2023年人教A版（2019）高二下期数学 期末考试卷（含解析）

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2023年高二下期期末考试卷
范围：必修1 必修2
一、单选题
1．已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
2．已知，则（ ）.
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】，所以，
故选：B
3．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
4．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，而，则，即，
所以.
5．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】“充分不必要条件”的定义是由结论可以推导出条件，但由条件不能推导出结论，
其中“，”为真命题是结论，可以推出 ， ，
其中 是条件，由 不能推出“，”为真命题，
对于A，B选项，可以推出“，”为真命题，是充分条件；
对于C选项，是既不充分也不必有的条件；
故选：D.
6．已知平面向量、、满足，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】因为平面向量、、满足，，，
则，
所以，
，
即，即，
即，
令，则，
上述两个等式相加可得，
则.
故选：A.
7．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，可得，
可得，
通分得，
整理得，所以，
因为为三角形的最大角，所以，
又由余弦定理
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
又由，所以的取值范围是.
故选：C.
8．函数的所有零点之和为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【详解】令，得，解得或，即为零点，
令，，
的周期，对称轴，且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
，，在(4,5)上两函数必存在一个交点，
在上有两个零点，同理在上存在两个零点，
所以在上存在6个零点，
因为和关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
故选：C
二、多选题
9．已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若是异面直线，，则.
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且 ，
同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是相交的，n与也是相交的，
即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确；
设，并且，则有，显然是相交的，错误；
对于B，若，则不成立，错误；
对于C，若，则平面上必然存在一条直线l与n平行，，即，正确；
对于D，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又，正确；
故选:ACD.
10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则
【答案】BD【详解】设，则，
对于A ，，故A不正确；
对于B ，c最大，所以C最大，，故B正确；
对于C，若，则，，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若正弦定理，
的周长，，所以内切圆半径为，
所以.故D正确.
故选：BD
11．如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为棱BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线EF到平面的距离为2
B．直线AE与直线的夹角的余弦值为
C．点C与点G到平面AEF的距离之比为
D．平面AEF截正方体所得截面面积为
【答案】ACD【详解】对于A项，∵平面∥平面，平面，
∴直线EF到平面的距离即平面与平面的距离，由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确；
对于B项，如图，取的中点M，连接，易证 ∥，
∴是直线AE与直线的夹角，
∵，，∴，故B错误；

对于C项，记点C与点G到平面AEF的距离分别为、，
∵，，∴，
即点C与点G到平面AEF的距离之比为，故C正确；
对于D项，连接、，易证∥，即A、、F、E四点共面，
∴平面AEF截正方体所得截面为梯形，
如图作，垂足为N，

∵，，，∴，，故D正确．
故选：ACD．
12．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【详解】因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．______．
【答案】
【详解】.
故答案为：
14．已知，则_____．
【答案】
【详解】
又，则
故答案为：
15．若两个锐角，满足，则______.
【答案】【详解】因为，
所以
所以，
因为，为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为，为锐角，所以有，即，
所以
故答案为：
16．设函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】①当时，，
在单调递增，在单调递增，在单调递减，
此时不满足方程有三个不同的实数根；
②当时，，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，
，
即，
解得：；
③当时，，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，
，
即，
解得：，
由①②③可知：；
实数的取值范围为，
故答案为：
四、解答题
17．已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
(2)若图象相邻两个对称中心之间的距离大于，且，求在上的值域．
【答案】(1)对称轴方程，最近的对称轴方程为(2)
【详解】（1）由，得，所以，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为，
取，得，取，得，
因为，所以与轴距离最近的对称轴方程为．
（2）设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于，
所以，即，由，，解得．
又且，所以．
所以．
因为，所以，
所以，即在上的值域为．
18．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值和第60百分位数；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【答案】(1)，85(2)10人(3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析
【详解】（1）由图可知：，
解得.
因为，内的频率为，内的频率为，
所以，第60百分位数位于区间内，设为，
则，
所以，第60百分位数为85.
（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：（人）.
（3）由图可知，认可程度平均分为：
，
所以，“美食”工作需要进一步整改.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．

(1)若为线段上动点，证明：；
(2)求点与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
连接，．
∵为等边三角形，，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
，，，
又，平面，平面，，
平面
又平面，
（2）由（1）知平面
平面，∴．
由题意，
∴，，
∴中，，
∴中，，
∴中，由余弦定理得，
设点到平面的距离为，
则即，
，
得，
故点与平面的距离为
20．如图，在中，，M，N分别为的中点．
(1)若，求．
(2)若，求的大小．
【答案】(1)12(2)
【详解】（1）由得，为直角三角形，
又因为M，N分别为的中点，
所以
所以
所以
因为，
所以
所以，
所以.
（2）由(1)知，,所以,
同理,,
所以,
所以,所以,
所以.
21．在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【答案】(1)(2).
【详解】（1）由余弦定理得，即，
由正弦定理得
，
，即，.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.
中线长的取值范围是.
22．已知函数（a＞0或a≠1）为偶函数，函数（m∈R）．
(1)求a的值；
(2)若对任意，总存在，使得方程成立，求m的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）函数的定义域为R，依题意，对，恒有成立，
即，，
因此，解得，
所以.
（2）由（1）知，，令，
当时，，对勾函数在上单调递增，因此，即函数在上的值域，
当时，，对勾函数在上单调递增，则有，
，
令，当时，函数在上单调递增，
，即，因此函数在上的值域，
因为对任意，总存在，使得方程成立，则有，
于是，解得；
当时，，则函数在上的值域不可能包含于，此时无解；
当时，函数在上单调递减，，
函数在上的值域不可能包含于，此时无解，
综上得：，
所以m的取值范围是.
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