均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有的最大值．
如图①，已知直线，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
（1）若，，则______．
（2）试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）应用（2）中的结论解答下面的问题：
如图②，点在的北偏东40°的方向上，在的北偏西45°的方向上，求的度数．
（4）如果点在直线上且在线段外侧运动（点和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系．
答案解析
1 、选择题
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
解：利用加减消元法解方程组 ，
要消去x，可以将①×（-5）+②×2．
故选：D.
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
【考点】 多项式乘多项式．
【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，
则p=1，q=﹣12．
故选A．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
解：A．3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误，
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误，
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误，
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【考点】平行线的性质．
【分析】 根据角平分线定义求出∠GEA，根据平行线的性质得出∠1=∠GEA，即可得出答案．
解：∵EF⊥AB，
∴∠FEA=90°，
∵GE平分∠FEA，
∴∠GEA=∠FEA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠GEA=45°，
故选C．
【点评】 本题考查了角平分线定义和平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
【考点】旋转对称图形
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合.
解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为.
故选：.
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.
【考点】众数，中位数
【分析】根据众数和中位数的意义与表格直接求解即可．
解：这50名学生这一周在校的体育锻炼时间是8小时的人数最多，故众数为8；
统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是8，9，故中位数是（8+9）÷2=8.5．
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
【考点】整式的混合运算．
【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题得以解决．
解：∵x4+x4=2x4，故选项A错误；
∵x3 x2=x5，故选项B错误；
∵（x2y）3=x6y3，故选项C正确；
∵（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误；
故选C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
【考点】因式分解的应用，非负数的性质
【分析】先去掉括号，再合并同类项，然后根据非负数的性质即可得出答案．
解：∵a2（a2-2）-2a2+4= a4-4a2+4=(a2-2)2≥0,
故选A．
【点评】本题考查了完全平方公式法因式分解及偶次方的非负性，因为a （a -2）-2a +4分解因式后得(a2-2)2，而(a2-2)2≥0，所以选A．
【考点】生活中的平移
【分析】根据诗歌知是小舟在水中行走，故为平移变换.
解：根据诗歌知是小舟在水中行走，故为平移变换，故选A．
【点评】此题主要考察图形变换的类型.
【考点】推理与论证
【分析】由于共有2000元人民币，10人不超过380元，则其余90人钱数的和不少于1620元，再根据抽屉原理可知存在9人的钱数的和不少于162元，
解：任意10个人的钱数的和不超过380元，（1）
∴任意90个人的钱数的和不少于1620元，
由抽屉原理，存在9人的钱数的和不少于162元，（2）
（1）﹣（2），一个人最多能有218元．
故选：B．
【点评】本题考查了推理与论证，解答此题要熟悉抽屉原理﹣﹣﹣﹣把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西．
【考点】中位数
【分析】根据中位数的定义判断即可；
解：将数据重新排列为1、4、5、7、8，
则这组数据的中位数为5
故选：B．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，根据给定的两种购买方案可得出关于x、y的二元一次方程组，将方程①②相加，再除以3即可求出结论．
解：设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，
根据题意得： ，
（①+②）÷3，得：x+y=31．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1 、填空题
【考点】单项式乘单项式
【分析】依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可．
解：原式=2x4+3=2x7．
故答案为：2x7．
【点评】本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】平行的判定
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为：∠1＋∠3＝180°．
【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】先解不含m，n的方程组解得x，y的值，再代入含m，n的方程组求出m，n，再求出m+n．
解：∵与有相同的解，
∴解方程组得，
∴解m、n的方程组得
∴m+n=4﹣1=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解,解题的关键是由不含m,n的方程和含m,n的方程构成新的方程组求解　
【考点】因式分解的应用
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
【考点】旋转的性质．
【分析】由于图形是中心对称图形，则利用旋转把图中阴影部分可整合为扇形OBC，然后根据扇形的面积公式求解．
解：∵小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，
∴图形是中心对称图形，大圆的半径为，
∴图中阴影部分的面积=S扇形OBC==π．
故答案为π．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【考点】加权平均数，二元一次方程组的应用，不等式的应用
【分析】设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为及格的人数为n人，所以，用n分别表示x、y得到x+y＝n，然后利用15＜n＜30，n为正整数，n为整数可得到n＝5，从而得到x+y的值．
解：设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为为及格的人数为n人，
根据题意得，
解得，
所以x+y＝n，
而15＜n＜30，n为正整数，n为整数，
所以n＝5，
所以x+y＝28，
即该班共有28位学生．
故答案为28．
【点评】本题考查了加权平均数：熟练掌握加权平均数的计算方法．构建方程组的模型是解题关键．
1 、解答题
【考点】解一元一次方程，解二元一次方程组
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先整理，再利用加减消元法求解即可．
解：（1）方程两边都乘以12得：4（2x-1）-3（2x-3）=12，
∴8x-4-6x+9=12，
∴8x-6x=4-9+12，
∴2x=7，
∴x=；
（2），
∴且，
整理得，
①+②得：2x=-10，
解得：x=-5，代入①中，
解得：y=-1，
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查了解一元一次方程（组），解题的关键是掌握方程（组）的解法．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据平行线的判定方法和性质解答即可．
解：∵∠AHC=49°，∠BGH=131°，
∴∠AHC=49°+∠BGH =180°，
∴BD∥CE，
∴∠C=∠ABD，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABD，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，主要是逻辑思维能力的训练，熟记平行线的判定方法和性质是解题的关键．
【考点】整式的混合运算．
【分析】（1）原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项先计算乘方运算，再利用多项式除以单项式法则计算，即可得到结果；
（2）求出已知方程的解得到x的值，代入原式计算即可．
解：（1）A=3+3x﹣2x﹣2x2+3x+4x2﹣1=2x2+4x+2；
（2）方程变形得：x2+2x=5，
则A=2（x2+2x）+2=12．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点】加权平均数
【分析】（1）先利用平均数的计算公式求出每天行驶的路程，再乘以总天数即可．
（2）根据每月要行驶的距离求出每年要行驶的距离，再乘以耗油量和价格就可求出一年的汽油费用．
解：（1）根据题意得：
（30+35+27+37+35+53+30）=35（千米），
35×30=1050（千米），
答：此人的轿车每月（按30天计算）约行驶1050千米；
（2）根据题意得：
1050×12÷100×8×6.64=6693.12≈6700（元）
答：此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是6700元．
【点评】本题考查用样本估计总体及算术平均数的知识，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．用样本估计总体的思想方法要会运用．
【考点】 二元一次方程组的应用．
【分析】 首先设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元，利用购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元，得出方程组求出即可．
解：设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元，
根据题意，得，
解这个方程组，得．
答：A．B两种型号设备的单价分别为12万元、10万元．
【点评】 此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【考点】旋转对称图形
【分析】（1）连接和,分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心;
(2)通过（1）作图发现旋转规律，然后点C旋转后的对应点；
（3）△ABC绕顺（逆）旋转多少°得到即可.
解：如图：
可以发现旋转中心为；
如图：由（1）作图发现是将△ABC顺时针旋转90°，连接CO1，绕O1旋转90°，确定C1，最后顺次连接A1，B1，C1即可.
绕点按顺时针方向旋转后得到
【点评】本题考查了图形的旋转，确定旋转中心和旋转方式是解答本题的关键.
【考点】定义新运算，因式分解的应用
【分析】（1）设三位数百位数字是，个位数字是，结合题意表示十位数字，表示这个倍差数，把这个倍差数分解因式可得答案．
（2）由三位数小于300，，得到的值，根据情况讨论，可得答案．
解：（1）设三位数百位数字是，个位数字是，
∵十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，
∴十位数字是，
能被3整除，
∴任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；
（2）∵三位数小于300，，
，
又∵是“倍差数”，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
，
而不是“不完全平方差数”，
．
∴有的最大值．
【点评】本题考查再新定义的情境下的因式分解，掌握因式分解的方法，弄懂新定义的含义是解题的关键．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）过点P作，由题意直接根据平行线的性质进行分析即可求解；
（2）由题意过点P作，进而利用平行线的性质进行分析证明即可；
（3）直接利用（2）的结论即可求解；
（4）根据题意分当P点在A的上方与当P点在B的下方两种情况进行分类讨论即可．
解:（1）过点P作，
，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）由（1）知．理由如下：
过点P作
，
∴
∴，
∵，
∴
（3）由（2）可知．
（4）当点在的延长线上时，如图①所示，过作，交于，
则．
，
．
．
，
．
当点在的延长线上时，如图②所示，过作，交于，
则
，．
．
，
．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
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