四川省成都市武侯区2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

成都市武侯区2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷
一、单选题(每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设不是直角三角形，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
4．a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则.
其中真命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．永定土楼是我国东南沿海地区特有的山区民居建筑，如图所示，土楼的顶部可视为上下开口的圆台，底部可视为上底面与顶部圆台的下底面重合的圆柱.若上午时某条太阳光线通过圆台上底面的边缘照射到圆台下底面中心，此时太阳光线与水平地面所成角为，下午时某条太阳光线通过圆台上底面的边缘照射到圆台内部下底面另一侧边缘，此时太阳光线与水平地面所成角为，且这两条光线与圆台下底面中心看成在同一坚直平面内，土楼顶部对应的圆台的体积为，则该土楼的占地面积为（ ）
B．
C． D．
6．已知函数，若存在实数，使得，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
7．在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．设向量，，若，则x的取值可能是（ ）
A． B．0 C．3 D．5
10．已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A． B．为锐角三角形
C． D．
11．已知点是函数图象上的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点，设，若，则函数图象的对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
12．点P在棱长为1的正方体的面对角线(线段)上运动，下列选项中正确的是（ ）
A． B．面；
C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面向量，则实数__________.
14．已知圆锥的底面半径为3，母线与底面所成角为，则圆锥侧面积等于___________.
15．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的___________条件.（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分也不必要”）
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为，则b的最小值为___________.
四、解答题(本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求△的面积S的最大值.
18．（12分）已知的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间.
19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值.
20．（12分）如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
21．（12分）一个圆锥的底面半径为R，高为．
(1)用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台，其上下底面面积之比为，求圆台上下底面之间的距离；
(2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．
22．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.
(1)当时，证明：直线平面PAD；
(2)当时，求三棱锥的体积.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】先求出复数，再求出的共轭复数判断所在象限即可.
【详解】由得，则，
则复平面内的共轭复数对应的点位于第一象限.
故选：A.
2．D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】不是直角三角形，当，满足，而，
即命题：“若，则”是假命题，
反之，当时，取，显然不成立，
即命题：“若，则”是假命题，
所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．A
【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.
【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，
设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，所以.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选：A.
4．C
【分析】根据空间中线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理判断即可.
【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，
①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；
②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；
③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤，，则或，所以⑤不正确；
⑥，，则或，所以⑥不正确；
故选：C.
5．C
【分析】作图分析，设圆台下底面半径为，结合图形的几何性质求得圆台的上底面半径以及高，根据圆台的体积求得x，即可求得答案.
【详解】设下午阳光从上底面边缘的射人点为为圆台下底面圆心，上底面圆心为，
被下午太阳光线照射到内部的下底面边缘点为，延长交于，
过A作于.作出上午那条光线关于对称的光线，
则对称光线经过点，如图,,
设圆台下底面半径为，
即，为等腰三角形，.
由于,则,由题意知,可知四边形为矩形，
则,
则,
，
故选：C
6．C
【分析】由条件结合正弦函数性质可得，结合周期公式可求的最小值.
【详解】函数的最大值为，最小值为，
因为，所以，
所以，又，
设函数的最小正周期为，
则，，又，
所以，，
所以， ，
所以的最小值为4.
故选：C.
7．A
【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.
【详解】设外接圆的半径为，圆心为，
根据正弦定理，则，故，
设三棱锥外接球的半径为，球心为O，

由，可知为等腰三角形，
过作于，则为中点，由平面，平面，
故，则共面，
因为平面，平面，所以，
又，故，于是四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为为矩形，
则，故三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
8．C
【分析】由知三点共线，再根据向量的线性运算和数量积分析计算即可.
【详解】因为，所以在线段上，
又是单位圆的直径，
所以，
取最小值，即最小，又，，三点共线，
所以当取最小值，即为向做垂线，垂足为，此时，
所以的最小值为．
故选：C．
9．AC
【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x的方程，解之即得x的值.
【详解】，，
由，可得，解之得
故选：AC
10．ACD
【分析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误
【详解】解：
，所以，故A正确；
若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；
而，故C正确
由余弦定理有
故有，故D正确
故选：ACD．
【点睛】本题考查了三角形和平面向量的相关性质，本题解题的关键是灵活应用数量积的公式和数量积的运算律.
11．BC
【分析】作出图形，根据三角函数的图象性质，可知，且，即可求出周期，结合，及过点，可求出，即可得到函数的表达式，从而可求出对称中心.
【详解】是函数图象的一个最高点，且B，C是与P相邻的两个最低点，如图所示，所以，
因为，且，
所以，解得，
所以，则，
因为，可得，得，
所以，
令，，可得，
当时，；当时，，
即的对称中心可以是，.
经验证选项AD均不符合题意.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及性质，利用图中的几何关系求出是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
12．BC
【分析】由，而与相交可判断A；由已知可得平面平面，平面可判断B；由平面平面得平面，即点到平面的距离相等，三角形的面积为定值可判断C；当是的中点时，设是上另外的点，可得，，可判断D．
【详解】对于A，正方体中，，而与相交，
故A错误；
对于B，因为 ，平面，平面，所以平面；因为 ，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，平面，所以面，故B正确；
对于C，由C选项知平面平面，平面，所以平面，因为线段上运动，点到平面的距离相等，即三棱锥的高为定值，又三角形的面积为定值，所以三棱锥体积为定值，故C正确；
对于D，当是的中点时，，，设是上另外的点，此时，，所以，又，
，所以，，所以 的最小值为，故D错误．
故选：BC.
13．
【分析】利用向量数量积与模长的坐标表示建立方程，解方程即可.
【详解】解：由题意可得，
故，，
即∴，
故答案为：.
14．
【分析】画出圆锥的直观图，结合题意，求得圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解.
【详解】根据题意，可得，如图所示，
在直角中，可得，即圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
15．充要
【分析】利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系．
【详解】解：，，则“” “”，反之也成立．
，，则“”是“”的充要条件．
故答案为：充要．
16．2
【分析】由正弦定理边角关系及三角恒等变换求得，再由三角形面积公式得，再应用余弦定理和基本不等式求b的最小值.
【详解】由题设及正弦定理边角关系有，
又，则且，故，即，
由，则，
又，当且仅当时等号成立，
所以b的最小值为2.
故答案为：2
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
【详解】（1）由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
（2）由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）先利用函数的最大值求出的值，从图中得出周期，利用公式求出的值，最后再将点代入函数解析式得出的值，于此求出函数的解析式；
（2）由正弦函数的单调递减区间，得出，解出该不等式得出函数的单调递减区间．
【详解】（1）由图象可知，，
函数的最小正周期为，，
，
将点代入函数的解析式得，得，
，，，解得，
因此，；
（2）由于正弦函数的单调递减区间为，
解不等式，解得，
因此，函数的单调递减区间为．
【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数单调区间的求解，利用图象求正弦型函数的解析式的基本步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：根据图象得出函数的周期，于此得出；
（3）求初相：代入最高点、最低点或对称中心点可求出的值，在代入对称中心点时，要结合函数在该点附近的单调性来考查．
19．(1)-1；(2)
【分析】（1）用表示出，然后利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.（2）根据点的横坐标即的值，求得的值，根据诱导公式求得的值，由此利用两角和与差的正弦公式，化简求得的值.
【详解】解：（1）∵
∴，
∴
（2）由已知点的横坐标为
∴，，
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于中档题.
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）先证明平面，再证明平面,根据面面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】（1）证明：∵分别是的中点，
∴,
又在三棱柱中，，
所以．
又平面， 平面，
所以平面.
（2）证明：由（1）知，平面，平面，
∴平面，
又∵分别为中点，
故，,
又∵，∴,
∴四边形为平行四边形，
∴,
又∵平面，平面，
∴平面,
又∵平面,
∴平面平面．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由圆台的结构特征直接求出；
（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x，作出圆台的直截面，利用三角形相似求出，建立四棱柱的表面积的表达式，利用二次函数求最值.
(1)
由圆台的结构特征可知，圆台上底面的半径为，设截去的小圆锥的高为h，则，解得．
所以圆台上下底面之间的距离为．
(2)
如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，由于，
则，即，解得．
因为正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为，
所以，四棱柱的表面积为．
当时，正四棱柱的表面积S有最大值，即．
22．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.
（2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可.
【详解】（1）取PD中点N，连接MN、AN，
是的中位线，MN//CD，且，
又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，
ME//AN
又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.
（2），P到平面ABCD的距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，
.