桂林市逸仙中学2022年秋季学期段考试卷
高二 数学
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知点，，则线段的中点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l倾斜角是
B. 若直线m：，则
C. 点到直线l的距离是1
D. 过与直线l平行的直线方程是
4. 若，，则（ ）
A. B. C. 5 D. 10
5. 设点在双曲线上，若 为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A. 1 B. C. D.
7. 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
8. 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.答对得5分，答错得0分，部分答对得2分）
9. 对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，准线方程为y＝－
B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为(1,0)
D. 开口向右，准线方程为y＝－1
10. 已知双曲线，则（ ）
A. C的焦距为 B. C的虚轴长是实轴长的倍
C. 双曲线与C的渐近线相同 D. 直线上存在一点在C上
11. 给出如下四个命题不正确的是（ ）
A. 方程表示的图形是圆 B. 椭圆的离心率
C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的渐近线方程是
12. 已知曲线（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于
D. 若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知抛物线，若点在抛物线上，则点A到焦点距离为____.
14 已知直线与圆交于，两点，则______．
15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，S到 的距离都等于2给出以下结论:
①；
②;
③；
④，
其中正确结论的序号________.
16. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0．
（1）若l1⊥l2，求m的值．
（2）若l1//l2 ， 且它们的距离为，求m，n 的值
18. 已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.
19. 已知为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的渐近线方程.
20. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．
21. 已知椭圆：的离心率为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点.
（1）求的值；
（2）设为与的公共点，若，求与的标准方程.
22. 已知动点到定点距离之和为4.
（1）求动点的轨迹方程
（2）若轨迹与直线交于两点，且求的值.
（3）若点与点在轨迹上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值.桂林市逸仙中学2022年秋季学期段考试卷
高二 数学
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知点，，则线段的中点的坐标为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中点坐标公式求解即可.
【详解】解：因为点，，
线段的中点的坐标为，
故选B.
【点睛】本题考查中点坐标公式，是基础题.
2. 已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出椭圆的实半轴，再利用离心率公式即得解.
【详解】由题得.
所以椭圆的离心率为.
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l的倾斜角是
B. 若直线m：，则
C. 点到直线l的距离是1
D. 过与直线l平行的直线方程是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】∵：，即，
∴直线的斜率，
∴，则A错；
又，则B错；
点到直线的距离是，则C错；
过与直线平行的直线方程是，即，则D对；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线的方程，属于基础题．
4. 若，，则（ ）
A. B. C. 5 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可
【详解】因为
所以
故选:A
5. 设点在双曲线上，若 为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．
【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，
的周长为：.
故选：A.
6. 已知向量，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量投影的定义即可得出结果.
【详解】在投影为
故选：B
7. 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x＝－3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离减去半径2，即最小值为4，故选B.
8. 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线定义，利用数形结合求解即可
【详解】由题可得，准线的方程为.
由抛物线的定义可知，，
.
故选:D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.答对得5分，答错得0分，部分答对得2分）
9. 对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，准线方程为y＝－
B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为(1,0)
D. 开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【解析】
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为，
∴开口向上，焦点为，准线方程为.
故选：AB
10. 已知双曲线，则（ ）
A. C的焦距为 B. C的虚轴长是实轴长的倍
C. 双曲线与C的渐近线相同 D. 直线上存在一点在C上
【答案】BC
【解析】
【分析】
因为，得可判断A；由可判断B；求出两个双曲线的渐近线可判断C；联立直线与双曲线的方程，解方程组可判断D.
【详解】因为，所以，，焦距为，A错误；
因为， B正确；
双曲线与C的渐近线均为，所以C正确；
由得，即，所以无解，所以直线与C相离，所以D错误．
故选：BC.
11. 给出如下四个命题不正确的是（ ）
A. 方程表示的图形是圆 B. 椭圆的离心率
C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的渐近线方程是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；
【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；
对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；
对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；
对于D选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.
故选：ABD
12. 已知曲线（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于
D. 若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若双曲线，等价于，即或，B正确：
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知抛物线，若点在抛物线上，则点A到焦点的距离为____.
【答案】4
【解析】
【分析】先求得参数p，再求得抛物线的焦点坐标，进而求得点A到焦点的距离
【详解】点在抛物线上，
则，解之得，则抛物线为，其焦点坐标为
则点到焦点的距离为
故答案为：4
14. 已知直线与圆交于，两点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，由可得答案.
【详解】圆化，则圆心为
圆心到直线的距离为
所以
故答案为：
15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，S到 的距离都等于2给出以下结论:
①；
②;
③；
④，
其中正确结论的序号________.
【答案】②③
【解析】
【分析】利用向量的加法减法的几何意义判断①②；利用向量数量积的定义判断③④
【详解】①.判断错误；
②.判断正确；
③四棱锥中，，则
则.判断正确；
④中，，则
则.判断错误
故答案为：②③
16. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.
【答案】或
【解析】
【详解】设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，
得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝ ，故曲线Γ的离心率等于或
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0．
（1）若l1⊥l2，求m的值．
（2）若l1//l2 ， 且它们的距离为，求m，n 的值
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得.
（2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得.
【小问1详解】
由于，所以.
【小问2详解】
依题意，则，
此时，即，故.
由于两条直线的距离为，
所以或.
18. 已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）和
【解析】
【分析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.
(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为：
圆心到直线的距离：，
则
圆的标准方程：
（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.
②当切线斜率存在时，设切线：，即
则圆心到直线的距离：.
解得：，即
则切线方程为：
综上，切线方程为：和
19. 已知为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的渐近线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据几何意义结合双曲线的定义即可求解；
（2）双曲线的渐近线方程公式即可求解.
【小问1详解】
根据几何关系，，
所以，所以，
所以，
，所以，
，
所以双曲线的标准方程为：.
【小问2详解】
双曲线的渐近线方程为：
.
20. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．
【答案】（1），准线方程为
（2）；8
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.
【小问1详解】
将点代入抛物线C，得，∴∴，
∴，准线方程为；
【小问2详解】
设，，∴，∴
∴直线l的斜率为∴直线l的方程：，∴，
21. 已知椭圆：的离心率为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点.
（1）求的值；
（2）设为与的公共点，若，求与的标准方程.
【答案】（1）；（2）椭圆方程为，抛物线方程为.
【解析】
【分析】（1）设椭圆的方程为，抛物线方程为，然后分别求出、即可；
（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点的坐标，然后由求出即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以设其方程为，，
令解得，所以，
又抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以设其方程为，
令解得，所以，
故.
（2）由消去得：，解得或（舍）.
所以，
因为，所以.
即椭圆方程为，抛物线方程为.
【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题.
22. 已知动点到定点的距离之和为4.
（1）求动点的轨迹方程
（2）若轨迹与直线交于两点，且求的值.
（3）若点与点在轨迹上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）定值，见解析
【解析】
【分析】(1)求得椭圆的,即可求动点的轨迹方程
(2)将直线代入椭圆方程,可得的方程,运用韦达定理和判别式大于0,由弦长公式,解方程即可得到所求值;
(3)求出直线AB的方程,运用点到直线的距离公式求得P到直线AB的距离,弦长AB,运用三角形的面积公式可得,再由A,P满足椭圆方程,结合条件,计算即可得到三角形的面积为定值.
【详解】(1)动点Q到两定点、的距离和为4,满足椭圆的定义,且 ,
动点的轨迹方程：
(2)将直线代入椭圆方程,可得
,
,解得,
设
则
即有,
解得,满足
(3)证明:直线AB的方程为,即为,
可得到直线AB的距离为,
,
则═,
由，得 因为
可得
则
由,可得
即有
故当时,三角形的面积为定值
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系，弦长公式．通常把直线带入椭圆，再根据韦达定理即可解决．属于中等题．
