山东省枣庄市2023年九年级数学中考复习考前适应性综合练习题（含解析）

山东省枣庄市2023年春九年级数学中考复习考前适应性综合练习题（附答案）
一、选择题：本大题共36分。
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．a6÷a﹣2＝a﹣3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
2．如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（　　）去．
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
6．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
7．在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；②y＝；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）
9．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（　　）
A．2 B．4 C． D．2
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：满分24分。
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
14．学校计划用200元钱购买A，B两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 　 　种．
15．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是　 　nmile．（结果保留一位小数，≈1.73）
16．匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是 　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　 　．
18．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　 　．
三、解答题：满分60分。
19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．
20．枣庄某学校为了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
学习时间分组 频数 频率
A组（0≤x＜1） 9 m
B组（1≤x＜2） 18 0.3
C组（2≤x＜3） 18 0.3
D组（3≤x＜4） n 0.2
E组（4≤x＜5） 3 0.05
（1）频数分布表中m＝　 　，n＝　 　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有　 　名．
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况，请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
21．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
23．在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F，请解答下列问题：
（1）如图①，当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，求证：AE+BC＝CF；
（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时；如图③，当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时；请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB AF．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是顶点，过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5．
（1）求抛物线的解析式及直线CE的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使AF+FH的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共36分。
1．解：A、a2 a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；
D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
2．解：该几何体的俯视图是
故选：B．
3．解：∵＝＞＝，
∴四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又＜，
∴乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
综上，乙的成绩好且稳定，
故选：B．
4．解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
5．解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），
解得：x＝，
由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，
则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，
故选：D．
6．解：由题意可知：（﹣1）☆x＝﹣x2+x﹣1＝0，
∴Δ＝1﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝﹣3＜0，
∴没有实数根．
故选：C．
7．解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴x＝y，
∴①x＝﹣x，解得x＝0，所以y＝﹣x图象中存在“好点”，
②x＝，解得x＝±，所以y＝图象中存在“好点”，
③x＝x+2，此方程无解，所以y＝x+2图象中不存在“好点”，
④x＝x2﹣2x，解得x＝0或x＝3，所以y＝x2﹣2x图象中存在“好点”，
上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1，
故选：A．
8．解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），
∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，
∴BC＝9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE＝OC＝OE＝2，
∴O′E′＝O′C′＝2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BO′＝3，
∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
方法二：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．
∴，
∴，
∴，
∵∠ACB＝90°，边BC在x轴上，∴C点的坐标为（﹣2，0），
∴正方形OCDE的边长为2，
∴E（0，2），设点E沿x轴平移后落在AB边上的坐标为（a，2），
由y＝﹣得，2＝﹣a+，
∴a＝4，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
故选：B．
9．解：连接OC，如图，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴CE＝BE，
在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，
∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，
∴OC﹣1＝OC，
∴OC＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝2．
故选：D．
10．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故选：C．
11．解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故选：D．
12．解：①由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故正确；
②对称轴为直线x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③由图可知：当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，
即3a+c＞0，
故正确．
综上所述，有3个结论正确．
故选：C．
二、填空题：满分24分。
13．解：由题可得，，
解得，
∴自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠2，
故答案为：x≥﹣3且x≠2．
14．解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，
根据题意得：15x+25y＝200，
整理得：3x+5y＝40，
∵x，y为正整数，
∴或，
∴购买方案有2种，
故答案为：2．
15．解：过P作PD⊥AB于D．
∵∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，
∴∠PAB＝∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝24nmile．
在直角△PBD中，PD＝BP sin∠PBD＝24×＝12≈20.8（nmile）．
即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．
故答案为20.8．
16．解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝＝72°，
∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，
又∵OA＝OD，
∴∠ADO＝＝＝18°，
故答案为：18°．
17．解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴AE＝＝＝2．
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△EAD，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到DF的距离为，
解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴DG＝2，
∴DF＝＝＝，
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∴S△ADF＝DF AH＝AD FG，
∴AH＝，
故答案为：．
18．解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
三、解答题：满分60分。
19．解：原式＝
＝．
解不等式组中的①，得a≥2．
解不等式②，得a＜4．
则2≤a＜4．
所以a的最小整数值是2，
所以，原式＝＝．
20．解：（1）根据频数分布表可知：m＝1﹣0.3﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.15，
∵18÷0.3＝60（人），
∴n＝60﹣9﹣18﹣18﹣3＝12（人），
补充完整的频数分布直方图如下：
故答案为：0.15，12；
（2）根据题意可知：1000×（0.15+0.3）＝450（名），
答：估计全校需要提醒的学生有450名；
（3）设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，
根据题意，画出树状图如下：
根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，
所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为＝．
21．解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）由题意得：＝2x，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（﹣1，﹣2），
∵点A（1，2），
∴AB＝＝2，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，
∴AD＝AB＝2，
∴D（1+2，2）．
22．解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
23．证明：（1）延长FE，CD交于点G，
∵EF∥BC，
∴∠G＝∠GCB，∠AFE＝∠ACB，
在△GED和△CBD中，
，
∴△GED≌△CBD（AAS），
∴BC＝GE，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA，
∴∠A＝∠AFE，
∴AE＝FE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG，
∴∠G＝∠ACG，
∴FG＝FC，
∴AE+BC＝CF；
（2）当点E在线段BA的延长线上，如图②，延长EF，CD交于点G，
由（1）同理得△GED≌△CBD（AAS），GF＝CF，
∴GE＝BC，
∵∠EFC＝∠ACB＝∠BAC＝∠EAF，
∴EF＝AE，
∴BC﹣AE＝CF；
当点E在线段BA的延长线上，如图③，延长CD交EF于G，
由（1）同理得△GED≌△CBD（AAS），GF＝CF，EF＝AE，
∴AE﹣BC＝CF．
24．解：（1）如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BDO＝90°，
∴sinB＝＝，
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AB AF．
25．解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
如图：
∵S△ACE：S△CEB＝3：5，
∴AE：BE＝3：5，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴AE＝AB＝，
∴OE＝AE﹣OA＝，
∴E（，0），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线CE的解析式为y＝﹣6x+3，
答：抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线CE的解析式为y＝﹣6x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D为（1，4），
设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），而C（0，3），
①当DP、QC是平行四边形对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴DP、QC的中点重合，
∴，解得m＝1+或m＝1﹣，
∴P（1+，﹣1）或（1﹣，﹣1），
②当DQ、PC是平行四边形对角线时，同理DQ、PC的中点重合，
∴，解得m＝1+或m＝1﹣，
∴P（1+，1）或（1﹣，1），
③当DC、QP是平行四边形对角线时，DC、QP的中点重合，
∴，方程组无实数解，
综上所述，P的坐标为（1+，﹣1）或（1﹣，﹣1）或（1+，1）或（1﹣，1）；
（3）在抛物线上存在一点K，使KF+KG的值最小，
连接BH交对称轴于F，连接AF，如图：
∵A、B关于抛物线对称轴对称，
∴AF＝BF，
∴AF+HF＝BF+HF，
∵B、F、H共线，
∴此时AF+HF最小，
由H（0，），B（3，0）得直线BH为y＝﹣x+，
令x＝1得y＝，
∴F（1，），
设K（x，y），则y＝﹣x2+2x++3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴（x﹣1）2＝4﹣y，
∴KF＝
＝
＝
＝|y﹣|，
作直线y＝，过B作直线y＝的垂线，垂足为M，
∴KM＝|y﹣|，
∴KF+KG＝KM+KG，
根据垂线段最短可知，M、K、G共线时，KM+KG最小，最小值为，
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝2得y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴此时K（2，3），
答：在抛物线上存在一点K，使KF+KG的值最小，K的坐标为（2，3）．