高二数学期末复习试卷(苏教版).[上学期]

高二数学期末复习试卷
（时间120分钟，满分150分）
第I卷
一、选择题（每小题5分，共10小题，合计50分）:
1、频率分布直方图中，小长方形的高与 成正比.
　A、组距 B、组数 C、频率 D、极差
2、某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用 方法较为恰当.
A、简单随机抽样 B、系统抽样 C、分层抽样 D、以上都不对
3、已知M(－2, 0)，N (2, 0)，PM－PN= 3，则动点P的轨迹是 .
A、双曲线 B、双曲线左支 C、双曲线右支 D、不存在
4、已知P：| 2x－3 |＞1；q：，则┐p是┐q的_______________.
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5、椭圆的两个焦点F1, F2三等分它的两条准线间的距离,那么它的离心率是____.
A、 B、 C、 D、
6、以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是_____________.
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定
7、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8、曲线与曲线 ( k<25，且k≠9 ) 具有的等量关系是_______.
A、有相等的长、短轴 B、有相等的焦距
C、有相等的离心率 D、有相同的准线
9、曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是_______.
A、 B、 C、 D、
10、过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线l有_______________.
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
高二数学试卷
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每小题5分，共6小题，合计30分）：
11、已知是空间二向量，若的夹角为 .
12、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至
7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是 ．
13、命题“”的否定是 ．
14、椭圆内有一点P（1,1），F为右焦点，椭圆上的点M使得│MP│+2│MF│的值最小，则点M的坐标为 ．
15、若直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为___________．
16、动点P（x, y）满足，且P点的轨迹是椭圆，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，合计70分）：
17、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(, 0 )
⑴ 求双曲线C的方程；
⑵ 若直线l：与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．
18、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小
分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力.
19、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
20、将圆x2+y2=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标保持不变），得到曲线C．
⑴ 求曲线C的方程；
⑵ 设O为坐标原点，过点F(, 0)的直线l交于A、B两点，N为线段AB的中点，延长线段ON交C于点E，求证：的充要条件是AB=3．
21、如图，P是抛物线上C：y= x2上的一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．
⑴ 若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
⑵ 若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．
高二数学试卷（答案）
一、选择题（每小题5分，共10小题，合计50分）:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A B A B B C C
二、填空题（每小题5分，共6小题，合计30分）：
11、 12、 13、
14、(, 1 ) 15、[4 , 5 ) 16、[5 , +∞）
三、解答题（每题14分，共5小题，合计70分）：
17、⑴c=2, a=3 双曲线的方程为………………………………………………4分
⑵ 得 (1―3k2)x2―6kx―9=0………………………………………6分
x1＋x2= , x1x2= ……………………………………………………7分
由△>0 得 k2<1……………………………………………………………………9分
由= x1x2＋y1y2=(1＋k2) x1x2＋k(x1＋x2)＋2>2得 所以，即k∈(―1, )∪( , 1 ) …………………………………………………14分
18、解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2=0.8π(-r2),0令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.
当r=2时,f′(r)=0;
当r∈(0,2)时,f′(r)<0;
当r∈(2,6)时,f′(r)>0. 4分
因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低. 6分
(1)半径为6 cm时,利润最大. 8分
(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. 10分
19、方法一：
（I）证明：连结OC
在中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角
的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离
20、⑴设P(x0, y0)为圆C上任意一点，Q(x, y)的横坐标与P相同，纵坐标为P的一半，
即x0= x, y0=2y ……………………………………………………………………2分
又P(x0, y0)满足x02+y02 = 4 则x2+4y2 = 4 ………………………………………3分
即 求曲线C的方程为 ……………………………………………4分
⑵当l的斜率不存在时，、 AB=3都不成立；………………………5分
当l的斜率存在时，设斜率为k，
则A、B两点的坐标(x1, y1)、(x2,y2)是方程组的解
整理，得：(1＋4k2)x2―8k2x＋12k2―4 =0
x1＋x2=, x1x2= …………………………………………………7分
∴N的坐标为xN = ，yN= k(xN－) =
∴ON的方程为y= x
与C的方程联立，得………………………………9分
必要性（→AB=3）：由得 =2× =2 xN
∴ k2= …………………………………………………………………10分
此时 AB=…=a－ex1＋a－ex2=2a－e(x1＋x2)=4－×=3
∴充分性成立 ……………………………………………………………11分
充分性（AB=3→）：
AB=…=a－ex1＋a－ex2=2a－e(x1＋x2)=4－×=3
∴ k2=
∴ = ，xN = = ……………………12分
∴ xE =2 xN
又E、N共线
∴必要性成立……………………………………………………………13分
综上，的充要条件是AB=3．………………………………………14分
21．（1）设P(x0,x02)
∴直线的方程为 y=k(x－x0)+x02
与抛物线联立，得
x2―2kx+2kx0―x02=0
由Δ=0，得 x0=k
∴直线的方程为 y=－(x―x0)+ x02
与y=x2联立，得 x2+x－x02－2=0
∴x1+x2=
∴xM=－ yM=－（xM－x0）+x02=+1+x02
∴M的轨迹方程为y=x2+1+
(2)设直线：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0,则T（0，b）.
分别过P(x1,y1)、Q(x2,y2)作PP’⊥x轴，QQ’⊥x轴，垂足分别为P’、Q’，则
+=+=+
由 y=x2 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0
y=kx+b
则 y1+y2=2(k2+b)
y1y2=b2
解法一：
+=|b|(+)≥2|b|=2|b|=2
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴+的取值范围是（2，+∞）
解法二：S的坐标为（x03+x0，0）
+=+≥2
∵≠1
∴+的取值范围是（2，+∞）
解法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP
即=
则 x1y2－bx1=x2y1－bx2
即 b(x2―x1)=(x2y1―x1y2)
于是b==x1x2
∴+=||+||=||+||≥2
∵≠1
∴+的取值范围是（2，+∞）
M
T
S
P
Q
x
O
l
·
y
2
高二数学5—1