11.2 实数
【教学目标】：
1．了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。
2．知道实数在数轴上的点一一对应.
3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算。
【重点】：无理数及实数的概念, 实数与数轴上的点一一对应
【难点】：有理数与无理数的区别, 学会两个实数的大小比较。
一、知识回顾：
1、填空：（有理数的两种分类）
有理数 有理数
2、有理数中的分数能化为小数吗？化为什么样的小数？举例加以说明
新知引入
知识点一：做一做：参照课本，或者自己用计算器求的值。
大家会发现，，由于计算器的位数限制，的结果还没有完全显示出来，的值是一个无限不循环的小数。在以前我们所学的数域中，已经解释不了了，
像这样,小数位数无限又不循环的一类数称之无理数。
请同学们动脑筋想一想，这样的数，你还能找出来吗？请相互之间举个例子，比一比！
概括:无理数：无限不循环的小数叫做无理数； 实数：有理数与无理数统称为实数。
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是____无理数，，，是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，
所以实数也可以这样分类：
注意： 无理数常见的三种形式
根号型，如；
（2）无限不循环型，如0.301 300 130 001…等
（3）圆周率等。
探究：请同学们自己讨论，下列说法对吗？
1. 无限小数是无理数；( ) 2. 带根号的数是无理数；( )
3. 无理数就是开方开不尽而产生的数；( )
4. 无理数包括正无理数、0、负无理数三类；( )
5．两个无理数的和、差、积、商仍为无理数；( )
6．一个无理数和一个人有理数的和、差、积、商仍为无理数；( )
7．无理数的个数少于有理数。
注意:(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
(2)无理数不一定都是用根号表示的数.如：π
（3)无理数有无数多个.无多少之分
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
例1、把下列各数分别填入相应的集合里：
正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
例2，判断题：
（1）任何实数的偶次幂是正实数。（ ）
（2）在实数范围内，若| x|=|y|则x=y。（ ）
（3）0是最小的实数。（ ）
（4）0是绝对值最小的实数。（ ）
知识点二：
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
概括 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
例如 的相反数是 -π的相反数是 0的相反数是
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取他们的近似值来进行
例1:试估计 与π的大小关系。
分析:用计算器求得
而
这样,容易判断
例2，计算：-（精确到0.01）
小结: 1.实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系。
2.对实数两种不同的分类。
3．对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，理解实数的运用。
三、小试牛刀
1、下列命题中，正确的是（ ）。
A、无理数包括正无理数、0和负无理数 B、无理数不是实数
C、无理数是带根号的数 D、无理数是无限不循环小数
2、代数式，，,,中一定是正数的有（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、下列关于的说法中，正确的是（ ）
A、 是有理数 B、 的立方根是2
C、是8的平方根 D、在数轴上找不到表示的点
4．设，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5、若x，y都是实数，且，则xy的值（ ）。
6、的相反数是_________。
7、绝对值小于π的整数有__________________________。
8、 若 ，则a______0。
9、点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
10、已知，则的值是_________。
11、计算
12、若a、b、c满足，求代数式的值。
13、已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
化简
实数11.1 平方根与立方根
1.平方根
【教学目标】：
了解一个数的平方根与算术平方根的意义。
会用根号表示一个数的平方根、算术平方根。
了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系
求某些非负数的算术平方根。
【重点】：平方根、算术平方根的概念和求法。
【难点】：有关平方根、算术平方根的运算的区别于联系。
知识回顾
活动一:复习平方数 = =
= = = =
探究交流：一对互为相反数的的数的平方有什么关系？
活动二：填底数
因为
因为 = =
探究交流：平方得25的数有几个？分别是什么？这两个数有什么关系 它们的和等于多少呢
二、引入新知如图所示, 面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？
根据正方形的面积公式，应该是边长2 = 25
由此我们得出, 其边长应该为
如果：面积为16，则边长应该为______；
面积为9，则边长为________；
面积为a，则边长又如何呢？可设边长为x，则得到：__________。
新知概念1：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根。
就是说, 当 x2=a (a≥0)时, 称x是a的平方根。而a称为x的平方数。
重点：怎么求一个数的平方根？
在上面的问题中,我们知道因为 =25,所以5是25的一个平方根.
探究交流:25的平方根只有一个吗 还有没有别的数的平方也等于25
因为（ ）2=25，所以 也是25的一个平方根
这就是说 和 都是25的平方根
探究交流:如何求一个数的平方根 求一个数的平方根的关键是什么呢
例如:求25的平方根的关键是: 等于25,这个数就是25的平方根.
例1、求下列各数的平方根:（试着考虑，每个数，有几个平方根？）
⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69
⑷ ⑸ （6）36
例2、（1）16的平方根是什么？（2）0的平方根是什么？
（3）的平方根是什么？（4）-4有没有平方根？为什么？
概括：⑴一个正数的平方根有（ ）,它们是互为（ ）
⑵ 0的平方根是（ ）, 就是它（ ）; ⑶（ ）没有平方根.
新知概念2：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： 读作根号a
它的另一个平方根记作： 读作负根号a
一个正数a的平方根表示为： 读作正负根号a
【小试牛刀】1：下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：
⑴ 16的平方根是 ±4; ( )
⑵ ±7是49的平方根 ; ( )
⑶ 112的平方根是11; ( )
⑷ -9是81的平方根; ( )
⑸ 52的平方根是±25; ( )
2、⑴ 25的算术平方根用符号表示为 =
⑵ 25的负平方根用符号表示为_______ =________
⑶ 25的平方根用符号表示为___ __ =________
4、填空 ①.如果一个正数有一个平方根是 5 ，那么另一个平方根是( )
则这个数的值是 ( )
②一个数的平方根等于它本身，这个数是( )
③若3a没有平方根，那么a一定是 数.（正、负）
④81的算术平方根是( )
⑤的算术平方根是( )
【学习总结】
1.平方根的概念:一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根
2.平方根的性质:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.
0的平方根还是0.负数没有平方根
3.平方根的表示法:
4.算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
【达标测试】 1、判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。若没有，说明为什么？（1） 0.81 （2） （3）（－2 ）2 （4）0 （5）－100 （6）10
2、（1）下列说法，①16的算术平方根是 ( http: / / www.21cnjy.com )4；②－36没有算术平方根；③一个数的算术平方根一定是正数；④a2的算术平方根是a，其中正确的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
（2）当0时，表示（ ）
A．的平方根 B．一个有理数 C．的算术平方根 D．一个正数
3、一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．
5．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
6．已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．-
7．的算术平方根是 ，的平方根是 .
8．若，则的平方根是 .
9.如果x的平方等于a，那么x就是a的 ，所以a的平方根是
10.非负数a的平方根表示为
11.因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是
12．的平方根是
13.非负的平方根叫 平方根
14.已知+（z-1）2，求＝________
15.化简：
16.求下列各式中的x的值
－25=0
17. 如果一个正数的平方根分别为a+2和2a - 11 ，求这个正数。
18.
19.若，求、的值
所以( )2=9
所以( )2=25
25cm2
注意：
0的算术平方根还是0
平方根
算术平方根
a(a≥0)
1211
8
非负数
3、填表
实际上是求9的算术平方根
算术第11章 数的开方 复习课
学习目标
1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）．
(A) 4是8的算术平方根 （B）16的平方根是4
(C) 是6的平方根 （D）-a 没有平方根
2．下列各式中错误的是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
3．若 x2=（-0.7）2，则 x =（ ）
(A) －0.7 (B) ±0.7 (C) 0.7 (D) 0.49
4． 的平方根是（ ）
（A）6 （B）±6 （C） （D）
5.下列语句正确的是（ ）
（A）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零；
（B）一个数的立方根不是正数就是负数；
（C）负数没有立方根；
（D）一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零。
6、下列说法中，正确的是： （ ）
（A）无限小数都是无理数 （B）带根号的数都是无理数
（C）循环小数是无理数 （D）无限不循环小数是无理数
7、 是无理数，则a是一个： （ ）
（A）非负实数 （B） 正实数 （C）非完全平方数 （D） 正有理数
8、下列说法中，错误的是： （ ）
（A） 是无限不循环小数 （B） 是无理数
（C） 是实数 （D） 等于1.414
9、与数轴上的点具有一一对应关系的是：（ ）
（A）无理数 （B）实数 （C）整数 （D）有理数
10、下列说法中，不正确的是： （ ）
（A）绝对值最小的实数是0 （B）平方最小的实数是0
（C）算术平方根最小的实数是0 （D）立方根最小的实数是0
二、填空题
和 统称为实数.
绝对值是 ,相反数是 ,倒数是 .
3.下列说法：（1）带根号的数是无理 ( http: / / www.21cnjy.com )数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）在实数范围内，一个数不是有理数，则一定是无理数，不是正数，则一定是负数。其中错误的有 ______个。
三、非负数性质的应用
1、若x、y都是实数，且 ，求x+3y的平方根
2、已知
3、
四、定义的应用
4、已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根
5、如果 是a+b+3的算术平方根， 是a+2b的立方根，求M－N的立方根。
五、数形结合的应用
6、 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
7、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
8、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
六．实数绝对值的应用
9．化简下列各式：
(1) |-1.4| (2) |π-3.14| (3) |-|
(4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+1|
七、实数应用题
10．有一个边长为11 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
八．引申提高
11．已知的整数部分为a，小数部分为b，求（a+b）（a-b）的值.
11.1 平方根与立方根
2.立方根
【教学目标】：
1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根；
2．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同。
【重点】：立方根的概念和求法。
【难点】：立方根与平方根的区别。
一、知识回顾
1.什么叫平方根？如何用符号表示数a (a≥0)的平方根 正数a的平方根是？
2.什么叫算术平方根？如何用符号表示数a(a≥0)的算术平方根 正数a的算术平方根是？
3.正数有几个平方根 它们之间的关系是什么 负数有没有平方根 0平方根是什么
探究：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少 （试着解答）
解:设这种包装箱的边长为x m,则
因为，所以
二、新知导入
1.立方根的概念：
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果，那么x叫做a的立方根.数a的立方根用符号“”表示,读作“三次根号a”，其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
例如： 表示27的立方根，
表示-27的立方根
想一想：如:33=27 则把3叫做27的立方根,即 ，
当，则x叫做什么呢？
2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是
因为 ，所以0.125的立方根
因为 ，所以0的立方根是
因为 ，所以-8的立方根是
因为 ，所以的立方根是
【总结归纳】 正数的立方根是____________,
负数的立方根______________,0的立方根______________,
任何数都有_________立方根.
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
①正数的平方根有 个，且 。正数的立方根有 个，是 数。
②负数 平方根，负数的立方根有 个，是 数
③0的平方根是 ，0的立方根是
想一想：立方根是它本身的数有哪些
平方根是它本身的数呢
算术平方根是它本身的数呢
怎样求一个数的立方根？
例1、求下列各数的立方根。
（1）8 （2）0.001 (3)-27 （4）0
例2 求下列各式的值：
三、知识总结
①因为= ，-= 所以 -
因为= ，= 所以
仔细观察，你能得出什么结论：_______ __
即求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。
②求下列各数的值，并找规律
结论：对于任何数a都有
③
结论：对于任何数a都有
总结
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。a的平方根用±表示 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。a的立方根用表示
2、平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数 （2）0的平方根还是0（3）负数没有平方根 2、立方根的性质 （1）正数的立方根还是正数 （2）0的立方根还是0 （3）负数的立方根还是负数
3、 平方根表示方法在用根号表示平方根时，根指数2可以省略， 3、 立方根表示方法用根号表示立方根时，根指数3不能省略
达标测试
1．若（ ）
A．－ B． C． D．－
2．的平方根与－8的立方根之和是（ ）
A．0 B．－4 C．0或－4 D．4
3．如果，那么a是（ ）
A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对
4．的立方根是 平方根是_______。
5、若，则x=
6、立方根等于自己本身的数有_________
7．若，且，则、的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
8．的立方根与的平方根之和是（ ）．
A．0 B．6 C．－12或6 D．0或－6
9、若，则x= ；若，则n= ；
10、若，则x= ；若，则x ；
11、当x 时，有意义；当x 时，有意义；
12、若，则x+y= ；
13、计算：= ；
14、求下列各数的立方根
⑴， ⑵， ⑶
15、求下列各式中的的值
⑴， ⑵， ⑶
16、计算题
(1)、 (2)、
17、若互为相反数，求的值
18、已知，求a的值
( )3=0.125
( )3=0
( )3= - 8
( )3=
(3)
(4)第11章 数的开方 复习课一 基础知识
学习目标
1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用
一、知识归纳
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个 ( http: / / www.21cnjy.com )数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 或 。 求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质
①一个正数有 个平方根，它们互为相反数
②0有 个平方根，它是 。
③负数 平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是 ；
②0的算术平方根是 ；
③负数 算术平方根
（3）重要性质：
3、立方根
（1）立方根的定义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 ( http: / / www.21cnjy.com )a的 （也叫 ）。如果x3=a，则 叫做 的立方根。记作： ,读作“ ” 。求一个数的立方根的运算叫做 。
（2）立方根的性质
①一个正数的立方根是 ；
②一个负数的立方根是 ；
③0的立方根是 。
（3）重要性质：
4、实数基础知识
（1）．无理数的定义: 叫做无理数
（2）．有理数与无理数的区别： 有理数 ( http: / / www.21cnjy.com )总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
（3）.常见的无理数类型
一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
有特定意义的数，如：π=3.14159265···
开方开不尽的数。如
（4） 实数概念：________和________统称为实数。
（5）分类
_______
________
_______
________ _ __ 有限小数或___ ___小数
_______
实数 ________
_______
_________
________ 无限不循环小数
_________
（6）、实数的有关性质
⑴若a与b互为相反数则a+b= ⑵若a与b互为倒数则ab=
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即=
⑸正数的倒数是 数;负数的倒 ( http: / / www.21cnjy.com )数是 数;零 倒数.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是 关系
（6）.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的 。
一般情况下，非负数有三种形式，即≥0 ；≥0；≥0
二、典型例题
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例2.求下列各数的平方根和算术平方根：
（1） （2） （3）．
例3.计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）-+
（8） （9）※
例4、解方程：
（1） （2） （3）．
（4）(x+3)3=27 （5） （6）64(x-1)3+125=0
例5．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
例6、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4 ，求a+2b的平方根。
（a≥0）
