二次函数的图象与性质（5课时）

二次函数的图象与性质（1）
班级 姓名
一、学习目标
会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
二、知识准备
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、学习内容
在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）
共同点：
不同点：
四、知识梳理
（1）二次函数y=ax2的图象的性质：
①、图象——“抛物线”是轴对称图形；②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；
③、a的绝对值越大抛物线开口越大，
a﹥0，开口向上，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）；
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）.
a﹤0，开口向下，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）
五、课堂训练
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
4．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
5.求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
6.若a＞1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
二次函数的图象与性质（2）
班级 姓名
一、学习目标：
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
二、知识准备：
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ，那么与的图象之间又有何关系？
动手探究：
在同一平面内画出函数y=x2与y=x2-2的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？
三、学习内容：
动手画：在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
四、知识梳理
1、函数与图像的关系。
2、能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性。
五、课堂训练
1.抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2.当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3.抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4.抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
5.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
7.抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
8.对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
9.二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
10.已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
11.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
（1）求a、m的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
（4）求A、B两点及二次函数y=ax2 的图象顶点构成的三角形的面积．
二次函数的图象与性质（3）
班级 姓名
一、学习目标
1、经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2 (a≠0)的图象作法和性质的过程。
2、能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2 (a≠0)与y＝ax2的图象的关系，了解a,m,k对二次函数图象的影响。
3、能正确说出函数y＝ax2＋k, y＝a(x+m)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。
4．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;
二、知识准备
1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
三、学习内容
1、在平面直角坐标系中，并画出函数的图象。
2、比较它与函数的图象之间的关系。
结论：
（1）抛物线y=a(x+m)2(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线y＝ax2(a≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x+m)2可通过平移抛物线y＝ax2(a≠0)得到。当m＞0时，把抛物线y＝ax2(a≠0)向左平移|m|个单位得到抛物线y=a(x+m)2，当m<0时，把抛物线y＝ax2(a≠0)向右平移|m|个单位得到抛物线y=a(x+m)2
（2）抛物线y=a(x+m)2(a≠0)的 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点坐标是(－m,0)，对称轴是直线x＝－m，当a＞0时，若x＝－m，当a＞0时，若x＝－m，y有最小值0，当a＜0时，若a＝－m，y有最大值0
四、知识梳理
本节课教学了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。填写下表：
　表一：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标




表二：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标




五、课堂训练
1．画草图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2.对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
3.函数y＝x2＋1是由y＝x2－2向_____平移_____单位得到的。
4.函数y＝x2－4是由y＝x2＋5向_____平移_____单位得到的。
5.（1）二次函数y=2（x+5）2的图像 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
（2）二次函数y=-3（x ( http: / / www.21cnjy.com )-4）2的图像是由抛物线y= -3x2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是
（3）将y=2x2的图像向右平移3个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
6.已知抛物线y＝x2上有一点A，A的横坐标为－1，过A点作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，求△AOB的面积。
二次函数的图象与性质（4）
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一、学习目标
1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
二、知识准备
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标
2、你能否在上面的直角坐标系中，再画出函数 的图像？
3、你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
三、学习内容
二次函数图象的变化规律：左加右减，上加下减
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
观察：
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
四、知识梳理
1、二次函数的图象的变化规律：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
2、二次函数+k的开口方向，对称轴，顶点坐标
五、课堂训练
1、抛物线的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x＝ 时，y有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，即当x 时，y随x的增大而 .
2、二次函数的图象可由的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
3.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。
4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。
5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
6.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
7.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二次函数的图象与性质(5)
班级 姓名
一、学习目标
1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
二、知识准备
1、填空
(1)x2＋6x＋___________=(x＋________)2 (2)x2－x＋____＝(x－_______)2
(3)x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋____________ (4)x2－5x＋8＝(x－)2＋________
2、填表
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值
y＝－3(x－2)2＋1
y＝－3(x－3)2－2
y＝－(x－4)2＋5
y＝(x+3)2－4
探索活动
活动一：探索y＝a(x+m)2+k的图象与性质 活动二：探索y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
由配方得y=ax2＋bx＋c＝
由此可知，二次函数y=ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c的图象是抛物线，它的顶点坐标是( ),对称轴是过顶点且与y轴平行的直线(当b=0时，对称轴是y轴)
三、学习内容
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
回顾与反思
（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．
（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析 ： 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
四、知识梳理
1、能通过配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。
2、理解二次函数的性质，了解函数图象的变换，并能解决有关问题。
五、课堂训练
1.抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ ）
3.抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
4.函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中如图所示，则正确的是（ ）
5.抛物线的顶点是，则= ， c = 。
6.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提 ( http: / / www.21cnjy.com )出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=－0．1x2＋2．6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？