人教版数学八年级上册 12.2.4 斜边、直角边 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第十二章
全等三角形
八年级数学人教版·上册
12.2.4 斜边、直角边
教学目标
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）
新课导入
我们学过的判定三角形全等的方法
SSS
SAS
ASA
AAS
回顾旧知
新课导入
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直
角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
新知探究
A
B
C
A′
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
口头回答：
全等，AAS或ASA
全等，AAS
全等，SAS
新知探究
动脑想一想
如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
△ABC≌△DEF吗？
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
新知探究
问题：
如果这两个三角形都是直角三角形，
即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，
现在能判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
一、直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
新知探究
任意画出一个Rt△ABC , 使∠C=90°. 再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C ′=90 °,
B ′C ′=BC , A ′B ′=AB .把画好的Rt△A′B ′C ′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
作图探究
新知探究
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
新知探究
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
N
B′
M
C′
A
B
C
画图思路
新知探究
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′
M
C′
N
B′
A′
A
B
C
画图思路
新知探究
（4）连接A′B′
M
C′
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
A
B
C
画图思路
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角
三角形全等（简写成“斜边、直角边”
或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
新知探究
新知探究
典例精析
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA，
AC=BD ，
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
新知探究
变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个
什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全
等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
A
B
D
C
新知探究
变式2：如图，AC，BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别
为C，D , AD=BC.求证：AC=BD.
HL
AC=BD
Rt△ABD ≌ Rt△BAC
变式3：如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD ≌ Rt△CDB
AD∥BC
新知探究
例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，
AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.
即BC＝BE.
新知探究
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理
就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使
用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
新知探究
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向
的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴ ∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
新知探究
课堂小结
斜边
直角边
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提
条件
在直角三角形中
使用
方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
课堂小测
D
A
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD，CE交于
点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
课堂小测
4.如图，在△ABC 中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC ≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC ≌Rt△DCB (HL).
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）.
全等
HL
课堂小测
A
F
C
E
D
B
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF ≌ Rt△CDE (HL).
∴BF=DE.
课堂小测
变式训练1：如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF ≌Rt△CDE (HL).
BF=DE
Rt△GBF ≌ Rt△GDE (AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
课堂小测
变式训练2：如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF ≌ Rt△CDE (HL).
BF=DE
Rt△GBF ≌ Rt△GDE (AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
课堂小测
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，
一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC 的射线AQ上运动，
问P 点运动到AC上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ ≌ Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P 点的位置．②Rt△QAP ≌ Rt△BCA，此时AP＝AC，P，C 重合．
解：①当P 点运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC 与 Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC ≌ Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
能力拓展
课堂小测
②当P 点运动到与C 点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC 与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP ≌ Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC 才能和△APQ 全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有
说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．