数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.1二项分布 课件（共27张ppt）

(共27张PPT)
7.4.1 二项分布
第七章 随机变量及其分布
离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
方差的性质：
则称
为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
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本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.
(1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时);
(3) P(AB) = P(A)·P(B|A)
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去求概率简便.
那么求概率还有什么模型呢？
(2) P(B|A) = ;
特别地： 当A与B相互独立时，P(AB) = P(A)·P(B)
新知探究
问题1 下列一次随机试验的共同点是什么？
试验 出现的结果 共同点
1、掷一枚硬币
2、检验一件产品
3、飞碟射击
4、医学检验
正面朝上；反面朝上
合格；不合格
中靶；脱靶
阴性；阳性
只包含两个结果
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
概念生成
伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.
（还记得我们之前的0-1分布吗？）
概念生成
n重伯努利试验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；
(2)每次试验是在同样条件下进行的；
(3)各次试验中的事件是相互独立的；
(4)每次试验，某事件发生的概率是相同的。
“重复”意味着各次试验的概率相同
典例解析
问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
随机试验 伯努利试验 事件A P(A) 重复试验的次数n 各次试验是否独立 关注的随机变量X
(1)
(2)
(3)
掷硬币
正面朝上
0.5
10
是
正面朝上的次数
射击
中靶
0.8
3
是
中靶的次数
有放回抽产品
抽到次品
0.05
20
是
抽到次品的件数
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X. 进一步地求它的概率分布列.
新知探究
问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，
用下图的树状图表示试验的可能结果：
试验结果
X的值
3次独立重复试验的结果两两互斥，每个结果都是由3个相互独立事件的积.
则X的概率分布列为:
P(X=0)
你能求出剩下的概率吗？
新知探究
问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，
则X的概率分布列为:
P(X=0)
P(X=1)
P(X=2)
P(X=3)= P(A1A2A3)
= 3×0.8×0.22
= 3×0.82×0.2
= 0.83
于是,中靶次数X的分布列可简写为:
P(X=k) =×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3).
问题4 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些 写出中靶次数X的分布列.
新知探究
（1）连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有
共6个.
(2)中靶次数X的分布列为
P(X=k)=×0.8k×0.24-k,
(k=0, 1, 2, 3, 4).
中靶次数X的分布列可简写为：
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0二项分布
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p).
概念生成
概念辨析
问题5 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗
如果把p看成b ，1-p看成a ，则 就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.
服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率 正好是二项式定理 展开式的第k＋1项，故有
追问 二项分布和两点分布有什么联系？
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
概念辨析
二项分布的分布列如下表
当n=1时，可以得到两点分布的分布列如右表：
典例解析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5).
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互独立；
(3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.
典例解析
问题6 如何判断一个随机变量X是否服从二项分布？
巩固练习
解：
课本77页
3. 判断下列表述正确与否，并说明理由:
(1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)；
(2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1).
每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(3, 0.6).
(1) 正确. 理由如下：
每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.
(2) 错误. 理由如下：
例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, , 10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5.
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5).
X的概率分布图如右图所示：
于是，X的分布列为
典例解析
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
典例解析
解2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率
采用3局2胜制赛满3局时, 若前2局获胜, 那第3局的胜负并不影响甲获胜; 同样, 采用5局3胜制赛满5局, 若前3局获胜, 那后2局的胜负并不影响甲获胜, 若前4局胜3局, 那第5局的胜负也不影响甲获胜.
典例解析
方法归纳
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
(2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
巩固练习
课本77页
解：
2. 鸡接种一种疫苗后, 有80%不会感染某种病毒. 如果5只鸡接种了疫苗, 求:
(1) 没有鸡感染病毒的概率；
(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
新知探究：二项分布的均值与方差
问题7 假设随机变量X服从二项分布B(n, p), 那么X的均值和方差各是什么
对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布外，我们还关心它的均值和方差等数字特征.
因此, 一个服从二项分布的随机变量，其方差和均值也是我们关心的.
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.
根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想E(X)＝np.
新知探究：二项分布的均值与方差
从简单开始, 先考察n较小的情况.
服从二项分布的随机变量X, 我们猜想：E(X)＝np.
(1)当n＝1时, X服从两点分布,X分布列为 则有
E(X)＝ 0×(1－p)+ 1×p＝p
D(X)＝ 02×(1－p)+ 12×p－p2 ＝ p(1－p)
(2)当n＝2时, X分布列为
P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2 ＝2p
D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)
P(X＝0)＝1－p, P(X＝1)＝p,
由此可猜想, 若X~B(n, p), 则有
新知探究：二项分布的均值与方差
如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).
下面对均值进行证明.
证明：
巩固练习
课本77页
解：
1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
(1) 求X的分布列；
(2) E(X)＝_______，D(X)＝_________.
解：
5.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求:
(1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2) 其中恰有3次击中目标的概率；
(3) 其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
巩固练习
课堂小结
1. 二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p).
若X~B(n, p)，则有
2. 二项分布的均值与方差：