1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第2课时　共线向量与共面向量
第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算
学习目标
1.理解向量共线、向量共面的定义.
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面.
导语
我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下.
一、空间向量共线的充要条件
二、空间向量共面的充要条件
随堂演练
课时对点练
内容索引
空间向量共线的充要条件
一
问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
知识梳理
1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使______.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得 ＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
方向向量
a＝λb
(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.
注意点：
例1
方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使
反思感悟
跟踪训练1
1
所以m＋n＝1.
∵E，H分别是AB，AD的中点，
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
空间向量共面的充要条件
二
问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.
问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb？
提示　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识梳理
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA______
______或 ，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
平行于
在平面α内
平面α
定义 平行于同一个 的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)使__________
唯一
平面
p＝xa＋yb
提示　x＋y＋z＝1.
证明如下：(1)充分性
∴点P与A，B，C共面.
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
又∵点O在平面ABC外，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
例2
√
√
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确；
(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.
反思感悟
反思感悟
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
E，F，G，H四点共面.
跟踪训练2
如图，连接EG，BG.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量.
(2)空间向量共面的充要条件.
(3)三点共线、四点共面的证明方法.
2.方法归纳 ：转化化归、类比.
3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.