中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 一元一次不等式含参与新定义问题 高频考点（精讲）
知识储备
含参问题的解题步骤：
①将参数当成“常数”解出不等式组；
②.1)“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2)“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
高频考点1、根据不等式（组）的解集确定参数的取值范围
例1．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意直接根据已知解集得到，即可确定出的范围．
【详解】解：不等式的解集为，，解得：．故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
变式1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）若不等式的解集是，则必满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而得：＜于是可得答案．
【详解】解：不等式的解集是，＜，＜，故选：A．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．”是解题的关键
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）若不等式组的解集为．则关于、的方程组的解为_____________．
【答案】
【分析】根据已知解集确定出a与b的值，代入方程组求出解即可．
【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，
∵不等式组的解集为-2
把y=1代入①得：x=2，则方程组的解为，故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2022·河北·石家庄市八年级期末）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m＋n）2021＝_______．
【答案】-1
【分析】分别求得两个不等式的解集（含m、n的式子表示），然后根据不等式组的解集为-1＜x＜3得到关于m、n的二元一次方程组，可求得m、n的值，最后即可求得代数式（m+n）2021的值．
【详解】解：解不等式x-3m＜0得：x＜3m，解不等式n-3x＜得：x＞，
∵不等式组的解集为-1＜x＜3，∴，解得：，∴（m+n）2021=-1．故答案为：-1．
【点睛】本题是一道综合性的题目．考查了不等式组和二元一次方程组的解法，将不等式组问题转化为方程组问题是解题的关键．
例3．（2022·浙江·宁波八年级期中）已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤6 B．a≥6或a≤﹣5 C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5
【答案】B
【分析】据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集是与﹣1≤x≤3的关系，可得答案．
【详解】解：不等式组，得a﹣3＜x＜a+4，
由不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，得
a+4≤﹣1或a﹣3≥3，解得a≤﹣5或a≥6，故选：B．
【点睛】本题考查不等式的解集，用解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内得出不等式是解题关键．
变式3．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0 x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
例4．（2022·浙江·八年级阶段练习）不等式组的解是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a=3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集为x＞a，结合每个不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵不等式组的解是x＞a，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集的方法，熟记口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解本题的关键．
变式4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：，解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2∵x>m，∴m≤2，故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
高频考点2、逆用不等式组的解集确定参数的取值范围（有解、无解）
例1．（2022·浙江·杭州八年级期中）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______．
【答案】a＞3
【分析】由题意直接根据不等式组的解集的表示方法进行分析可得答案．
【详解】解：由题意得：a＞3，故答案为：a＞3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式1．（2022·重庆八年级期中）如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先解关于y的不等式组可得解集为，根据关于y的不等式组有解可得，由此可得，再解关于x的方程可得解为，根据关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解可得的值为整数，由此可求得整数a的值，由此即可求得答案．
【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于y的不等式组有解，∴，解得：，
∵ax﹣3（x+1）＝1﹣x，∴ax﹣3x﹣3＝1﹣x，∴ax﹣3x＋x＝1＋3，∴(a﹣2)x＝4，
∵关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，a为整数，
∴a﹣2＝4，2，1，﹣1，﹣2，﹣4，解得：a＝6，4，3，1，0，﹣2，
又∵，∴a＝4，3，1，0，﹣2，∴符合条件的所有整数a的个数为5个，故选：C
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
例2．（2022·简阳·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 _____．
【答案】
【分析】解二元一次方程组，根据x＞y列出不等式，即可求得，解不等式组，根据不等式组无解求得，进而根据题意求得符合条件的整数，求和即可
【详解】解：①+②得解得，
将代入②得：解得 解得
由解不等式③得：解不等式④得：
不等式组无解解得
则所有符合条件的整数a为：,其和为故答案为：7
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据题意求得符合题意的整数是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围．
【详解】解不等式，得x>2
因不等式组无解，把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：
观察图象知，当m≤2时，满足不等式组无解 故答案为：
【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．
高频考点3、根据不等式组的整数解情况确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆八年级期中）若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】5
【分析】先根据一次函数不经过第三象限，得出，根据不等式组的解集不等式组的解集为，有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，得出，综合得出，根据a为整数，求出a的值，再求和即可．
【详解】解：关于的一次函数不经过第三象限，，解得，
，解不等式①得，解不等式②，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，
∴，解得，∴，
∵为整数，∴或，∴2+3=5．故答案为：5．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组，掌握一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组是解题关键．
变式1．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组有解,∴不等式组的解集为： ，
不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，解得．答案为：．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
例2．（2022·黑龙江·八年级期中）关于的不等式组有解且不超过3个整数解，若，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组，在根据不超过3个整数解，确定的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：，解不等式得， 解不等式得，，
因为不等式组有解，故解集为：，
因为不等式组有不超过3个整数解，所以，，
把代入，，解得，故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解题关键是熟练解不等式组，根据有解和整数解的个数列出不等式组．
变式2．（2022·山东泰安·中考真题）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．故选：D．
【点睛】此题考查解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．（2022·重庆丰都·八年级期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】解不等式组，然后根据不等式组的整数解仅有1，2即可确定，的范围，即可确定，的整数解，即可求解．
【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，
不等式组的解集为，不等式组的整数解仅有1、2，，，
解得：，，整数有1；2；3，整数有；，
整数、组成的有序数对有；；；；；，共6个，
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定，的取值范围是解决问题的关键．
变式3．（2022·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜≤2、3≤＜4，求出2＜a≤4、9≤b＜12，即可得出答案．
【解析】解不等式2x a≥0，得：x≥，解不等式3x b≤0，得：x≤，
∵不等式组的整数解仅有x＝2、x＝3，则1＜≤2、3≤＜4，
解得：2＜a≤4、9≤b＜12，则a＝3时，b＝9、10、11；当a＝4时，b＝9、10、11；
所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个，故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．
例4．（2022·四川绵阳·八年级期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是__．
【答案】或
【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为 5即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组所有整数解的和为，不等式组的整数解为、或、、、0、1，
或，解得或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
变式4．（2022·云南德宏·八年级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－7，则m的取值范围为____．
【答案】4＜m≤6或－6＜m≤－4
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，∵不等式组的所有整数解的和为－7，
∴不等式组必有整数解-4，-3或是-4，-3，-2，-1，0，1,2，
∴，，∴4＜m≤6或－6＜m≤－4，故答案为：4＜m≤6或－6＜m≤－4．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
高频考点4、根据方程的解或者解之间的关系确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出
的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．
【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，∴，∴3＜a＜7，
∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．
变式1．（2022·山西·八年级期末）若方程组的解，的值都不大于，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】解关于x、y的二元一次方程组得，根据，的值都不大于，得到关于的不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：解关于x、y的二元一次方程组得，
∵，的值都不大于，∴，解不等式组得．故答案为：
【点睛】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x、y的方程组，根据题意得到关于a的不等式组是解题关键．
例2．（2022·成都市锦江区八年级阶段练习）若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】先将转化为与已知的方程组联合起来代数求出和的值即可．
【详解】方程组，可转换为，
∵方程组的解集为，
∴方程组的解为：，
由②-①得：，，把代入①得：，
∴，∴，故答案为：m>2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入法是解题的关键．
变式2．（2022 沭阳县期末）已知关于x、y的方程组的解x、y满足3x+y≥0，求m的取值范围．
解：，①+②得，3y＝2m，解得y＝m；
代入①得，m﹣x＝m﹣1，解得x＝﹣m+1，
把x、y的值代入3x+y≥0得，3×（﹣m+1）+m≥0，解得m≤9．故m的取值范围为：m≤9．
高频考点5、不等式的新定义问题
新定义问题解决方法：根据根据题干中的定义和不等式的相关问题解决即可。
例1．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为．如：．如果有，求的解集．
【答案】x的解集为．
【分析】据题意列出不等式，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可得不等式解集．
【详解】解：由题意得，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把x的系数化为1得：，
x的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题目中定义的新运算，正确掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
变式1．（2022·广西岑溪·八年级期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据定义得出2※x＝x+1，再结合1＜2※x≤7得出关于x的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：∵2※x＝2x﹣2﹣x+3＝x+1，∴1＜x+1＜7，解得0＜x＜6，
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例2．（2022·河南济源·八年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____
【答案】12≤a＜16
【分析】根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出a的范围即可．
【详解】解：根据题意得：G（x，y）=，
∵p＞0，∴3p＞p，-2-3p＜-2p∴G（3p，p）=3p-2p＞-3，解得p＞-3；
G（-2-3p，-2p）=-2p-2（-2-3p）=4p+4≤a，解得p≤，∴不等式组的解集为-3＜p≤，
又∵p＞0，∴0＜p≤，∵不等式组恰好有2个整数解，即p=1，2．
∴2≤＜3，解得：12≤a＜16，故答案为：12≤a＜16．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，根据新定义化简不等式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的能力、根据其整式解个数得出关于a的不等式组是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜7，且解集中有三个整数解，则整数a的取值可以是_________．
【答案】
【分析】利用题中的新定义列出不等式组，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】根据题中的新定义化简得：a≤4x-4 x＋3＜7，
整理得： ，即即为2，1，0，所以解得-4所以a可取的正数解有：-4，-3，-2故答案为：-4，-3，-2
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．（2022·北京八中八年级阶段练习）阅读理解：我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，
即当为非负整数时，若，则．
例如：，，…．
请解决下列问题：（1）______；（2）若，则实数的取值范围是_________；
（3）①；②当为非负整数时，；
③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是_____（填序号）
【答案】（1）1；（2）≤x＜；（3）②
【分析】（1）根据题意判断即可；（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；（3）①举反例进行说明即可；②当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故可知正确；
③根据题意可以可以列出不等式组，求出不等式组的解集，从而可以解答本题
【详解】解：（1）1．故答案为：1；
（2）若《2x-1》=5，则5 ≤2x 1＜5+，解得≤x＜．故答案为：≤x＜；
（3）①《2x》=2《x》，例如当x=0.3时，《2x》=1，2《x》=0，故①错误；
当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》=m+《2x》，故②正确；
③，则，解得-1＜x≤1，故③错误．故答案为：②
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由．
变式3．（2022·重庆八中九年级月考）若定义一种新的取整符号[ ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：，．则下列结论正确的是（ ）
①； ②；③方程的解有无数多个；④若，则x的取值范围是；⑤当时，则的值为0、1或2．
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】根据定义“[x]表示不超过x的最大整数”直接判断①②，根据可以的值可以为不超过x的最大整数与比这个数大1的数之间的任何数，即可判断③，根据定义可得，解不等式组即可判断④，根据的不同取值即可判断⑤．
【详解】解：，故①正确，，故②错误，
方程的解有无数多个，故③正确，
若，即，则x的取值范围是，故④正确，
当时，当时，，当为的小数时，，则的值为1、2，故⑤错误，故选D
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键．
例4．（2022·福建宁化县八年级阶段练习）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．48
【答案】B
【分析】分和两种情况进行讨论计算．
【详解】解：当，即时，y=x+3，
当x=-1时，该函数的最小值是2，当，即时，y=-x+1，
∵，∴，∴，∴，∴该函数的最小值是2．故选：B．
【点睛】此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
变式4．（2022·湖北·武汉八年级阶段练习）对于任意实数m，n，我们把这两个中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤－3． B．m≤2． C． m≥－3． D．m≥2．
【答案】C
【分析】根据新定义运算法则分情况讨论1－2x与－3的大小及min{1－2x，－3}的值，通过min{1－2x，－3}＞m求解m的范围．
【详解】解：令 由题意可得：当即时，，
当即时，，
∵， 即无解，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下解一元一次不等式，明白新定义的运算法则是解题的关键．
例5．（2022·北京·八年级阶段练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则a﹣b+c﹣d的值为 ；
（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件： ．
【答案】（1）A；（2）a≥2；（3）-4；（4）m≤2，n＞9
【分析】（1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可（2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；（3）由题意根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；（4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可．
【详解】解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，则不等式组A是不等式组M的子集，故答案为：A；
（2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，∴a≥2，故答案为：a≥2；
（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4，故答案为：﹣4；
（4）不等式组M：整理得：，由不等式组有解得到＜，即≤x＜，
∵N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，∴≤1，＞3，即m≤2，n＞9，故答案为：m≤2，n＞9．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
变式5．（2022·湖南·长沙市八年级阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组：和不等式：，若对于不等式组中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
【答案】（1）不等式B对于不等式组A是中点包含，见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可．
（2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值范围．
（3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值范围，再根据符合要求的整数m之和为9，缩小m取值范围从而确定n取值范围．
【详解】（1）解不等式组A：得，∴中点值为
又∵在不等式B：范围内，∴不等式B对于不等式组A是中点包含
（2）解不等式C得： ∴不等式组C中点为：
解不等式D得：∵2m-1位于和之间
∴解得：
（3）解不等式组E得：2n解不等式组F得：∵所有符合要求的整数m之和为9∴m可取4，3，2∴
【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 一元一次不等式含参与新定义问题 高频考点（精讲）
知识储备
含参问题的解题步骤：
①将参数当成“常数”解出不等式组；
②.1)“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2)“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
高频考点1、根据不等式（组）的解集确定参数的取值范围
例1．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）若不等式的解集是，则必满足（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）若不等式组的解集为．则关于、的方程组的解为_____________．
变式2．（2022·河北·石家庄市八年级期末）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m＋n）2021＝_______．
例3．（2022·浙江·宁波八年级期中）已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤6 B．a≥6或a≤﹣5 C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5
变式3．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
例4．（2022·浙江·八年级阶段练习）不等式组的解是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a=3 C．a＞3 D．a≥3
变式4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
高频考点2、逆用不等式组的解集确定参数的取值范围（有解、无解）
例1．（2022·浙江·杭州八年级期中）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______．
变式1．（2022·重庆八年级期中）如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2．（2022·简阳·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 _____．
变式2．（2022·黑龙江·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．
高频考点3、根据不等式组的整数解情况确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆八年级期中）若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为____．
变式1．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
例2．（2022·黑龙江·八年级期中）关于的不等式组有解且不超过3个整数解，若，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山东泰安·中考真题）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·重庆丰都·八年级期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
变式3．（2022·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
例4．（2022·四川绵阳·八年级期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是__．
变式4．（2022·云南德宏·八年级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－7，则m的取值范围为____．
高频考点4、根据方程的解或者解之间的关系确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
变式1．（2022·山西·八年级期末）若方程组的解，的值都不大于，则的取值范围是______．
例2．（2022·成都市锦江区八年级阶段练习）若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为______．
变式2．（2022 沭阳县期末）已知关于x、y的方程组的解x、y满足3x+y≥0，求m的取值范围．
高频考点5、不等式的新定义问题
新定义问题解决方法：根据根据题干中的定义和不等式的相关问题解决即可。
例1．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为．如：．如果有，求的解集．
变式1．（2022·广西岑溪·八年级期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是______．
例2．（2022·河南济源·八年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____
变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜7，且解集中有三个整数解，则整数a的取值可以是_________．
例3．（2022·北京八中八年级阶段练习）阅读理解：我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．
例如：，，…．
请解决下列问题：（1）______；（2）若，则实数的取值范围是_________；
（3）①；②当为非负整数时，；
③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是_____（填序号）
变式3．（2022·重庆八中九年级月考）若定义一种新的取整符号[ ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：，．则下列结论正确的是（ ）
①； ②；③方程的解有无数多个；④若，则x的取值范围是；⑤当时，则的值为0、1或2．
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
例4．（2022·福建宁化县八年级阶段练习）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．48
变式4．（2022·湖北·武汉八年级阶段练习）对于任意实数m，n，我们把这两个中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤－3． B．m≤2． C． m≥－3． D．m≥2．
例5．（2022·北京·八年级阶段练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则a﹣b+c﹣d的值为 ；
（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件： ．
变式5．（2022·湖南·长沙市八年级阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组：和不等式：，若对于不等式组中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 一元一次不等式含参与新定义问题（精练）
一、选择题
1．（2022·山东·九年级专题练习）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（ ）
A． B．0 C．﹣0.7 D．1
【答案】C
【分析】根据不等式组解集的确定方法：大大取大可得，再在选项中找出符合条件的数即可．
【详解】解：∵不等式组的解集是，∴a≤，
而，故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的解集的意义是正确解答的前提．
2．（2022·全国·八年级）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＞3 C．﹣2＜a＜3 D．a＜﹣2或a＞3
【答案】B
【分析】根据大大小小无解找，确定a的值即可．
【详解】∵关于x的不等式组无解，∴a＞3，故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集确定方法是解题的关键．
3．（2022·广东禅城·八年级期末）不等式组有两个整数解，则实数m的取值范围为（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣5＜m≤﹣4 D．﹣5≤m≤﹣4
【答案】A
【分析】根据不等式组有两个整数解知不等式组的整数解为﹣3，﹣4，据此求解可得答案．
【详解】解：∵不等式组有两个整数解，∴不等式组的解集为
∴不等式组的整数解为﹣3，﹣4，则﹣5≤m＜﹣4，故选A．
【点睛】本题主要考查了不等式组的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．（2022·重庆市八年级阶段练习）关于x的不等式组有3个正整数解，且关于x方程2x﹣a＝2有整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．39
【答案】B
【分析】解不等式得出2＜x＜，由不等式组有3个整数解得出5＜≤6，据此知11＜a≤14，解方程得出x＝，根据方程有整数解得出最终符合条件的a的值，从而得出答案．
【详解】解：由3x﹣4＜a，得：x＜，由x﹣2＞0，得：x＞2，
∵不等式组有3个整数解，∴5＜≤6，解得：11＜a≤14，解关于x方程2x﹣a＝2得x＝，
∵方程有整数解，∴a＝12或a＝14，则满足条件的所有整数a的值之和为12＋14＝26，故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
5．（2020·山东德州市·中考真题）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
【详解】解：解不等式＞，得：，解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，∴，故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2022·山东聊城市·中考模拟）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式，得：x＞8， ∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（2023·全国·七年级专题练习）已知关于的不等式组的解集在数轴上表示如图，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出x的取值范围，再求出a、b的值，即可求出答案．
【详解】由不等式组，解得，
由数轴图形可知不等式组的解集表示为：，
故，解得，则．故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握在数轴上表示不等式的解集．
8．（2023春·七年级单元测试）已知关于x的不等式组的解集是，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝2、b＝10 B．a＝2、b＝0 C．a＝4、b＝10 D．a＝4、b＝0
【答案】A
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，由①得，，由②得，，
∵不等式组的解集是，
∴，解得．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
9．（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：解得：
又题意得：且∴且，
由得：由得：
∵解集为∴解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
10．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（ ）
A．1 B．1,2 C．2 D．不存在
【答案】B
【分析】根据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【详解】解：，，为正整数，、2．故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，解题的关键是通过解不等式求得不等式解集．
11．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m．
【详解】解：由，∴，得：，
∵解集为，∴∴，故选：B．
【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．
12．（2022·河北临漳·八年级期末）对有理数a，b定义运算：a b=ma +nb，其中m，n是常数，如果3 4=2，5 8>2，那么n的取值范围是（ ）
A．n> B．n< C．n>2 D．n<2
【答案】A
【分析】先根据新运算的定义和3 4=2将用表示出来，再代入5 8>2可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】解：由题意得：，解得，由5 8>2得：，
将代入得：，解得，故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．
13．（2022·福建龙岩·八年级期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．
【详解】解：∵[]=2，∴由题意得2≤＜3，解得5≤x＜7，故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
14．（2022·江苏东台·八年级期中）有两个正数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【分析】根据已知条件得出5≤m≤15， 30≤n≤ 20，再得出的范围，即可得出整数的个数．
【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[ 30， 20]内，
∴5≤m≤15， 30≤n≤ 20，∴ ≤≤，即 6≤≤ ，
∴的一切值中属于整数的有 2， 3， 4， 5， 6，共5个；故选：B．
【点睛】此题考查了不等式组的应用，求出5≤m≤15和 30≤n≤ 20是解题的关键．
二、填空题
15．（2022·四川·八年级期末）已知不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先求得不等式的解集，其中方程的解可用a表示，根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围．
【详解】解：解不等式得： ，根据题意得：，解得：，故答案为．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．
16.（2022·中山大学附属中学）若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是_____．
【答案】13.
【解析】解：解不等式3x＋1＜m，得．
∵关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，
∴，∴，
∴整数m的最大值是13．故答案为：13．
17．（2022·黑龙江鹤岗市·中考模拟）若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的解集为得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【详解】解不等式，得：，解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的解集得出关于a的不等式组是解答此题的关键．
18．（2020·山东滨州市·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
【答案】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：对不等式组，解不等式①，得，解不等式②，得，
∵原不等式组无解，∴，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
19．（2022·贵州铜仁市·中考模拟）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是_______.
【答案】a≥﹣3.
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【详解】解这个不等式组为x＜a﹣4，则3a+2≥a﹣4，解这个不等式得a≥﹣3故答案a≥﹣3.
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键
20．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】解：由关于的一元一次不等式组可得：，
∵不等式组有解，∴，解得：；故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．（2022·辽宁·模拟预测）关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则a的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】根据不等式组所有整数解之和为﹣5可知，比2小的连续整数之和为﹣5的情况为，，最小整数为﹣3，故且，解出解集即可．
【详解】解：不等式，解集为：，
不等式 ，的解集为：，
∵不等式组所有整数解之和为﹣5，，
∴ 且，解得：，，
综上所述， ，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组的解集，以及数形结合思想，能够熟练应用数形结合思想是解决本题的关键．
22．（2022·浙江衢州八年级阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1．如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式﹣3 x＜15的解为 _____．
【答案】
【分析】根据题目中所给的新运算先进行化简，然后再解不等式求解即可．
【详解】解：∵，，．
∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】题目主要考查整式的混合运算及解不等式，理解题中定义的新运算，熟练掌握解不等式的方法是解题关键．
23．（2022·湖北武汉·八年级期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．
【答案】
【分析】解不等式组求得不等式的解集为 a≤x≤2a 3，根据题意得出2a 3 （ a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为 2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为 2．
【详解】解：，由①得x≥ a，由②x≤2a 3，∴不等式组的解集为 a≤x≤2a 3，
∵关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴2a 3 （ a）＝3，∴a＝2，∴不等式组的解集为 2≤x≤1，
∴不等式组的整数解为 2， 1，0，1，它们的和为 2．故答案为 2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，求得a的值是解题的关键．
24．（2022·湖北荆州·中考模拟）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【分析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.
【解析】解：依题意得：
解得．故答案是：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.
25．（2022·河北临西·八年级期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3（1）a+b＝___．（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
【答案】
【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解；
（2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可．
【详解】解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3，
∴，解得：，∴；故答案为：；
（2）∵，，2△(-m)≥0，∴2△(-m)，
解得：，则m的最大值是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代数式是解此题的关键．
26.（2022·江西·八年级期末）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．
【答案】
【分析】由题意可知{}表示的小数部分，则，根据题意可得，分类讨论，将原方程化简，求得进而进行计算即可．
【详解】由题意得，，，，，
，，即，
，当时，，
原方程为，即，，
当时，，原方程为，
即，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的方程的计算，不等式的性质，实数的小数部分与整数部分，根据题意分析出，再分类讨论以及正确的计算是解题的关键．
三、解答题
27．（2022·全国·八年级）已知关于x的不等式①x+a＞7的解都能使不等式②成立，求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出不等式①②的解集，然后根据关于x的不等式①的解都能使不等式②成立得出，求解即可得．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式①的解都能使不等式②成立，
∴，解得：．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集，理解题意，熟练掌握解不等式的方法是解题关键．
28．（2022·广东·佛山八年级阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x>0解集；（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0
【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可；
（2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；
（3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0，解得x＜4；
（2）由题意，得：，
解不等式①，得：，解不等式②，得：x＜3-m，
则不等式组的解集为；
（3）∵该不等式组有3个整数解，∴3＜3-m≤4，解得-1≤m＜0．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
29．（2022·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．
【答案】（1）a=1，b=-3；（2）
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好只有个整数解，确定出k的范围即可．
【详解】解：（1）∵，，∴，解得：；
（2）∵a=1，b=-3，∴，
∴可变形为，化简得：，解得：，
∵不等式组恰好只有个整数解，∴，解得：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（2022·湖南张家界·中考模拟）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；
（2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 x≥
∴x的取值范围为x≥．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
31．（2022·山东莱西·八年级期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．
（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。（2）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，试求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求出不等式组的解集，再写出其关联方程即可；（2）先求出两方程的解，，再求出关于的不等式组的解集为，根据关联方程的定义即可求解．
【详解】（1）解不等式，得：，解不等式，得：，
则不等式组的解集为，∴其整数解为2，
则该不等式组的关联方程为，故答案为；
（2）解方程得，解方程得，解不等式组得，
∵1，2都是该不等式组的解，∴．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解及应用，解题的关键是熟知不等式的性质与求解不等式组的方法．
32．（2022·广东蓬江·八年级期中）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝＝，min{﹣1，2，a}＝．(1)请填空：min{﹣1，3，0}＝ ；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝ ；
(2)若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围．
(3)若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．
【答案】(1)﹣1，x2+2(2)0≤x≤1(3)1
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）先求出M（x﹣1，5﹣4x，3x+2}＝2，再由min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，可得，解出即可；（3）先求出M{2，x+1，2x}＝x+1，再由M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，可得，解出即可．
【详解】(1)解：∵﹣1，3，0最小的数是﹣1，∴min{﹣1，3，0}＝﹣1，
∵x＜0，2，x2+2，x+1中，∴，∴最大的数是x2+2，
∴max{2，x2+2，x+1}＝x2+2；故答案为：﹣1，x2+2；
(2)解：∵M（x﹣1，5﹣4x，3x+2}＝＝2，
∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，∴，则0≤x≤1；
(3)解：∵M{2，x+1，2x}＝＝x+1，且M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，
∴min{2，x+1，2x}＝x+1，∴，∴，∴x＝1．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算的应用，不等式组的应用，明确题意，理解新定义是解题的关键.
33．（2022·重庆·八年级期中）对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“开心数”，例如：n1＝936，∵9+3﹣6＝6，∴936是“开心数”：n2＝602，∵6+0﹣2＝4≠6，∴602不是“开心数”．(1)判断666、785是否为“开心数”？请说明理由；(2)若将一个“开心数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如；若m＝543，则s＝654），若s也是一个“开心数”，求满足条件的所有m的值
【答案】(1)666是“开心数”，785不是“开心数”，理由见解析(2)464和532
【分析】（1）根据“开心数”的定义即可得；
（2）设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，从而可得的百位数字为，十位数字为，个位数字为，再根据“开心数”的定义列出等式，将都用表示出来，然后根据求出的取值范围，最后根据为正整数进行分析即可得．
【详解】(1)解：666是“开心数”，785不是“开心数”，理由如下：
，是“开心数”，，不是“开心数”．
(2)解：设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
则的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
和都是“开心数”，，解得，，
，，解得，
又为正整数，所有符合条件的取值为，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足条件的所有的值为464和532．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、三元一次方程组的应用等知识点，掌握理解“开心数”的定义是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 一元一次不等式含参与新定义问题（精练）
一、选择题
1．（2022·山东·九年级专题练习）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（ ）
A． B．0 C．﹣0.7 D．1
2．（2022·全国·八年级）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＞3 C．﹣2＜a＜3 D．a＜﹣2或a＞3
3．（2022·广东禅城·八年级期末）不等式组有两个整数解，则实数m的取值范围为（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣5＜m≤﹣4 D．﹣5≤m≤﹣4
4．（2022·重庆市八年级阶段练习）关于x的不等式组有3个正整数解，且关于x方程2x﹣a＝2有整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．39
5．（2020·山东德州市·中考真题）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东聊城市·中考模拟）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·七年级专题练习）已知关于的不等式组的解集在数轴上表示如图，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·七年级单元测试）已知关于x的不等式组的解集是，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝2、b＝10 B．a＝2、b＝0 C．a＝4、b＝10 D．a＝4、b＝0
9．（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
10．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（ ）
A．1 B．1,2 C．2 D．不存在
11．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
12．（2022·河北临漳·八年级期末）对有理数a，b定义运算：a b=ma +nb，其中m，n是常数，如果3 4=2，5 8>2，那么n的取值范围是（ ）
A．n> B．n< C．n>2 D．n<2
13．（2022·福建龙岩·八年级期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·江苏东台·八年级期中）有两个正数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
15．（2022·四川·八年级期末）已知不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是______．
16.（2022·中山大学附属中学）若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是_____．
17．（2022·黑龙江鹤岗市·中考模拟）若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是_______．
18．（2020·山东滨州市·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
19．（2022·贵州铜仁市·中考模拟）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是_______.
20．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．21．（2022·辽宁·模拟预测）关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则a的取值范围是 _____．
22．（2022·浙江衢州八年级阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1．如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式﹣3 x＜15的解为 _____．
23．（2022·湖北武汉·八年级期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．
24．（2022·湖北荆州·中考模拟）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
25．（2022·河北临西·八年级期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3（1）a+b＝___．（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
26.（2022·江西·八年级期末）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．
三、解答题
27．（2022·全国·八年级）已知关于x的不等式①x+a＞7的解都能使不等式②成立，求a的取值范围．
28．（2022·广东·佛山八年级阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x>0解集；（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
29．（2022·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．
30．（2022·湖南张家界·中考模拟）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
31．（2022·山东莱西·八年级期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．
（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。（2）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，试求的取值范围．
32．（2022·广东蓬江·八年级期中）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝＝，min{﹣1，2，a}＝．(1)请填空：min{﹣1，3，0}＝ ；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝ ；
(2)若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围．
(3)若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．
33．（2022·重庆·八年级期中）对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“开心数”，例如：n1＝936，∵9+3﹣6＝6，∴936是“开心数”：n2＝602，∵6+0﹣2＝4≠6，∴602不是“开心数”．(1)判断666、785是否为“开心数”？请说明理由；(2)若将一个“开心数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如；若m＝543，则s＝654），若s也是一个“开心数”，求满足条件的所有m的值
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
