八年级数学（上）导学案
教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（5）学习目标：1.了解分段函数的概念。2.会利用分段函数的知识解决简单的实际问题。3.初步了解一次函数建模的思想。学习重点：初步认识分段函数。学习难点：了解分段函数的特征，能依据实际情况抽象出分段函数的解析式。☆ 自主学习 ☆一、链接：在自变量的不同取值范围内，表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.分段函数在生活中也是常见的。二、导读：阅读课本，认真看懂看透例5，并注意：1．什么是分段函数？2．注意分段函数的表示方法，每一段函数后面必须加上自变量的取值范围。☆ 合作探究 ☆1．话费中的分段函数某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图所示：(1)月通话为100分钟时，应交话费 元；(2)当x100时，求与之间的函数关系式；(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在 到 分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x 时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.2．水费中的分段函数某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图。(1)分别写出当0x15和x15时，y与x的函数关系式；(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元 分析：本题是一道与收水费有关的分段函数问题。观察图象可知，0x15时y是x的正比例函数； x15时，y是x的一次函数。解：(1)当0x15时，设y=kx把x=15，y=27代入，得 解得：k= ∴y = 当x15时，设y=ax+b，将x=15，y=27和x=20，y=39.5代入，得 解得a= ，b= ∴y = 综上所得：y=（2）当该用户该月用21吨水时，y = 3、电费中的分段函数今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电 ( http: / / www.21cnjy.com )力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如下图所示），根据图象解下列问题：(1)分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ ☆ 归纳反思 ☆☆ 达标检测 ☆1．今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0x5时，y＝0.72x ,当x＞5时，y＝0.9x-0.9(1)画出函数的图象；(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.2．为预防“手足口病”，某医药研究所开 ( http: / / www.21cnjy.com )发了一种新药。据监测：如果病人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液在含药量 y与时间t之间近似满足如图所示曲线。（1）分别求出t ≤和t≥时，y 与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假如某病人一天中第一次服药时间为7:00，那么服药后几点到几点有效？
O
y(微克)
t（小时）
6
8八年级数学（上）导学案
教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（6）学习目标：1.理解一次函数与一次方程的关系，会根据一次函数的图象解一次方程。2.经历用函数的观点研究方程的过程，感受其内在联系及数学问题的辩证思维。学习重点：一次函数与一次方程的关系的理解。学习难点：一次函数与一次方程之间内在联系的认识。 ☆ 自主学习 ☆一、链接：解方程：2x+20=0二、导读：阅读课本，并完成以下问题观察函数y=2x+20的图象，当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？（1）从数上看：方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为 时对应自变量的值。（2）从形上看：直线y=2x+20与 轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解因为任何一元一次方程都可转化为kx ( http: / / www.21cnjy.com )+b=0的形式，所以解一元一次方程kx+b=0可以转化为求一次函数y=kx+b中y=0时的x的值，从图象上看，就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为 ( http: / / www.21cnjy.com )何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映，数形结合在以后学习中有很重要的作用。 ☆ 合作探究 ☆1.已知函数y=2x-12的图象如图如示，不解方程你能求出2x-12=0的解吗？2.已知关于x的方程ax+b=0的解是x=-2，求一次函数y=ax+b与x轴交点的坐标 3.如图所示，已画出函数y=6x-3 ( http: / / www.21cnjy.com )与y=x+2在同一坐标系中的图象，根据图象可以看出两条直线的交点坐标是（ ， ），那么，交点的实际意义是方程6x-3=x+2的解就是交点的 坐标，即方程6x-3=x+2的解是x= ☆ 归纳反思 ☆☆ 达标检测 ☆1.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是________．2.方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x等于_________时的函数值是8．3.已知2x-3 =x+2，则直线y=2x-3与直线y=x+2的交点坐标为 4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从 ( http: / / www.21cnjy.com )乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．(1)根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；(2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；(3)若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像.八年级数学（上）导学案
总结：一般地，一次函数y＝kx＋b有下列性质：
一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过（ ，0）和（0， ）的直线。一次函数的定义形如y=kx+b(k，b都是常数，且 )的函数叫做一次函数.一次函数的图象k>0，b>0k>0，b<0K<0，b>0K<0，b<0经过一、二、三象限一次函数的性质k>0k<0y随x的增大而 y随x的增大而 ☆ 归纳反思 ☆ ☆ 达标检测 ☆1. 已知一次函数.（1）当m______时，y随x的增大而减小，当m______时，y随x的增大而增大；（2）当_________时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）当_____ _时，函数图象过原点；（4）当m______，n______时，函数图象经过第一、二、四象限.2.已知点(x1 ,y1)和(x2,y2)都在直线 y=x-1上, 若x1 ＜ x2 ,则y1 y23.某个一次函数y＝kx＋b的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号 .想一想：k、b的 符号分别与什么有关？
y
0
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教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（2）学习目标：1.通过画函数图象，感知一次函数与正比例函数图象之间的关系.2.能求出一次函数图象与坐标轴的交点，知道截距的概念.3.经历探究正比例函数与一次函数图象位置关系的过程，感受从特殊到一般的数学思想方法在研究数学问题中的重要作用.学习重点：通过画函数图象，了解一次函数的与正比例函数图象之间的联系.学习难点：用平移变换揭示正比例函数与一次函数图象之间的位置关系.☆ 自主学习 ☆一、链接：先填写下面的的表格，然后在给定的坐标系中画出正比例函数的图象x…-2-1012………二、导读:阅读课本，并完成以下问题：一次函数与正比例函数的解析式有什么关系 ( http: / / www.21cnjy.com )？取相同的自变量的值，相对应的两个函数值之间有什么关系？那么这两对对应值所对应的坐标系中的两个点的位置有什么关系？☆ 合作探究 ☆1.通过前面的学习，我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象又是什么呢？（1）画一画:先填写下面的表格，然后在上面的坐标系中画出一次函数+3的图象 . x…-2-1012…+3……(2)想一想:从两个表中可以看出，对于自变量x的同一个值，一次函数+3的函数值要比函数的函数值大 个单位，也就是说，对于相同的横坐标，一次函数+3的图象上点的纵坐标要比函数图象上点的纵坐标大 。因此，把直线y=2x向上平移 个单位，就得到一次函数+3的图象。由此可见，一次函数+3的图象是平行于直线y=2x的一条直线。（3）在前面所画的图象中，把直线向下平移3个单位，这时直线应是什么函数的图象？该函数的表达式是 .盘点：一般地，一次函数y=kx+b ( http: / / www.21cnjy.com )的图象是平行于直线 的一条直线，因此，我们以后把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。 直线y=kx+b与y轴相交于点（0， ），b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距。直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b＞0 时，向上平移；当b＜0时，向下平移. 即“上加下减”）.2.直线y=4x－2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 .总结：如何求一个函数的图象与两条坐标轴的交点坐标？ ☆ 归纳反思 ☆☆ 达标检测 ☆ 1.直线y＝－3x和y=－3x＋2、y=－3 ( http: / / www.21cnjy.com )x－3的位置关系是 ，直线y=－3x－3可以看作是直线y＝－3x向 平移 个单位得到的.2.将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线 ，函数y＝（k-2）x-4的图象平行于直线y＝-2x，则k= .3.直线y=－x－1与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ；4.在右边的坐标系中画出函数与的图象，说出他们的之间有怎样的位置关系？
y
x
y
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教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（1）学习目标：1.理解一次函数及正比例函数的概念及它们之间的关系。2.经历探究正比例函数图像特征的过程，学会用描点法探究函数图像的方法。3.知道正比例函数的图象是一条直线，能熟练画出正比例函数的图象。学习重点： 一次函数和正比例函数的概念以及正比例函数的图像特征。学习难点：理解正比例函数的图象特征.☆ 自主学习 ☆一、链接：1.王师傅到加油站加油，已知某种汽油4. ( http: / / www.21cnjy.com )50元/L,（1）应付费y(元)与加油x(L) 之间存在函数关系吗？如果存在，函数关系式是什么 （2）如果加油前汽车的油箱里还剩6L汽油，加油枪的流量为10L/min,你能说出油箱中的油量y(L)与加油时间x(min)之间的函数关系式吗 2.电信公司推出无线市话服务，收费标准为月 ( http: / / www.21cnjy.com )租费25元，本地网通话费为每分钟0.1元，你能说出每月应缴费用 y（元）与通话时间x(min)之间的函数关系式吗？（不足1min按1min计算)3.长方形的周长为10，两条边长分别为x，y，则y与x之间的函数关系式为 .4.某工厂现在年产值是50万元，计划今后每 ( http: / / www.21cnjy.com )年增加2万元，则年产值y（万元）与年数x的函数关系式为 . 思考：比较上面这四个函数关系式，看看它们有哪些共同特征？二、导读：阅读课本，并完成以下问题：1.想一想：为什么一次函数的解析式和正比例函数的解析式中都必须有“k≠0”这个条件？2.前面画过函数y = 2 ( http: / / www.21cnjy.com )x、y =-2x及另外一些正比例函数的图象，知道正比例函数y = kx（k≠0, k、 b为常数）的图象是一条直线。通常我们把正比例函数y=kx（k≠0， k、 b为常数）的图象叫做直线y =kx .因为 点确定一条直线，所以画正比例函数图象，只要先描出两点，再过这两点画直线就可以了.合作探究 ☆1. (1)若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是 .(2)当m= 时，函数y=3x2m-1 +3是一次函数.(3)关于x的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m的值应为 .2.已知y与x成正比例，当x=2时，y=-8 ① 写出y与x之间的函数关系式；② y与x之间是什么函数关系；③在坐标系内画出求出的函数的图象；④求x=2.5时，y的值.（提示：若y与x成正比例，可设y=kx）☆ 归纳反思 ☆对照学习目标谈谈这节课你们有什么收获，还有什么疑惑？☆ 达标检测 ☆ 1.函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=；⑤y=+1；⑥y=0.5x中，属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号）.2. 已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m 时， y是x的一次函数？当m 时，y是x的正比例函数？3.在同一坐标系中画出函数y =x和y=-x的图象。观察一下，回答下列问题：（1）这两条直线分别经过哪几个象限？（2）这两个函数y随x的增大而怎样的变化？（3）这两条直线关于x轴对称吗？（4）这两条直线关于y轴对称吗？4.已知y与2x+1成正比例，且x=-1时，y=2，求y与x的函数解析式。观察y是x的什么函数？
函数y=kx+b(k，b都是常数，且 )叫做 . 当 时，函数y=kx(k是常数，k )叫做 ，常数k叫做 .
函
数
一次
日 函数
正比例
函数八年级数学（上）导学案
教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（8）学习目标：1.能够用一次函数解决简单的实际问题。2.进一步巩固一次函数与一次方程（不等式）的关系。3.体验数形结合的数学思想，感悟数学辩证思维。学习重点：用一次函数解决简单的实际问题。学习难点：把有关的实际问题转化成数学上的一次函数问题。☆ 自主学习 ☆一、链接：1.如何求一次函数关系式？2.一次函数与一次方程有怎样的关系？3. 一次函数与一次不等式有怎样的关系？二、导读：阅读课本（p43，例6某单位有职工几十人…）并完成以下问题：1.解法一中两直线的交点表示什么代数意义？（该点对两个函数而言，自变量相同时， 也相同.）又表 ( http: / / www.21cnjy.com )示什么实际意义呢？（该点对两个旅行社来说，人数相同时， 也相同）那交点的左边和右边又分别表示什么代数意义和实际意义呢？ .2.解法二中直线与x轴交点以及在x轴上方或下方分别有什么代数意义和实际意义？☆ 合作探究 ☆1.如右图（1）当x=20人时，Y甲 Y乙 2000元；（填等号或不等号）（2）当x＜20人时， ＜ ＜2000元；（3）当x＞20人时， ＞ ＞2000元.2.某移动通讯公司开设两种业务业务类别月租费市内通话费说明全球通50元0.4元／跳次１分钟为１跳次，不足１分钟按１跳次算，如3.2分钟按4跳次算神州行0元0.6元／跳次 若某人一个月内市话通话x跳次，两种方式的费用分别为元和元（1）写出、与x的函数关系式（2）一个月内市通话多少跳次时，两种方式的费用相同？（3）某人估计一个月内通话300跳次，应选择哪种方式合算？☆ 归纳反思 ☆☆ 达标检测 ☆ 1.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图. 根据图象解决下列问题：(1) 谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？(2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度；(3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不 ( http: / / www.21cnjy.com )包括起点和终点)？在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面.2.一家电信公司给顾客提供两种上网收 ( http: / / www.21cnjy.com )费方式：方式A以每分钟0．10元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算。如何选择收费方式能使上网者更合算？八年级数学（上）导学案
教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（4）学习目标：1.能根据已知条件，用待定系数法求一次函数的关系式。2.通过学习待定系数法求函数的关系式的方法，体验待定系数法在求函数关系式中的作用。学习重点：用待定系数法求函数的关系式。学习难点：根据具体的条件设函数关系式。☆ 自主学习 ☆一、链接：1.你在作函数，y=3x－1的图象时，分别描出哪几个点？为什么？2.我们知道对于一次函数y=kx+b，不同的一次函数体现在什么的不同？由此你能不能想出确定一次函数的解析式y=kx+b只要确定什么就行了？二、导读：阅读课本，并完成以下问题：求下图中直线的函数表达式 分析：（1）图1是 函数的图象，图2是 函数的图象。（2）图1中的直线除经过原点外，还经过另一点的坐标是 ，图2中的直线经过的两点的坐标是 。你能试着求出图1和图2中两条直线的表达式吗？ 像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。☆ 合作探究 ☆1．已知一个一次函数，当自变量x=3时，函数值y =5；当x=－4时，y=－9，求这个一次函数的解析式，并求出当函数值y=9时自变量x的值。 解：设所求函数的关系式是y＝kx＋b，根据题意，得 解得： k= b= ∴ 所求函数的关系式是 当y=9时，x= 盘点：待定系数法是建立方程或方程组的模型来求解函数关系式的数学方法。用待定系数法求一次函数解析式的基本步骤（1）、设解析式y＝kx＋b；（2）、把两对已知的自变量与函数值（或者函数图象上的两个点的坐标）代入解析式；（3）、解关于k、b的方程组，求出k、b的值；（4）、写出一次函数的解析式。2．小明根据某个一次函数关系式填写了下表:x-2-101y310其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由☆ 归纳反思 ☆对照学习目标谈谈这节课你们有什么收获，还有什么疑惑？☆ 达标检测 ☆ 1．函数y=kx-2（k≠ ( http: / / www.21cnjy.com )O，k为常数）中，当x=2时，y=－6，则k= ， 函数关系式为y= ，当x=-3时，y= ，当y=12时， x= .2．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，－1)，则该函数图象必经过点（ ） A （－1，1） B (2，2 ) C （－2，2） D (2，一2) 3．已知弹簧的长度 y（ ( http: / / www.21cnjy.com )厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．4．如图是一电热淋浴器水箱的水量y（升）与供水时间x（分）的函数关系．(1)求y与x的函数关系式； (2)在(1)的条件下，求在30分钟时水箱有多少升水？八年级数学（上）导学案
教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏） 课题：12.2 一次函数（7）学习目标：1.理解一次函数与一次不等式的关系。2.能借助一次函数的图象解决实际问题中有关一次不等式的问题。学习重点：一次函数与一次不等式内在联系的认识。学习难点：一次函数与一次不等式内在联系的理解.☆ 自主学习 ☆一、链接： 解下列方程或不等式（1）-2x+4=0 （2）-2x +4 > 0 （3）-2x+4< 0二、导读：阅读课本，并完成以下问题：已知，函数y = -2x +4的图象如图所示(1)当自变量x为何值时函数y = -2x +4 的值等于0.(2)当自变量x为何值时函数y =-2x +4 的值大于0.(3)当自变量x为何值时函数y = -2x +4 的值小于0.☆ 合作探究 ☆1.想一想：观察上面知识自主学习部分的内容，说说解方程或不等式与一次函数的图象之间有什么联系？ (1)从数上看：方程- ( http: / / www.21cnjy.com )2x+4=0的解是函数y = -2x +4的值等于 时对应自变量的值；不等式-2x +4 > 0的解集是函数y = -2x +4的值大于 时对应的自变量的取值范围；不等式-2x+4 < 0的解集是函数y = -2x +4的值小于 时对应的自变量的取值范围。(2)从形上看：直线y = -2x +4与 轴交点的横坐标即为方程-2x+4=0的解；直线y = -2x +4位于x轴 方部分相应x的取值范围即为-2x +4 > 0的解集；直线y = -2x +4位于x轴 方部分相应x的取值范围即为-2x +4 < 0的解集。由于任何一元一次不等式都可转化为kx+b> ( http: / / www.21cnjy.com )0（或kx+b< 0）的形式，所以，解一元一次不等式kx+b>0（或kx+b< 0），就是求使一次函数y=kx+b取 （或 ）时x的取值范围。从图象上看，kx+b>0的解 ( http: / / www.21cnjy.com )集是使直线y=kx+b位于x轴 方部分相应x的取值范围，kx+b<0的解集是使直线y=kx+b位于x轴 方部分相应x的取值范围。2.已知一次函数 y = 2x+1，根据它的图象回答： x取什么值时，(1)函数值 y 为1 (2)函数值 y 大于1 (3)函数值 y 小于1 3.（本题是上一节课合作探究第3题）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，已画出函数y1=6x-3与y2=x+2在同一坐标系中的图象，根据图象可以看出两条直线的交点坐标是（ ， ），根据它的图象回答： x取什么值时，（1）y1= y2？ （2）y1> y2？ （3）y10 (3) y < 03. 已知一次函数y=(3m-8)x+1-m的图象与x轴的负半轴相交,y随x的增大而减小,且m为整数.(1)求m的值.(2)结合图象回答,当x取何值时0x
y= -x+3
O
3
x
-2
y=3x+6226
O
y
y
