湘教版2022-2023学年度下学期八年级期末练习数学试4（含解析）

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湘教版2022-2023学年度下学期八年级期末练习数学试4
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．班级共有40名学生，在一次体育抽测中有4人不合格，那么不合格人数的频率为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．0.2 D．0.5
2．下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A．24 B．40 C．48 D．80
4．已知点到轴的距离为3，到轴距离为2，且在第二象限内，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
7．如图，动点在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点，第二次继续运动到点，第三次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过2023次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线．下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④对角线相等的菱形是正方形
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（ ）
A．4 B．5 C．5．5 D．6
二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
11．如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠且完全实现铺设的正多边形组合是（ ）
A．正三边形、正四边形 B．正四边形、正五边形
C．正五边形、正六边形 D．正五边形、正十边形
12．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系.已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论正确的是（　　）
A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元
三、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．在一次青年歌手大赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________．
14．已知一次函数的图象上有两点、，若，则________（填“>”“<”或“=”）．
15．将直线向上平移3个单位长度，得到直线___________．
16．如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______．
17．如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时，_______________．
18．在平面直角坐标系中，已知，，点C在第一象限内，是等腰直角三角形，则点C的坐标是___________．
四、解答题（本大题共8小题，共76分）
19．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，求证：．
20．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开讲，为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)频数分布直方图中__________；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有4500名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
21．如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若点D是的中点，求的长．
22．如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米．
(1)是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米．
23．为了对回收垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨．
(1)求1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（），B型机器人b台，则____（用含a的代数式表示）；
(3)机器人公司的报价如下表，在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，通过计算回答如何购买使得总费用w最少．
型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台
A型 20万元/台 原价购买 打九折
B型 12万元/台 原价购买 打八折
24．如图建立平面直角坐标系，长方形中，点，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点运动时间为秒．
(1)写出点的坐标（____________，____________），当时点坐标为（____________，____________）
(2)在点运动过程中，当点到轴的距离为个单位长度时，则点运动的时间为____________秒．
(3)若点出发秒时，点以每秒个单位长度的速度也沿着的路线运动到点停止，求为何值时点、在运动路线上相距的路程为个单位长度？并直接写出此时点的坐标．
25．如图所示，中，是中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．请从以下三个条件：①；②；③是的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形为矩形．

(1)你添加的条件是 ；（填序号）
(2)添加条件后，请证明四边形为矩形．
26．如图1，四边形为菱形，点为线段上的动点，，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求线段的长度；
(2)记点到轴的距离为，点到轴的距离为，令，求的最大值；
(3)如图2，当点在第一象限内运动时，将线段绕着点逆时针旋转得到等边．
①在（2）的条件下计算时，线段的长度；
②如图3，连接，判断的面积是否为定值；若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．
参考答案：
1．【分析】根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可．
解：∵班级共有40名学生，在一次体育抽测中有4人不合格，
∴不合格人数的频率是，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了频率与概率，解题的关键是明确频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．
2．【分析】根据正比例函数的定义进行逐一判断即可
解：A、是正比例函数，符合题意；
B、不是正比例函数，不符合题意；
C、不是正比例函数，不符合题意；
D、不是正比例函数，不符合题意；
故选A．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例函数．
3．【分析】由图2知，，当时，的值最小，即中，边上的高为8（即此时），据此求解即可．
解：由图2知，，当时，的值最小，即中，边上的高为8（即此时），
当时，，同理可得，
∴，
∴，
故选C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
4．【分析】根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点到轴距离为横坐标的绝对值结合第二象限内点的符号特点进行求解即可．
解：∵点到轴的距离为3，到轴距离为2，
∴点M的横坐标的绝对值为2，纵坐标的绝对值为3，
∵点M在第二象限内，
∴点M的横坐标的为，纵坐标的为3，
∴点M的坐标为，
故选B．
【点评】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标符号特点，熟知点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点到轴距离为横坐标的绝对值是解题的关键．
5．【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理解得，最后由中位线的性质解答即可．
解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即，
，
，分别为，的中点，
，
故选：A．
【点评】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理，中位线的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
6．【分析】过点作于点，由角平分线的定义可得，在中，可得，即可得出答案．
解：过点作于点，
由题意得，为的平分线，
，
在中，，，
，
即点到的距离为5．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图、角平分线的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的定义以及作图步骤是解答本题的关键．
7．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
观察发现：
第二次运动到点；
第四次运动到点；
第六次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
所以经过次运动后，动点的坐标是，
故选：B．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到每个对应点的坐标．
8．【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
9．【分析】直接利用矩形、菱形、平行四边形、以及正方形的判定方法分别分析进而得出答案即可．
解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故①正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故②错误；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③正确；
④对角线相等的菱形是正方形，故④正确，
综上所述正确的有①③④，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．
10．【分析】由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
解： 在中，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴点F为的中点，
∴，
故选B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确求出是解题的关键．
11．【分析】两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于360°，并以此为依据进行求解．
A.因为正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，3×60°+2×90°＝360°，所以能铺满，故A符合题意；
B.正四边形每个内角90°，正五边形每个内角108°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，故B不符合题意；
C.正五边形每个内角108°，正六边形每个内角120°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，故C不符合题意；
D.正五边形每个内角108°，正十边形每个内角144°，显然不能组合成360°，2×108°+144°=360°，所以能铺满，故D符合题意．
故选：AD．
【点评】本题考查了平面镶嵌问题，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
12．【分析】由图①的信息可判断 再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时， 可判断再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断
解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故符合题意；
设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为：
解得：
当时，
所以第10天销售一件产品的利润是15元，故符合题意；
当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为：
解得：
当时，
所以第12天的日销售利润为：元，
第30天的日销售利润为：元，而，故不符合题意；
由第30天的日销售利润为：元，故符合题意，
故选：
【点评】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息，理解图象上点的坐标含义是解题的关键.
13．【分析】根据平均数的计算公式求解即可．
解：根据题意去掉最高分9.9，去掉最低分9.0，
平均数为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求平均数，熟知平均数的计算公式是解题的关键．
14．>
【分析】根据一次函数的性质即可求解．
∵一次函数，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：>．
【点评】本题考查一次函数的性质，根据k的值判断一次函数的增减性是解题的关键．
15．【分析】根据“上加下减”原则即可得到答案．
解：由“上加下减”的原则可知，将直线上平移3个单位长度后所得直线的解析式为：，即，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象的平移，解题关键是熟记直线解析式平移的规律：上加下减，左加右减．
16．【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可．
解：如图，过作于，于，则四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，解得，（舍去），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．【分析】分当时，当时，两种情况讨论求解即可．
解：当时，满足为直角三角形；
当时，∵，
∴；
综上所述，的度数为或
故答案为：或
【点评】题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
18．【分析】分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，进行求解即可．
解：当时，过点作直线轴，分别过点作，垂足为：，如图：
则：，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
即：；
当时，过点作直线轴，分别过点作，垂足为：，如图：
同法可证：，
∴，
设点的横坐标为：，
则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴点的纵坐标为：，
∴的坐标为：；
综上：点坐标为：或；
故答案为：或；
【点评】本题考查坐标和图形，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
19．【分析】证明即可得到答案．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的证明，灵活运用所学知识是解题关键．
20．【分析】（1）频数分布直方图中的人数是，所占百分比是，由此可求出总体人数，根据中位数的计算方法即可求解；
（2）已知总体人数，根据频数分布直方图中各组人数即可求出组人数；
（3）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解．
（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：（名），
∴组的人数为：（名），
∴．
故答案为：．
（2）解：组的人数为：（人）．
补全学生成绩额数分布直方图如下：
（3）解：（人）．
∴估计该校成绩优秀的学生有人．
【点评】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．
21．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）利用勾股定理计算解题．
（1）证明：，
；
（2）点是的中点
．
【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
22．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；
（2）在中根据勾股定理解答即可．
（1）解：是，说明如下：
∵在中，，
又，
是以为直角的直角三角形，
，
∵点到直线垂线段的长度最短，
是村庄C到河边的最近路．
（2）由题意，得：（千米）
在中，由勾股定理得：（千米），
比少千米．
【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
23．【分析】（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，然后根据2台A型机器人和5台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨列出方程组求解即可；
（2）根据这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨进行列式求解即可；
（3）分当时，，当时，，当时，，三种情况列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意得，
解得
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾吨和吨．
（2）解：由题意得，，
∴，
故答案为：；
（3）解：当时，，
∴，
∵
当时，w有最小值，；
当时，，
∴，
∵
当时，w有最小值，；
当时，，
∴，
∵，
当时，w有最小值，．
∵，
∴购买A型机器人35台，B型机器人30台时，总费用w最少．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键．
24．【分析】（1）根据长方形的性质，可得点坐标，根据速度乘以时间，可得点的横坐标，根据长方形的性质，可得点的纵坐标；
（2）根据题意可得的长，根据线段的和差，可得的长，利用时间等于路程除以速度，可得答案；
（3）根据、间的距离，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
（1）解：∵长方形中，点，
∴，，轴，轴，
∴，
∵点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
（2）当时，
∴；
当时，
，
∴．
故答案为：或．
（3）设运动了秒时点、在运动路线上相距的路程为个单位长度，
由（1）知：，，
当在前面时，，解得，
∴，
∴；
当在前面时，，解得，
∴，
∴，
∴；
当停止，到时，即，．
∴综上所述，当秒时，；当秒时，；当秒时，．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，利用了长方形的性质，路程、时间、速度的关系，利用两点间的距离得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
25．【分析】（1）根据已知可得四边形是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，①根据三线合一得出，能证明四边形是矩形；②只能证明四边形为平行四边形；③证明，可得，进而根据已知得出，不能证明四边形是矩形．
（1）解：添加的条件是①
故答案为：①．
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
①；
∵中，是中点，
∴
∴四边形是矩形；
②添加；四边形是平行四边形，不能证明四边形是矩形；
③是的中点
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴③不能证明四边形是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
26．【分析】（1）根据题意可知，在中，根据含角直角三角形的性质，勾股定理即可求解；
（2）根据题意，求出直线的解析式，并表示出点，，由此可用含的式子表示出，根据一次函数图像的性质即可求解；
（3）①在（2）的条件下根据计算出的值，可知的坐标，根据旋转，可得是等边三角形，求出点的坐标，由此即可求解；②根据的面积计算公式即可求解．
（1）解：根据题意，，点的坐标为，
∴在中，，
∴根据含角的直角三角形的性质，可知，设，则，
∴，即，解得，，
∵点在的负半轴上，
∴，即,
∴，
∴线段的长度为．
（2）解：根据（1）可知，菱形的边长为，，，
∴，
∴，，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴所在直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴，
∵，
∴，是的一次函数，且随着的增大而增大，
∴当时，的值最大，且最大值为．
（3）解：由题意得，点在第一象限运动，则，且，与交于点，
①，解得，，
∵，，
∴，且点，连接，
∴轴，，
∵，四边形是菱形，
∴，则，
∴,
∵根据旋转的性质，，
∴是等边三角形，，则，，
∴，
∴,
∵，
∴，即，且轴，轴，
∴点在同一条线直线上，且，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
②的面积为定值，，如图所示，连接，与交于点，
∵，四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵绕点旋转得，
∴是等边三角形，，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，且，
∴点的横坐标为，且，
∴，
∴的面积是定值，且为．
【点评】本题主要考查图形的变换，一次函数，旋转的综合，掌握菱形的性质，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像的性质计算最值，旋转的性质等知识是解题的关键．
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