2023年中考猜押预测卷03（广东专用）
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．为保证2022年北京冬奥会的顺利举行，我国用于各项比赛项目的筹建以及冬奥会各项保障工作共投资1728亿元，其中1728亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.728×1011 B．1.728×1012
C．17.28×1010 D．0.1728×1013
4．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
5．九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为( )
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，在中，已知直径垂直弦，，那么的度数等于（ ）
A． B． C． D．
8．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色表示正数，黑色表示负数），图1所表示的是的计算过程，则图2所表示的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解2x2﹣4x的结果是 _____．
12．设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
13．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为________
14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示．根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约为______千克．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P是边AB上的一个动点，连接DP，若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上，则AP的长为______．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
16．已知．
(1)化简A；
(2)如图，在菱形ABCD中，，对角线，若的周长为，求A的值．
17．（1）计算：
（2）解不等式组：
18．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．
(1)求k的值；
(2)线段BC的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
19．“千年古城，文化襄平”，辽阳市第一中学为传承襄平文化，征集学生书画作品．从全校60个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的4个班共征集到作品______件，表示C班的扇形圆心角的度数为______；
(2)补全条形统计图；
(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
20．如图，是的直径，C、D是上两点，且，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连结交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为2，求阴影部分的面积．
21．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图1，连接AD，交y轴于点E，点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD交x轴于F，连接EF、AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设△AOQ外接圆圆心为H，当sin∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标．
23．(1)【尝试探究】已知中，，点O是的中点，作，分别交于点P、Q，连接．
①如图1，若，试探索线段之间的数量关系；
②如图2，试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；
(2)【解决问题】如图3，已知中，，点O是的中点，过C、O两点的圆分别交边于点P、Q，连接，求面积的最大值．
92023年中考猜押预测卷03（广东专用）
数学解析
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【详解】解：的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解题关键是牢记相反数的定义．
2．如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义，找到左视图对应的图形，即可．
【详解】由立体几何得，该几何体的左视图为：
，
故选：A．
【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是三视图的定义．
3．为保证2022年北京冬奥会的顺利举行，我国用于各项比赛项目的筹建以及冬奥会各项保障工作共投资1728亿元，其中1728亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.728×1011 B．1.728×1012
C．17.28×1010 D．0.1728×1013
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：1728亿，共有位数字，的后面有位，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
5．九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱，
依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得：，
∴，
∵，A，B．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴，即，
解得：CD=6，．
故选：B
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
7．如图，在中，已知直径垂直弦，，那么的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，由等腰三角形的“三线合一”可得，从而利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，
直径垂直弦，，OC=OD，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色表示正数，黑色表示负数），图1所表示的是的计算过程，则图2所表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，由此即可得出答案．
【详解】解：由图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，
则图2表示的过程是在计算，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，掌握理解每个算筹所表示的数是解题关键．
9．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．
【详解】∵，
∴．
由旋转的性质可知，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解2x2﹣4x的结果是 _____．
【答案】2x（x﹣2）
【分析】利用提公因式法分解因式即可解答；
【详解】解：原式＝2x（x﹣2），
故答案为：2x（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式：如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．
12．设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2021
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：a是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
13．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为________
【答案】
【分析】由图象即可知不等式kx+b≥3的解集．
【详解】由图象可知：当时，直线y＝kx+b（k≠0）的图象在直线的上方
当时，不等式kx+b≥3
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想通过一次函数的图象解一元一次不等式是解题的关键．
14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示．根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约为______千克．
【答案】62.5
【分析】求出样本中这100户家庭中投放有害垃圾质量的平均数，再乘以500可得答案．
【详解】解：估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾共约
（千克），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，利用样本估计总体，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P是边AB上的一个动点，连接DP，若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上，则AP的长为______．
【答案】3或
【分析】在分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【详解】解：①点A落在矩形对角线BD上的点E处，如图所示．
∵AB=8，AD=6，
∴BD=10，
根据折叠的性质，AD=ED=6，AP=EP，∠A=∠PED=90°，
∴BE=4，
设AP=x，则BP=8-x，
∵BP2=BE2+PE2，
∴（8-x）2=x2+42，
解得：x=3，
∴AP=3；
②点A落在矩形对角线AC上点F处，如图所示：
由折叠的性质可知PD垂直平分AF，
∴∠BAC+∠FAD=∠PDA+∠FAD=90°．
∴∠BAC=∠PDA．
∴tan∠BAC=tan∠PDA．
∴，即．
∴AP=．
综上所述AP的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及解直角三角形；依据翻折的性质找准相等的量是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
16．已知．
(1)化简A；
(2)如图，在菱形ABCD中，，对角线，若的周长为，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将括号内式子通分，再将分式除法转变为分式乘法，约分化简即可；
（2）由菱形的性质得，则的周长，求出a值，代入（1）的结果即可求解．
(1)
解：；
(2)
解：由菱形的性质可得，
∵对角线，的周长为，
∴ ，
∴，
由（1）得，
∴．
【点睛】本题考查分式的化简求值、菱形的性质等，熟练掌握分式的运算法则及菱形的性质是解题的关键．
17．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）x＜－1
【分析】（1）根据实数的混合运算法则和顺序计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=-32-1
=0；
（2），
由①得x＜-1，
由②得x≤3，
所以原不等式组的解集为x＜-1．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．
(1)求k的值；
(2)线段BC的长．
【答案】(1)32
(2)3
【分析】（1）先根据正比例函数可得点的坐标，再将其代入反比例函数的解析式即可得；
（2）先根据点的坐标可得的长，设，则，再在中，利用勾股定理即可得．
（1）
解：轴于点，且，
可设，
将点代入得：，解得，
，
将点代入得：．
（2）
解：轴于点，且，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
则线段的长为3．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、勾股定理等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
19．“千年古城，文化襄平”，辽阳市第一中学为传承襄平文化，征集学生书画作品．从全校60个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的4个班共征集到作品______件，表示C班的扇形圆心角的度数为______；
(2)补全条形统计图；
(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【答案】(1)24；150°
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）根据公式计算A所占的百分比，利用利用样本容量=频数÷所占百分比计算即可，根据扇形统计图的意义，计算度数即可．
（2）计算B班件数（件），后补全统计图即可．
（3）画树状图计算即可．
【详解】（1）根据题意，得样本容量（件）；
C所对的圆心角度数为：，
故答案为：24，150°．
（2）B班的作品数为（件），条形统计图为：
（3）设男生为B，女生为，画树状图如下：
一共有12种等可能性，一男一女有6种等可能性，
所以恰好抽中一男一女的概率．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，画树状图计算概率，熟练掌握统计图的意义，画树状图计算概率是解题的关键．
20．如图，是的直径，C、D是上两点，且，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连结交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）连接，证明，推出，即可证明是的切线；
（2）连接，根据（1）中得，从而求出的长，再根据求出的长，再利用三角函数求出的长，利用求出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，的半径为2，
∴，
∴．
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与不规则面积的求法，求不规则图形的面积，注意转化思想的运用即把不规则图形的面积转化成规则图形的面积和差的形式．
21．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图1，连接AD，交y轴于点E，点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD交x轴于F，连接EF、AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设△AOQ外接圆圆心为H，当sin∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)P（1+，2）
(3)H（﹣，）或H（﹣，﹣）
【分析】（1）把A（－1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx－3即可求解；
（2）根据题意先求得A，B，C，D各点的坐标，求得AD的解析式，进而求得点E的坐标，通过计算可得AE=ED，进而可得S△FAE=S△FED，由S△ADP=3S△DEF可得出OE=yP=2，依题意，设P（m，m2－2m－3），其中0＜m＜3，建立方程求解即可得出答案；
（3）作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG=AO=，进而可得H在AO的垂直平分线上运动，根据题意当sin∠OQA最大转化为求当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得AH=，运用勾股定理求得HG，即可求得点H的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
（1）
解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）
解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
∴令x＝0，得：y＝﹣3，
则C（0，﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），
∴AE＝＝＝，ED＝＝，
∴AE＝ED，
∴S△FAE＝S△FED，
∵S△ADP＝3S△DEF，
∴S△APF＝S△ADP﹣S△AFD＝3S△DEF﹣S△AFD＝3S△DEF﹣2S△DEF＝S△DEF＝S△AEF，
∵OE⊥AF，
∴AF OE＝AF yP，
∴OE＝yP＝2，
依题意，设P（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞3，
∴m2﹣2m﹣3＝2，
解得：m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），
∴P（1+，2）；
（3）
解：如图，作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG＝GO＝，
∵AH＝HO，
∴H在AO的垂直平分线上运动，
依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时，
∵H是△AOQ的外心，
∴∠AHO＝2∠AHG＝2∠OQA，即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大，
∵AG＝AO＝，
∴sin∠OQA＝sin∠AHG＝，
则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，
∵AH＝HQ，
即当HQ⊥直线x＝1时，AH取得最小值，此时HQ＝1﹣（﹣）＝，
∴AH＝，
在Rt△AHG中，HG＝＝＝，
∴H（﹣，），
根据对称性，则存在H（﹣，﹣），
综上所述，H（﹣，）或H（﹣，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，垂径定理，三角函数定义，抛物线与三角形面积计算，抛物线与圆的综合等，运用转化思想是解题的关键．
23．(1)【尝试探究】已知中，，点O是的中点，作，分别交于点P、Q，连接．
①如图1，若，试探索线段之间的数量关系；
②如图2，试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；
(2)【解决问题】如图3，已知中，，点O是的中点，过C、O两点的圆分别交边于点P、Q，连接，求面积的最大值．
【答案】(1)①；②，在一般情况下仍然成立，过程见解析
(2)当 时，有最大值，即面积的最大值为
【分析】（1）①证明，求出，同理求出，勾股定理即可求出；②延长至D，使，连接、，证明四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理得：，即可得答案；
（2）连接OP、OQ，则，由（2）知， ，设，推出，求出，代入，用二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）解：①连接，
是等腰直角三角形，点O是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②仍然成立，
如下图，延长至D，使，连接、，
互相平分，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
；
（2）如下图，连接OP、OQ，
，过C、O两点的圆分别交于点P、Q，
是圆的直径，
，
由（2）知，，
设，
则，
，
，
，
，
∴当 时，有最大值，即面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理、二次函数的最值、三角形的面积、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质的应用、平行四边形的判定与性质，解题的关键是综合运用性质进行推理和计算的能力．
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