3.2.1函数单调性与最大（小）值 教学设计（表格式）

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教材：高中数学（新版人教A版）必修一
课题：函数的最大（小）值
年级：高一
姓名：
课题：函数的最大（小）值
【授课时间】45分钟
【授课地点】
【授课教师】
【授课内容】函数的最大（小）值
【教材分析】
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第一册》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》第二节内容，紧承上一节函数的单调性内容。函数的单调性与函数的最大（小）值联系紧密——明确函数在闭区间上的增减情况便于理解函数最大值定义中的“任意性”和确定函数的最大（小）值。在理解函数最大（小）值意义的过程中，可以加深对函数的单调性和函数的最大（小）值性质区别的理解——函数的单调性是函数在定义域子区间上的局部性质，最大（小）值是函数在整个定义域上的整体性质，进而可以更好地理解函数的最大（小）值刻画了函数值变化的极端情况，体现了函数值变化过程中的不变性。函数的值域、恒成立、能成立问题等与函数的最大（小）值关系密切；在现实世界中，寻找最佳时机、最优方案、最小代价等常见问题的变化规律，也可用函数的最大（小）值作为刻画工具。因此，函数的最大（小）值在数学内外都有重要的应用。
在将自然语言（如“其它点位都比该处点位低”）转化为图像语言（图像的最高（低）点）并进而转化为符号语言（均满足且满足）的过程中，体现了由具体到抽象、由形象直观到定性刻画再到抽象语言刻画的一般认识过程，培养了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模素养。 在利用函数定义、单调性及二次函数图像对称性求最大（小）值的过程中，培养了学生的数学运算素养。
【教学目标与核心素养】
课程目标 学科素养
1.函数最大（小）值的概念；? 2.函数最大（小）值概念的理解； 3.利用定义、单调性及二次函数图像对称性求函数最大（小）值。 1.数学抽象：函数最大（小）值的概念； 2.逻辑推理：利用定义、单调性及二次函数图像对称性求函数最大（小）值； 3.数学运算：利用定义、单调性及二次函数图像对称性求函数最大（小）值。
【教学重点】 函数最大（小）值的概念及其理解。
【教学难点】 函数最大（小）值定义的数学符号表达。
【授课类型】 新授课
【授课方法】 （1）问答引导；
（2）自主探究；
（3）交流合作。
【教学过程】
方法过程 知识与能力 设计意图
复习 引入 设置情境，引出主题： 师：（1）“不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”（北宋王安石的《登飞来峰》）喻指认识达到了一定的高度，就能透过现象看到本质，观赏到绝顶风光。假如你是王安石，请问你如何运用自己所学的数学知识断定自己“身在最高层”？ 生：在老师引导下观察发现“其它点位都比我所处的点位低”的结论，并尝试用数学语言来表达这个结论：可以将图中水平位移抽象为自变量，将山顶的海拔高度抽象为函数值，将山的最高处的海拔高度抽象为函数的最大值，将山的最高处抽象为函数图像的最高点，将山顶的轮廓抽象为函数的图像，引导学生自主建模。板书标题，引出主题。 使学生迅速进入兴奋状态，激发学习热情，把求知当作自我需要，顺利完成教学任务。
探究 与 思考 探究1（函数最大（小）值的概念）： 师：（2）请举例说明如何判断函数的最大（小）值。 生：在老师引导下判断函数的最大值为2并寻找依据。 从图像上看，是开口向下的二次函数，顶点坐标为（0,2），即在对称轴处取得最大值2（可以取得2）； 从解析式上看，恒小于2，则最大值为2（不会超过2）。 师：（3）你能否发现函数的最大（小）值与上节课学习的函数单调性的联系？ 生：在老师引导下自主探究、讨论交流，从图像观察的角度得出、验证、完善结论，形成规律认知（图像语言和数学语言表达），为课堂例题求解、基本技能生成预作准备。 师：（4）你能否用符号语言刻画函数的最大值？ 生：在老师引导下借助特例（2）的一般推广，通过独立思考、小组讨论、全班交流，给出函数的定义域I和函数最大值应该满足的两个条件： 不小于所有函数值。 存在函数值等于它（即至少存在一个对应的函数值等于它）。 在老师启发下借助符号语言转化条件为： 均满足。 满足。 师：（5）（4）中归纳的函数最大值应该满足的两个条件是必不可少的吗？条件能否写成？请举例说明。 生：在老师引导下通过独立思考、小组讨论、全班交流，深化理解： 但不能保证一定存在满足，即未必是函数的最大值。 在老师启发下举例说明： 全班所有同学的体重都小于300斤，符合条件（1），但300显然不是体重的最大值，因为全班没有一个同学的体重达到300斤。 函数，满足，但10不是函数的最大值，因为不存在满足。 师：（6）你能参照函数最大值的定义给出函数最小值的定义并用符号语言刻画吗？ 生：在老师引导下通过独立思考、小组讨论、全班交流，利用类比的方法获得最小值的定义及其数学语言表达。 探究2（函数最大（小）值概念的理解）： 师：（7）每个函数都有最大值、最小值吗？ 生：在老师引导下通过独立思考、小组讨论、全班交流，得出正确结论，举例说明： 函数 无最大值，有最小值 函数 无最小值，有最大值 函数 有最小值，有最大值 函数 无最大值，无最小值 师：（8）函数的值域与函数的最值有什么关系？ 生：函数值域一定存在。函数最值不一定存在，如果存在，则最大值是值域区间的右端点，最小值是值域区间的左端点。例如： 函数 最小值是值域区间的左端点 函数 最大值是值域区间的右端点 函数 最值对应值域区间端点 师：（9）函数如果有最大值，会有几个最大值？最大值点呢？ 生：在老师引导下通过独立思考、小组讨论、全班交流，得出正确结论。最大值是整体概念，存在必唯一。但最大值对应的自变量即最大值点未必唯一，例如： 函数 有一个最大值点 （当时，函数取得最大值27） 函数 有两个最大值点 （当时，函数取得最大值9） 以时间为自变量、以整点为函数值的周期函数，有无数个最大值点。 师：（10）你能参照函数最大值对应最大值点个数的情况，举例说明函数最小值对应最小值点个数的情况吗？ 生：在老师引导下通过类比思考、自主探究、讨论交流，得出正确结论。 利用问题引导学生完成知识探究并实现进一步的讨论，提高了学生之间的合作交流、语言表达能力，为提高学生解决问题的能力奠定基础。
例题精讲 利用定义、单调性求函数最大（小）值 例1.（课本例题）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一 . 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）？ 生：在老师引导下独立思考“爆裂的最佳时刻”的含义，建立实际意义与函数最大值的联系，注意实际问题背景下定义域的实际意义，利用函数图像得到函数的最大值，明确解题思路，尝试解答。 师：对学生分析与解答情况进行点评，给出解答示范。 解法一（图像法）：函数的图像为开口向下的抛物线，在对称轴左边区间单调递增，在右边区间单调递减，在对称轴处取得最大值。 解法二（代数法）：函数图像的顶点坐标为，开口向下，在时（图像顶点处）取得最大值 师生合作，培养学生逻辑推理与数学运算素养。
练习 与 收获 例2.已知函数，求函数的最大值和最小值。 生：在老师引导下分析解题思路，利用定义法证明单调性（熟悉判定函数单调性的四个基本步骤）并完成解答。 解：设，则 的最大值为，最小值为。 师：结合图像，回顾问题（3），启发学生理解函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值与单调性的关系 生：在老师引导下利用函数单调性实现函数自变量在局部范围内取值的“任意性”（替代了逐个比较函数值的过程），进而说明函数最值定义中自变量取值的“任意性”，体会分类讨论、数形结合思想的应用。 在例1的基础上，渗透分类讨论思想，提升学生解题能力，激发学习兴趣。
课件备用 例3.要用总长112m的材料围一个矩形鱼池，每组对边两侧须延伸出长分别为4 m、3 m的围栏，要想使所围面积最大，鱼池的长应为多少米？所围最大面积为多少平方米？ 解：设所围最大面积为，对应矩形鱼池长为，根据题意，有 答：矩形鱼池长为21米时，所围面积最大，最大面积为441。 理论联系实际，解决实际问题。学生接受能力好的话就用，在课件上设置超链接。
课堂小结 知识层面：函数最大（小）值的概念，函数最大（小）值概念的理解，利用定义、单调性、二次函数图像对称性求函数最大（小）值。 思想方法层面：理解函数最大（小）值概念的过程体现了从特殊到一般、从具体到抽象的思想，应用了归纳、类比等方法。 利用函数单调性实现函数自变量取值“任意性”的过程体现了数形结合、分类讨论的思想。 让学生知道今天学习了什么。
作业布置 必做题：课后练习题第一、二题。 选做题：求函数在区间上的最大值。 作业分层布置，达到复习巩固的作用。
板书设计 3.2.1函数最大（小）值课件内容例题讲解1.函数最大（小）值的概念； 2.函数最大（小）值概念的理解； 3.利用定义、单调性求函数最大（小）值。例1.…… 例2.…… 例3.……
经验与 交流 借助多媒体教学，激发学生学习兴趣，培养学生数形结合、分类讨论的思想，培养学生发现、分析、归纳问题的能力，在选择例题和练习方面达到讲练结合的目的，既体现了知识的应用，也培养了学生的动手能力。
反思 与 创新 上课过程中，能注意到激发学生的兴趣，通过自主、探究、合作等学习方式提高主动学习的效果。但在时间把控上还有待进一步改进，例题设置上还比较简单比较少，需要学生在课后加强练习巩固。