南阳华龙高中2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试卷
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，那么为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
7．若，则复数（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A．z的实部为1
B．z在复平面内对应点的坐标为
C．z的共轭复数为
D．z的虚部为
11．下列结论中正确的是（ ）
A．正四面体一定是正三棱锥
B．正四棱柱一定是长方体
C．棱柱的侧面一定是平行四边形
D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
12．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，是第二象限角，则______．
14．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
15．已知复数满足，则________．
16．已知是方程的两根，且，则的值等于______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．
(1)求；
(2)求的值．
18．（1）已知= -2，且是第二象限的角，求；
（2）已知，，求的值.
19．已知都是锐角，.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知函数，且．
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间．
21．若复数，为虚数单位，为实数.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
22．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若是方程的一个根，求实数的值.答案
南阳华龙高中2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，那么为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
7．若，则复数（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
二、多选题
9．下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A．z的实部为1
B．z在复平面内对应点的坐标为
C．z的共轭复数为
D．z的虚部为
11．下列结论中正确的是（ ）
A．正四面体一定是正三棱锥 B．正四棱柱一定是长方体
C．棱柱的侧面一定是平行四边形 D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
12．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若，是第二象限角，则______．
14．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
15．已知复数满足，则________．
16．已知是方程的两根，且，则的值等于______________.
四、解答题
17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．
(1)求；
(2)求的值．
18．（1）已知，且是第二象限的角，求；
（2）已知，，求的值.
19．已知都是锐角，.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知函数，且．
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间．
21．若复数，为虚数单位，为实数.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
22．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若是方程的一个根，求实数的值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用余弦的二倍角公式计算即可.
【详解】由余弦的二倍角公式可得：.
故选：C
2．B
【分析】利用两角和与差的正切公式即可得到答案.
【详解】
.
故选：B.
3．B
【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】由题意知，
则原式.
故选：B.
4．C
【分析】根据利用两角差的正切公式即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以.
故选：C.
5．D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
6．C
【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，
在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
故B错；
对于C选项，当时，
则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，
则在上单调递减，故D错.
故选：C.
7．D
【分析】根据复数除法法则即可求解.
【详解】由得.
故选：D
8．C
【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可.
【详解】根据棱柱的性质可知A正确；
当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；
正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；
棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确.
故选：C
9．AD
【分析】利用二倍角公式公式及特殊角的三角函数计算可得.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：因为，所以，
解得或（舍去），
所以，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
10．BD
【分析】利用复数的除法运算化简复数，再逐项判断作答.
【详解】复数，
复数的实部为，A错误；
复数在复平面内对应点的坐标为，B正确；
复数的共轭复数为，C错误；
复数的虚部为，D正确.
故选：BD
11．ABC
【分析】根据各几何体的定义直接判断.
【详解】A选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A选项正确；
B选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B选项正确；
C选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C选项正确；
D选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D选项错误；
故选：ABC.
12．ACD
【分析】由与的关系，结合角的范围，可求得，即可逐个判断.
【详解】，∵，则，∴.
对C，，C对；
对A，，，A对；
对B，，B错；
对D，，D对.
故选：ACD.
13．
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为，是第二象限角，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据给定的直观图作出原图，再计算面积作答.
【详解】在直观图中， 为等腰直角三角形，斜边，得，，
则原图形如图，有，，
所以的面积.
故答案为：
15．
【分析】先解方程求出z，再根据复数模的定义求解.
【详解】由题意可得，则；
故答案为： .
16．
【分析】先判断，故，再由两角和的正切公式可求，故可求的值.
【详解】已知是方程的两根，
因为，故，
而，故，故，
而，所以，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可；
（2）利用二倍角公式变形，1的代换变成分式，分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可.
【详解】（1）因为角终边经过点，所以，
所以；
（2）.
18．（1）；（2）
【分析】（1）确定，，解得答案.
（2）根据得到，计算，得到答案.
【详解】（1），且是第二象限的角，故，，
因为，将代入得，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；
（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为与都是锐角，
所以，，
又，
所以，，
所以，，
所以；
（2）因为，，，
所以，解得：(负值舍去).
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，解得，
所以
，
即，所以的最小正周期；
（2）由，，
解得，，
所以的单调递增区间为，，
当时的单调递增区间为，
当时的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为，.
21．(1)2
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；
（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为负数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由为纯虚数得，解得；
（2）复数，
因为复数位于第三象限，所以，
即，解得．
故的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）计算，确定，再计算模长得到答案.
（2）将代入方程得到，解得答案.
【详解】（1），故，
故，即.
（2）是方程的一个根，所以，
所以，所以，
解得.
