1.6 完全平方公式（北师大版七年级下册）

课件25张PPT。6 完全平方公式一、完全平方公式的推导
1.两数和的平方.
(a+b)2=(a+b)(a+b)=___________=_________.
2.两数差的平方.
(a-b)2=(a-b)(a-b)=___________=_________.a2+ab+ab+b2a2+2ab+b2a2-ab-ab+b2a2-2ab+b2【归纳】(1)(a＋b)2＝___________，(a－b)2＝___________.
(2)公式特征：①左边：二项式的_____;②右边是___项,且有___
个平方项,中间项为首尾两项底数积的2倍.
(3)语言叙述：两数和(或差)的平方,等于这两个数的_______,
加上(或减去)这两数的___的2倍.a2＋2ab＋b2a2－2ab＋b2平方两平方和积三二、几何解释
如图,最大正方形的面积可用两种形式表示：
①______，②_________，
由于这两个代数式表示同一块面积,所以应
相等,即______= _________.
【点拨】公式中的a和b可代表一个字母、一个数字、单项式或多项式.(a+b)2a2+2ab+b2(a+b)2a2+2ab+b2【预习思考】
(a-b)2与(-a+b)2相等吗？
提示：相等. 完全平方公式
【例1】(2012·盐城中考)化简：(a-b)2+b(2a+b).
【解题探究】(1)(a-b)2化简后的结果为a2-2ab+b2.
(2)b(2a+b)化简后的结果为2ab+b2.
所以原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.【规律总结】
学习完全平方公式“三注意”
1.明确结构特征：公式的左边是两数和(或差)的平方，而右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.
2.理清字母含义：公式中的字母a，b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式.只要符合公式的结构特征，就可以利用公式.3.避免常见错误：在学习中不少同学经常出现如下错误：
(1)(a+b)2=a2+b2.
(2)(a-b)2=a2-b2.
(3)(a-b)2=a2-2ab-b2.【跟踪训练】
1.(2012·南通中考)已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
(A)64 (B)48 (C)32 (D)16
【解析】选A.因为16x=2×x×8，所以这两个数是x，8，所以k=82=64.【变式备选】已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为( )
(A)2 (B)±2 (C)-6 (D)±6
【解析】选D.因为(2x±6)2=4x2±24x+36，
所以4mx=±24x，即4m=±24，所以m=±6.2.(2012·凉山州中考)整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2，则A=_____.
【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=4mn.
答案：4mn3.计算：(1)(－m－n)2.(2)(－5a－2)(5a＋2).
【解析】(1)(－m－n)2＝(－m)2＋2(－m)(－n)＋(－n)2＝m2＋2mn＋n2.
(2)(－5a－2)(5a＋2)＝－(5a＋2)(5a＋2)
＝－(5a＋2)2＝－(25a2＋20a＋4)
＝－25a2－20a－4. 完全平方公式的应用
【例2】已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值.
【解题探究】(1)因为x+y=8，所以(x+y)2的值是64.
(2)由完全平方公式可知(x+y)2=x2+2xy+y2，由上述探究可得
x2+2xy+y2=64，即x2+y2=64-2xy.
(3)由已知xy=12可得x2+y2=64-2×12=40.【规律总结】
完全平方公式的常见变形
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
(2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用.【跟踪训练】
4.我们已经用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+
2ca作说明，那么其中用来表示b2的是( )
(A)区域①的面积
(B)区域⑤的面积
(C)区域⑥的面积
(D)区域⑧的面积【解析】选C.由图形可知，区域⑥是边长为b的正方形，所以用来表示b2的是区域⑥的面积.5.(2012·株洲中考)先化简，再求值：(2a-b)2-b2，其中
a=-2,b=3.
【解析】原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4ab.
当a=-2,b=3时，原式=4×(-2)2-4×(-2)×3
=16+24=40.1.(2012·遵义中考)如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )
(A)2 cm2 (B)2a cm2
(C)4a cm2 (D)(a2-1)cm2【解析】选C.矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2
=a2+2a+1-(a2-2a+1)=4a (cm2).2.已知a+b=5,ab=6，则(a-b)2的值为( )
(A)1 (B)4 (C)9 (D)16
【解析】选A.(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×6=1.3.(2012·南安中考)已知a+b=3，ab=1，则a2+b2的值为_____.
【解析】因为(a+b)2=a2+b2+2ab，所以a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2=7.
答案：74.(2012·常州中考)已知x=y+4，则代数式x2-2xy+y2-25的值为_____.
【解析】因为x=y+4，所以x-y=4，
所以x2-2xy+y2-25=(x-y)2-25=16-25=-9.
答案：-95.(2012·泉州中考)先化简，再求值：(x+3)2+(2+x)(2-x)，其中x=-2.
【解析】原式=x2+6x+9+4-x2=6x+13，
当x=-2时，原式=6×(-2)+13=1.