1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第1课时　空间向量及其线性运算
第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算
学习目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量的线性运算.
导语
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
课时对点练
一、空间向量的有关概念
二、空间向量的加减运算
三、空间向量的数乘运算
随堂演练
内容索引
空间向量的有关概念
一
知识梳理
1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 .
空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的_____表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 ，其模记为___或____.
大小
方向
长度
模
长度
|a|
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为____
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线____________
__，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a
零向量
模为1
相等
相反
互相平行或重
平行
∥
合
－a
相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间， 且 _____的有向线段表示同一向量或相等向量
相同
相等
同向
等长
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
(3)向量不能比较大小.
(4)向量共线不具备传递性(非零向量除外).
注意点：
下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
D.相等向量其方向必相同
A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小.
例1
√
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
反思感悟
(多选)下列说法错误的是
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
跟踪训练1
√
√
√
对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；
对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，零向量不能用有向线段表示；
对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等.
空间向量的加减运算
二
问题　空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示　共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
知识梳理
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
注意点：
例2
√
√
√
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
反思感悟
如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
跟踪训练2
空间向量的数乘运算
三
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 λ>0 λa与向量a的方向____ λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 λa与向量a的方向____
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
知识梳理
相同
相反
|λ|
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
注意点：
例3
∵P是C1D1的中点，
∵N是BC的中点，
∵M是AA1的中点，
延伸探究
因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
反思感悟
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值.
跟踪训练3
∴x＝2，y＝－2.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
本课结束