13.5.3角平分线
【学习目标】：1.角平分线性质定理和其逆定理
2.推导过程和应用
【重难点】：推导过程和应用
知识回顾：
我们已经知道：角平分线上的点到角两边的 相等。
角的平分线这条性质是怎样得到的呢？
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？
得结论：
开启智慧
角平分线的性质定理
二、新知导入：
例1 如图,已知:OC是∠AOB的平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE
问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中，DE⊥AB，垂足为E，
DE与DC 相等吗？为什么？
思考：做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识
（角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途经。）
例2、已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE ，
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
） 得出定理：角的内部到角两边 。
这条定理和角平分线定理互为 。
思考：你能否用这两条定理来证明：三角形的三条角平分线交于一点。
练习1，如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
课堂小结:今天你学的两个定理是什么？
一，
二，
课时训练
1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，
点P、P′分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP′ ，
需要添加以下条件中的某一个即可，
请你写出所有可能结果的序号 。
①∠OCP= ∠OCP′ ②∠OPC= ∠OP′C
③PC= P′C ④PP′⊥OC
2、 如图 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
( )
3、判断题（ ）
如图，∵AD平分∠BAC（已知）
∴BD=DC (角的平分线上的
点到角的两边的距离相等)
4.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面
的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四
个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出
（球可以经过多次反射），那么该球最后
将落入的球袋是( )
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
5.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和
锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论
AE=2AC；②CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE；
④CB平分∠DCE。请写出正确结论的序号
水平达标，
1，如图:△ABC中，AB=AC，M为BC中点，
MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。
求证：MD=ME。
2如图，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，
D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
，
3如图，在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2.求证：AB=AC+CD
4. (2010·宁德中考)如图，已知
AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅
助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添
加一个条件是：________，并给予证明.
A
D
C
P
E
O
E
B
D
A
C
A
B
C
P
A
A
P
C
O
P′′
B
A
2
1
E
D
B
C
A
D
C
B
1
213.3.2 等腰三角形的判定
学习目标
等腰三角形的判定定理的证明。
等腰三角形的判定定理的应用。
重点：等腰三角形的判定定理的应用。
难点：逻辑推理
一．导入
复习回顾：
上节课我们学习了等腰三角形的哪些性质？
探究
设置疑问，引出新课
下面有这样一个问题：如图，⊿ABC是等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形，AB=AC，一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C。同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看。
合作交流，探究新知
方法一: 先用量角器量出∠C的度数，然后以BC为
一边B为顶点画出∠B=∠C，∠B与∠C的
一边相交于点A。
方法二 : 取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，
与∠C的一边相交得到交点A，连接AB。
你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗？
要证明两条线段相等，常用什么方法？（添辅助线）
已知：在△ABC中，∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由
解：
等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
简单地说：在同一个三角形中，等角对等边。
归纳总结 ：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵∠B=∠C ( )
∴ AC=AB（ ）
三讲例
一次数学实践活动的内容是测量河宽， ( http: / / www.21cnjy.com )如图，即测量Ａ，Ｂ之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发沿着与直线ＡＢ成６０ °角的ＡＣ方向前进至Ｃ，在Ｃ处测得∠Ｃ＝３０ ° .量出AC的长,它就是河的宽度(即A,B之间的距离). 这个方法正确吗 请说明理由.
四巩固
1．在△ABC中, 已知∠A=50°,∠B=65°判断△ABC是什么三角形,为什么
如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,
则∠1= __,∠2= __, 图中的等腰三角形有
五小结 等腰等腰三角形的判定： ( http: / / www.21cnjy.com )
六．检测
1.上午10 时，一条 ( http: / / www.21cnjy.com )船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°,∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离
3如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底边ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，
交ＡＢ于点Ｅ． 判断△ＢＤＥ是不是等腰三角形，
并说明理由．
4.如图，△ABC中AB=AC,∠B=∠C，BD=CE，
说明∠ADE=∠AED的理由
7.在△ABC中,已知 ,BG平分∠ABC,CG平分∠ACB.过点G作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
（1）请问图中有多少个等腰三角形 说明理由.
（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系 若有是什么关系
8、如果三角形一个外角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？写出已知.求证并证明
A
D
C
B
N
B
A
C
80°
40°
北
A
E
D
C
B
C
A
C
D
B
E
G
B
F
E
G
C
B
D
A
1
213.5.1.互逆命题与互逆定理
学习目标：1.理解互逆命题与互逆定理
2.正确应用互逆命题与互逆定理
重点与难点：区分互逆命题与互逆定理
知识回顾：
1、命题的概念：
2、命题都有两部分：
3、命题分为 和 两种．
4、判断下列命题真假并说出下列命题的题设和结论：
（1）、平行四边形的对边互相平行
（2）、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
（3）、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
二、新知导入：
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；
3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；
5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；
观察上面三组命题,你发现了什么
概括：一般来说，在两个命 ( http: / / www.21cnjy.com )题中，如果第一个命题的 是第二个命题的 ，而第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做 。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 。
例1：指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。
（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
（（2）、等边三角形的每个角都等于60°
（3）、同旁内角互补，两直线平行.
讨论交流：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
（1）、
（2）、
（3）、
归纳：如果一个定理的逆命题也是 ，那么这两个定理叫做 。
其中的一个定理叫做另一个定理的 。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题
2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理
练习．写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．
(2)如果a＞0，那么a2＞0．
(3)等角的补角相等．
（4）、若|a|＝|b|，则a＝b；
（5）、若a＝b，则；
（6）、若x＝a，则；
这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念。
②能写出一个命题的逆命题。
③在证明假命题时会用举反例说明
逆命题与逆定理 测试题
一、基础题
1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．
2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．
（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；
（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．
3．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求证：AB=AE．
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二、学科内综合题
4．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为（ ）
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
5．下 列 这 些 真 命 题 中，其 逆 命 题 也 真 的 是 ( )
A．全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等
B．两 个 图 形 关 于 轴 对 称，则 这 两 个 图 形 是 全 等 形
C．等 边 三 角 形 是 锐 角 三 角 形
D．直 角 三 角 形 中，如 果 一个 锐 角 等 于 30°，那 么 它 所 对 的 直 角边 等 于斜 边 的 一半
6．如上图中所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,
直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别
交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内
绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如右图右所示，△ABC中，AB=AC，要使AD=AE，
需要添加的一个条件是 .
8．若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是 .
9．如右图，AM是△ABC的角平分线，N为BM的中点，
NE∥AM，交AB于D，交CA的延长线于E，下列结论正确的是（ ）
A．BM=MC B．AE=BD C．AM=DE D．DN=BN
10．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．30° B．75° C．30°或60° D．75°或15°
三、应用题
11.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度数．
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四.探究题
12.如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO=DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.
（1）从这4个条件中选出2个条件，能判定△ABC是等腰三角形的方法用 种.
（2）选择（1）中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.13.2.3全等三角形的判定（SAS）
学习目标：（1）熟记边角边公理的内容；
（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等.
重点：学会运用公理证明两个三角形全等.
难点：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件.
探究 做一做：画△ABC,使AB=3cm ( http: / / www.21cnjy.com )，AC=4cm。这样画出来的三角形与同桌所画的 三角形进行比较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC：
画法：1. 画∠MAN= 45°
2. 在射线AM上截取AB= 3cm
3. 在射线AN上截取AC=4cm
4.连接BC
∴△ABC就是所求的三角形
把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？
问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合吗？即△ABC≌△ DEF ？
（2）三角形全等识别方法： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
二讲例：已知：如图， AB=CB ，∠ A ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ∠ CBD，则 △ ABD 和△ CBD 全等吗？依据是什么？
如果现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:问AD=CD，BD平分∠ADC吗？请同桌之间相互讨论解决。
三巩固 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。问∠A=∠ C 吗？
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四拓展（1）因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处
各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出
B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、粗略测出两杆之间的距离。
（2）拓展：以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
它们全等吗？
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形_________全等。
猜一猜：是不是二条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？
如图△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=BD， ∠B=∠B
它们全等吗？
结论：这个角一定要是两边__________的角。
五课堂小结 ：
三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或SAS)
六检测.1如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DC∥AB
2 已知 AC=DB, ∠1=∠2. 求证: ∠A=∠D
3.如右图所示，点B、F、C、E在同一 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件________，使得AC＝DF.
4.如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。
5如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：△ADF≌△CBE
6.如图6，已知：∠A＝90°， AB=BD，ED⊥BC于 D.求证：AE＝ED
7已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上 求证：BE=AD
3㎝
5㎝
300
A
B
C
3㎝
5㎝
300
D
E
F
D
E
F
A
B
C
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
A
B
C
D
A
O
D
B
C
2
1
D
C
B
A
D
F
E
B
A
C
第5题
E
D
C
A
B全等三角形的判定方法（SSS）
【教学目标】：1、能自己试验探索出判定三角形全等的SSS判定定理。
2 、会应用判定定理SSS进行简单的推理判定两个三角形全等。
【重点】：探索过程，应用SSS.
【难点】：数学归纳法之猜想验证
导入
1、 全等三角形的定义
2、 全等三角形有什么性质？已知△ABC≌△DEF：
问题1：其中相等的边有：
问题2：其中相等的角有：
问题3：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？
探究 欣赏课本71页，（与SAS,ASA学习方法一样）
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
二、讲例例1：如下图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。求证：△ ABD≌ △ ACD
分析：要证明△ ABD≌ △ACD，首先
要看这两个三角形的三条边是否对应相等。
证明: ∵D是BC中点，
∴BD=CD.
在△ABD和△ ACD中,
例2： 如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D
证明：连结AC,
在△ABC和△ ADC中
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
总结： 四边形问题转化为三角形问题解决.
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？在原有条件下，还能推出什么结论？
三、巩固： 如图，已知点B、E、C、F在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠A＝∠D。（注意：此题中证明两个角相等，首先要证明什么呢？）
四知识拓展：（1）已知AC= ( http: / / www.21cnjy.com )FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
（2） 工人师傅常用角尺平分一个任意角 ( http: / / www.21cnjy.com )， 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。为什么？
五知识总结：
证明三角形全等的步骤：
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
(2)证明三角形全等书写三步骤：
①写出在哪两个三角形中
②摆出三个条件用大括号括起来
③写出全等结论
六．检测
1、如图，AB=AC，AE=AD，求证：△AEB ≌ △ ADC。
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
3、如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要什么条件？
4、如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分∠BAD
5.如图，给出下列四组条件：
①AB=DE,BC=EF,AC=DF； ( http: / / www.21cnjy.com ) ②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF; ③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组
6已知：如图1 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE
求证：（1）△ABC≌△FDE
（2）AC∥EF；DE∥BC
A
B
C
D
E
F
AB=DE
BC=EF
CA=FD
∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）
C
A
B
D
E
A
D
C
B13.2.6直角三角形的判定（HL）
【教学目标】：1、 能说出“斜边、直角边”公理。
2、会用“HL”公理证明两个直角三角形全等，说清证明直角三角形全等的思路。
【重点】：“斜边、直角边”公理的掌握和灵活运用。
【难点】：“斜边、直角边”探究与证明教学准备：
导入
1、提问：证明一般两个三角形全等有哪些方法
2、对于一般的三角形“S.S.A”可不可以证明三角形全等 （举出反例）
所以我们说一般三角形不一定全等，那么有没有特殊的三角形呢？
二、探究：
（1）动动手 做一做
画一个Rt△ABC,使∠C=90°,一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
（2）动动手 做一做
1:画∠MCN=90°;
2:在射线CM上截取CA=4cm;
3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
4:连结AB;△ABC即为所要画的三角形。
对比两个三角形，你能发现什么？
总结：斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”
注：试着分析定理中的重要词句，两个条件，一个前提，指的是什么？
斜边、直角边定理 (HL)推理格式
三、讲例例1：已知：如图,在△ABC和△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD.（步骤自己写）
四、巩固
练习1. 如图∠C= ∠D=90°，要证明△ACB≌ △BDA ，至少再补充几个条件，应补
充什么条件？把它们分别写出来。
练习2：如图 在△ABC中，已知B ( http: / / www.21cnjy.com )D⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.说明△EBC≌ △DCB的理由.
练习3：如图所示，在△ABC中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=90°，在BC上截取BF=BA，作DF⊥BC，交AC于D点，连结BD，作AE⊥BC于E点，交BD于G点，连结GF，试说明：GD平分∠AGF和∠ADF。
五、小结：
直角三角形 全等的条件：
1）定义（重合）法；
2）解题中常用的4种方法
HL（直角三角形全等用）
思考？
1.任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？
2.任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？
3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？
六、检测
一、选择题
1、三角形中，若一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是（ ）
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰角三角形
2、不能判定两个直角三角形全等的方法是（ ）
A、两个直角边对应相等 B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一直角边对应相等 D、两个锐角对应相等
3、如图AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，则图中全等的三角形对数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）４
二、判断题。下列条件能判定△ABC≌△DEF的，写出判定方法，不能判定全等的说明原因。
1、AB=EF，∠A=∠E，∠B=∠F
2、AB=DE，AC=DF，∠B=∠E
3、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D
4、∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
5、∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
6、AB=DE，BC=EF，∠A=∠E
7、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE
三、证明题
1、已知，如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC。
求证：DC=CB
已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD
5cm
4cm13.3.1 等腰三角形的性质
学习目标：
1、理解并掌握“等边对等角”定理，能够运用“等边对等角”定理解决实际问题；
2、理解并掌握“三线合一”定理，能够运用“三线合一”定理解决实际问题；
重点：“等边对等角”的探究过程。
难点：“等边对等角”和“三线合一”在实际中的应用。
导入
什么是等腰三角形？三角形的三边关系？
____________________________________
2、等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 .
3. （1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；
（2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
（3）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
探究
1、预习课本78----79页
2、 如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的三角形ABC有什么特点？
想一想
（1）、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
（2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
（3）由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？
( http: / / www.21cnjy.com )
（4）大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗
（5）猜想与论证：等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
方法一： 证明: 作顶角的平分线AD 则有∠1＝∠2
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
方法二：方法三：
几何语言
结论： 性质2：
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
《1》 ∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（三线合一）
《2》∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一）
《3》∵AB=AC， AD⊥BC （已知）
∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
（7）小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_____
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为_____
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_____
4等腰三角形有一个外角是80°，它的三个内角分别是_____
5.等边三角形每个内角都是_____
三讲例
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
例2、如图，在△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，BD=CD，AD的延长线交BC于E.求证：AE⊥BC.
巩固
判断下列语句是否正确
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。 （ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°.（ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）
五小结
等腰三角形性质
六。检测
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E， DF⊥ AC于F。
求证：DE=DF
2如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
A
B
C
1
2
D
∠1＝∠2
AD＝AD
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
H13.1命题、定理、证明
学习目标：
（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）．
（2）知道什么是真命题和假命题．
（3）理解什么是定理和证明
知识回顾：
1，平行线的判定和性质的区别是：
2，请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（4）两点确定一条直线．
1、阅读思考：①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③对顶角相等;
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断
2、定义： 的语句,叫做命题
（二）命题的构成：
1、许多命题都由 和 两部分组成.
是已知事项, 是由已知事项推出的事项.
2、命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分是 ,
"那么"后接的的部分是 .
（三）命题的分类 真命题： 。
（定理： 的真命题。）
假命题： 。
（四）请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．
命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
（1）命题1是真命题还是假命题？
（2）你能将命题1所叙述的内容用图形语言来表达吗？
（3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
（4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
（5）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？
证明：
直角三角形的两个锐角互余。
例1.已知：如图在Rt△ABC中，∠C=900
求证：∠A+∠B=900
例2．三角形的外角和等于3600
已知：△ABC，
求证：∠1+∠2+∠3=3600
【练 习】
1、 判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；（ ）
（2）请画出两条互相平行的直线； （ ）
（3）过直线外一点作已知直线的垂线； （ ）
（4）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余．（ ）
2、下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补，两直线平行；
（5）对顶角相等．
（6）等角的补角相等；
（7）平行四边形的对边相等
（8）相等的角是对顶角
（9）三角形的外角和是3600
3、下列命题的真假性？请说出你的理由。
（1）、相等的两角是对顶角。 （ 2）、对顶角相等。
（3）、内错角相等。 （4）、正数与负数的和仍是负数。
（5）、一个数的平方必是正数。
4、.在下面的括号里，填上推理的依据。
如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（ ）
∴∠C+∠D=180°（ ）
2、命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例。
【小结】
1．什么叫做命题？你能举出一些例子吗
2．命题是由哪两部分组成的？
3．举例说明什么是真命题，什么是假命题．
4、如何判断一个命题的真假？
5、谈谈你对证明的理解
B
A
C
2
A
1
B
C
313.2.4全等三角形的判定（ASA）
学习目标：
1、理解并掌握“角边角”定理，能够运用“角边角”定理解决实际问题；
2、会应用“角边角”定理构造全等三角形，体验解决问题方法的多样性，提高应用意识与创新意识。
重点：角边角定理的探究过程。
难点：角边角定理在实际中的应用。
导入
1、什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？所学过的识别两个三角形全等的方法有？
2、叙述S.A.S.的内容。
当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形一定全等吗？
探究：
1、已知：如图，要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含有条件是_________根据所给的判定方法，在下列横线上写出还需要的两个条件：
（1）____________________________________。（SAS）
（2）____________________________________。（SAS）
2、 如图19.2.7，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．
总结：三角形全等的又一种识别方法：两角一边。
判定：如果两个三角形的两个角及其夹边分别
对应相等，那么这两个三角形全等．
简记为 (A.S.A.)
定理：
如果两个三角形中有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．
练习：如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。
（1）AC∥BD，CE= ( http: / / www.21cnjy.com )DF，______________________________(S.A.S.)
( 2) AC=BD， AC∥BD_______________________________(A.S.A.)
( 3) CE=DF， _______________________________________(A.S.A.)
( 4)∠ C= ∠D，_______________________________________(A.S.A.)
三讲例
例1：如图19.2.9，已知∠ABC＝∠DCB，
∠ACB＝ ∠DBC，
求证： △ABC≌△DCB．
四巩固 （1）两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，
这两个直角三角形全等吗？为什么？
（2）两个直角三角形中，有一条直角边和一
锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
五小结 ASA判定定理内容：
六检测
1、如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DCB，试说明△ABC≌△DCB.
2、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠DBE=∠CBE。求证：AC=AD.
3、已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C，BE、DC交于O点。求证：BD=CE.
4、如图，D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，DB=CE，∠B=∠C，求证：BE=CD.
5.如图，AB//DC，AD//BC,BE⊥AC，DF ⊥ AC垂足为E、F。试说明：BE＝DF
变形，如图（2）将上题中的条件“BE⊥AC，DF ⊥ AC”变为“BE //DF”，结论还成立吗？请说明你的理由。
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F学习目标：
掌握三种尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。
通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。
3.激情投入，全力以赴，认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学习兴趣
重点：掌握作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的平分线的作法。
难点：尺规作图的理论依据
教学过程
一导入预习课本
尺规作图定义： ( http: / / www.21cnjy.com )
.作一条线段等于已知线段。
已知：线段MN＝a，求作一条线段等于a.
作法：（1）
（2）
（3）
三．作一个角等于已知角
已知：∠AOB 求作一个角等于∠AOB.
作法：（1）作 O1P1；
（2）以O为圆心，以 作弧，
交 ，交 ；
（3）以 为圆心，以 作弧，
交 ；
（4）以 为圆心，以 半径作弧，
交 ；
经过 作 。
则 即为所求的角。
想一想：为什么两个角相等？你会证明吗？
四 做已知角的角平分线
已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线.
作法：（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，
交OA于C 点，交OB 于D 点；
（2）分别以C、D 两点圆心，以大于 CD
长为半 径画弧，两弧相交于P 点；
（3）过O、P 作射线OP ，即为所求作的角平分线.
五练习（尺规作图）
1.任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB+2CD
2.任意画出两个角∠1和∠2，使∠1 > ∠2，再作一个角，使它等于∠1—∠2
3 把下图所示的角四等分
4 已知：线段a和b(a＞b)
求作：一个等腰△ABC,使它的腰长等于线段a，底边长等于b。
5 任意画一个（锐角、钝角）和直角三角形，画出三个内角的角平分线.，
并总结规律（不写画法，保留作图痕迹）
13.4.1尺规作图（2）
学习目标：
1.掌握三种尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。
2.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。
3.激情投入，全力以赴，认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣
重点：掌握经过一已知点作已知直线的垂线，作已知线段的垂直平分线
难点：尺规作图的理论依据
教学过程
预习88--90
复习
已知如图，ΔABC，求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC.
方法1： 方法2：
新课
（1）经过一已知点作已知直线的垂线
已知：直线l 及其外一点C .
求作：过C 点垂直于直线l 的直线.
作法：①以 点为圆心，以大于C 点到直线L的距
离为半经画弧，交直线于A、B 两点；
②分别以 、 两点为圆心，以大于1/2AB的
长度为半径画弧，两弧相交于D 点；
③过 、 两点作直线 ，即为所求作的垂线.
证明：
如果过直线上一点作已知直线的垂线
能否利用画平角的平分线的方法解决呢？
试试看，自己完成整个作图．
作法：
（2）画线段的垂直平分线
已知：线段AB ，画出它的垂直平分线.
作法：（1）分别以 、 两点为圆心，以大于AB 线段一
半的长为半径画弧，两弧交于C、D 两点；
（2）过C、D 两点作直线，即为所求作线段AB 的
垂直平分线.
证明：
三练习1.如图，过点P画∠O两边的垂线
2已知：线段a和b，
求作：一个△ABC,使它的两条直角边分别等于线段a和b 。
作法：
3(2011.青岛）已知：如图线段a和h。
求作：△ABC,使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h
13.4.1尺规作图
a
M
N
A
C
B
a
M
N
O
B
A
O
B
A
P
C
D
A
B
C
l
C
D
B
A
l
C
A
B
A
B
C
D
b
a
B
C
A
D
h13.5.2. 线段的垂直平分线
学习目标：1、初步掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。
2、会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
重点：掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。
难点：线段的垂直平分线的定理及其逆定理的应用。
知识回顾：
1、线段垂直平分线的定义：
2尺规作已知线段AB的垂直平分线MN：
二、新知导入：
在MN上任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的点到 .
已知，如图直线MN⊥AB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上
求证：PA=PB
线段垂直平分线性质定理：
逆命题：
已知，如图PA=PB,
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
1、逆定理：
试 试一试，1.求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
实 ２．已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.
求证:点C在AD的垂直平分线上.
线段的垂直平分线
一、性质定理：
二、逆定理：
达标测评
一、1、如图，在△ABC中，AB＝AC，ED垂直平分AB，
（1）若∠A＝50°，则∠ABD＝ ，∠DBC＝ 。
（2） 若BD＝10，则AD= 。
（3） 若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。
2．如下图左，Rt△ABC中，∠C=90°，
斜边AB的垂直平分线交AB于点D，
交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列
关系不成立的是（ ）
A．∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA
C．∠B=∠BAE D．AC=2EC
3.一题多变
（1）．如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．
（2）一变：如下图所示，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周长为b，求△BCE的周长．
4．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等。
二，1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，
AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
2．如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，E为垂足，BC＝5cm，求△BCD的周长。
3．如图，MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，
求证：AC＝BD，∠ACD＝∠BDC。
4．如图，已知AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DC
A
B
M
P
C
B
A
N
P
B
A
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C
B
A
A
D
C
B
