选修2-3 第一章 计数原理 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步训练B卷（含详细解析）
文档属性
| 名称 | 选修2-3 第一章 计数原理 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步训练B卷（含详细解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 341.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-15 17:05:34 | ||
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文档简介
选修2-3 第一章 计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步训练B卷（含详细解析）
一．选择题（共23小题）
1．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（ ） 21*cnjy*com
A． 24种 B． 72种 C． 84种 D． 120种
2．将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）
A． 6种 B．12种 C． 18种 D． 24种
3．用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，若A、B、C的值互不相同，则不同的直线共有（ ）
A． 25条 B．60条 C．80条 D．181条
4．已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（ ）
A． b2 B． C． D．
5．设A=（1，2，3，…，10），若方程x2﹣bx﹣c=0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A． 8个 B． 10个 C．12个 D． 14个
6．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A． 6个 B．10个 C．12个 D．16个
7．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A． 26 B．24 C．20 D． 19
8．小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A． 9 B．21 C．12 D．8
9．从﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． 6 B．20 C．100 D． 120
10．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）
A． 24个 B．21个 C． 19个 D． 18个
11．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的ai（i=2，3，4，5，6）总有ak（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|ai﹣ak|=1，则这样的排列共有（ ）
A． 36 B．32 C．28 D．20
12．数列{an}共有5项，a1=0，|ak+1﹣ak|=1，k=1，2，3，4，则a5=2时能组成的数列的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C．5 D．6
13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A． 108种 B． 60种 C． 48种 D．36种
14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B．8个 C． 9个 D． 10个
15．若x，y分别在，﹣10，﹣9，…，﹣1，0，1，…，10这21个整数中任意取值，则P（x，y）在第二象限的点的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A． 100 B． 99 C． 121 D．81
16．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）
A． 6种 B．8种? C． 10种 D． 16种
17．若m，n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中ai（i=0，1，2）∈{1，2，3，4，5，6}，并且m+n=606，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（ ）
A． 32个 B．30个 C．62个 D．60个
18．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）
A． 6个 B． 7个 C．8个 D．9个
19．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A． 3种 B． 4种 C．5种 D． 6种
20．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（ ）
A． 12种 B．6种 C． 10种 D．9种
21．若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（ ）
A． 20 B．16 C．150 D．300
22．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． 1998年 B．2000年 C．1950年 D． 1960年
23．从A={a1，a2，a3，a4}到B={b1，b2，b3，b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有（ ）个．
A． 12 B．13 C． 14 D．16
二．解答题（共4小题）
24．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
25．从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？
26．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
（1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？
27．已知集合A，B满足A∪B={0，1}，试分别用分类计数原理、分步计数原理两种方法求出A，B的组数．21教育网
参考答案及解析
一．选择题（共23小题）
1．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（ ）21世纪教育网版权所有
A． 24种 B． 72种 C． 84种 D． 120种
2．将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）21·cn·jy·com
A． 6种 B．12种 C． 18种 D． 24种
答案：A
解：∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，
1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，
5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；
余下两个数字按从小到大只有一种方法．
4．已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（ ）21·世纪*教育网
A． b2 B． C． D．
答案：C
解：∵b确定，
∴a的范围为1﹣﹣b的整数，
因同时要满足c＜a+b，
∴当a=1时，c可取值只有b，
当a=2时，c可取值为b，b+1；
a=3时，c可取值为b，b+1，b+2；
…
a=b时，c可取值为b，b+1，b+2…2b﹣1；
所以符合条件的三角形数量为1+2+3+…+b=
故选C．
5．设A=（1，2，3，…，10），若方程x2﹣bx﹣c=0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A． 8个 B． 10个 C．12个 D． 14个
元素的互异性，故排除；
c=10时，有10×1=10，b=10﹣1=9，则漂亮方程为x2﹣10x﹣9=0，
同时，有2×5=10，b=5﹣2=3，则漂亮方程为x2﹣3x﹣10=0；
综合可得，共12个漂亮方程，
故选C．
6．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A． 6个 B．10个 C．12个 D．16个
答案：C
解：由，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；
点A（1，f（1））、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况．
f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．
f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．
f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．
因而满足条件的函数f（x）有12种．
故选C
7．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）21*cnjy*com
A． 26 B．24 C．20 D． 19
答案：D
解：依题意，首先找出A到B的路线，一共有四条，
分别是：BFGA，信息量最大量为6；BCDA，信息量最大量为3，BEDA，信息量最大量为4，BHGA，信息量最大量为6，
故单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19，
故选D．
8．小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
y=ax2+bx+c的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）
A． 6 B．20 C．100 D． 120
答案：A
解：分三步：第一步C=0只有1种方法；第二步确定a，a从﹣2、﹣1中选一个有2种不同方法；
第三步确定b从1、2、3中选一个，有3中不同方法．根据乘法计数原理得1×2×3=6种不同方法．
故选A
10．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）
A． 24个 B．21个 C． 19个 D． 18个
答案：B
解：某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．
∴从2000年到2999年中“七巧年”需要后面三个数之和为5，有
0、1、4；
0、0、5；
2、3、0；
2、2、1；
1，1，3
五个类型，后三个数字是
0、1、4；
2、3、0；
各有A33=6个，即12个．
后三个数字是
0、0、5；
2、2、1；
1、1、3
各有3个，共有9个；
共有12+9=21．
故选：B．
11．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的ai（i=2，3，4，5，6）总有ak（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|ai﹣ak|=1，则这样的排列共有（ ）21cnjy.com
A． 36 B．32 C．28 D．20
答案：B
解：如果1不在前左边，则2必须在1的左边
（1）23456的次序保存不变，变化1的位置：（123456）（213456）（231456）（234156）（234516）（234561）www-2-1-cnjy-com
（2）3456次序不变，1和2的次序为21（同时3必须在21的左边）：（321456）（324156）（324516）（324561）
（342156）（342516）（342561）（345216）（345261）（345621）
（3）456次序不变：（432156）（432516）（432561）（435216）（435261）（435621）（453216）（453261）（453621）
（456321）
（4）56次序不变：（543216）（543261）（543621）（546321）（564321）
（5）6在最左：（654321）
共32种可能
故选：B．
12．数列{an}共有5项，a1=0，|ak+1﹣ak|=1，k=1，2，3，4，则a5=2时能组成的数列的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C．5 D．6
13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A． 108种 B． 60种 C． 48种 D．36种
答案：A
解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，
当1，5，9，为其中一种颜色时，
2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．
4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．
当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况
符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，
故选A．
14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B．8个 C． 9个 D． 10个
答案：C
解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，
函数解析式为y=x2，值域为{1，4}时，
它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}
共有9种不同的情况，
故选C．
15．若x，y分别在，﹣10，﹣9，…，﹣1，0，1，…，10这21个整数中任意取值，则P（x，y）在第二象限的点的个数是（ ）
A． 100 B． 99 C． 121 D．81
答案：A
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
注意第二象限的点的坐标特点，
横标小于0，而纵标大于0，
首先选出点的横标，共有10种结果，
再选出纵标，共有10种结果，
∴根据分步计数原理知共有10×10=100种结果，
故选A．
16．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）
A． 6种 B．8种? C． 10种 D． 16种
答案：C
解：根据题意，做出树状图，
注意第四次时，毽子不在甲那里．
分析可得，
共有10种不同的传递方式；
故选C．
17．若m，n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中ai（i=0，1，2）∈{1，2，3，4，5，6}，并且m+n=606，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（ ）
A． 32个 B．30个 C．62个 D．60个
答案：D
解：记A=∈{x|x=a0+a1?10+a2?100}，
实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=606在A中的解的个数，按10进制位考察即可．
首先看个位，a0+a0=6，有5种可能，再往前看：
a1+a1=0且a2+a2=6，有0×5=0种可能； a1+a1=10且a2+a2=5，有3×4=12种可能，
所以一共有（0+12）×5=60个解，对应于平面上60个不同的点．
故选D．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）2-1-c-n-j-y
A． 6个 B． 7个 C．8个 D．9个
答案：C
解：在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，
题目条件比较特殊，相同位置的元素具有共同的性质，
以A为顶点列举出所有可能的三角形
有AEG，AEF，AEC，AEH，ABC，ABG，AFG
以E为顶点的有EHF
根据分类计数原理知共有7+1=8
故选C．
19．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A． 3种 B． 4种 C．5种 D． 6种
答案：B
解：：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
判定出四边形ABCD为平行四边形．
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
判定出四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
20．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（ ）
A． 12种 B．6种 C． 10种 D．9种
答案：D
解：由题意，他的父母的血液类型都是A、B、O三种之一，故每人的血液类型有三种可能
则其父母血型的所有可能情况有3×3=9种
故选D．
21．若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（ ）
A． 20 B．16 C．150 D．300
答案：D
解：由题意知本题是一个分步计数原理，
第一位取法两种为0，1
第二位有10种从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
第三位有5种，0，1，2，3，4，
第四为有3种，0，1，2
根据分步计数原理知共有2×10×5×3=300个
故选D．
22．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（ ）【出处：21教育名师】
A． 1998年 B．2000年 C．1950年 D． 1960年
答案：C
解：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸共有十天干，
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥共有十二地支，
天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．
经过两组数据的个数的最小公倍数，可以完成一周，进入下一轮，
10和12 的最小公倍数是60，
∴那么上一个庚寅年是2010﹣60=1950，
故选C．
23．从A={a1，a2，a3，a4}到B={b1，b2，b3，b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有（ ）个．【版权所有：21教育】
A． 12 B．13 C． 14 D．16
答案：C
解：a1的象不能是b1，分两种情况：
①a1的象是b4，a4的象有3种选择，其它两个元素的象分别有2和1选择，共3×2×1=6；
②a1的象不是b4，有两种选择，a4的象也有2种选择，其它两个元素的象分别有2和1选择，
共2×2×2×1=8．
∴总计6+8=14．
故选C．
二．解答题（共4小题）
24．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
解：设较小的两边长为x、y且x≤y，
则x≤y≤11，x+y＞11，x、y∈N*．
当x=1时，y=11；
当x=2时，y=10，11；
当x=3时，y=9，10，11；
当x=4时，y=8，9，10，11；
当x=5时，y=7，8，9，10，11；
当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；
当x=7时，y=7，8，9，10，11；
…
当x=11时，y=11．
所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36，
故答案为36．
25．从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？21教育名师原创作品
解：∵乘积是奇数的个数比较好求，两个数都为质数1，3，5，7，乘积不会重复．
所以先求奇数个数为：4个数字1，3，5，7中任意选2个有6个结果
而总乘积个数为8个数字中任意选2个有28个结果，
∵0乘以任何数都是0，有6个多余重复的0
∴28﹣6=22个
∵乘积除了奇数就是偶数，那么总个数减去奇数个数，
就可以得到偶数个数22﹣6=16个
26．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
（1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？
解：（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题；
从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况，
则共有5+4=9种．
（2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，是分步问题；
因此应分两个步骤完成，①从第一个口袋中取一封信有5种情况，②从第二个口袋中取一封信有4种情况，
由分步乘法计数原理，共有5×4=20（种）．
（3）第一封信投入邮筒有4种可能，
第二封信仍有4种可能，
…
第九封信还有4种可能．
由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的放法．
27．已知集合A，B满足A∪B={0，1}，试分别用分类计数原理、分步计数原理两种方法求出A，B的组数．2·1·c·n·j·y
解：法一用分类计数原理．
因为A∪B={0，1}，所以A?{0，1}．
若A=?，则B={0，1}，只有1组；
若A={0}，则B={1}或{0，1}，共2组；
若A={1}，则B={0}或{0，1}，共2组；
若A={0，1}，则B=?或{0}或{1}或{0，1}，共4组．
根据分类计数原理知，满足A∪B={0，1}的集合A、B共有1+2+2+4=9（组）．
法二：用分步计数原理．A∪B={0，1}可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”．
第1步，放“0”，共有“只放入A”，“只放入B”，“既放入A也放入B”3种情形；
第2步，放“1”，同上，也共有3种情形．
根据分步计数原理知，满足A∪B=0，1的集合A、B共有3×3=9（组）．
一．选择题（共23小题）
1．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（ ） 21*cnjy*com
A． 24种 B． 72种 C． 84种 D． 120种
2．将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）
A． 6种 B．12种 C． 18种 D． 24种
3．用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，若A、B、C的值互不相同，则不同的直线共有（ ）
A． 25条 B．60条 C．80条 D．181条
4．已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（ ）
A． b2 B． C． D．
5．设A=（1，2，3，…，10），若方程x2﹣bx﹣c=0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A． 8个 B． 10个 C．12个 D． 14个
6．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A． 6个 B．10个 C．12个 D．16个
7．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A． 26 B．24 C．20 D． 19
8．小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A． 9 B．21 C．12 D．8
9．从﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． 6 B．20 C．100 D． 120
10．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）
A． 24个 B．21个 C． 19个 D． 18个
11．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的ai（i=2，3，4，5，6）总有ak（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|ai﹣ak|=1，则这样的排列共有（ ）
A． 36 B．32 C．28 D．20
12．数列{an}共有5项，a1=0，|ak+1﹣ak|=1，k=1，2，3，4，则a5=2时能组成的数列的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C．5 D．6
13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A． 108种 B． 60种 C． 48种 D．36种
14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B．8个 C． 9个 D． 10个
15．若x，y分别在，﹣10，﹣9，…，﹣1，0，1，…，10这21个整数中任意取值，则P（x，y）在第二象限的点的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A． 100 B． 99 C． 121 D．81
16．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）
A． 6种 B．8种? C． 10种 D． 16种
17．若m，n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中ai（i=0，1，2）∈{1，2，3，4，5，6}，并且m+n=606，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（ ）
A． 32个 B．30个 C．62个 D．60个
18．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）
A． 6个 B． 7个 C．8个 D．9个
19．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A． 3种 B． 4种 C．5种 D． 6种
20．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（ ）
A． 12种 B．6种 C． 10种 D．9种
21．若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（ ）
A． 20 B．16 C．150 D．300
22．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． 1998年 B．2000年 C．1950年 D． 1960年
23．从A={a1，a2，a3，a4}到B={b1，b2，b3，b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有（ ）个．
A． 12 B．13 C． 14 D．16
二．解答题（共4小题）
24．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
25．从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？
26．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
（1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？
27．已知集合A，B满足A∪B={0，1}，试分别用分类计数原理、分步计数原理两种方法求出A，B的组数．21教育网
参考答案及解析
一．选择题（共23小题）
1．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（ ）21世纪教育网版权所有
A． 24种 B． 72种 C． 84种 D． 120种
2．将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）21·cn·jy·com
A． 6种 B．12种 C． 18种 D． 24种
答案：A
解：∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，
1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，
5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；
余下两个数字按从小到大只有一种方法．
4．已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（ ）21·世纪*教育网
A． b2 B． C． D．
答案：C
解：∵b确定，
∴a的范围为1﹣﹣b的整数，
因同时要满足c＜a+b，
∴当a=1时，c可取值只有b，
当a=2时，c可取值为b，b+1；
a=3时，c可取值为b，b+1，b+2；
…
a=b时，c可取值为b，b+1，b+2…2b﹣1；
所以符合条件的三角形数量为1+2+3+…+b=
故选C．
5．设A=（1，2，3，…，10），若方程x2﹣bx﹣c=0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A． 8个 B． 10个 C．12个 D． 14个
元素的互异性，故排除；
c=10时，有10×1=10，b=10﹣1=9，则漂亮方程为x2﹣10x﹣9=0，
同时，有2×5=10，b=5﹣2=3，则漂亮方程为x2﹣3x﹣10=0；
综合可得，共12个漂亮方程，
故选C．
6．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A． 6个 B．10个 C．12个 D．16个
答案：C
解：由，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；
点A（1，f（1））、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况．
f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．
f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．
f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．
因而满足条件的函数f（x）有12种．
故选C
7．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）21*cnjy*com
A． 26 B．24 C．20 D． 19
答案：D
解：依题意，首先找出A到B的路线，一共有四条，
分别是：BFGA，信息量最大量为6；BCDA，信息量最大量为3，BEDA，信息量最大量为4，BHGA，信息量最大量为6，
故单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19，
故选D．
8．小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
y=ax2+bx+c的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）
A． 6 B．20 C．100 D． 120
答案：A
解：分三步：第一步C=0只有1种方法；第二步确定a，a从﹣2、﹣1中选一个有2种不同方法；
第三步确定b从1、2、3中选一个，有3中不同方法．根据乘法计数原理得1×2×3=6种不同方法．
故选A
10．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）
A． 24个 B．21个 C． 19个 D． 18个
答案：B
解：某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．
∴从2000年到2999年中“七巧年”需要后面三个数之和为5，有
0、1、4；
0、0、5；
2、3、0；
2、2、1；
1，1，3
五个类型，后三个数字是
0、1、4；
2、3、0；
各有A33=6个，即12个．
后三个数字是
0、0、5；
2、2、1；
1、1、3
各有3个，共有9个；
共有12+9=21．
故选：B．
11．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的ai（i=2，3，4，5，6）总有ak（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|ai﹣ak|=1，则这样的排列共有（ ）21cnjy.com
A． 36 B．32 C．28 D．20
答案：B
解：如果1不在前左边，则2必须在1的左边
（1）23456的次序保存不变，变化1的位置：（123456）（213456）（231456）（234156）（234516）（234561）www-2-1-cnjy-com
（2）3456次序不变，1和2的次序为21（同时3必须在21的左边）：（321456）（324156）（324516）（324561）
（342156）（342516）（342561）（345216）（345261）（345621）
（3）456次序不变：（432156）（432516）（432561）（435216）（435261）（435621）（453216）（453261）（453621）
（456321）
（4）56次序不变：（543216）（543261）（543621）（546321）（564321）
（5）6在最左：（654321）
共32种可能
故选：B．
12．数列{an}共有5项，a1=0，|ak+1﹣ak|=1，k=1，2，3，4，则a5=2时能组成的数列的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C．5 D．6
13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A． 108种 B． 60种 C． 48种 D．36种
答案：A
解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，
当1，5，9，为其中一种颜色时，
2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．
4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．
当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况
符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，
故选A．
14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B．8个 C． 9个 D． 10个
答案：C
解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，
函数解析式为y=x2，值域为{1，4}时，
它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}
共有9种不同的情况，
故选C．
15．若x，y分别在，﹣10，﹣9，…，﹣1，0，1，…，10这21个整数中任意取值，则P（x，y）在第二象限的点的个数是（ ）
A． 100 B． 99 C． 121 D．81
答案：A
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
注意第二象限的点的坐标特点，
横标小于0，而纵标大于0，
首先选出点的横标，共有10种结果，
再选出纵标，共有10种结果，
∴根据分步计数原理知共有10×10=100种结果，
故选A．
16．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）
A． 6种 B．8种? C． 10种 D． 16种
答案：C
解：根据题意，做出树状图，
注意第四次时，毽子不在甲那里．
分析可得，
共有10种不同的传递方式；
故选C．
17．若m，n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中ai（i=0，1，2）∈{1，2，3，4，5，6}，并且m+n=606，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（ ）
A． 32个 B．30个 C．62个 D．60个
答案：D
解：记A=∈{x|x=a0+a1?10+a2?100}，
实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=606在A中的解的个数，按10进制位考察即可．
首先看个位，a0+a0=6，有5种可能，再往前看：
a1+a1=0且a2+a2=6，有0×5=0种可能； a1+a1=10且a2+a2=5，有3×4=12种可能，
所以一共有（0+12）×5=60个解，对应于平面上60个不同的点．
故选D．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）2-1-c-n-j-y
A． 6个 B． 7个 C．8个 D．9个
答案：C
解：在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，
题目条件比较特殊，相同位置的元素具有共同的性质，
以A为顶点列举出所有可能的三角形
有AEG，AEF，AEC，AEH，ABC，ABG，AFG
以E为顶点的有EHF
根据分类计数原理知共有7+1=8
故选C．
19．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A． 3种 B． 4种 C．5种 D． 6种
答案：B
解：：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
判定出四边形ABCD为平行四边形．
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
判定出四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
20．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（ ）
A． 12种 B．6种 C． 10种 D．9种
答案：D
解：由题意，他的父母的血液类型都是A、B、O三种之一，故每人的血液类型有三种可能
则其父母血型的所有可能情况有3×3=9种
故选D．
21．若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（ ）
A． 20 B．16 C．150 D．300
答案：D
解：由题意知本题是一个分步计数原理，
第一位取法两种为0，1
第二位有10种从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
第三位有5种，0，1，2，3，4，
第四为有3种，0，1，2
根据分步计数原理知共有2×10×5×3=300个
故选D．
22．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（ ）【出处：21教育名师】
A． 1998年 B．2000年 C．1950年 D． 1960年
答案：C
解：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸共有十天干，
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥共有十二地支，
天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．
经过两组数据的个数的最小公倍数，可以完成一周，进入下一轮，
10和12 的最小公倍数是60，
∴那么上一个庚寅年是2010﹣60=1950，
故选C．
23．从A={a1，a2，a3，a4}到B={b1，b2，b3，b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有（ ）个．【版权所有：21教育】
A． 12 B．13 C． 14 D．16
答案：C
解：a1的象不能是b1，分两种情况：
①a1的象是b4，a4的象有3种选择，其它两个元素的象分别有2和1选择，共3×2×1=6；
②a1的象不是b4，有两种选择，a4的象也有2种选择，其它两个元素的象分别有2和1选择，
共2×2×2×1=8．
∴总计6+8=14．
故选C．
二．解答题（共4小题）
24．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
解：设较小的两边长为x、y且x≤y，
则x≤y≤11，x+y＞11，x、y∈N*．
当x=1时，y=11；
当x=2时，y=10，11；
当x=3时，y=9，10，11；
当x=4时，y=8，9，10，11；
当x=5时，y=7，8，9，10，11；
当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；
当x=7时，y=7，8，9，10，11；
…
当x=11时，y=11．
所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36，
故答案为36．
25．从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？21教育名师原创作品
解：∵乘积是奇数的个数比较好求，两个数都为质数1，3，5，7，乘积不会重复．
所以先求奇数个数为：4个数字1，3，5，7中任意选2个有6个结果
而总乘积个数为8个数字中任意选2个有28个结果，
∵0乘以任何数都是0，有6个多余重复的0
∴28﹣6=22个
∵乘积除了奇数就是偶数，那么总个数减去奇数个数，
就可以得到偶数个数22﹣6=16个
26．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
（1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？
解：（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题；
从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况，
则共有5+4=9种．
（2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，是分步问题；
因此应分两个步骤完成，①从第一个口袋中取一封信有5种情况，②从第二个口袋中取一封信有4种情况，
由分步乘法计数原理，共有5×4=20（种）．
（3）第一封信投入邮筒有4种可能，
第二封信仍有4种可能，
…
第九封信还有4种可能．
由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的放法．
27．已知集合A，B满足A∪B={0，1}，试分别用分类计数原理、分步计数原理两种方法求出A，B的组数．2·1·c·n·j·y
解：法一用分类计数原理．
因为A∪B={0，1}，所以A?{0，1}．
若A=?，则B={0，1}，只有1组；
若A={0}，则B={1}或{0，1}，共2组；
若A={1}，则B={0}或{0，1}，共2组；
若A={0，1}，则B=?或{0}或{1}或{0，1}，共4组．
根据分类计数原理知，满足A∪B={0，1}的集合A、B共有1+2+2+4=9（组）．
法二：用分步计数原理．A∪B={0，1}可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”．
第1步，放“0”，共有“只放入A”，“只放入B”，“既放入A也放入B”3种情形；
第2步，放“1”，同上，也共有3种情形．
根据分步计数原理知，满足A∪B=0，1的集合A、B共有3×3=9（组）．