2023年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）（含答案）

2023年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）
1．已知抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，为等腰直角三角形，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将向上平移一个单位得到，点M、N为抛物线上的两个动点，O为坐标原点，且，连接点M、N，过点O作于点E，求点E到y轴距离的最大值；
(3)如图，若点F的坐标为，直线l分别交线段，（不含端点）于G、H两点．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则是定值吗？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
2．如图，抛物线y=ax2-6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式；
（）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值；
（）如图2，在（）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接、．
①在x轴上找一点Q，使，并求出Q点的坐标；
②求的最小值．
3．如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b
与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
（1）.OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；
（2）.是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似 若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．
4．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，直线经过B，C两点，与对称轴交于点E．
(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)点M是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值．
5．如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A,
B,点A的坐标是（2，4）,点B的横坐标是－2.
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 过C2顶点Ｍ的直线记为l,且l与x轴交于点N.
①若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；
②若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
6．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．
（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；
（4）连接OE，直线BF上是否存在点M，使得△BMD与△OED相似，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数关系式．
(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A、B两点(A在B点左边)，与y轴负半轴交于C点，OC＝2OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是x轴上方，抛物线上一点，若∠AEB+∠BAE＝45°，求E点纵坐标；
(3)如图2，P是线段AC上一个动点，F点在线段AB上，且AF＝m，若P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，求m满足的条件．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+x+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上？
（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线经过坐标原点，与轴的另一个交点为，且顶点坐标为.
（1）求抛物线解析式.
（2）将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴交于两点，与原抛物线交于点，设的面积为，求关于的函数关系式.
（3）如图②，以点为圈心，以线段为半径画圆，交抛物线的对称轴于点，连结，若将抛物线向右平移个单位后，点的对应点为，点的对应点为，且满足四边形为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线交于点问：在轴上是否存在一点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由.
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE．设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C、F、D的抛物线为．
(1)求点D的坐标（用含m的式子表示）．
(2)若点G的坐标为（0，-3），求该抛物线的解析式．
(3)在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA 若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？
请说明理由．
13．已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标；
（3）若直线与抛物线交于，两点，不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系．
14．如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为（1,0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
15．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，已知直线y＝kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=
x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)是定值，，
2．（1）；；（2）4；（3）①，②．
3．（1）1，，
（2）11
4．(1)抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为
(2)面积最大值为3，
(3)的值为3或2
5．（1）a=1；B(－2,－4)；（2）①点N的横坐标为；②点N横坐标的范围为
6．（1）11；（2）；（3）存在，点P的坐标为或；（4）存在，点M的坐标为或
7．(1) ；
(2)或或；
(3)或
8．(1)y＝x2﹣x﹣4
(2)
(3)0＜m＜1
9．（1）对称轴为：x=；（2）当t=3时，点D落在抛物线上；（3）当t=﹣2+2、t=8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似．
10．（1）二次函数解析式为；（2）22
11．(1)
(2)
(3)存在，点P坐标为（1.6，3.2）和（0.9，3.2）
12．解：（1）y=－x2－3x＋4．
（2）11．
（3）相似．
13．（1）；（2）有最大值，此时；（3）
14．（1）解析式为：；
（2）t=1或3；
（3）当a值为或时,△APQ与△ABD相似
15．(1)
(2)
(3)或
16．(1)直线的解析式为y=x-3，抛物线解析式为；
(2)①t=,②t=；(3)存在
17．（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）．