阳朔中学2022年秋季学期高二年级数学期中考试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程得到直线的斜率，然后可得答案.
【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为，
故选：A
2. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间坐标系中点对称，结合中点坐标公式求对称的点的坐标即可.
【详解】若关于原点对称的点的坐标为，
∴的中点为，由中点坐标公式可得：，
∴.
故选：D
3. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，
故选：C.
4. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆心距以及两个圆的半径来判断出两圆的位置关系.
【详解】圆：圆心为，半径；
圆：的圆心为，半径，
圆心距，
所以两圆相外切.
故选：C
5. 若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A. m＞5 B. m＜－4 C. m＜－4或m＞5 D. －4＜m＜5
【答案】D
【解析】
【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.
【详解】由题设，，可得.
故选：D
6. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得,又因为，计算得到.
【详解】因为双曲线的一条渐近线为,所以,
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
7. 已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线过定点，当时弦最短，由互相垂直的直线斜率乘积为，求出直线方程，然后由点斜式求出直线方程，可得答案.
【详解】因为直线过定点，
由，则圆心，半径，
当时，弦最短，此时直线的斜率，
所以直线的斜率，
故直线为，则.
故选：A.
8. 已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点之间线段最短，先求点关于直线对称的点，可得
，当A、P、三点共线时可得答案.
【详解】点B关于直线对称的点为．
,
当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．
此时取最小值，直线的方程为，
即，令，得．
所以点P的坐标为：
故选:A．
【点睛】本题主要考查了解析几何中的最值问题，利用几何意义和平面几何中的常用结论，非常巧妙，属于中档题.
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 上的点与原点的距离最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由方向向量求出直线斜率，即可求出直线方程，
由倾斜角与斜率的关系可判断A；令求出轴上的截距，可判断B；
由斜率与垂直关系可判断C；上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，求出点线距离即可判断D
【详解】直线的方向向量为，则斜率，故直线为，即，
对A， ∵，，故，A对；
对B，由得，B错；
对C，直线斜率，由得与直线垂直，C对；
对D，上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即，D错；
故选：AC
10. 如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：AC
11. 已知曲线C：，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C的渐近线方程为
B. 若，则曲线C的离心率
C. 若，P为C上一个动点，则的最大值为5
D. 若，P为C上一个动点，则 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据m的值不同，判断出每个选项中C代表的是椭圆或双曲线，再根据其性质即可判断.
【详解】对于选项A，若，曲线C：表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为，A错误；
对于选项B，若，曲线C：，则 离心率，B正确；
对于选项C，若，曲线C：， ，根据椭圆的性质，PF1的最大值为，C正确；
对于选项D，若，曲线C：，此时a＝3，，，根据椭圆的性质， 面积的最大值为，D正确；
故选：BCD．
12. 已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为
C. D. 线段的中点到轴的距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.
【详解】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，
可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5 分，共20分）
13. 双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以右焦点F的坐标为，
该双曲线的一条渐近线的方程为：，
所以F到一条渐近线的距离为：，
故答案为：.
14. 若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.
【详解】解：
，解得
故答案：
15. 已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.
【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.
故答案为：5.
16. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，），由△是锐角三角形，知tan∠AF1 F2＜1，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．
【详解】解：∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，
过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），
∵△是锐角三角形，
∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，
∴1，
整理，得b2＜2ac，
∴a2﹣c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，
解得e1，或e1，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．
故答案为（1，1）．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
四、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）
17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：
（1）经过直线和的交点，且与直线垂直；
（2）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）先求出两直线交点坐标，然后根据垂直可得斜率，再结合点斜式方程即可得到结果.
（2）分截距为0与截距不为0两种情况讨论，当截距为0时，即过原点，从而得到直线方程，当截距不为0的时，结合截距式即可得到结果.
【小问1详解】
由，解得∴和的交点为．
∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，即．
【小问2详解】
当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的方程为；
当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为．
综上可得l方程为或．
18. 已知，；
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用，即可计算求解.
（2）由已知，可设，根据，列方程即可求出.
【小问1详解】
由已知得，，得
，解得
【小问2详解】
设，由，可得
，得到，求得，
，则或
19. （1）求过点且与圆相切的切线方程.
（2） 已知圆，过点作直线与圆交于两点，且，求直线的方程
【答案】（1）或；（2）或
【解析】
【分析】（1）判断点在圆外，判断切线斜率不存在时适合题意，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率，可得答案.
（2）求出圆心到直线的距离，判断直线斜率是否存在，存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离列方程，求出斜率，可得答案.
【详解】（1）因为，所以点在圆外，
所以过点的切线有条，
即，
当直线的斜率不存在时：切线方程为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设过点的切线为，即，
圆的圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，解得：，
所以切线方程为：，即.
所以过点且与圆相切的切线方程为或.
（2）圆即圆，
因为，所以圆心到直线的距离为，
当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为1，不满足题意；
所以设直线方程为，所以，即，
解得或，
故直线的方程为或.
20. 已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
21. 已知椭圆的左 右焦点分别为和，长轴长为8，直线被椭圆截得的弦长等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求△OAB的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意列方程求出，可得椭圆方程；
（2）直线与椭圆联立方程组，求出两点坐标，得到，原点到直线的距离为△OAB的高，可求面积.
【小问1详解】
由，令得，解得，
所以，结合，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由，解得或，
即，
所以，原点到直线的距离为，
所以.
22. 已知双曲线的离心率为，点在C上．
（1）求双曲线C的方程．
（2）设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，
【答案】（1）
（2）存在点，使为常数
【解析】
【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点列方程组求解即可；
（2）设出直线方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算，利用系数比相同可求出点P的坐标以及该常数的值.
【小问1详解】
因为双曲线C的离心率为，
所以，化简得．
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以C的方程为；
【小问2详解】
设，，直线l的斜率必存在，设其方程为，
联立方程组消去y得，
由题可知且，即且，
所以，．
设存在符合条件的定点，则，，
所以
所以，
化简得．
因为为常数，所以，解得．
此时该常数的值为，
所以在x轴上存在点，使得为常数，该常数为．阳朔中学2022年秋季学期高二年级数学期中考试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
4. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
5. 若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A. m＞5 B. m＜－4 C. m＜－4或m＞5 D. －4＜m＜5
6. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（ ）
A B. C. D.
7. 已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知直线一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 上的点与原点的距离最小值为
10. 如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知曲线C：，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C的渐近线方程为
B. 若，则曲线C的离心率
C. 若，P为C上一个动点，则的最大值为5
D. 若，P为C上一个动点，则 面积的最大值为
12. 已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为
C. D. 线段的中点到轴的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5 分，共20分）
13. 双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
14. 若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．
15. 已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
16. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____
四、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）
17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：
（1）经过直线和的交点，且与直线垂直；
（2）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．
18. 已知，；
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求的坐标．
19. （1）求过点且与圆相切的切线方程.
（2） 已知圆，过点作直线与圆交于两点，且，求直线的方程
20. 已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
21. 已知椭圆的左 右焦点分别为和，长轴长为8，直线被椭圆截得的弦长等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求△OAB的面积.
22. 已知双曲线离心率为，点在C上．
（1）求双曲线C方程．
（2）设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，
