课例：几何概型中利用计算机随机模拟试验
广东省清远市清城区第一中学数学组 冯国柱
一、教材分析：本课选自人民教育出版社（数学必修3）A版第三章《概率》中“几何概型”的第二课时《3.3.2均匀随机数的产生》。本小节是在学生已经掌握几何概型的基础上，是解决几何概型问题的又一方法，学习本节对全面系统地理解掌握概率知识，对于培养学生自觉动手、动脑的习惯，对于学生辩证思想的进一步形成，具有良好的作用。
二、教学目标：
1、知识与技能目标：
（1）了解均匀随机数的概念；
（2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法；
（3）会利用均匀随机数解决具体的有关几何概型概率的问题。
2、过程与方法目标：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时可以培养学生勤学严谨的学习习惯。
三、重点与难点：
重点：利用计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中；
难点：把实际问题中事件对应的区域转化为随机数的范围。
四、学法分析：通过对本节例题的模拟试验，认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法，体会到用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。
五、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学。
六、教学过程设计：
1、复习回顾：（复习几何概型的概念、公式和特点为以下分析解答例题提供理论基础。）
【教师活动】
复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是？
【学生活动】
回答老师提问：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
2、问题提出：（通过一系列设问，引起学生思考，提高学生参与解决问题的兴趣，）
我们在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？
3、例题分析：（通过亲自实践，引起学生思考，增强学生参与解决问题的兴趣，让学生掌握利用计算机进行随机试验的方法，培养学生动手能力）
【教师活动】
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为电台每小时报时一次,他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
例题小结：在本例中，打开收音机的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．均匀随机数的概念：如果X是区间[a ，b]上的任何一点，且是等可能的，那么我们称X服从[a ，b]上的均匀分布，X称为[a ，b]上的均匀随机数。
根据以上均匀随机数的概念和对例题的小结，我们可以在计算机上产生一列[0,60]上的均匀随机数，当随机数在[50,60]之间时，就是事件A发生了，统计出[0,60]上的均匀随机数在[50,60]之间的数的个数，再除以随机数的个数，就可以得到这次试验中A事件发生的频率。
根据以上分析我们可以利用计算机对以上例题进行试验解题
（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（）．
（2）经过伸缩变换，a=a1*60，可以得到a为[0，60]内随机数．
（3）统计出[0，60]内随机数的个数N和[50，60] 内随机数的个数N1．
（4）计算频率fn(A)=．
（5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值．
【学生活动】：学生按步骤亲自到讲台操作，体会随机试验结果的不确定性，理解频率与概率的联系与区别。
【学生活动】：让学生独立完成设计试验步骤，并把设计出来的步骤付之实践，得出题目的解答。
练习1：利用计算机随机模拟试验，求在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2m的概率的近似值．
解：（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（）．
（2）经过伸缩变换，a=a1*6，可以得到a为[0，6]内随机数．
（3）统计出[0，6]内随机数的个数N和[2，4] 内随机数的个数N1．
（4）计算频率fn(A)=．
（5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值．
【学生活动】：让学生独立完成试验步骤的设计，加深对随机试验法的理解。
练习2：（1）设计计算机随机模拟试验的步骤，求取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率的近似值？
（2）设计计算机随机模拟试验的步骤，求在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率的近似值．
分析：（1）在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
（2）正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解（1）：（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（）．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=．
（5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值．
解（2）：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND（）．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，计算频率fn(A)=．
（5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值．
【教师活动】
根据学生设计的步骤教师可以在讲台上演示，以验证学生所设计的步骤。以上例题和练习都是产生一组均匀随机数对问题进行试验，事实上我们针对不同的问题，还可以利用计算机产生两组随机数来对问题进行模拟试验。如下例：
例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
分析：用计算机产生随机数模拟试验，我们可以利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，利用计算机产生X是0～1的均匀随机数，则送报人送报到家的时间为X＋6.5，利用计算机产生Y是0～1的均匀随机数，则父亲离家的时间为Y＋7，如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5时，事件A＝{父亲离家前能得到报纸}发生，所以
解：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数X=RAND（），Y=RAND（）．
（2）经过伸缩变换，X＋6.5得到[6.5，7.5]内的均匀随机数和Y＋7得到[7，8]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和符合Y＞X－0.5的随机数对个数N1
（4）计算频率fn(A)=．
（5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值．
例3 在如图的正方形中随机撒一把豆子，用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值。
分析：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似值成正比，即
，
假设正方形的边长为2，则，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以，这样就得到了的近似值。
解：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数a1=RAND（），b1=RAND（）．
（2）经过平移和伸缩变换，a=(a1-0.5)*2，b=(b1-0.5)*2．
（3）数出落在圆内的点（a，b）的个数N1 ，计算（N代表落在正方形中的点（a，b）的个数。
【学生活动】：让学生独立完成对实际问题转化为数学模型，并设计试验步骤，把设计出来的步骤付之实践，得出题目的解答。
练习3：利用随机模拟方法计算如图中阴影部分（y＝1和y＝x2所围成的部分）的面积。
分析：在坐标系中画出矩形（x＝1，x＝－1，y＝1和y＝－1所围成的部分），利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比之值，等于阴影面积与矩形面积的比值。
解答：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数a1=RAND（），b=RAND（）．
（2）经过平移和伸缩变换，a=(a1-0.5)*2．
（3）数出落在阴影内（即满足0
0）的样本点数N1 ，计算（N代表落在矩形中的点（a，b）的个数）。
4、课堂小结：
【教师活动】：（提问小结，分小组对以下问题进行讨论，总结。）
（1）我们这节课学了什么内容？（2）要解决这节课的问题关键是什么？（3）用计算机来模拟几何概型的问题有何优点？
【学生活动】：（通过学生分小组讨论总结这节课所学的内容，加深对随机模拟试验的认识，通过小组讨论培养学生的合作精神，在知识上能取长补短。）
我们的结论是（1）①利用一组随机数进行模拟试验，②利用两组随机数进行模拟试验。（2）用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。（3）用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；
【教师小结】：
均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关（如例题3），然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量。
5、作业：设计计算机随机模拟试验的步骤并在计算机上进行模拟试验，甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
-1
1
x
y
O
PAGE
第7页人教A版普通高中
数学课程标准实验教材经验交流会
优
秀
课
例
评
比
材
料
课题：等 差 数 列 的 前 n 项 和
学校： 广东省英德中学
姓名： 谭素玲
等 差 数 列 的 前 n 项 和
清远市英德中学 谭素玲
一、教学目标
知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导;
能用等差数列的前n项和公式求等差数列的前n项和;
能力目标：使学生能从函数角度理解等差数列前n项和公式，并能简单应用;
能从数形结合的角度解决数学问题;
通过典型题目的回顾、讨论、分析，培养学生归纳总结的能力;
德育目标：通过教师指导下的交流活动，培养学生的团结合作精神；
通过学生动手实践，体验成功的喜悦，从而进一步激发学生学习数学的兴趣
二、教学重点和难点
重点：等差数列的前项和公式及应用
难点：从二次函数的角度理解等差数列的前n项和公式
三、教学基本流程
创设情境，推导等差数列前n项和
探究从方程角度理解前n项和公式
研究等差数列前n项和公式与函数的关系
课例讲解
实践提高
课堂小结与作业
四、教学过程
教师活动 学生活动 设计意图
【问题引入】由学生阅读教材（人教版P48高斯的例子）1+2+3+……+100=？类比地：如何求以下等差数列的前n项和？1，2，3，……，n…… 学生阅读课文 通过创设情景引入问题
【设问】高斯的算法很巧妙，他观察到式子有什么特点？那你是否从中得到什么启示呢？结论：倒序相加等差数列的前n项和公式 思考问题，进入新课的学习。 使学生初步理解倒序相加法求和的基本原理。
【成果体验】以上从高斯的算法中启示我们得到：等差数列前n项和的公式，给我们求等差数列前n项和带来方便，请根据我们得到的结论解决下列问题：求下列等差数列的前n项和已知：a1=5，an=95，n=10已知a1=100,d = -2, n=50 学生动手实践并得出运算结果。 使学生感受到利用公式求等差数列的前n项和得便利。同时使学生初步熟悉公式的应用。
【对探究成果的再思考】问题：根据 从方程的角度看，以上式子各有几个未知量？若要把其中某个未知量求出，需要知道几个量？实践：已知a1=20，an=54，sn=999,求d, n已知d= , n =37,sn = 629，求a1,an 学生思考并得出结论：各有四个量a1,d，n，Sn，an,结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,知道其中三个可以求另外两个 使学生能从方程的角度理解等差数列的前n项和公式及通项公式，并用方程的思想解决数列中的基本问题——求基本量
【再思考】从函数的角度出发，类比等差数列的通项公式an=pn+q(其中p,q为常数,且p不等于0)，可以得到结论： （1）你能从二次函数的角度探讨：的图像特点，对称轴，开口，以及单调性？（如：a1=3,d=2;a1=3,d=－2 ，a1=3,d=0说说该二次函数的对称轴，开口，以及单调性）（2）若一数列的前n项和为Sn=n2+n+r,其中r为常数，那么这个数列一定是等差数列么？若是，试求出它的首项和公差。 学生结合两组特殊例子画出二次函数的图像进行研究。由两学生上台板演。 使学生能从函数角度理解等差数列的前n项和公式，并用函数思想解决等差数列的相关问题（同时要学生注意——数列的定义域为全体非零自然数）
【课例学习】人教版P51 例4已知等差数列5，的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值。思考：若等差数列an中，有S7=S8，结合图像你能否推测等差数列的变化特点吗 学生合作讨论 通过引导学生对课例结果的反思，提高学生分析归纳的能力
【实践练习】已知等差数列16，14，12，10，………前多少项的和为72 ？前多少项的和为0 ？前多少项的和最大？并结合函数分析你的运算结果。 学生动手实践得出运算结果，画出函数图像分析运算结果。提高学生的学习热情。 检测学生从函数角度分析数列问题的能力。
【归纳小结，反思提高】1、通过本节课的学习，你能求等差数列的前n项的和吗？ 2、通过本节课的学习，进一步告诉我们要善于从方程和函数的角度解决数列的问题。 学生思考 启发学生对所学内容总结，提示学生重视研究问题的方法和过程，进一步深化对等差数列前n项和公式的理解
【疑难解答】教师根据学生提出的问题进行解疑 学生根据本节所学内容，自由提出在学习过程中存在的疑问 解决部分学生在学习过程中遇到的困难；收集学情。
【作业】 必做题——人教版P53 3、4反思探究题——1、等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 2、若数列成等差数列，且，求． 学生课后完成 必做题评价学生对基础知识的掌握程度；选做题评价学生灵活运用函数观点解决数列问题的能力。
五、教学评价
课堂教学中，通过成果体验和实践练习三组训练题，即时评价学生对本节课的知识目标的达成度，通过分组讨论，检查学生的交流，协作能力的养成；通过布置课后练习，检查学生对知识的熟练掌握程度；用反思探究题的完成情况，评价学生合作，探究能力。浅谈学生创造性学习习惯的培养
山东省滕州市第一中学 时科峰 王丽（277500）
新课程改革以培养学生创新精神和实践能力为焦点，提出教学中应留给学生更多空间，以利于创造性思维的发展。这对中学数学教学提出了更高的要求。以传授知识和解决常规问题为重点的数学教学已不适应时代的发展，中学数学教育必须关注学生的创新意识和创新能力。叶圣陶先生说，“从某种意义上讲，教育就是学生学习习惯的培养”。所以培养学生创造性学习习惯已成为新形式下教师教学工作的首要任务，下面就如何培养学生创造性学习习惯谈几点看法和建议：
一、培养学生独立思考，善于质疑的习惯
传统教学中学生的学习几乎完全依赖教师，严格按照教师和书本的导向去记忆和归纳知识，很少有学生对教师或课本产生质疑。这样学生既缺少创造性思维的要求和压力，也缺少相应的训练，逐渐养成了依赖性的学习习惯。因此，要把培养学生独立思考和善于质疑的良好习惯作为培养学生创造性学习习惯的首要任务。在教学过程要注意以下几个方面：
首先，让学生认识到自己在学习过程中的主体性和独立性，激励学生积极参与数学知识发现、形成的探究活动。如在人教社普通高中课程标准实验教材A版数学（必修1）第34页例3，可将问题情境改变为：
将“菊花”烟火放在冲天炮中，通过一个定时装置来发射。制造时希望烟火在冲天炮达到飞行轨迹的最高点处爆裂，绽放出美丽的烟花。若该装置放在一个距地面8米高的发射台上，计划发射角为75度，冲天炮在竖直方向上的速度为42米/秒。
我们在实验中发现，针对这一情境，学生面临了更多的有趣问题：（1）冲天炮飞行的高度与时间具有什么样的函数关系式？（2）冲天炮在何时到达最高点？最高点距地面的高度是多少？考虑到冲天炮落地时有可能伤害周围观看烟火表演的群众，应在燃放点划出一片安全区。为此，还可提出的问题：（3）冲天炮飞行的水平距离与时间的函数关系式是什么？（4）冲天炮落地时距发射点的最远距离是多少？当学生们解决完一些问题后，还可能产生疑问。如当计算出冲天炮到达最高点时约需4.3秒时，针对课本上的答案1.5秒，学生们感到“4.3秒，太慢了！”那么，应怎样修改发射条件才能让冲天炮在更短的时间到达最高点呢？显然，这一问题相对于先前提出的问题更具挑战性。
其次，启发引导学生学会独立寻找疑点，培养质疑习惯。教会学生如何质疑，教师可以给学生提示在新旧知识的衔接处，各章节知识的交汇处，甚至于各学科间的关联处等等地方入手，或对教材与课堂教学中的一些论述不太严谨的地方提出质疑。如在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，就有学生发现了教材中抛物线定义存在的问题，并举出反例：到点和直线的距离相等的点的轨迹是直线,而不是抛物线；类似的问题在新教材中出现过多次。因此，在数学教学中，一旦学生有了一定的提出问题的经验，就应给予学生机会，让他们能从给定的情境或已解决的问题中提出不同的新的问题，这不仅有利于洞察问题解决的全过程，发挥个人的创造力，同时，学生自己产生的问题有时比教科书上的问题更能激发其进行创造的愿望。因此,教师要有意引导学生去思索、去探讨，要帮助学生如何去寻找问题的答案，而不要简单将答案告诉学生，要给学生更多的思索空间,培养学生独立思考、勇于质疑的习惯。
另外，教师还要注意保护和发展学生的自我意识，避免从众心理，培养健康良好的心态。独立思维往往会有别众人，异于常规，因而会产生无形的心理压力，所以在日常教学中，教师要注意转换角色，营造平等、和谐的课堂气氛，以合作伙伴的身份与学生探讨，让学生敢于发表自己的看法，鼓励学生不要随波逐流，并帮助学生不断否定自己、完善自我。这是培养学生自主探究、积极思考、主动质疑的学习习惯的关键。
二、培养学生手脑结合，注重实践的习惯
思维是从动作开始的，切断了动作和思维之间的联系，思维就得不到发展（皮亚杰语）。中学生的抽象思维、逻辑思维刚刚形成，仍然需要以具体形象思维为辅助才能顺利进行。因此中学数学教育要重视培养学生动手、动脑、动口的良好习惯，使学生通过亲自动手操作或实验获得必要的感性认识，从而达到理性的升华。如在圆锥曲线“椭圆的习题课”一节的教学中，教师可以设计“利用计算机几何画板知识设计椭圆画法”研究性课题，让学生利用微机课，应用所学的椭圆和几何画板知识，独立操作、实践，并形成书面材料，在课堂教学中交流。又如在立体几何“折叠问题”专题教学中事先给学生题目，让学生根据题目要求制作模型，观察探讨折叠前后图形的区别与联系，寻找折叠过程中的不变量与变化量，总结折叠问题的一般解法，然后引导学生将折叠后的图形展开，认识到立体几何问题与平面几何问题的联系，最终让学生领悟并掌握解决立体几何问题的数学思想——化归思想。开展类似的教学活动，可以使学生养成手脑结合，勤于实践的学习习惯，切实变被动接受学习为自主发现学习。
三、培养学生积极探索、不断反思的习惯
在创造性学习中，学生不仅要接受教师所教的知识，还要消化这些知识，分析新旧知识的内在联系，敢于除旧布新、自我发现。传统教学中接受和消化教师传授的知识几乎是学生学习的全部，但在创造性学习中，学生积极探索、不断反思，自我发现、自我创新。如在“二次函数”一节的教学中，对于“当时，函数恒负，求的取值范围。”这一题目的常规做法是用分类讨论思想，转化为求函数最值问题，使得其最大值恒负来解决，过程比较复杂。此时可以让学生反思解题过程，探索总结新的解题思路，引导得出如下解题思路：化二次函数为一次函数，当时，函数恒负，求的取值范围，从而获得较简便的解答。所以在教学中教师要不断改变教学模式，注意培养学生在学习活动中成为积极的探索者，在探索中不断反思。通过探索发现新知，在反思中总结、升华，扩充、完善自己的知识结构和认知结构，最终实现自我创新，形成“探索——反思——创新”的学习模式，养成良好的学习习惯。
四、发展学生想象力，培养学生的发散思维习惯
教会学生思考，对学生来说，是一生中最有价值的本钱（赞可夫语）。也正像一句古语：“授之以鱼，不如授之以渔。”所以在教学活动中，为学生创设“创新”的实践活动，培养学生良好的思维习惯是教育教学工作的重中之重，也是打破传统教学模式的关键所在。其中培养学生发散性思维习惯是实现这一目标的主要方法。发散性思维，即求异思维，是一种从不同途径，不同角度去探索多种可能性，探求答案的思维过程。为了培养学生发散思维习惯，教师可以尝试以下两个途径：
（1）发展学生的想象力。良好的想象力依赖于学生的好奇心和知识面。教师可以通过创设构思新颖、思维巧妙、生动活泼的问题情境，激发学生的好奇心；通过维护“童心”保持学生持久的好奇心。在教学过程中引入一些有趣的例子激发学生的好奇心，如在引导学生如何审题时可以利用这样一道早期高考题：“三角三角，三角几何共八角，几何几何？”做引；又如在“等比数列前项和”一节的教学中可设计“猴子分桃问题”（五子猴子分一堆桃子，怎么也不能均分成五份，大家约定，先去睡觉，明天再说。夜里，猴甲偷偷起来，吃掉一个，这时，它发现正好可以分成五份，便分好五份，把自己的一份藏起来，又去躺下了；接着，猴乙起来，也偷偷吃了一个，发现余桃也正好可分为五份，便分好五份，并藏起自己的一份；猴丙、丁、戊照样炮制一番：吃掉一个，均分成五份，藏起自己的一份。问：总桃数最少为多少个？）作引；又如在立体几何“空间距离和角”一节中可以设计“蚂蚁爬墙问题”（正方形的地面与正方形的墙互相垂直，在正方形的中心处有一块肉，一只蚂蚁欲从点出发，爬到点，求蚂蚁可走的最短距离。）作引。通过这些问题激发学生的学习兴趣和热情，化被动学习为主动学习。另外，教师还要引导学生科学、能动的安排学习时间，获取高效的学习方法，广泛涉猎各个领域的知识，努力拓宽知识面，形成合理的知识结构和认知结构，提供学生想象的源泉，促进学生想象力的发展。
（2）组织如一题多解、一题多变、限制条件编题等形式多样的教学方式，培养学生多角度思考和解决问题的习惯。
五、充分发挥教师的指导作用，培养学生善于合作的学习习惯
新课程积极倡导合作学习的学习方式，这将对学生的成长产生深远的影响。合作学习有利于培养学生的协作精神，团队观念和交流能力，并在思想的碰撞中迸发创新的火花。在创造性学习模式下，教师不再是教学的权威，而成为学习过程中的指导者，合作者，平等中的首席。教师要充分发挥其指导作用，建立新型的师生关系，乐于与学生合作，让学生学会在合作中成长，在合作中进步。教师可以选取一些有价值、有意义的课题让学生在合作中完成，激励学生积极参与，认真对待，敢于表达自己的观点和见解，还要引导学生学会倾听，学会评判，学会接受。笔者在“立体几何初步”这一章的起始课中，就尝试让学生合作设计本章的学习方案，学生热情非常高，主动分成四个合作小组：摄影组、图片组、模型制作组、课件制作组；利用课余时间收集整理各种图片、实物、模型，然后归纳总结出棱柱、棱锥、棱台的性质特征以及它们之间的区别与联系，收到很好的效果。
总之，作为新形式下的教育教学工作者，我们要不断研究学生学习的特点，做出科学的分析，总结经验，培养出一批又一批有创新精神的四有新人，造就更多高素质的创新人才造福社会。这是信息时代赋予教育工作者的一项新的重要任务。
PAGE
1走进新课程，感受新理念
-------高中数学新课程教学中的反思
作者：崔西强 泰安市新泰市第四中学
课程在学校教育中处于核心地位，教育的目标价值主要是通过课程来实施的。新数学课程已经走进我们校园三个年头，它走进了师生的生活，并昭示着强大的生命活力。在教学实践中我深深地体会到，要让教师能走进新课程，使用好新教材，那么首先，必须更新教育观念，坚持“以人为本”，树立为学生今后的发展服务的教学理念；其次，将教师作为知识的传播者的单一角色转化为学习者、教练员、编著者、研究者等多重角色，使教师能真正成为学生学习的促进者和引路人；最后新数学课程教学中必须加强创造能力的培养。
一、教育的出发点和归宿都应是人，它要为学生一生的发展服务
教育的归宿是学科还是人，反映了两种不同的教育价值观。过分强调学科的独立性和重要性，忽视了作为教育对象的学生，这种教育观从根本上背离了基础教育的本质和使命。因此关注每一位学生，让学生在知识习得的同时，人格不断健全，道德不断发展，让学生能成为一个有爱心、有责任感、有教养的人，已成为基础教育不能偏离的方向和新的数学课程改革面临的使命。
１．数学教学的宗旨是让学生在主动参与中学会学习
根据新数学的特点，我尝试在引入新课之前让学生阅读教材并提出问题，如讲角的概念的推广时，我让学生计算在７时和８时之间时针和分针重合的时刻应该是７点多少分，得出的结果是７点３８分，我又问晚上此时中央电视台播放什么节目，同学们说是“焦点访谈”。我又问现在谁能说说把这档节目放在这一时间播放的寓意吗？同学们都很活跃，都说用时针和分针的重合来比喻生活中的焦点，真是太妙了，太让人深思。这样做给本来很枯燥的角度概念课吹进了一股清风。在平时课堂上我推导公式定理之后，常让学生归纳方法思路，每章结束之后又让学生思考如何将这些知识拓展引伸，结合实际撰写小论文。这样做效果很好，调动了学生主动参与的积极性。所以，教师应改变传统的教学观念，让学生在主动参与中学会学习。
２．课堂教学应创设条件，为学生主动参与探究式学习服务
探究式学习是应该倡导的一种学习方法。是一种以激发学生学习兴趣，调动积极思维为目的的教学手段。实践表明，单纯靠传授灌输是不能真正学到有实际意义的有价值的知识，数学学习应该是在教师的指导下，学生积极参与、主动探究、师生互动的过程。如“线性规划”旧教材中没有，但它对解决生产和生活中的最值问题有很大的作用，为此，我让学生进行社会调查，寻找素材，编制应用题，师生共同完成。这样做学生兴趣很高，由于有了亲身经历，因而学得较扎实。新教材在探究式学习方面为师生搭建了一个广阔的舞台，在那里是可以大显身手的。
３．数学学习应成为指导学生终身学习的领航灯
在知识不断更新的今天，学习对于每一个人来讲不应是一个阶段性的事，也不能一劳永逸，很多知识的获得，能力的提高，本领的增长都是在以后实践中完成的。人们在学校学到的知识毕竟是有限的。必须不断地学习才能适应时代发展的需要。事实上，学校的数学学习仅是为学生以后的工作、生活和进一步的深造提供必须的基础知识和思想方法。
如“向量”是高一数学中新增加的内容。它作为一种工具不仅在数学学科中有广泛的应用，同时也被自然科学的其它领域广泛运用着。很多数学的思想方法如建模、类比、化归、数形结合、分类讨论等等都巧妙地渗透在教材中，需要教师很好地挖掘。从学生学习发展性角度来看，掌握更多的数学思想，对今后的工作和学习来讲都是受益匪浅的。因此，今天的数学学习不仅是学生学习旅途中的一个驿站，更是指导学生终身学习的一盏领航灯。
４．数学学习应该是“书本中学数学”和“生活中做数学”并存
数学知识的高度抽象性使人们淡薄了对它来源于生产生活实践的事实。在以往的数学教材中教学基本远离生活，用公理化体系支撑的知识结构很大程度上是为了训练人们的思维，培养人们的逻辑习惯服务的，这样造成教学内容枯燥，使学生对数学缺乏兴趣。数学应正本清源，数学教学的触角应伸向生活和社会实践。如高一“数列”教学时，我编制了分期付款购买桑塔纳轿车的应用题，让学生计算不同年限的每期付款金额，并带领学生开展调查，写出《工薪阶层如何用分期付款方式购买家用轿车》调查报告。这种以现实问题为中心的开放式教学，促成了师生互动，有利于教学相长，将书本知识和生活实际紧密地结合起来，为数学真正服务生活开辟了一个窗口。
二、教师应由单一“知识的传授者”向多重角色转化
新课程要求教师应站在学生的立场上反思自己的教学行为，教师也是学习者；通过切实可行的解题训练来提高学生的数学素养，教师又要成为教练员；教师要站在教材编著者的立场纵观教材，针对学生实际和教学要求，对教材内容进行重组加工，教师也是编著者；教师要用先进的教育理论指导平时的教学工作，使眼前的和长远的教学效果能辩证地统一起来，教师也是研究者。
１．从读懂学生是走进新教材的起点来看，教师要努力当好学习者
“以人为本”是现代教育观的核心，教学的目标指向是学习者的发展，教好学生就得站在学习者的立场来体验学习，读懂学生比读懂教材更重要。因此对于教师来讲，除了要有扎实的专业功底以外，还要熟悉现代教育学、心理学的一些基本原理，知晓学生在学习中会有哪些认知偏差和心理障碍。我觉得数学教学的成功并不在于学生能完成多少课本或参考资料中难题，而在于能提出一些有独创性的问题，以及问题解决后的再提问、再发现。在“圆锥曲线”的教学中，有学生就提出将到两定点的距离和、差为定值改为到一个定点和一条定直线，那么其图形是什么呢？有些学生还提出了将定点和定直线改换成其它的几何元素，又会得到什么样的曲线呢？我告诉他们，有些问题是要用高等数学知识才能解决的，有些问题我暂时无法回答。在当今信息社会中学生能通过各种途径获取知识时，教师被学生问住是一件好事。在教学中我们就要创设条件让学生主动提问，形成教师与学生共同探究的教学氛围。
２．从数学教学“教、学、练”的特点来看，教师应当好教练员
数学知识本身是为解决数学问题而发展起来的，数学问题是数学的心脏，培养学生解决数学问题能力是数学教学的根本目标之一。数学学习是一个通过长期训练将数学知识和能力内化上升为数学素养的过程，为此，数学教师更应善于充当教练员的角色，让学生在问题的解决中真正学会数学。
要引导学生发现问题、分析问题、解决问题，通过解题中的思维训练来体现数学教学的严谨性和逻辑性。新数学在习题的选配上有一定的层次性，使各类学生都有提高的机会，给教学带来了很大的便利。我觉得教好数学，“教、学、练”三个基本环节是不可偏废的，特别在练的过程中应淡化形式，讲究实效，并通过练习及时捕捉有用信息，不搞“题海战术”。
３．从数学教学与课程的关系来看，教师也应是教材的编著者
在传统的数学教学中，教学与课程是分离的，教师的任务只是教学，是按照教科书、教学参考书、考试试卷和标准答案去教，以致造成了不少数学教师离开了教科书，就不知教什么；离开了参考资料就不知怎么上课；离开了练习册和习题集就不知道怎么出考卷。更可笑的是一些教了十多年书的教师，还不曾编写过一个题目。教学与课程的分离使教师丧失了课程的意识，丧失了调控教材的能力。
新的数学课程倡导民主、开放、科学的课程理念。要求课程必须与教学相互整合，教师必须在课程中发挥主体作用，教师理应成为教材的编著者。教师可根据学生的实际情况和大纲的要求，合理选取和重组教学内容，以适合学生自主学习的需要。如三角中的“诱导公式”教材是分几次完成的。但我在教学中做了一些调整，先把这些公式都交给学生，让他们在使用中掌握巩固，这样教学效果很好。当然，自由的选取和编排，并不意味着教师可以随意地增删教材的有关内容，而是在全面把握编著者意图的基础上进行创造性的运用，既忠于“原著”又不拘泥于“原著”。
４．从教育事业的发展来看，教师应该是教育教学的研究者
在传统的教学观念下，教师的任务是教书，这是天经地义的。教学和教科研是彼此分离的，教学科研被认为是专家们的“专利”，教科研活动教师平时很少问津，即使参加也是作为一种点缀和形式。数学课程改革，要求数学教学是一种反思性与实验性教学。新数学所蕴含的新理念、新方法以及教学实践中所出现的各种各样的新问题，都是过去经验和理论难于解释和应付的，教师不能等待别人把研究成果送上门来，然后不加取舍地把这些成果应用到教学中去。我觉得教师应投入到教学科研中，结出“原创性”的成果。为了能早日走进新数学，教师应以主动的姿态，多反思自己的教学，用研究者的眼光审视和分析教学实践中的各种问题，学习新的理论，探究新的领域，总结新的经验。
我觉得把教学与科研紧密地结合起来，既是眼前新数学教学的需要，也是教师由“教书匠”转变为教育家的一种前提条件。
三、新数学课程教学中必须加强创造能力的培养
课程设置注重学生对社会的适应性，将培养学生创新精神和实践能力摆到突出地位。为了加强创新意识的培养，加强“综合实践活动”课，增设安排了每个学期至少一个“研究性课题”；为了提高解决实际问题的能力，在教学内容的选择上更加贴近生活实际和生产实际，安排了“实习作业”，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。我们如何在数学教学中加强创新能力的培养呢？
1、重视知识发生过程，培养创新意识
数学上每一个概念的引人都是由于生产实际需要或研究某些问题的需要而产生的，一些重要定理的证明往往也体现了一些新的思路新的方法。也就是在当时研究某些问题的需要而有所创新方能突破。因此在教学中重视知识发生过程的教学就是让学生不断感受到随着生产、生活实际的需要，科学研究等方面的需要是会不断出现新问题，要解决这些问题就要求我们在不断总结前人经验的基础上，勇于探索、勇于创新。这无疑对于培养学生的创新意识是十分重要的。
2、创设情景，形成培养创新精神的氛围
教学中要努力创设情景，使学生能积极主动地投身于教学过程中是十分重要的。例如在教某些定义时，可以根据已有的知识及要解决的问题，让学生自己去建立新概念，然后再看课本加以对照。比较你所写出的概念，定义是否比课本上写的还要好，好在哪里？或者你感到自己写的概念、定义没有课本上好，不够在哪里呢？这样不仅把概念理解得更深入，同时也创设了一个人人动脑人人参与的创造性活动。教育学生要尊重科学，尊重知识，但又不迷信权威，敢于向权威挑战的心理素质。这对于培养学生的创新精神是十分有益的。
3、善于启发引导，鼓励创新热情
心理学研究表明，榜样的示范作用对创新意识的形成的重要性是不容忽视的，心理学家西蒙说“对榜样的模仿，促进了创造性的智慧，从而对创造性产生有利的影响。”在班级集体里，学生的意识倾向与老师的导向的榜样直接相关。因此在数学教学中，一方面可以向学生介绍一些古今中外创新的例子。如：数学家高斯在10岁时就发现了“1＋2十3十…＋100”这道题的特点，发现了快速的计算方法。典故“司马光砸缸救人”的突破常规的思维方法。另一方面要注意发现班级集体中有创新精神的苗子。例如经常会有学生不完全按照老师规定学生的书写格式、解题步骤以及解题方法。我们不要一概加以否定，仔细分析一下是否有某些合理性，是否有某些标新立异之处。如果发现了闪光点及时发扬，引导鼓励，不仅对受表扬的学生往往会终身难忘，而且以后还会经常别出心裁去思考问题。同时对全班其它同学也起了导向作用，可增强学生的创造欲，鼓励学生的创新热情。
4、突出数学思想方法是增强学生创新能力的基础
学生创造能力的培养与基础知识，基本技能的掌握是密不可分的。很难想象在当今的知识经济时代里，没有扎实的基础理论知识能攀登科学高峰的。即使有丰富的想象力，有一定的创造能力但缺乏基础知识就会使他要想解决的问题不能圆满解决，甚至半途夭折。因此
在加强对学生创新能力培养的同时要处理好与基础知识的关系。在基础知识中对于一些死记硬背、模仿性习题等应加以控制。而其中有关的重要的数学思想方法应予以加强，这是学生终身有用的思维方法，是继续发展，创造能力的基础。应当予以充分重视。
5、重视求异思维，发散思维的培养是增强创新能力的重要渠道
培养学生的观察力和想象力。观察力是人类智力结构的重要组成部分，敏锐的观察力是创新活动的起步器。想象是客观现实在人脑中的反映，丰富的想象力是创新活动的设计师。
因此，教学中应引导学生全方位，多角度的观察问题，同时提供想象材料，诱发学生创造性的想象。在这过程中要注重求异思维能力和发散思维能力的培养。求异思维就是不墨守成 规，寻求变异，伸展扩引，标新立异的一种思维倾向和思维活动。任何一位科学家的创造力都可以看成是：创造能力=知识量×求异思维能力。发散思维是多角度、多方位思考问题的 一种思维活动。显然没有“求异”就不可能“发散”，要“发散”就必须“求异”，而当发散思维发生了“质”的飞跃时，就达到了求异思维的最高境界——标新立异，也即出现了创 新。因此发散思维和求异思维的培养是增强学生创新意识和创新能力的重要渠道。在教学中教师可有目的地设计一些开放题，让学生对问题多角度分析，培养学生的发散思维能力，再进一步可让学生删改条件，探求结论，都可以更好地培养学生的求异思维能力。从而增强学生的创新能力。
6、改进教学方法是培养学生创新能力的重要条件
培养学生的创新能力首先应让学生主动参与，积极思考、亲自实践，只有这样才能开发潜能，促使创新能力的发展。同时还必须给学生提出问题和进行充分的，自由的讨论机会。中学生好奇心强，但思维还欠成熟，他们的头脑中有许许多多新奇的想法和见解，教学中要给学生提供展示的机会，鼓励猜想，无论学生提出的问题是否正确，乃至有些古怪，教师都要先肯定他们的精神，然后再加以引导，充分保护那份可贵的好奇心，同时还要给学生充分的、自由的讨论机会，进一步解决问题。由此可先为了要更好地培养学生的创新能力，在教学方法上必须采用启发式和讨论式。过去那种教师讲，学生听或学生做大量模仿性习题然后校对答案的教法是不利于创新能力的培养。我们必须改进教法，促进创新能力的培养。
创新精神和创新能力是最可贵的，层次最高的素质，如何培养是教育和教学的一项重要任务。事实上影响创新能力发展的因素是多方面的，而其中最为重要的是，教师要转变教育观念，增强教改意识，把提高素质作为教学的根本任务，才能营造创新环境，培养创新能力。
新课程，给我们每个数学教师提出了新的更高的要求，教学工作越来越找不到一套放之四海而皆准的模式。因此，教师必须在教学工作中随时进行反思和研究，在实践中学习和创造，这样才能得到发展。让我们扬起课程改革的风帆，乘风破浪，为驶向那展示教师生命价值的彼岸而不断努力。
2006年10月21日《方程的根与函数的零点》
——教学设计
滨城区第二中学
刘小勤
2006、10
方程的根与函数的零点
1. 教学目标：
知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；会判断函数是否存在零点.
过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.
情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．
2.教材分析：
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点.函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。因此函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中，占有非常重要的地位.
本节要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系.它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，也是对本章函数知识的加深与总结，还是对函数知识的纵深拓展.把函数在解方程中加以应用，渗透了中学的重要数学思想：方程与函数的思想，转化思想和数形结合的思想.为学生学好数学打下良好的基础.
3．教学重点与难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存在零点的判定方法.难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．
教学时，从简单问题入手，层层深入，通过由特殊到一般的方式突出重点，以探究的方式突破难点..
4．教学基本流程
教学情境设计
问题 设计意图 师生活动
（1）求三个一元二次方程的根，并画出它们相应的函数的图象. 让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系. 生：独立完成师：课堂巡视，针对学生的共同问题集中解决.
（2）方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？ 为引出函数零点的概念做准备. 学生思考，得出结论
（3）引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法．
（4）你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？ 使学生明确它们之间的关系. 师：引导学生通过表格比较.生：相互讨论，得出结论.师：总结归纳.
(5)求函数f(x)=x2-x-2的零点. 使学生会灵活运用这三者之间的关系，并明确提出转化思想. 生：独立思考完成师：总结学生所得结论，得出正确答案.
(6)若改为“求函数f(x)=lnx+2x-6的零点”呢？ 由学生思考，产生认知冲突，从而激发学生的求知欲. 生：相互讨论,得出不好求解.师：引导.
(7)判断函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点. 铺设台阶，引出本节课的主要问题. 学生思考师生共同探讨得出暂时没有判断依据.
（8）求函数y=x2-2x-3在区间[-2,0]的两个端点的函数值f(-2)、f(0)，并判断f(-2)·f(0)的大小关系.若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何？ 先从一个已研究过的、简单的函数入手，让学生通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系？得出不严密的结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点. 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．师生共同探讨得出结论
(9)这个结论推广到一般情况下还成立吗？ 通过一般的一个函数图象验证刚才的结论的正确性. 生：独立思考完成解答.师生共同讨论得出函数零点存在的条件.
（10）试判断函数在区间[-1,1]上是否有零点. 由该问题发现刚才结论的不严密性.从而培养学生思维的严谨性 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：总结归纳.
（12）判断函数y=x3-2x2+1在[-1,0]上是否有零点. 巩固函数零点存在定理 生：独立思考完成.师：巡视，帮助学生纠正做题的不规范性.
（13）判断函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点 若有在哪里？有几个？ 回到刚才未解决的问题，使整个课堂连贯.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用. 师：适当的提示.生：独立思考完成.师生共同完成解答.
(14)求函数f(x)=3x+2x-6的零点个数. 巩固确定函数零点的方法. 生：独立思考完成.师：展示学生的做题步骤，总结得出标准答案.
小结：本节课你学到了什么？ 归纳整理本节课所学的主要知识和思想方法，使之形成知识网络. 生：思考，整理，表述概括的结果.师:总结归纳.
作业：课本P97练习1、2 复习巩固方程的根与函数零点之间的关系，函数在某区间上存在零点的判定方法. 生：做作业.师：个别辅导.
板书：1.函数零点的概念.2.三者之间的关系.3.函数零点存在的条件. 使学生思考、做题有据可寻.
教后反思：优点：①利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，用几何画板画图形，准确、直观、易于学生理解；②问题设计合理，通过互动探究学生顺利的掌握了函数零点的概念，方程的根与函数的零点之间的关系，理解了函数零点存在定理；③师生互动效果较好.不足：学生做题不够规范，学生在解题时易忽视“函数在区间[a,b]上的图象是连续的”这个条件，在练习时应加以强调，还应加强学生做题规范性的训练.
重点放在零点的存在性判断
及零点的确定上．
1,方程的根、函数图象与x轴的交点、
函数的零点三者之间的关系.
2,函数零点存在的条件.
例题探究
课堂小结与作业
探索研究
尝试练习
给出函数零点的定义
创设问题情境，引入课题凸显学生主体地位 激发培养创新潜能
袁伟忠 （广东省揭阳市揭阳华侨中学 522000）
新课程改革强调学生不再是课程教学的工具，而是课程的主动学习者、发展者，是课程学习的主人。新课程要求教师打破以往按统一模式塑造学生的传统做法，关注每一个学生的特殊性，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，要求教师采取有效的方式或手段，把沉睡在每个学生身上的潜能唤醒起来，激活起来，这一切，为教师的发挥提供了宽广的舞台。同时新课程标准下的教师不再是单纯地传授知识，而是帮助学生吸收、选择和整理信息、知识，在课堂上，千篇一律的死板讲授已不再为学生们所接受，代之而行的是主持和开展种种认知性学习活动，师生共同参与探讨丰富多彩的知识世界。
在新课程的背景下，数学课堂教学应使学生真正成为获取知识的主人，以学生为主体，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生良好健康的主体人格，充分培养和提高学生的自主性、能动性和创造性，因此我们的教学不应再是教师单纯地采用“满堂灌”、“一言堂”、“填鸭式”等等的不良教法模式去传授知识，而应是实施凸显学生的主体地位，充分发挥学生的主体作用，创造机会，教给学生主动学习的能力，培养学生主动进取的意识，着眼于学生的终身发展，培养激发创新潜能，以适应新课改要求的教学，只有这样，才能培养出适应当今社会发展需要的人才，这是当前新课改的理念要求，是一个值得研究的问题，现结合自己的教学实践作初步探讨。
一、创设机会主体参与，求知历程激发创新
在教学中发挥学生的主体作用，可大胆让学生参与到探究知识形成过程之中，创造机会，留给学生。让学生在求知历程中逐渐掌握学习的方法，让学生互相探究，互相讨论，不但使他们能知其然，知其所以然，而且要掌握其所以然。例如，在讲授“直线方程”内容时，由于学生已学习了“直线的倾斜角”和“斜率”的定义，先复习完定义后，我只讲直线的点斜式方程，让学生推导其它的四种直线方程形式，并把全班分成四组，每组派一个代表上台推导一种直线方程的形式，看谁快。由于有挑战，学生们热情高涨、积极地投入到对问题的探究之中，经过学生的主体参与，既使学生掌握四种直线方程形式的推导方法，对知识发生过程印象更深，又使本来的截距问题这一难点问题也解决了，而且有一个学生还推出了另一种直线方程的形式——参数式，体现了创新的思维能力，这种教法提高了学生对知识探求的兴趣，发挥了学生学习的主体作用，激发了创新的潜能。
二、引导学生勤于思考，撷取规律源自创新
创新的前提是理解，创新的理念来自勤奋的思考。我们知道，数学知识往往以概念、性质、定理或公式及其推导过程呈现出来。对性质、定理和公式少不了要进行严密的逻辑推理论证，完成这些论证需要一个思维萌动、展开、收放的过程。为此，我们首先必须让学生对推理过程充分理解。因为数学知识的获得主要依赖紧张思维活动后的理解，只有透彻的理解才能融入其认知结构。这就需要摈弃过去那种单靠教师在课堂上包办数学结论的推导过程的教法，而是要引导学生积极参与到求知的历程之中，不致使学生养成只会死记硬背结论，然后套用这些结论或机械地模仿某种模式去解题的坏习惯，而是要做到使学生去努力获取结论，撷取规律。需要引导学生勤于思考，培养创新理念，对知识和方法要多问几个为什么？如：为什么要导出这个性质？这个性质、定理或公式有什么功能？如何应用？勤于思考的表现还在干对认知过程的不断反思、回顾，对结论性质要善于总结、推广、拓展，从中获得规律，因为规律的撷取往往源自于勇于创新的精神，源自敢于打破常规的魄力。如让学生记住：
性质1：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于两点、，则，.
不能过于生硬，教师也不必将证明过程和盘托出，可先用：
思考题：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于两点、，当的倾斜角分别为、时，、两点的纵坐标之积有何变化吗？
让学生们通过探究，推出结论。他们经过推算，发现都等于，都为定值。教师提问：这是巧合吗？那么是否不管直线的倾斜角如何变化，总有吗？
把学生分成两大组，第1组把倾斜角改为；第2组把改为；第1组的运算结果为；第2组的运算结果为；发现仍等于定值。再总结出性质1，学生就会记得更加牢固。
再把问题改为：过定点的直线与抛物线交于两点、，问、两点的纵坐标之积为定值吗？让学生自由探究、再由教师启发可得到：
性质2：过定点的直线与抛物线交于两点、，则，.
鼓励学生推广性质，寻求得出新的结论、性质，有学生发现，即、、成等比数列，于是顺手牵羊得到：
性质3：若过抛物线焦点弦的两端点、作轴的垂线，垂足各为、，焦点为，则、、成等比数列.
这个性质的发现是创新理念的初步萌发，教师乘机鼓励他们发扬创新创造、总结知识规律的精神，学生们的思维一经激发，又一发而不可收，把焦点弦改为任意弦，得：
性质4：若抛物线的任意弦两端点为、，且直线与轴交于，则、、成等比数列.
还可把抛物线的对称轴改为轴，又可以得到：
性质5：过抛物线对称轴上的任一点作直线与抛物线交于两点、，则弦的两端点横（纵）坐标之积为定值.
这些性质的推导、推广，就是创新理念的萌发、培养与激发，这需用教师善于引导学生勤于思考、品尝更丰富的知识大餐，真正使教学处于一种“授生以渔”，而不是“授生以鱼”的生动活泼的境界。
三、低起点跃多层次，高要求中促创新
心理学家认为，学生之间的差异几乎是绝对的，因而教师必须依据所教班级学生的实际情况，因材施教，在教学中采用低起点、多层次，高要求的做法，使知识的发生、发展规律与学生的认知结构有机的结合起来，让各层次的学生主体参与，在课堂内均学有所得，智力尽量得到发展。例如，在求参数取值范围的复习中，笔者选用以下两例：
问题1：已知方程有实根，求实数的取值范围？
问题2：已知方程有实根，求实数的取值范围？
问题1给出后，基础差的学生也能将其轻松解决，因为由≥极易求得的取值范围，这给他们一种劳有所获的心理快感和精神上的奖赏。
问题2给出后，基础差的学生仍然由≥求得的取值范围，则错了。这是草率之举，但不能责怪他们，教师细心帮其分析错因：由于≤≤，故≥不能确保方程的解在区间内，即≥只是方程有实根的必要非充分条件！
要将参数的取值范围求出并非举手之劳那么容易，如何让各层次的学生能主体参与，特别是让基础差的学生继续保持学习的热情、在探索该题上共同谋求发展思维能力呢？我采用如下方法：
1、低起点，助成功
让基础差的学生观察方程特点，利用求根公式试试看，一会儿，他们做出来了：
解法1：令，则≤≤，方程可化为，
由求根公式得或（舍去），则由≤≤，得≤≤，
故≤≤为所求的取值范围.
2、多层次，益交流
上述问题2有没有其它解法呢？学生们各抒己见，课堂上涌动着一股强劲的探索热流，优生发现了：
解法2：令，则≤≤，方程化为，利用一元二次方程区间根的分布规律，分方程在上有两解或有且仅有一解这两种情况去求解.
解法3：方程化为，∵，利用参数分离法得
，观察到分子分母可分解因式，约简得，利用三角函数有界性求解.
解法4：方程可化为，∵，则，解法同上.
这表明由于学生在小组的交流中不断获益，思维向多层次迈进了。还有没有其它解法呢？再鼓励他们寻找创新的解法。
3、高要求，促创新
由于学生的主体作用的充分发挥，极大地调动思维的积极性，有学生发现了别出心裁的创新解法——导数法，我让他上台板演解法：
解法5：令（≤≤），则，对求导得：，∵≤≤，∴为函数的增区间，
则≤≤，即≤≤为所求的取值范围.
解法5运用导数法，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域，这是一种创新解法，学生们通过比较，认为解法2太麻烦，得分类讨论；解法4最快捷，解法5则令人值得回味。
我顺势提出一道较难又易错的题目，让学生接受高强度的考验与挑战：
问题3：设，若方程有两个不同的解，求实数的取值范围？
学生们摩拳擦掌，跃跃欲试，部分学生开始都采用求含参数二次方程根的分布问题的方法，把方程转化为函数，用分类讨论思想，考虑二次函数的图象与轴的交点的位置关系，但对于区间端点值的取值情况，就不能准确把握了，结果出现如下错解：
错解： 原方程可化为，令，则方程在区间内有一解，又令，即方程在区间内有一解，则：
≤，解得或≤≤为所求实数的取值范围.
这究竟错在哪里呢？
错因剖析：错解中有两处常见错误，首先对于，当时，原方程在区间内有两个不同的解，但当时，原方程仅有一解；其次≤包含下面三种情况：
1、＜，此时方程在区间内有且只有一个解；
2、，此时方程在区间内至少有一解.又必须分当①或；②或；③或时这三种情况，原方程的解各有、、个；
3、，此时方程在区间内至少有一解.同样必须分当①有一解，另一解（此时；②或时这两种情况，原方程的解各有、个.
综上可知的取值必需有所取舍，错解中的取值范围应舍弃才正确，学生们终于明白了错因，而采用导数法的学生大大地避免了分类讨论的麻烦，避免前面的错误，成功率就高得多了。正确解法如下：
解：令≤≤，则原方程可化为，，
∵≥，∴. 令，则. 分别令＞与＜并结合≤≤，求得的増区间为，减区间为，则最小值，最大值，区间端点值，∵原方程有两个不同的解，且函数的图象在区间内是连续的一段曲线，故应除去一个值对应两个值的情况，因而的取值范围为或＜≤.
诚然，解题教学如能做到教师精讲，学生多练，而不是老师滔滔不绝地讲解，让他们主体参与，施展拳脚，发现解法，创新潜能和解题能力就会到挖掘发挥和提高。
由于教学中凸显了学生的主体地位，这种欢欣宽松、鼓励上进的教学气氛能激奋学生积极参加，从而让每一个学生多一种机会、多一份感悟、多一些信心去参与探究活动，使学生在低起点、多层次，高要求的教学氛围中，基础差的学生能获得成功，品尝成功的欢愉；而优生则赢得更多思考的时间，获得巧妙的创新解法，使不同层次的学生都能“奋力一跳，桃子摘到”，感受努力的价值，使自己真正成为学习数学的主人，而不是被“抛弃者”与“奴役者”，从而信心大增，激发了创新潜能，教学效果也就不言而喻。
四、题组训练施展拳脚，创新潜能挖掘发挥
创新的能力可通过解题来训练，在解题教学时，可设置题组进行解题训练，要改变传统的解题训练繁杂重复的做法，力求精练精讲，一题多解，多题同模；要加强解题的目的性、解法的创新性、思路的创造性，让学生在题组的解题训练中施展才华，挖掘创新能力，解题训练要有坡度和难度。如果解题训练有一个坡度，可以使学生循序渐进从易到难，完成一个小题，相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵，喜悦之心，不禁而生。如果题组没有难度，学生不可能有疑，重复会令人乏味。反之，设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，既巩固了基础，又实现了从有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值。在均值不等式公式的教学中，我设置如下题组：
1、设、，且，分别求⑴；⑵的取值范围.
2、设、，且，分别求⑴；⑵；⑶；⑷的取值范围.
让学生施展解题的功夫，题组1容易解决，而对于题组2，学生们则往往会陷入一个可怕的陷阱：利用均值不等式公式，得≥、≥等等，提示学生：由于的取值范围为≤，所以≥不能取得等号！应利用重要的函数在区间上单调递减的性质，求得⑴≥：⑵≥；⑶≥；⑷≥.
再让学生深入观察、探究题组2结论的特点，看看结论有没有带规律性的东西可以总结。通过小组开展讨论、学生发言、分组比赛、上台板演等方式，鼓励学生探求规律，推广得到：
结论：设、，且，，则≥.
设计这种题组的解题训练使学生的主体意识得到了张扬，主体作用得到了发挥，创新潜力、创造能力得到更好地挖掘培养，使学生体味到成功的愉悦。
五、新知旧知载体依托，创新理念渗透蕴涵
在引入新知识时，要根据教学目标和教学内容，与旧知识有机联系起来，寻找恰当的载体，作为施教的依托，在课堂中使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，将培养学生的创新意识和能力理念渗透其中。
如在讲授复数概念时，可讲到正是十五世纪数学家遇到在生产实际运用中，碰到一个数的平方为负数，以为出错，因为数不够用啦，才导致了一类新数——复数的产生，这本身就是一种创新理念的体现，这说明学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始，宋代有一位教育家说过：“读书无疑者，须教有疑。有疑者却要无疑，到这里方是长进。”，还可以告诉学生学习复数的作用：飞机机翼的美观安全与复杂的复数方程有关！以增强对学习数学是有用的认识。
总之，在数学课堂教学中凸显学生的主体地位，发挥学生的主体作用，营造出开放的、适合主体发展需要的教学氛围，将培养学生的创新意识、能力和理念渗透在和谐、宽松、民主而又活跃的教学情景之中，激发学生的创新潜能，着眼于学生的终身发展，才能培养出具有创新理念、意识、能力的高素质人才。
PAGE
2与学生在数学习题探究中共同成长
银川市二十四中 肖俊玲
数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，这种学习方式要求学生由被动的学习转向主动学习。作为首批进入高中新课标教材实验的一名数学教师，我深深的体会到数学探究已成为贯穿整个高中数学课程的一个重要环节。数学探究有机地渗透在每个模块教学和习题设置中，如何利用教材设置的数学问题，引导学生进行有价值的数学探究，已成为每一个高中数学教师必须面对的一个重要课题。本文就人教版课标教材教学中与学生进行习题探究的一些初浅的作法整理出来，与大家共勉。
在学习了等比数列的通项公式及前n项和公式后，我结合课本例题、练习、习题等，设置了一些探究问题，目的是将等比数列的有关知识进行小结。
问题一：已知数列、是项数相同的等比数列，那么，（1）数列=.是否是等比数列？先举例探索结论，再进行证明。（2）通过探索以上问题你能提出类同的新问题吗？
很快就有学生举出了不同的例子，并迅速通过验证得出了结论: =.是等比数列。而一些学习程度比较好的学生已将探究出的结论进行了证明。
当第（1）个问题解决后，学生已进入了状态，不断有学生跃跃欲试要回答第（2）个问题，我不失时机地鼓励学生：“提出问题比解决问题更重要”，并将学生提出的问题在黑板上进行了归纳总结：
①数列是否是等比数列？数列是否是等比数列？
②数列是否是等比数列？数列是否是等比数列？
③数列是否是等比数列？数列是否是等比数列？
④数列是否是等比数列？数列是否是等比数列？（其中c为常数） ⑤数列中去掉前k项，剩余各项还是不是等比数列？
⑥取出数列中的所有奇数项，重新组成一个新的数列，这个数列是否是等比数列？
⑦在数列中每隔两项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是否是等比数列？
⑧在数列中每隔k项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是否是等比数列？
⑨在数列中将下标成等差数列的项依次取出来组成一个新数列，这个新数列是否是等比数列？
⑩在数列中将下标成等比数列的项依次取出来组成一个新数列，这个新数列是否是等比数列？
……
就在大家争先恐后地提出问题的时候，已有一些同学按捺不住要指出前面同学在问题设置上的缺陷，有同学说，数列中只有{}各项均为正数时，才有意义；还有同学说，数列｛c｝对常数c应加以限制，只有c≠0，才有讨论的价值。
通过对以上问题的讨论、证明、解释等一系列的探究，使学生对等比数列的定义及等比数列的证明有了更进一步的理解，并让学生亲身感悟到了数学结果的推广和深入。
问题二：在等比数列中，从第二项起，任何一项都是它前后两项的等比中项，这个结论是正确的，你能由特殊到一般把这个结论推广吗？首先同学们说出了一些具体的项，例如：
①是和的等比中项，是和的等比中项。
我不失时机的启发学生：“大家能否上升到一定的高度，得出一些一般性的结论？”很快就有同学给出下面结论：
②是和的等比中项。
③是和的等比中项，（n＞1）。
④是和的等比中项，（n＞k）。
同学们在老师的引导下，由浅入深地寻找规律，终于得出了结论④,既广义上的等比中项。通过对上述问题的探究，同学们对等比中项的概念有了更深刻的理解。
问题三： 请同学们自己写出一个等比数列的通项，并验证：＝.是否成立？＝.是否成立？你还能给出类同的式子和推广结论吗？
很快就有不少同学回答说上述结论都是成立的，类同的还可以写出
＝.，＝.。这时，有一位同学站起来说：“老师，我觉得＝也成立。”我笑了笑,趁势引导全班同学进行推证：和是否相等？不一会就有同学站起来说：“我认为：和不一定相等，因为，＝.，而＝.，只有当＝q时，＝；如果≠q时，≠。”我及时表扬了这两位同学，并希望同学们在遇到问题时要大胆提问并积极探索，同时还要细心进行推证，以求尽善尽美，不要让一个错误的结论长期滞留在自己的记忆中。
接着，有同学说这和上面关于等比中项的问题结论一样,应该有下面的式子成立：＝.（n＞1）。＝.（n＞k）。看到同学积极探索的热情，我非常高兴，于是引领同学继续。这时，有同学站起来说：“通过上面的探讨，应有.=…=.”。
于是，我在黑板上写下了一般结论：在等比数列中，如果有m+n=p+q,则.=.。
问题四:已知数列是等比数列，是其前n项的和，则,－，－是否是等比数列？如果设k，那么，－，－是否是等比数列？
问题提出后，同学们立即开始了讨论，但我在巡视过程中发现部分同学对公比q不进行分类讨论，导致证明不够完整。于是我请了两个同学上讲台板演，这时，便有同学指出了黑板上证明的不严密，并提出：在应用等比数列的前n项和公式时，一定要对q＝1和q≠1两种情况进行分类讨论：
（1）当q＝1时，易证，－，－成等比数列。同理可证：，－，－成等比数列。
（2）当q≠1时，＝，＝，＝
－＝＝
－＝＝
＝，＝
，－，－成等比数列，其公比是。
由此，不少学生说，同理可证：，－，－也成等比数列。果真如此吗？从表面上看：
＝，＝，＝
－＝＝
－＝＝
＝，＝
，－，－成等比数列是成立的，其公比是。但事实并非如此。
老师提问：当公比q＝－1且k为偶数时，请大家举例计算一下，－，－，并判断，－，－成等比数列吗？
学生举例：若＝×3，k=4则＝0，＝0， ＝0。此时，－，－不成等比数列。
因此，当公比q＝－1且k为偶数时，有＝0，＝0，＝0的情况出现，此时，－，－并不成等比数列。
学生恍然大悟。
老师提问：出现了上面的问题，那么我们如何判断，－，－是否成等比数列呢？
学生回答：当公比q≠－1时，，－，－成等比数列。
当公比q＝－1时，若k为正偶数，，－，－不成等比数列；若k为正奇数，，－，－成等比数列。
例如：若＝×3，k＝3，则＝＝－3，＝＝0， ＝＝3。－＝3，－＝－3，，－，－成等比数列。
通过探究和举例，使学生养成了严谨的治学态度，从而对数列为等比数列时，，－，－是否成等比数列有了更进一步的认识，在今后的应用中，不会盲目地认为在等比数列中，，－，－总成等比数列。
通过课堂试验，我认为，用数学探究的方法进行知识小结，既归纳了知识点，又培养了学生的探索能力，还可以从学生的探索过程中捕捉到一些新的想法，长此以往，可以优化学生的思维，使师生在数学探究中共同成长。教学设计
山东省莱芜市第二中学 吕汉茂 (13506342339)
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
１．本节的地位和作用
本节课是在学生对方程和函数及它们之间的关系已经有了一定的认识基础上安排的，这样安排符合学生的认知特点和学科知识的逻辑规律，使学生通过学习本节进一步体会方程与函数之间的联系；它是学习下一节“用二分法求方程的近似解”的基础，是函数的应用之一。
2．学习任务分析
（1）通过具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根和函数的图象之间的关系，进一步将这种关系推广到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的方程和函数。
（2）引出函数的零点的概念，分析出方程的根、函数的零点、函数的图象和x轴交点的横坐标实质上的同一性。
（3）判定函数的零点可通过方程的根，也可通过函数的图象。
（4）在探究由图象判定函数的零点时，找到了零点存在的判定条件。
（5）通过例题的学习，进一步掌握判定函数的零点的方法，并加以归纳总结。
3．学习重点和难点
重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件
难点：函数的零点存在的判定条件
4．学习目标分析
知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件
过程与方法 渗透由特殊到一般的认识规律，培养学生观察、归纳、抽象和概括能力
情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想
5．学习流程图
6．学习情景设计
环环节 问题 问题设计意图 师生活动
创设情景 （1）请填一下表格（附1），并仔细观察方程的根和函数的图象之间的关系 从学生熟知的、具体的二次函数入手，设置学生的最近发展区，使新知识与原有知识形成联系 师：出示表格，并引导学生填写和分析表格，探求方程和函数的关系生：填表，并回答问题
（2）再填一表格（附2），并分析以上关系对一般的一元二次方程和相应函数适用吗？ 由具体到一般，既符合学生的认知特点，又符合知识的发展规律 师：出示表格，提出问题 生：填表，并回答问题
（3）能否把一元二次方程和相应函数的关系推广到一般的方程和函数的关系呢？ 进一步由特殊的、具体的方程和函数的关系推广到一般的方程和函数的关系，培养学生的抽象思维能力 师生：将ax2+bx+c=0抽象出f(x)=0,y=ax2+bx+c抽象出y=f(x)师：提出问题，引导学生思考、讨论生：思考并叙述自己的观点师：水到渠成，给出函数零点的概念
组织探究 （4）函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现 在函数的图象中又如何体现？试叙述三者之间的关系 理解函数零点的概念，领会其实质，把握其体现 师：展示概念，提出问题生：分析概念，思考问题并展开交流、讨论，给出阐述师生：交流、归纳得关系，最终结论是零点、根、函数图象与x轴的交点的横坐标是同一个值，只是在不同环境中称呼不同而已，并板书三者之间的关系
尝试应用 （5）例1 判定函数零点个数并求出零点y= x2-4x+4（2） y=lnx -2 进一步理解函数的零点的概念，巩固方程的根与函数零点的关系 师：给出例题，引导学生求解生：回答解题过程和结果，并总结解题策略
探索发现 （6）判定函数的零点还有没有其他的策略？观察函数f(x)=x2-2x-3的图象，(1)在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=____,f(1)=___,f(-2) f(1)___0(2)在区间[2,4]上有零点____，f(2)f(4)___0 进一步领会三者之间的关系，体会数形结合思想，探究函数的零点和函数图象与x轴交点的关系 师：出示图象和问题，让学生观察区间端点上的函数值之积的特点，引导、组织学生思考、讨论生：填空，并回答其原因
（7）观察函数y=f(x)的图象，在区间[a,b]___零点，f(a)f(b)___0;[b,c]___零点,f(b)f(c)___0;[c,d]___ 零点,f(c)f(d)___0 进一步探究函数的零点和函数的图象与x轴交点的关系 师：出示图象和问题生：学生思考并回答
（8）通过以上两个例子你能发现什么规律吗？ 引导学生发现函数在某个区间上存在零点的判定条件 师：提出问题，让学生进一步观察图象生：交流、讨论、概括、总结函数的零点与区间端点的函数值的符号的因果关系师：可与学生一块分析，得出结论
（9）学生分析判定条件，并进一步加以掌握。①连续不断可以去掉吗？②是否只有一个零点？③有零点就一定是f(a)f(b)<0吗？ 抓住判定条件的关键点，便于学生真正掌握起来 师：提出问题；板书注意事项生：自主探究，发表自己的见解
判定应用 （10）例2. 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数，图象已作出注意要说明原因 利用函数零点的判定条件解题，并让学生认识到函数图象及性质在确定函数零点中的重要作用，提高学生综合运用数学知识解决问题的能力 师：给出例题，引导学生结合自己的观察进行思考，提出问题：函数有几个零点，它(们) 在什么范围内？如何知道个数？生：交流、讨论，提出质疑，为什么只有一个？师生：共同分析出函数值随x值逐渐增大，是增函数
（11）不计算函数值，不画图象，能得到上题的结论吗？ 使用信息技术有助于学生的直观，如果不用，从单纯的判定条件入手，更能加深对知识的理解 师：引导学生反思前面的解法，如何回避计算，只需找到f(a)f(b)<0即可生：思考并回答提出的问题，写出解答过程如f(1)=2-6<0,f(3)=ln3>0所以f(1)f(3)<0,再由单调性说明只有一个零点
作业回馈 （12）给出两个练习（附3），你能试着用我们学过的零点的判定条件来解决吗？ 进一步加深对函数零点的判定条件的理解和灵活应用 师：仿照例2解决练习生：学生自主探究给出的练习并叙述自己的观点
（13）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？能自己总结一下吗？ 充分发挥学生的自主性和培养学生的归纳概括能力 师：提出问题生：回顾、总结，互相补充师生：共同写出本节课的重点知识（小结）
作业布置：教科书习题3.1 A组 第 2题
7．教学反思与评析
通过这一节课的实际教学，我感觉学生对方程和函数之间的关系有了进一步的理解，通过对具体方程和函数之间关系的分析到对一般的方程和函数之间关系的分析，使学生真正理解了方程的根、函数的图象与x轴的交点的横坐标和函数的零点是一个值在不同环境下的不同称呼；更使学生能够利用不同的方法判定函数的零点。这样基本达到本节的各项目标，学生在自己思考或讨论或探究问题的过程中积极参与而且基本能得到正确的结果，对问题的解决能有所提高。
存在问题是，在总结规律得到判定条件时，学生不知如何入手，甚至有的得到：如果有零点则有f(a)f(b)<0错误结论，当然在分析判定条件时也及时作了说明。另外本节容量较大，学生讨论时间较长，造成时间有点紧。因此在处理练习的时候，当时根据课堂时间适时的进行了调整，让学生在下面做的，可能有些学生没有做完，自习时要做一下补充。
附1
附2
附3
1. 已知函数图像是连续不断的,有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 13.1 15.15 -3.92 10.88 -52.4 -23.6
则函数至少有零点( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.函数f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(1,e)和(3,4) D.(e,+∞)
创设情境
组织探究
尝试应用
探索发现
判定应用
作业回馈
结合二次函数引入课题．
函数的零点的概念．
求函数的零点及其个数．
进一步探索函数零点存在性的判定．
重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．
对函数的零点加以练习，尝试进行方法和知识的系统总结．
一元二次方程
实根
相应函数
函数图象
与x轴交点
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
3
2
y
x
2
3
0
x2-2x+1=0
y=x2-2x+1
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
Δ= b2-4ac
ax2+bx+c=0(a≠0)
的实根
y=ax2+bx+c (a≠0)
的图象与x轴的交点
Δ>0
Δ=0
Δ<0对数学学习自我评价的探索
清远市清城中学 李健
摘要：数学学习的自我评价实质上是学习主体对自己学习数学的意识和行为、过程和结果的反思和调控，是自我认识、自我分析、自我提高的过程．
关键词：自我评价 意义 内容 方法
1、问题的提出
当前新课程改革的推进和实施过程中一个重要的问题是评价问题。在过去，学生丰富的数学学习活动常常被一份考卷简化为分数，学生的学习情况都以最终的考试成绩作为唯一的评价，通过考试成绩这一标签将学生分成三六九等，学生思考问题的方法，解决问题的途径，对数学的思想方法及问题解决的心态包括情感、意志、态度兴趣等则被排斥在评价之外，这往往成为制约新课程实施的一个瓶颈．
在传统单一的评价体系下，数学学习往往对相当一部分学生造成了很大的压力，使原本充满学习热情的学生开始怀疑起自己的能力，变得越来越不自信，导致学生厌学数学、讨厌数学，有的甚至恨不得终身与之绝交，一些学生在严重的数学学习障碍下挣扎，而学生真正的学习障碍却很少被人察觉，这些学生独自地面对失败，沮丧的数学学习经历留给他们的是阴影，尤其是导致了数学学习困难生可怕的自卑和绝望……，这些足以让我们数学教育工作者深思和反省。现在“以人为本”的教育思想观念逐步深入人心，主体教育观已成为现代教育理念的核心，那么如何在数学教学评价中体现人文关怀、体现学生的主体性 如何让评价走进课堂，把评价融入数学课堂学习活动，使学生在数学学习中认识自我，建立自信，使评价成为促进学生学习和发展的有效工具？
学生既然是学习的主体、发展的主体，因此理应成为评价的主体。而长期以来，学生数学学习的自我评价是数学教学和学习的一个薄弱环节，关注学生数学学习自我评价正是解决这些问题的突破口。
2、自我评价的意义
学生数学学习的自我评价是指学生在教师的指导下依据一定的评价标准对自己在数学知识、运用数学能力和对数学的情感、态度、价值观等数学学习方面做出的分析和判断，并对自身的数学学习进行自我调节的活动。
传统的数学教育评价中，学生的数学学习评价被学校、教师包办代替，学生没有评价的权利，学生处在评价的客体位置。这种把学生作为客体的评价体系在数学的学习中曾起到过积极的作用。但这种评价忽略了人的主体性、创造性和能动性，忽略了数学过程本身的价值，忽略了人的情感心理，不能全面地了解学生数学学习的历程，不能及时有针对性地提出改进的意见。《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)指出：“对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感和态度，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能，促进学生在原有水平上发展。评价要关注学生之间的差异性和发展的不同需求，促进其在原有水平上的提高和发展的独特性。新的课程标准蕴含了这样的理念：评价标准应该是多维的、评价的方法应该是多样的、评价的主体应该是多元的。现代评价理论也告诉我们，教育评价已经不再把被评价者视为评价的待查体，而是把他视为教育评价的主体，必须积极鼓励学生参与到课堂教学的评价之中，将学生的自我评价作为学生学习过程的一部分，使评价成为促进学生主体意识的形成、自主学习能力提高的一种有效手段，让学生在自我评价中不断改进自己的学习。因此，重视学生的数学自我评价是时代发展和新课程改革的必然要求。
数学学习自我评价不仅以数学知识作为评价客体，而且从每个学生的内在需要和实际状况出发，评价他们自己的发展进程，促进他们向更好的方向前进，这种评价方式对于激发学生的学习动机，对于培养学生认真负责的品质，提高学生对数学学习的自我调节和控制能力，树立学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，对于学生主体精神的培养及个性的健康发展，都具有十分重要的现实意义。
2.1 从数学学科的特点看
数学是关于数量关系和空间形式的科学，数学有内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性等特点，而高度的抽象性是本质的特点，数学学习的主要困难就来自高度的抽象性。“在数学学习过程中，学生很少有对自己思维活动合理性进行判断的自我意识，因此也就谈不上对自己的思维过程进行调节。”分析和解决问题的能力、对数学的理解以及应用意识等高级思维能力，老师往往很难教授或很难向学生提供有关他们思维过程的反馈和信息。另外，由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严密性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次把握数学的本质，必须要经过自己多次反馈，深入研究、自我调整，才能使学生真正抓住数学思维的内在本质．因此，在数学学习活动中，对学习活动本身进行有效的自我评价是很重要的。
2.2从培养学生认知能力上看
有的学生在数学学习上下的功夫不少，精力投人的也较多，但收效甚微。在解题前，他们不能对问题的性质、特点有较正确的认识，不能对解题思路和解题策略做大致的估计、判断和选择；在解题的过程中，他们只知道自己在解题，不清楚为什么这么做，不能依据解题的进程，随时对解题方法和结果进行评价，及时调控自己的思维航道；解题获得初步的结果后，就万事大吉，不能对解题过程进行反思．这些现象说明学生的元认知能力弱．有关研究表明，元认知对学生的思维活动起着监控、调节的作用，其发展水平直接制约着学生的智力、思维的发展水平，元认知训练是改善学生的认知能力结构的关键。如果学生对数学问题有意识的做自我评价的话，不仅能对学过的知识进行巩固强化，还能把自己从题海中解救出来，做到举一反三，触类旁通，提高解题能力及元认知能力，对自己的数学学习会有很大的帮助．
2.3从改进教师的教学上看
教师的教是为了学生的发展，因此老师必须了解学生．要了解学生的方法很多，学生的自我评价提供的信息就是一个很好的途径，一个学生在数学日记上明确反映了这样一个问题：“我的数学学习有点跟不上老师，您能不能给我们留点自己思考的时间呢 ”学生的内心呼唤，就是教师行为的准则。的确，我们许多老师倾向于提出问题后用自己的观点填补这些时间，而往往不去体会学生的感受，其实作为教师应该给学生留下思考的时间，提出一个问题后至少要等3—5秒的时间，使学生可以思考合适的答案。通过学生课堂自我评价反馈回来的信息，不仅能帮助教师看到学生可能在什么地方出错，在那些地方还不清楚或没有牢固掌握，更重要的是它还能帮助教师发现导致错误答案背后的原因，找到解决学生学习困难的症结所在，在错误被当成一个事实，或发展成一个习惯之前及时地弥补和调整自己的教学。另外，学生的自我评价有利于消除教师和学生可能出现的对立情绪，使教师的评价更客观些，也更容易使学生接受．再则，学生的即时写作，完成了一次师生的心灵碰撞，学生的心灵，学生的收获，学生的发现，学生的困惑一目了然，怎样补缺，怎样调整，怎样进行个别辅导成竹在胸，教师的教学更加得心应手．因此，学生的数学自我评价有助于改善教师的教学．
2.4从学生的主体性上看
现代教学观认为，学生的发展实质上是通过活动，主体内部自己运动的结果，外部的作用可以促进其内部活动的进行，但不能代替主体的“自己运动”。因此，从本质意义上讲，学生在数学方面的发展，是一个自我实现的过程，在全部的学习过程中，教师的一切主导因素都必须通过学生的主体活动才能起作用，如：主体对自身的正确认识，主体对自身学习情况的客观评价。“在21世纪的教学中，教育对象应成为学习主体，因此在评价过程中要充分发挥学生主体作用，体现学生的自我价值。”学生的数学自我评价是把学生看成学习数学的主人和参与者，通过学生主体对自我数学的认识、评价、反思，使每个学生能以健康、积极、乐观态度接受自我，肯定自我，进而督促、调整、控制自己的行为，完善自我，真正体现尊重学生个性和主体的教育精神。
2.5从数学学习的情感态度上看
“从数学教育对人的发展意义上来看，有效理解、主动探究的认知过程必然伴随着学生心理、意志、情感、品格的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，而潜在的也是最重要的恰恰是指向学生的人性品格、生命成长。”教育的根本目的是为了学生全面的发展，评价的本质功能是促进学生的发展，遗憾的是传统的数学评价忽视了教学中的情感因素，把丰富多彩的数学学习活动最终简化为考试分数，引发了不少学生学习的苦恼、焦虑和其它消极因素，从而为学生的数学发展带来诸多的不利．显然，学生丰富的情感态度很难通过测试卷来考察，除了课堂观察这个方法外，学生数学学习的自我评价不失为一种很好的策略．例如：通过写数学周记．有些学生的数学问题和一些隐私不愿让同学知道，但如果对老师信任的话，他会写在周记上的，如果老师能及时帮助或解决，就会有效地缓解学生的心理压力和精神负担．因此，从情感领域看，学生的数学自我评价更加关注学生在数学学习中的情感态度与价值观的形成和发展，更加注重了解学生数学学习的历程，激励学生的学习，对形成良好的个性及健全的人格、全面提高学生的数学素养具有重要的意义。
3、学生数学学习自我评价的内容
学生学习自我评价指学生依据一定的评价标准，对自己的学习做出分析和判断，并对自身的学习进行自我调节的活动。
自我评价是自我意识的重要组成部分．学生自我评价的过程由四部分组成：一是自我观察，即观察自己的学习表现，这就要求把自己置于客体的地位，客观地观察自己的学习情况。二是自我反省，通过自我观察获得的结果，或参照他人评价结论，确定自我评价的标准。三是进行自我评判，这一步是在自我反省的基础上，对自己的学习活动或发展状况做出判断，形成一定的自我意识。也可以说这一步是狭义的自我评价．四是自我强化．所谓自我强化是指通过对自己学习结果的评价来控制自己的行为．自我强化必然导致重新审核自我评价的标准，确定未来的学习目标，从而调节自己的行为。
学生数学学习的自我评价并不是随意的主观性评价，而是依据一定的标准。自我评价的标准既是教学目标，又是学生预先制定的学习目标和要求，是把教学目标和自我评价目标统一起来，这是因为，首先，鉴于素质教育的主渠道还是在课堂，课堂教学是学生素质教育全面提高以及自我评价能力培养的主要途径。其次，以教学目标作为评价标准的参照点，是要求学生在自我评价中与既定的教学目标比，而不是学生与学生比．因此，教学目标的制定要体现素质教育的要求，既要重视知识的积累，也要重视情感的培养。
数学学习的自我评价实质上是学习主体对自己学习数学的意识和行为、过程和结果的反思和调控，是自我认识、自我分析、自我提高的过程。
4、学生数学学习自我评价的方法
在新课程标准下，学生数学学习自我评价的方法还处于探索之中。我们于2005年在高一级进行了数学学习自我评价方法研究实验，参加实验的有高一（1）班和高一（2）班，对比班有4个班。开学初，学校将高一级9个班进行平衡分班，其中2个实验班的数学平均成绩（入学成绩）为57.3，4个对比班的数学平均成绩（入学成绩）为57.1分。在研究实验中，我们分三步对学生数学学习自我评价进行了探索。
4.1 初期评价。主要采取填评价卡的方法进行评价。我们制作一张简单的自我评价卡，评价卡主要内容包括上课思想有没有开小差，对本节课的内容有没有兴趣，对老师提出的问题有没有认真思考，对本节课的内容有没有不懂的地方。每上完一次数学课让学生填写自我评价卡，通过让学生天天填写评价卡，简单反思，培养学生关注数学学习的习惯，强化数学学习的意识。
4.2 中期评价。主要是通过写数学周记的方法进行自我评价。教师要求每个同学每周写一篇数学周记，周记的形式可以多种多样；可以将一周所学的数学内容进行梳理归纳，可以是某一节数学课的心得体会，可以是对有趣的数学问题的探究情况汇报，也可以是一周来数学学习情况小结，总之有拘一格，只求与数学有关。中期评价主要是培养学生对数学的情感和学习兴趣。
4.3 后期评价。主要是通过自我评分的方法进行评价。每学期的期中和期末考试之后，每个学生对自己2个月的学习情况进行一次总结性评分，评分不是以考了多少分为主要标准，而是围绕学习数学的兴趣是否比以前浓了，学习数学的态度是否比以前好了，数学测试的成绩是否比以前高了，利用数学知识解决实际问题的能力是否比以前强了。总之是自己跟自己比，看进步有多大，然后给自己一个合理的分数。这种评价不是简单地打分，而是要对几方面进行全面反思、分析、总结，形成文字材料再打分。通过总结性地自我评分，培养学生自我认识、自我反省、自我提高的能力。
2006年7月，我们对“数学学习自我评价方法研究”实验进行阶段性检查，检查的主要方法是问调查和成绩对比。调查显示：实验班有18.4%的学生由对数学没有兴趣转为对数学有了兴趣，非实验班只有0.5%的学生由对数学没兴趣转为对数学有了兴趣；实验班学生有67.2%的学生觉得自己比以前有了进步，非实验班则只有26.3%的学生觉得自己有进步。
测试成绩对比：
实验班（2个） 非实验班（4个）
2005年9月入学成绩 57.5 57.1
2006年7月期末成绩 61.2 56.8
虽然我们的实验不能证明什么，但至少可以说明：让学生学会自我评价，可以激励学生，使学生形成积极的数学态度、情感和价值观；可以树立学习信心，使学生增强学习兴趣和学习勇气；可以促进反思，使教师准确诊断学生在数学学习中存在的困难，及时调整和改善教学过程，促进教学三维目标的实现。
参考文献
1中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M]，北京：北京师范大学出版社，2001
2章建跃．数学学科自我监控能力的研究[J]，C理发展与教育，1998(4)
3马云鹏，张春莉．数学教育评价[M]，北京：高等教育出版社，2003
4刘兼．对世纪中国数学教育展望2[M]．北京：北京师范大学出版社，1998
5刘吉存．试卷讲评不应是教师的“专利”[J]，中学数学教学参参考，2004(3)
间
时
绩
成
均
平
别
班
PAGE
1谈新课标下课堂教学内容的呈现与教学方式的转变
山东省博兴县教研室 刘克光 256500
摘要：1. 新课标下教学内容的呈现方式应是：创设问题情景→建立数学模型→解释、应用与拓展。
2. 新课标下教学过程的程序应是：自主探索→合作交流→点拨指导→规范返悟。
关键词：新课标下教学内容的呈现，教学方式的转变。
传统的教材内容的呈现方式是概念、定理、例题、练习，从中不难发现纯知识性的成分占绝大部分，内容枯燥无味，呈现方式呆板单调。教师习惯于按照这样的线索去教，很难激发教师创新的欲望与学生求知的欲望，故传统的课堂教学最明显的特征是师讲生听，教师按自己的理解与感受主动发挥，学生象容器一样被动地接受知识。当前新课标提倡的是教学内容问题化，教学过程活动化，下面就以上两个问题谈自己的看法。
一、新课标下教学内容的呈现方式是：创设问题情景→建立数学模型→解释、应用与拓展
1.创设问题情景：我们的教学内容应该从学生的实际出发低起点引入，注重学生对问题最原始、最朴素的认识，在学生自己所熟悉的生活环境、所掌握的数学知识之中寻找素材，积极创设现实的、有意义的、富有挑战性的问题情景，从而找准问题解决的切入点和新知识的生长点，以便于学生进行观察、实验、猜想、验证、推理、交流等活动，从而激发学生学习的好奇心与求知欲，促进学生问题的解决、知识的掌握、能力的形成。
2.建立数学模型：实际问题数学化，数学问题逻辑化，即一个实际问题的解决首先转化为数学问题，然后把数学问题转化为数学知识去解决。在这个过程中，要让学生尝试建立不同的数学模型，带动问题的解决和知识的掌握，让学生存在于头脑之中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升为科学的结论，发展为更完善、合理的数学概念和知识框架。并且通过这一过程，使学生理解问题是怎样题出来的、一个概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得的。在充满探索的过程中，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心。
3. 解释、应用与拓展：这是一个对所建数学模型进行研究（如性质的论证、图像的特征等）、运用解决问题、拓展延伸（模型的进一步完善、变式等，为后续学习做好准备）的过程，使学生对所建数学模型有一个更为深刻的认识与理解，形成良好的思维习惯与科学研究的精神。
以下通过直线的倾斜角与斜率的教学过程为例进行说明：
创设问题情景：如何感受引入倾斜角与斜率知识的必要性呢？我们可以提出一个很简单的问题：已知点A,再添加一个什么条件就可确定一条直线？
建立数学模型：要解决以上问题，通过所学知识不难得到方法一：知道另外一点，两点就可确定一条直线；通过实际生活感受不难得到方法二：确定直线的走向后，过这一点就可确定一条直线。这样在平面直角坐标系中就可很自然的引入了一个描述直线倾斜程度的数学模型 ———倾斜角（实际上以上两法也是直线方程两种最基本形式：两点式与点斜式最原始的雏形）。
解释、应用与拓展：通过另一个描述直线倾斜程度的数学模型 ---坡度与倾斜角的联系很自然的引入又一个描述直线倾斜程度的数学模型---斜率，从而实现了形到数的转变，真正达到了通过坐标（解析法）研究直线倾斜程度的目的。反之，能否通过形的帮助来解决数的问题呢？如已知a,b,m都为正实数，且a>b，求证：b/a<(b+m)/(a+m)。如果由式能想到形即几何意义：看成斜率问题，用数形结合法来解决此问题就会产生畅快淋漓之感。因此我们不但要重视形倒数的研究，更要由数到形的意识，以助于我们更好的解决问题。
二、新课标下教学过程的程序提倡的是：自主探索→合作交流→点拨指导→规范返悟。
斯托利亚尔认为:“数学教学是思维活动的教学”。蔡道法老师指出:“必须把数学教学中的思维活动作为教育研究的对象,而把‘充分暴露数学思维过程'作为数学教学的指导原则。”而在实际教学中,“重结论,轻过程”的教师还大有人在,他们轻视学生认知的主体作用,过分注重学生对知识的掌握而往往忽视了思维价值丰富的知识发生过程,从而掩盖了教学中最宝贵的东西一一一学生暴露思维的过程,致使部分学生知识的掌握与思维的发展不能同步,逐渐对学习失去兴趣与信心,学习成绩不尽人意。新课标以人为本的全新理念象春风迎面扑来，要求我们广大教师不但要更新教学观念，而且要转变教学行为，改变教学方式，给学生提供探索与交流的时空（活动的时间，思维的空间），真正使学生经历问题的提出过程、感受知识的形成与发展过程、暴露问题解决的思维过程、体验成功的喜悦过程，使学生形成发现与解决问题的能力、养成良好的学习习惯、掌握必备的数学知识，从而达到知识与技能、过程与方法、情感与态度三位一体的统一。
1.自主探索：即发现问题、尝试解决的过程，只有探索、尝试,才能最大限度地调动学生动手、动口、动脑的主动性,积极地参与认知活动,充分感受知识的产生、形成、发展的过程,从而对问题有足够的感性认识；只有尝试, 才能启迪人们的思维，打开人们思维的天窗,暴露问题解决的思维过程,从而有针对性地调控思维活动；只有尝试,才能有取得成功的可能性，从而有成功的体验。为此,我们在教学中把尝试过程作为教学的一个重要环节,教师精心设计问题情境,留出足够的时间与空间,给学生以尝试的机会。
2. 合作交流：合作不仅是人们赖以生存的重要方式,而且是现代人必须具备的基本素质,更是学生获取知识的主要组织形式。传统的教学观认为教为主体,学为客体,学生是被动地接受知识的机器,抹杀了学生学习的主动性、主体性,这种师生的合作观在我国延续了几千年,禁锢了人们的思维,致使闭关自守的封建政策影响了民族的发展、国家的振兴。致力于合作教学法研究的山东省教科所王坦教授指出:“教学合作活动其主要取向大致可以有三种即师生互动、生生互动和全员互动”。在课堂教学中,师生互动和生生互动是主旋律,而在教为主导,学为主体的今天,生生互动显得更为重要。互动的主要行为是合作,为了便于课堂教学的顺利进行,划分学习小组就非常必要。首先根据学生基础、智能和学习行为习惯的差异,把学生分为A〈学习有困难的学生〉、B 〈中等生〉、C 〈优生〉三类,他们的比数为1:2:1；然后依类编组,每小组一般由四名学生组成,各小组内A、B、C类学生的比数也为1:2:1。各学习小组的总体水平基本一致,都应是全班情况的缩影。在合理分组的基础上,明确各小组成员的任务职责,引进以小组为核心的评价机制,鼓励每位学生大胆提出问题,小组内及各小组之间要相互讨论、质疑、解释,从而激起与点燃各类学生思维的火花,加快对问题的理解与认识，从而促进问题的解决。由于他们的智慧水平、知识结构、思维方式、认知风格相近,在相互讨论、启发的合作过程中极易产生思维的共鸣,从而加快问题的解决。同时教师要做好巡回指导工作,及时点拨、规范,使学生解决问题时有规可矩、有章可循。
合作的时机：（1）问题在个体尝试后；（2）学生群情激昂即意见难以统一时；（3）学生迷惑不解即难以听懂时；（4）似懂非懂即难以表述时。
3. 点拨指导：传统教师的角色是文化知识的传授者，课程教材的执行者，教育教学的管理者。而在新课程的教学中，教师的角色发生了根本性的变化，教师成为课堂教学的组织者、引导着与合作者。作为一个组织者就是教学内容的确定者、课堂结构的设计者、课堂节奏的把握着、教学效果的评价者。作为一个引导者就是架起学生与教材之间的桥梁，指导学生找到最佳的学习途径、养成良好的学习习惯，诱发学生学习的主动性，引导学生掌握知识。所谓的合作者就是思维水平的下放者、活动的参与者、人际关系的平等者、知识的再发现者。因此发挥教师的作用就是在充分肯定学生个性化处理问题方法的同时，加以及时的指导点拨，提炼共性的方法，达成共识，从而使学生掌握解决问题的通性通法与一般规律。这一过程是一名教师对知识把程度的体现，对学生情况了解的体现，也是一名教师驾驭课堂把握课堂节奏的体现，是学生对知识、方法的掌握是否到位的关键环节。
4. 规范返悟：孔子曰:“学而不思则罔,思而不学则殆”,学思并重一直是我国古代教育家所一致赞同和普遍遵循的教学原则。而返悟就是回头领悟,即借助问题解决的过程领悟解决问题的实质所在，它是学思并重原则和巩固性原则的具体体现。因此,返悟过程必须作为一个重要的教学环节在课堂上体现出来。通过返悟的过程,不但让学生学到了知识,找出了解决问题的关键,领悟出了数学知识中所蕴含的思想方法,而且还初步掌握了研究问题的科学方法,从而培养了学生良好的思维品质,完善了他们的思维。在返悟以上收获的同时,要让学生借助具体实例做好简单的笔记,形成书面材料,以加深理解,但笔记切忌长篇大论,以防给学生增加学习上的心理负担。
只学不记一阵风，只听不录一场空；不懂笔墨不读书，好脑瓜不如烂笔头。
通过以上两方面的论述，我们不难发现尝试感受是问题解决的开始，能丰富学生的感性认识，打开学生思维的天窗。合作讨论是问题解决的桥梁，能促进学生感性认识到理性认识的飞跃，加快学生思维的进程。规范返悟是问题解决的结束，达到学生理性认识的目的，完善学生的思维过程。故我们提供以下课堂教学模式供大家参考使用：创设情景，提出问题→自主探索，尝试解决→小组讨论，合作交流→教师指导，学生规范→总结规律，返悟简记。
以上是笔者对新课标下课堂教学的一点粗浅认识，不当之处敬请同行批评指正。
参考文献：
1. 邱学华《尝试教学法的课堂结构》。
2. 王坦《合作学习的理念与实施》。
3. 教育部《高中数学新课程标准》。
4. 王立军《中学数学研究》。
5. 薛党鹏《数学通讯》。编号：570007
“矩阵”式教、学，纵横贯通；创新性思维，开发潜能
三亚市教育局教研室 王连升 572000
一、问题、思考、目的
现代科技突飞猛进，未来社会知识不断更新增长，终身学习将成为必然，而学校教育没有必要更不可能把人类的全部知识教给学生，对于中学数学教育，知识教学是载体，让学生掌握学习方略、学会学习是目的，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。为此，教师必须组织有效的数学教、学方式，这就是自主探究、合作交流、体验数学发现和创造的历程，“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论的产生背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想、方法，以及它们在后续学习中的作用；提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；提高数学地（发现）提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，提高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。”总结三十年教学实践并结合本次课改新理念，为克服照本宣科、满堂灌、简单模仿与死记硬背，提出“矩阵”式教、学设计，授学生以“渔”以及怎样找寻和发现“鱼场”，提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，使学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯、崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
二、方案、实施、反思
“矩阵”式教、学设计的具体方案为：
“矩阵” 多解题组 解（证）1 解（证）2 ………… 解（证）m
原问题
变式1
…………
变式n
上表形为矩阵，易于理解、掌握和操作，尤其在使用实物投影仪和多媒体教学时更方便。其中：
（一）、“原问题”：教师精心创设有针对性、启发性、与教学内容相应的问题情景或师生提出的具体问题，如数学概念、定理、课本及资料上的例、习题或生产生活中的具体问题，“问题是数学的灵魂”，要讲究质量、脱离题海、恰似教师经过精心烹调后奉献给学生的一道色、香、味、形俱佳、营养丰富的上等菜肴。为此需注意：
创设问题情景一定要遵循三条基本原则——1. 情感性：注重创设能触及学生情感、意志领域的问题情景，有意识地把学生引入一种最佳心理接受状态，达到问题情景与学生心理情景的共鸣与融合，以利于激发学生的求知欲、好奇心、学习兴趣、学习动机和思维的积极性，利于学生面对适当的难度，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。2. 建构性：注重创设有利于学生自己领悟、建构、能引起认知冲突的问题情景，以使学生在原有知识基础（已知区）和所要完成的学习目标（未知区）之间搭建支架（最近发展区），形成由浅入深的台阶（知识增长点），有助于原有知识结构的巩固和拓展，便于新知识的内悟、同化或顺应。3. 探究性：注重创设学生便于自主探究、合作交流、具有一定开放性、真实性、趣味性和导向性、能利用信息技术、营造良好教学氛围的问题情景，使学生在自主探究的过程中，真正理解一个数学问题是怎么提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个数学结论是怎么探索和猜测到的以及是如何证明和应用的。只有这样，才能使学生真正理解和掌握基本的数学知识、技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验，以学生为主体，切合学生实际，顺应认知规律。
精心选择例、习题一定要遵循如下基本原则——1、“增减性”原则： 教师要根据课标要求和学生实际对课本上的例、习题进行恰当的增补、整合（即用课本教，而不只是简单地教课本），帮助学生总结出解法的一般规律（通性通法）。2、“代表性”原则：“题海无边”，例、习题的选择要有一定的代表性，能起到举一反三的效果。3、“梯度性”原则：例、习题的选择要遵循思维的认知规律，从易到难，由浅入深，循序渐进。对较难的例、习题教师可根据班级情况设置一些阶梯。4、“点变线”的原则：复习时教师要有目的、有计划地将课本中的例、习题整理归类，恰当地进行延伸、演变、组成变式题组来复习（知识点、串、链、包，问题串、链、包），以提高学习效率。5、“示范性”原则：教师在提出问题时，要尽可能展示问题的思路，渗透发现问题的方法，让学生懂得问题是怎样被发现和提出的，使学生逐步形成勇于并善于发现、提出问题的习惯，“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要”。
（二）、“J1~Jm”为原问题的多解：引导学生学会立体思维，培养学生从不同的角度多方式思考问题，采取不同的策略多侧面分析问题，利用不同的方法多途径解决问题，增强思维的兴趣新颖性、全面广阔性、流畅深刻性、灵活敏捷性、发散创新性、逻辑批判性，遇新题，忆旧题，多思考，广联想，巧变换，妙沟通，善类比，找规律，纵横联系，融会贯通（知识交汇结合点），深刻理解数学基础知识，培养提高数学基本技能，熟练掌握数学基本方法，灵活运用数学基本思想，增强提高数学意识素养，当然在思维受阻时很快能够找到解困策略。
（三）、“变式1~变式n”为原问题的变式开放探索：培养学生敢想、能说、善问、深索，从题设的增减、论述的转化、背景的改变、知识的迁移、结论的更新，对所学知识由点到线到面、由内涵到外延，进一步巩固强化、升华拓展、辐射开放，由此及彼、类比联想、随机应变、触类旁通、举一反三、创新思维、开发潜能，提高数学素养，为此，变式应遵循如下原则：1、针对性原则：习题变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，习题的变式也应不同。例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目标；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣新课标和中招高考要求。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。2、可行性原则：选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；但难度“变”得太大的变式习题又容易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心。因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。3、参与性原则：在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。
（四）、同一问题“矩阵”教、学的具体实施：
首先，按（一）给出“原问题”，留给学生足够的思考时间和小组研讨交流机会，学生独立或在老师引导下，找出该问题的多解（两解以上），鼓励学生在同伴面前公开展示自己积极追求的才华，（若有实物投影仪则直接投在屏幕上更好，可节约时间），由提供者说明自己解题思路的形成过程，在什么数学思想和辨证观点的支配下，使用了哪些基础知识及联系，什么具体数学方法、技能（如：配方法、换元法、图象法、构造法等）起了关键作用等，由师生共同争论评判正误，或体验成功的快乐，或找出不足、指明正确方向，充分体现以学生为主体的参与过程（参与评判、进行反思），若老师还有学生未想到的精彩方法，再展示给大家，或有学生的方法出乎老师的意料，绝不可粗暴地扑灭创新的“火花”，一定要激励之，并做好记录，正所谓教、学相长，老师要把课堂的“预设”与“生成”很好地辨证统一起来，勤反思，多积累，学生要体会各种解法的技巧性、趣味性，提高数学素养，得到美的享受，没有数学兴趣的同学也可从中逐渐培养自己的兴趣，点点滴滴，长期渗透，耳濡目染，得到熏陶。如此，才能“把题做透”。
其次，老师须引导学生对“原问题”的条件、结论、过程、背景、题型等作进一步的改变，拓展出一系列与本题相关的或有普遍性的题目，了解来龙去脉，探索演变过程，放手让学生从知识的港湾游向大海搏击，开拓创新，从而学会发现问题、提出问题（提出问题比解决问题更重要）分析问题、解决问题，树立“我能行”的信念，使学生的综合素质得到提高。
再就是课时方面：一般来说，对同一个问题，找出通性通法或几个有代表性的、具简捷美和创新性的优解即可，找出几个能使问题一般化、拓展化、具探索性开放性的变式即可，并非是一味为多解而多解、为多变而多变，并非逢题必多解、多变，甚或化简为繁、变直为弯、思路怪异、钻牛角尖。为课时计划的按时完成，实施“矩阵”式教、学初始，主要由教师提出问题，给出几解并比较择优，然后据其特点进行变式拓展创新，作业要少而精，给出思考题（最好是联系下节要用的），让学生模仿进行“矩阵”式自学，上课时，用实物投影仪展示交流，老师用多媒体链接“矩阵”中的多解、多变（可在有解处标1、无解处标0表示），可节约时间，确保完成课时任务，即便某节课有出乎老师意料的情况发生，就按课改新理念处理为“生成”的课，下节再完成任务也无不可，同时注意师生共同小结，学生熟悉了这种教、学方式后，可逐步过渡到由学生发现、提出、分析问题并给出多解多变，开发潜能，提高思维水平和解决问题的能力，从而“学会”学习。
本法对小学、初中、高中数学教、学都适用，能加强和沟通代数、三角、平几、立几、解几的有机联系，对一些数学概念课、例习题课，特别是章节复习课、初三高三复习课、研究性学习，更是妙不可言。
三、实例简录共飨
例1：摆牙签如图： …，填表：
则摆100个正方形用（ ）根牙签。
（创设问题情景，学生思考、讨论、交流。）
生1（J1）： … 第一个正方形用4根， 每增加
一个就增3根，那么摆n个需[4+3（n-1）] 根，
摆100个需301根牙签。
师：很好（及时鼓励）！还有没有不同方法？（学生思考、讨论、交流）
生2（J2）：（表同生1）， … 上、下排各用n根，竖直方向用n+1根，那么摆n个需[n+n+（n+1）] 根，摆100个需301根牙签。
师：很好！不同思考角度，殊途同归。
生3（J3）：（表同生1）， … 把每个正方形都看成4根摆成，减多算的n-1根，则摆n个需[4n-（n-1）] 根，摆100个需301根牙签。
师：很好！有异曲同工之妙。
生4（J4）：（表同生1）， … 前面每个正方形都用3根来摆，最后一个多加1根，则摆n个需[3n+1]根，摆100个需301根牙签。
师：更简捷直观！若摆成梯形，大家能不能求出来？
（变式1）： …，填表：
则摆100个梯形用（ ）根牙签。
（学生能很快用多种方法解答）
（变式2）拓展：毕业晚会告别，每两个同学均互相 握手一次，则58个同学握手（ ）次。填表：
解：
则58个同学握手（1653）次。（自然而然体现特殊到一般、一般到特殊的辩证规律。）
师：其实，单循环篮球赛（每两个队都只赛一场）的场次数也为[n（n-1）/2]，与（变式2）表面背景虽不同，但数学实质却完全相同。
小结：字母可表（任何）数及式（表规律）。
例2：说明三角形内角和定理。（学生思考、讨论、交流）
生1（J1）：小学已学过三角形内角和为180 ，可用折纸法如图所示：
师：很好（及时鼓励）！还有别的方法吗？（学生思考、讨论）
生2（J2）：把三角形一角A撕下，拼在顶点C处，如图：
则∠A=∠ECD AB∥DC ∠B+∠BCA+∠ECD=180 =∠B+∠C+∠A 。
生3（J3）：把三角形一角A撕下，拼在顶点C处，延长BC到G，如图：
则∠A=∠ECD AB∥DC ∠B=∠DCG
∠BCA+∠ECD+∠DCG=180 =∠C+∠A+∠B 。
师（变式1）：谁能求出四边形的内角和？（学生思考、讨论、交流，老师巡视引导）
生4（B1J1）：连一条对角线把四边形分为两个三角形，则四边形内角和为180 ×2=360 。
师：很好（及时鼓励）！还有不同方法吗？（学生思考）
生5（B1J2）：在四边形某边上任取一点与各顶点相连得3个三角形，该点处为一平角，则四边形内角和为180 ×3-180 =360 。（图略）
生6（B1J3）：也可在四边形内任取一点与各顶点相连得4个三角形，该点处为一周角，则四边形内角和为180 ×4-360 =360 。（图略）
师：若在四边形外任取一点与各顶点相连，能求出四边形的内角和吗？（及时引导）
（学生思考、讨论、交流，老师巡视引导）
生7（B1J4）：能！连得4个三角形，一个在四边形外，则四边形内角和为180 ×3-180 =360 。（图略）
（通过互相交流，学生思维活跃，学习情绪高涨，体验了成功的快乐，增强了学习信心和欲望，老师应趁热打铁、因势利导，让学生的主体作用得以充分发挥，即“尽兴”！）
师：还有新方法吗（学生思考）？上面都是从点上做文章，能否由边上着手呢？（学生讨论、交流）
生8（B1J5）：能！延长四边形一组不平行的对边交于一点，得一个三角形与一个平角，则四边形内角和为：180 +180 =360 。（图略）
（老师应指出平行四边形恰有两组同旁内角， 内角和自然是360 。）
师：实际上，还可过四边形内任一点分别做四边的平行线，求得四边形内角和为360 ，有兴趣者课下研究（留下悬念）。
（上述各种不同求法，体现了分类的数学思想，为“多边形内角和定理”的证明做了探究铺垫。）
师（变式2）：大家也一定能说明：凸n边形内角和为（n-2）×180 （整数n≥3）。
（学生思考、讨论、交流，老师巡视引导。类比的数学思想自然体现，水到渠成。）
生9（B2J1）：由n边形任一顶点与其余各顶点相连得（n-2）个三角形，则n边形内角和为：（n-2）×180 。（图略）
师：很好（及时鼓励）！
生10（B2J2）：在n边形一边上任取一点与各顶点相连得（n-1）个三角形与一个平角，则n边形内角和为：（n-1）×180 -180 =（n-2）×180 。（图略）
生11（B2J3）：也可在n边形内任取一点与各顶点相连得n个三角形，该点处为一周角，则n边形内角和为n×180 -360 =（n-2）×180 。（图略）
生12（B2J4）：还可在n边形外任取一点与各顶点相连得（n-1）个三角形和一个在n边形外部的三角形，则n边形内角和为（n-1）×180 -180 =（n-2）×180 。（图略）
（上述（变式2），老师可按学生的叙述用多媒体把图形投影出来，节约时间。）
师（变式3）：哪一位能求出n边形的外角和？（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导）
（适时提出问题，延伸拓展，跳一跳摘“桃子”。）
生13（B3J1）：一个内角与一个外角的和为180 外角和加上内角和为n×180
外角和= n×180 -（n-2）×180 =360 。
师：很好（及时鼓励）！还可以这样思考，一点（如笔尖）从n边形边上某点处沿边滑动（如逆时针）到每个顶点处需转一个外角度数到另一边，当回到原出发点时，刚好转了一周，故n边形的外角和为360 。（拓展）实际上，任意n边形（含凹n边形）外角和都是360 ，只需规定逆转为正角、顺转为负角，则转过角度的代数和仍为一周角360 。
师（变式4）：（应用）填空：（ ）边形内角和是外角和的（ ）倍。
（学生练习，条件、结论同时开放、多解。） 解略。
例3：（课本初三几何“圆”中的例题）⊙O1、⊙O2外切于A点，外公切BC分别
切⊙O1、⊙O2于B、C两点。求证：AB⊥AC（或2∠BAC=180 ）。
（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导）
生1（J1）：直线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于D、E两点,连O1B、O2C、BD,
则O1B⊥BC、O2C⊥BC O1B∥O2C ∠BO1D=∠CO2A ∠O1DB=∠O2AC BD∥CA
∠BAC=∠DBA=90 即AB⊥AC（或2∠BAC=180 ）。
师：很好（及时鼓励）！用到了切线性质和平行线判定、性质.
生2（J2）：思维还可再简单些。连O1O2 、O1B、O2C知O1B⊥BC、O2C⊥BC
∠CBA+∠O1BA=∠BCA+∠O2CA=90 ,∠O1AB=∠O1BA, ∠O2AC=∠O2CA
∠CBA+∠O1AB+∠BCA+∠O2AC=180 、∠BAC+∠CBA+∠BCA=180 、∠BAC+∠O1AB+∠O2AC=180
∠BAC=90 即AB⊥AC（或2∠BAC=180 ）。
师：很好！基本上是代数运算了.
生3（J3）：（兴奋地）还有更简单的方法!过A作公切线交BC于D,
则∠DBA=∠DAB、∠DCA=∠DAC 四角和为180
∠BAC=∠DAB+∠DAC=90 或:AD=BD=CD=BC/2 ∠BAC=90 .
师：很好！确实更直观、简捷了,并且给出了两种不同的简单方法.
师（变式1）：若转动BC使其切⊙O1于B、交⊙O2于C、D两点,
则∠BAC与∠BAD有何关系
（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导.）
生4（B1J1）：(受J3启发)过A作切线交BC于G,则∠GAB=∠GBA、∠CAG=∠GDA
∠BAC+∠BAD=∠GAB+∠CAG+∠BAD=∠GBA+∠GDA+∠BAD=180 (互补).
师：很好！哪位同学还能提出新的变式 （学生思考，小组讨论、交流.）
生5（变式2）：若继续转动BC使其与⊙O1、⊙O2分别交于E、B和C、D,
则∠BAC与∠EAD可能仍互补.
(类比、猜想、深化结论,一般化提出问题. 学生思考，小组讨论、交流.)
生6（B2J1）：是的, 仍互补! 过A作切线交ED于G,则∠BAG=∠BEA、∠CAG=∠CDA
∠BAC+∠EAD=∠BAG+∠CAG+∠EAD=∠BEA+∠CDA+∠EAD=180 .
师：很好！有创新,由特殊到一般. 上面我们从外公切线变动的角度对本题做了拓展,是否可以从二圆的位置变动提出新的猜想 （适时提出新问题，延伸拓展，跳一跳摘“桃子”。）
(学生思考，小组讨论、交流.)
生7（变式3）：移动二圆交于M、N, 外公切线仍为BC,则∠BNC与∠BMC仍互补.
（B3J1）：连MN,则∠CBN=∠BMN、∠BCN=∠CMN
∠BNC+∠BMC=∠BNC+∠BMN+∠CMN=∠BNC+∠CBN+∠BCN=180 .
师：很好!！还有新想法吗 (学生思考，小组讨论、交流.)
生8:还可更一般化。
（变式4）：二圆交于M、N, 切线BC变为割线,分别交⊙O1、⊙O2
于E、B和C、D,则∠BNC与∠EMD仍互补.
（B4J1）：连MN交BC于G,则∠BNG=∠DEM、∠CNG=∠EDM
∠BNC+∠EMD=∠BNG+∠CNG+∠EMD=∠DEM+∠EDM+∠EMD=180 .
师：很好!！更一般化了.生7、生8能提出问题、分析问题并解决问题,不但学会了知识,更学会了方法,从而学会了学习.实际上本题还有：
（变式5）：(原题条件不变(见J1))你能推证DB与EC的位置关系吗
(变式6)：(原题条件不变)延长CA、BA分别交⊙O1、⊙O2于D、E,则BD、CE是二圆的直径吗 (留下悬念,欲罢不能.)
例4：师：(创设问题情景,激发学习兴趣)向微甜的糖水里加点糖,大家一定知道结果如何 !
生:更甜了!
师：你能否用数学的方法给出证明 (提出问题,学生思考，小组讨论、交流.)
生1:设原糖水重克,含糖克,则原糖水浓度为/,若向糖水里加入克糖,(新)浓度变为,求证:>(0<<, >0)。 (即糖水更甜了).
(数学化,实物投影仪投出.)
(J1):可用比差法证明, -==>0.
师：很好!实际问题数学化,并给出了证明.还有别的证法吗
生2:也可用分析法或反证法证明,因00,欲证…,只需证…, ….(略,书上证法。当然也可用综合法证明.)
师：上述证法都是应熟练掌握的基本证法(通性通法),我还有一种巧证,大家想看一看吗
生: 想! (积极引导,培养创新思维.)
(J5):联想函数单调性,可构造(构造法)f(x)= =1-,
因0<<、≥0、易知f(x)单增,由m>0知>=.
同学们还有什么奇思妙想 大家共享.(学生思考，小组讨论、交流.)
生3(J6):联想斜率公式,考察A（，）、B（-m，-m），
由0<<、>0知kAB>kOA ，即> 。
师：巧妙、简捷！
生4(J7):还可联想定比分点公式，由0<<、>0知<1，则=令λ=>0，显然点（，0）是点（，0）与点（1，0）连线段的内分点，故<<1。
（学生体验了成功的快乐，兴趣盎然、意犹未尽。）
师（变式1）：（应用）比较与的大小。
分析：直接通分比大小不可取。联想化学中溶液浓度概念知，溶液2342单位含溶质135单位，再加入溶质13单位，则浓度为，显然大于先前浓度。
（其数学实质为> (0<<、>0)）。
师（变式2）：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，而采光标准规定二面积之比应不小于10% ，比越大，采光条件越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了还是变坏了？请证明你的结论。
(学生思考，小组讨论、交流.)
生5(问题数学化):设窗户面积为，地板面积为，增加的相同面积为m，且0<<、>0，则（增后）>（增前），显然变好了。 （证略）
师：很好（及时鼓励）！
师（变式3）：若ΔABC三边为、、c，且>0，证明：+>。
(学生思考，小组讨论、交流.)
生6（B3J1）：由已知0
<=+ <+。
师：很好！充分应用了例题的结论，还使用了放缩法。其他证法留为课下思考题。
师（变式4）：由0<<、>0 0<+m
<<，这是否为一个普遍规律呢？ （猜想）即：
命题1：若、、、∈R+，且<，则<< 。
(学生思考，小组讨论、交流.)
生7（M1J1）：是！由< < < <，
同理，由> <，即命题1成立。
师：很好！还有新证法吗？(学生思考，小组讨论、交流.)
生8（M1J2）：设=r、=R皆正，则r=<=R
=r、=R、>rb2、 +>r(b1+b2)、+师：很好！
生9（M1J3）：由< b2、<
>、< 。即<< 。
师：此证法显然是应用前述例题的结果。应用此命题，依次写出1/2与1之间的所有分母不大于10的分数。要写出所有这些分数并非很难，而迅速依次排好大小却是麻烦事，而按命题1就易如反掌。
解：由<1= <=< <<<<即<<<<1，
依此继续下去可得：<<<<<<<<<<<<<<<<1。
师：若由前述例题及命题1出发，可推出一般性命题（普遍规律）如下：
命题2：若，…，，b1，…，bn∈R+，且<<…<（n为正整数），
则<< 。（证仿M1J2）
（变式应用）：若θ1<…<θn∈（0，π/2）（n为正整数），
则tanθ1<（sinθ1+…+sinθn）/(cosθ1+…+cosθn) 师：一个题目，若静止地、孤立地去解答它，即便再好，充其量仅是一个题目而已。若对它深入研究、加以拓展，通过观察分析，产生一系列联想，从而推得很多不归一的全新的输出，整个过程本身就体现了一种创新精神，即可解决一类题目，因此，注意经常进行同一题的“多解多变”教、学，把发散思维、创新思维有机联系起来，学生的思维潜能将会得到加速开发。
例5：（视频展示台投影）你能求出函数f(x)=(x>1)的最小值吗？
（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导。）
（八仙过海，各显神通，课堂上努力营造和谐民主氛围。学习数学的正确方法在于“再创造”，因此，课堂上要留给学生充分的思考时间和空间，给学生再创造的机会。在学生的最近发展区提问题，让学生“跳一跳”摘桃子，享受成功的喜悦。问题过易，不能让学生产生认知冲突，不能引起学生兴趣；问题过难，不能让学生获得成功。）
生1（J1）：用函数图象叠加法作出函数(x>1)的图象，
发现当x=2时f(x)取最小值为8。
师：请说一下你是怎么想到这个思路的？（目的是暴露学生的思维过程）
生1：类比联想到函数g(x)=(x>0)的作法及最小值求法。
（学生学习的过程是在原有知识、经验的基础上主动建构的过程）
生2：（怀疑地）你作的图象准确吗？你的结论不能让我信服。
师：用几何画板（或Z+Z）画出f(x)由叠加的图象。
（发挥现代教育技术在教学中的作用，借助几何画板实验支持学生的猜想。）
生3：从图象观察出点（2，8）确实是最低点（众生赞同）。
师：我画的图象比较准确，但毕竟不是证明，看来生1的结论只是一个猜想，而猜想具有偶然性（可能正确也可能错误），若错误只要举反例反驳；若正确必须证明（数学思维能力在形成理性思维中应发挥独特的作用）。
生4：（性急地）猜想是正确的，用比差法证明。
师：请你到黑板上写出具体的证明过程，其余同学也尝试证明。
生4：证明：-8==？（到此受阻）
师：大家帮帮忙，让他走出困境（众生全神贯注地思考，学习情绪高涨）。
（教师应是学生学习的参与者、合作者、引导者、促进者、评价者）
生5：（走向黑板）注意到当x=2时=0
=…=知当x=2时f(x)的最小值为8。
师：以上受图象启迪，应用类比、猜想等合情推理猜出最小值8，再理性思考给出严格逻辑证明，这就是许多数学问题的解决历程（直观感知——合情推理——逻辑证明）。
生6（J2）：我有不同证法：用两个正数的均值不等式。
师：大家一起来看看他的成果（视频展示台投影生6的解答）。
f(x)≥2=…=4≥4=8，等号当且仅当x=2时取得。
师：连续两次应用均值不等式成功解题，想得巧、解得妙（教师适时的鼓励，能进一步激发学生的学习热情）！不过要注意两次放缩中的等号要同时取得。
生7（J3）：联想到课本中题目：已知>>0，求的最小值的求法，这样证如何？
f(x)=≥≥8（∵≤），两次放缩中等号同时取得。
师：巧添“1”，为利用均值不等式创造条件、化繁为简，是一个美的证明。课本题目“已知>>0，求的最小值”是我们研究问题的一般情形，因此要重视课本的
学习与运用。
生8（J4）：受两位同学的启发，我这样证（教师要创造让学生交流的机会，让学生学会合作学习，在交流中互相启迪、在碰撞中产生智慧火花）：
f(x)==
=+++++++1，
利用均值不等式知，当x=2时f(x)的最小值为8。
生9（J5）：我用换元法，免去配方：
令=t =t+1 g(t)=,下同生8证法。
师：换元法起到转化和化简的功效。
生10（J6）：还能利用导数求出当x=2时f(x)的最小值为8。（解题过程略）
师：你能对该题进行改造，提出一个新问题吗？（提出一个问题比解决一个问题更重要）
生11（变式1）：（3分钟后，板书）求函数f(x)=（>1≥m>0）的最小值。
生12（变式2）：我把原式通分编了：求函数f(x)=（>1）的最小值。
生13（变式3）：受生11启发，我编了：
求函数f(x)=（>1>>0）的最小值。
生14（变式4）：我编了：求函数f(x)=-（<-1）的最大值。
师：四位同学的题出的很好，用我们所学的方法完全能够解决，相信同学们还可给出更多更好的问题和解法，留作家庭思考作业（留下悬念，意犹未尽，欲罢不能）。由此可见题目是无限的，方法是有限的，只有掌握方法学会学习，才能以不变应万变。
例6：（视频展示台投影）若关于x的方程x- m=有解，请求出实数m的取值范围。
（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导。）
生1（J1）：原方程化为，则由已知，联立、
、
师：思路清晰，谁还有不同解法？
生2（J2）：原方程化为，令代入可求得m最大、最小值即知取值范围。
师：用换元法化难为易、化繁为简，但要注意新未知量与原未知量取值范围要对应。
生3（J3）：数形结合法也可求解，令、，利用二函数图象有交点可求得m最大、最小值即知取值范围。
师：很好！三种解法各有所长。你能对该题进行改造，提出一个新问题吗？
（提出一个问题比解决一个问题更重要）。（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导。）
生4（变式1）：m为何值时关于x的方程x- m=有一解、两解或无解？
生5（变式2）：若关于x的方程在[0，π]上有解，请求出实数m的取值范围。
生6（变式3）：若关于x的不等式x- m≤恒有解，请求出实数m的取值范围。
生7（变式4）：若实数x、y满足y=,求（1）x+y的取值范围；（2）y/（x-3）的取值范围；（3）的取值范围。
师：几位同学的题出的很好，用我们所学的方法完全能够解决，留作家庭作业（留下悬念，意犹未尽，欲罢不能）。我也出个变式，大家做一下如何？
生：可以（学生翘首以盼）！（趁热打铁，主动引导，在最近发展区上提问题）
师（变式5）：（视频展示台投影）若实数x、y满足，求的最值。
（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导。）
生8（B5J1）：（兴奋地）可以这样做！设看作⊙O：上任一点P（x，y）
与定点A（2，1）连线的斜率，当直线AB与⊙O相切时可求出的最值。（图略）
师（变式6）：直观简捷！那么，你能求出的最值吗？
（高二数学新教材P82习题11）
生8（B6J1）：（略思考后）只需令、，则（x，y）为单位圆上任一点，
解法同上。
师：很好！运用了圆的方程、斜率公式及数形结合的思想。
（变式7）那么，谁能求出的最值呢？
生9（B7J1）：（略思考后）只需化为同上解之即可。
师：类比迁移，水到渠成。那么，这种方法是一般规律吗？（培养批判性思维）
（变式8）如：实数x、y满足，该法必能求出的最值吗？
（学生思考，小组讨论、交流，老师巡视引导。）
生10（B8J1）：不一定！取时，
的取值范围为[+]，无最大值。
师：看来过A点与圆的切线斜率不一定总是最值。因此，一定要
具体问题，具体分析，用不同的方法，准确灵活解决之。
四、归纳、升华、结束语
会当凌绝顶，一览众山小。“矩阵”式教、学设计的问题（组）系列，由浅入深，通过一题的多解、多变、多用、多联、类比、改造、延伸、拓展，激发新鲜兴趣，唤起好奇心、求知欲，从一个命题引出一组命题，从一个性质的发现导致一类性质的发现，从解一个问题的方法引出解决一（多）类问题的方法（通法），归纳出一个解法规律在更大范围的活用，从而提高学习效益（率），推动学生思维层层深入、能力更快提高，在知识交汇结合点处纵横贯通，使学生掌握学习的方法，激发创新灵感，培养创新精神和意识，启迪创新思维，使学生成为数学学习的真正主人，更加喜爱数学，深刻领悟数学思想，积极努力应用、解决实际问题。
实践、总结、积累、升华，持之以恒，大有裨益。让我们的教、学生动起来，越来越生动；让我们的教师“富有”起来，越来越“富有”；让我们的学生“精明”起来，越来越“精明”。让数学从冰冷的美丽回归到火热的事实（发现、发生、形成、发展的过程）；让我们（教师）以：精心的设计者、循循的引导者、耐心的帮助者、潜能的开发者、教学相长的合作者、充满激情的激励评价者、全局安排的促进发展者——共勉！！
附：参考资料
1、《义务教育数学课程标准》。
2、《普通高中数学课程标准》。
3、北师大版《数学》七、八、九年级课本。
4、人教版初中数学《代数》、《几何》各册课本。
5、人教版高中《数学》各册必修、选修课本。
6、北师大版高中《数学》各册必修、选修课本。
7、少年智力开发报《数学专页》
图形个数 1 2 3 … n …
牙签根数 … …
图形个数 1 2 3
牙签根数 4 7 10
图形个数 1 2 3 … n …
牙签根数 … …
同学个数 2 3 4 … n …
握手次数 … …
同学个数 2 3 4 … n …
握手次数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 1+2+…+（n-1）=[1+（n-1）] （n-1）/2 = n（n-1）/2 …
G
1函数的单调性与导数
广东省阳春市第一中学 陈清
教学内容： 人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1 P 97—101
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段
教具、学具准备：CAI课件一套、学生每人一份实验表格及一支牙签
教学过程预设：
教学环节 师生活动 设计意图
一、回顾与思考 提问 1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2．比如，要判断 y=x2 的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。 以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
二、观察与表达（探索函数的单调性和导数的关系） 问：函数的单调性和导数有何关系呢？教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中： 函数及图象单调性切线斜率k的正负导数的正负问：有何发现？（学生回答）问：这个结果是否具有一般性呢？我们来考察两个一般性的例子：（教师指导学生动手实验：把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）问：能否得出什么规律？让学生归纳总结，教师简单板书：在某个区间(a，b)内，若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。教师说明：要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。 1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。3．得出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。
三、知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 基础训练 1．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。（学生口答）2．函数y=x2－3x在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为______函数，在[1,2]上为______函数(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。 为加强学生对结论的理解与记忆，设计了两个基础训练题。由于思维定势，学生可能仍用以前的方法，这里教师要引导学生用导数法求解。
理解训练 例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。（引导学生得出解题思路：求导 → 令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 下结论）变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。） 求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。
巩固提高 变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。（学生上黑板解答）变式3：求函数的单调区间。 设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。
学生小结 1° 什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？2° 试总结用 “导数法” 求单调区间的步骤？（教师强调第一步应求定义域） 通过这一总结，让学生明确导数法求单调区间的适用类型及解题步骤。
强化训练 函数y=xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数( B ) (04年全国理) 选用了此高考题可以进一步加强学生对用“导数法”求单调区间的掌握。同时由于此题难度不太大，对基础中下的学生可起到激发信心的作用。
2．应用导数信息确定函数大致图象 例题讲解巩固训练 师：利用导数的正负可以判断函数的增减性，求函数的单调区间，同样，利用导数的正负还可以绘制函数的大致图象。例2．已知导函数的下列信息：当23或x<2时，f ' (x)>0；当x=3或x=2时，f ' (x)=0。试画出函数 f ( x )图象的大致形状。（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案进行投影分析。） 问：两图有何异同？ (引导学生得出：)相同：都满足在(2,3)上递减，在(－∞,2)和(3,+∞)上递增；主要不同：在A、B处即在x=2和x=3处，左图是平滑的，右图是折点。追问：是否都行呢？师分析：由于在A、B两点处f ' (x)=0，根据前面的学习，我们知道，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而右图在这两处升降变化很大，因此，右图不正确。师：这里A,B两点比较特殊，书上称之为“临界点”，关于“临界点”更深入的知识，我们下节课再讨论。刚才f ' (x)的信息是用文字形式给出，f ' (x)的信息也可以用图形给出，比如：(04浙江理工类)设f ' (x)是函数f (x) 的导函数，f ' (x)的图象如下,则f (x) 的图象最有可能的是（ C ） （教师引导学生分析解答） 1．本题有一定的抽象性，是本节的难点，这正是将课本两个例题调换顺序讲解的原因。2．本题是一道开放性的题目，学生的答案也许是“百花齐放”，图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线。教师就学生中主要出现的两类答案进行投影分析，提出“折点”问题，解决办法：让学生回顾前面讲过的（如：教材P84例2）导数为零的点附近图象几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，对于基础不是特别好的班级，课堂上也只能这样点到为止。新课程的学习提出“学会看图是21世纪成年人必须具备的能力。”本课就是个机会，通过此题进一步培养学生看图及数形结合的能力。
四、心得与体会 通过这堂课的研究，你明确了 ，你的收获与感受是 ，你还存在的疑惑之处有 。 让学生按这一模式进行小结，培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。
五、作业设计 必做题：课本 ：P101 4， P107 A组1 选做题： 将作业设计为必做题与选做题可使不同基础的学生得到相应的训练和提高。
六、板书计划
y = f(x)
y
a
b
o
x
y = f(x)
y
a
o
b
板演
解题步骤
结论
课题
投影
x
y = x2
y
o
x
y = f(x)
x
y
x
y
o
o
3
2
y = f(x)
3
2
2
1
y= f ' (x)
x
y
o
(A)
2
1
y= f (x)
x
y
o
(B)
2
1
y= f (x)
x
y
o
(C)
2
1
y= f (x)
x
y
o
(D)
2
1
y= f (x)
x
y
o导数复习
淄博一中数学组 孙书娥
[教学方法]
1.采用“学案导学”方式进行教学。
2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。
[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.
[教学重点和难点]
教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、
教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用
[教学过程]
一、目标导航（大屏幕给出）：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数
2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值
二、基础回顾
第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完
1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量 = ；比值 叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,
当△x→0时，有极限，就说y=f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作 或 ，
当x变化时，f (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记
f (x)=y =
2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2) 求平均变化率
（3）取极限，得导数f (x)=
3、导数的几何意义：f (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的 即
4、几种常见函数的导数C= (xn) = (sinx) = (cosx) =
(ex) = (ax) = (lnx) = (logax) =
5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则
[f(x) ± g(x)] = [f(x) g(x)] = []=
6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数yx=
7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？
求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f (x) (2)解不等式f (x)>0(或f (x)<0)
(3)确认并写出单调区间
8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。
可导函数点x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的 条件
9、求函数y=f(x) 极值的步骤：
（1）确定函数的定义域 (2) 求方程f (x)=0
（3）解不等式f (x)>0(或f (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间
(4)判断 f (x)=0的根的两侧f (x)的符号，确定是否为极大值、极小值。
10、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 和
求在闭区间 [a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1）
（2）
第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题）
第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示）
三、巩固练习
1、 函数f(x)可导，则=
2、 已知f(x)=x2+2x f (0),则f (2) =
3、 函数f(x)=x3－2x2+x－6的单调区间为
4、 求导① (－)= ② (3x) = ③ (tanx) =
④ [sin3(x+) ]= ⑤[cos(1－2x)lnx]=
5、函数f(x)=ax3+x－2在（－∞，+∞）上为单调函数，则a∈
四、探究提高：（两个学生上黑板板书，其他同学做在学案上）
1、当常数k为何值时，直线y=x才能与函数y=x2+k相切？并求出切点。
1、 已知x>1,求证：x>ln(1+x)
针对学生出现问题老师讲评（大屏幕给出答案）
五、归纳总结，引导学生给出本节知识总结
六、应用拓展（课后完成）
1、已知函数(x)=2ax―x3,x(0,1], a>0
(1) 若f(x)在x(0,1] 上是增函数,求a的取值范围;
(2) 求f(x)在区间(0,1]上的最大值
2、已知f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=1与x=－时，都取得极值.
(1) 求 a,b的值； (2) 如对x∈[－1,2],都有f(x)<恒成立，求c的取值范围
思考：已知a>0,求函数f(x)=eq \f(x+a, ) 在x∈[0,＋ ∞)上的值域.
课后作业P73 1 2
以上是本节课的基本框架，敬请各位领导、老师批评指导编号：570037
对数函数教学案例
海南农垦加来高级中学―――邓柏林
数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式创造性思维教学对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。我省作为全国新课程改革的四个省份之一，依照《高中数学课程标准》实施在高中数学新课程中，如何贯彻新课程理念，正确把握和实施高中数学教学，已成为我们每一个高中数学教师应该研究的课题。本教学案例选取“对数函数”的教学内容，以教学设计的形式探索高中数学新课程的实施过程。
1、 教学设计思想：本节是在学生已经学过对数与常用对数以及指数函数的基础上，借助生活中典型实例引出对数函数的概念，借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让学生通过分析、推理、归纳、类比等活动过程，从中了解和体验对数函数图象和性质。因而让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
二、 教学分析：
1、教学目标
（一）教学知识点
1.对数函数概念.
2.对数函数的图象和性质.
（二）能力训练要求
1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质.
2. 培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决问题的能力。
（三）德育渗透目标
1.用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化.
2.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
2、教学重点：对数函数的图象和性质
3、教学难点：对数函数的图象和性质的应用
4、德育点：在研究性质的过程中，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。通过对立体美的体验，使学生得到美的感受。
5、创新点：①教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在知识拓展的教学中，鼓励用多种方法推导，培养学生的创新思维；
②留研究性练习，鼓励学生进一步探索。
四、教法和学法的分析：
1、通过探究式创造性思维教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和flash动画等丰富学生的学习资源，生动活泼的展示图形，强调学生动手操作和主动参与。
2、 教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式使得学生学会自我调适，自我选择。
5、 教具的选择和使用目的：
多媒体课件，通过动画演示化解了知识难点，也实现了现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具
六、教学程序与环节设计：
五、教学过程：
环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
回 顾 知 识 1、指数函数的图象规律及性质指数式与对数式的互化： 教师提问式实施 学生回答： 为本节课作铺垫
创设情境组织探究组织探究知识应用知识拓展尝试练习巩固反思巩固反思作业回馈 1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示.2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？ 这个问题就相当于已知y=2x 中的y求x，我们将y=2x改写成对数式为y=log2x，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之相对应。把y看作自变量，分裂次数x就是细胞个数y的函数。这样就得到了一个新的函数。习惯上，仍用x表示自变量，用y表示它的函数。上面的这个函数就写成y=log2x。1、对数函数概念： 一般地，函数（a＞0且a≠1）叫做对数函数.思考1：函数（a＞0且a≠1）与函数（a＞0且a≠1）的定义域、值域之间有什么关系？函数（a＞0且a≠1）的定义域、值域分别是函数（a＞0且a≠1）的值域和定义域2、对数函数的图像与性质：思考2：在同一坐标轴下对数函数与指数函数的图像观察图像有什么特征？(1)（函数与函数的图像关于直线y=x对称）(2)(3)(4)(5)(6)求下列函数的定义域；（1）y=(2)y=loga(4-x)例2、比较下列各组数中两个值的大小；(1)(2) (3) (a>0,a≠1)例3、比较下列各组数中两个值的大小；(1) (2)分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.解：（1）∵log67＞log66=1，log76＜log77=1，∴log67＞log76（2）∵log3π＞log31=0，log20.8＜log21=0,∴log3π＞log20.8（3）分析：利用对数函数的图像进行比较。解：作出函数log0.13,log0.23的图像，由图像可知log0.13> log0.23练习：1、比较下列各题中的两个值的大小（1）log106，log108 (2)log0.56, log0.54(3) (4) （5）log20.7 (6)log20.5,log50.52、求函数的定义域：1、掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.2、利用对数函数的单调性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.3、比较指数函数与对数函数性质的异同，并完成下表：P．86 NO.7 87.NO.8 引导学生分析归纳概括得出结论．说明：对数函数的定义来自于实践，它同指数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．演示flash动画把指数函数y=2x与y=()x图象沿直线y=x翻折得到对数函数y=log2x与y=logx的图象演示flash动画，抽象出对数函数（a＞0且a≠1）在a>1和0＜a＜1这两种情况下，引导学生观察图象，归纳概括对数函数的的性质及图象变化规律．如图（2）两图象都位于y轴右方，这说明了什么？如图（3）两图象都经过哪一点？如图（4）两图象当x＞1时有何特点如图（5）两图象当01和0＜a＜1这两种情况下的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填空．得出结论：函数的定义域都是（0，+∞），值域为R得出结论：图象都经过点（1，0），且当x=1，y＝0得出结论：当a＞1时，x>1,y>0.当01,y<0得出结论：当a＞1时，00得出结论：当a＞1时，图象是上升的曲线，即图象在（0，+∞）上是增函数，当0六、教后反思
本节课自始至终都运用了新课标理念，按照创设情境――组织探索――知识应用――知识拓展的基本模式展开教学，整个课堂显得生机勃勃。
1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式
探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题。本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。如，对数函数的图象和性质是这节课的重点，为了解决这一重点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个个flash动画入手，从观察每幅动画这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验对数函数性质的形成过程，变静态教学为动态教学。鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务的宗旨。
2、 渗透数学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学了，我们给孩子们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法。本节课始终是引导学生观察对数函数图象后研究对数函数性质，即数形结合思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学时，要注意渗透数学思想方法的教学。
3、 信息技术走进课堂
本节课在对数函数的图象和性质教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，突出知识重点，化解了知识的难点。
4、 课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题，在完成知识拓展时，课堂上开始还不能很好的完成题目的变化，经教师的指导，学生逐渐地掌握了方法。
不足：在对数函数的图象和性质的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，讨论、合作交流的主阵地，思想品德教育的好场所，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育，一起来创造，一起来开拓。
2006年11月7日星期二
对数函数性质的初步应用．
复述对数函数的图象规律及性质
对数函数性质的初步应用．
对数函数的图象和性质．
问题引入
指数函数的图象规律及性质
作业回馈
巩固反思
知识应用
组织探究
创设情境
复习引入
0
x=3
y=1
(1,0)
y=log0.23
y=log0.13
y
x用好教材 发挥教师的实践智慧
山东肥城一中 魏 明
新一轮课改，作为课程观念重要载体的教材发生了翻天覆地的变化，不但教材的知识体系、编排顺序发生了变化，更重要的是新教材的知识观逐步走向主客观的统一，即不仅需要关注那些客观的、逻辑的、共同的知识，而今更需要关注那些主观的、情境的、默会的个人知识。“共同知识”往往以间接经验为主，具有明显的可传递性，是以往构建教材内容的知识主体。而“个人知识”以直接经验为主，主要靠个人的体验和领悟获得，具有明显的不可传递性。新教材的学生观也从改善学生学习的教材设计入手，即学生不再是教材被动的受体，而是对教材进行能动的实践创造的主体；教材不再是只追求对教育经验的完美的预设，而是为学生留有发展的余地，使教材本身延伸到课堂和学生的学习之中，真正使教材由教师的“教”材变为了学生学习的“学材”。新教材的教师观也变为改进教学策略的教材设计，即教材不再是教师的“圣经”，而是教师要去加工和创造的东西，教材设计有意识地去引导教师能动地、个性化地解读教材。新教材的这些变化对学习方式的变革也提出了更高的要求，要求学生从直接经验中进行学习，要求学生建立主动的、探究的、体验的、建构的学习方式，同时，教师的课堂教学也面临着巨大的挑战。
我市作为校本研究的课改实验区，确立了“学科切入——案例引导——典型带动——基地辐射”的推进策略，在这一策略的指导下，我校数学学科作为泰安市教研基地，率先开展了校本培训及校本研究活动，充分发挥了基地的带头辐射作用。通过一年的实践证明：再先进的教学理论，如果不被教师所理解、接受和内化，无疑都会成为“泡沫”。同时，我们也深深地体会到教师的教材观是制约课改深入实施的首要问题。由于大部分教师的教材观没有彻底转变，把教材当作了在课堂舞台上表演的剧本，变成了师生贯彻执行的法定文件。教材中体现了什么，课堂上就发生什么，教材上漏掉了什么，课堂上也就忽略了什么。致使出现了形式多于实质，外在多于内在的情况，课上得热热闹闹、轰轰烈烈，但师生的教学过程与传统的相比无实质性的区别。在这种背景下，我校首先从转变一线教师的教材观作为课改初期校本培训和校本研究的中心工作，要求一线教师认真学习先进的教学理论武装自己，在充分理解新课标的基础上，利用好新教材，充分发挥好自身的实践智慧，整体设计好课堂教学过程，提高教学质量。下面，结合我校的实际，谈一下对用好教材，充分发挥教师自身的实践智慧，提高课堂效率的一点粗浅认识。
一、学习课程标准，准确解读教材内容，确定教学目标
当前山东课改实验区是一标多本，即一本课程标准，几套教材，每套教材都有各自的优缺点。这就要求我们在教学时不能照本宣科，要有的放矢，灵活处理教材。要用课程标准去指导我们教学的方向，让教材作为教师教学的扶手，作为教学过程中被加工和重新创造的对象。我们每周利用业务研究时间，集体学习研究课程标准，逐字逐句去分析思考标准对每章及每节的具体要求，并对照分析人教A与人教B两个版本的异同点，从中领会出课标对教材内容的新要求，作为每堂课的行动指南。然后，熟读教材内容，钻研教学用书，对照课程标准确定出本节重点、难点、学习目标及授课目标，最后每位教师充分发挥自己的聪明才智，运用系统方法，对各种资源材料进行有机整合，备出个人教案。例如，在讲授三角函数中的《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一节时，首先明确课标要求：能从两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，通过集体研究，从课标中领会出具体的三项指标要求：（1）是知识与技能的要求：明白二倍角公式的推导过程，掌握并熟记二倍角公式。（2）是过程与方法的要求：能熟练应用公式进行简单的恒等交换。（3）是情感、态度与价值观的要求：通过学习三角恒等变换的基本思想和方法，发展推理能力和运算能力，增强学生的求知欲。其次，通过对基本教材（课本及教学参考书）的研读，明确本节的重点为：正弦、余弦、正切的二倍角公式以及公式的两种变形。难点是：二倍角公式与同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和（差）角公式的综合应用。最后明确本节的学习内容及授课目标，即在教师引导下，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及它们相关的变形公式，并能熟练地对公式进行正用、逆用、变形用，掌握三角恒等变换的基本思想和方法。让学生在动手操作中自我感知、自我体会，这样不但激发了学生学习数学的兴趣，也解决了多年来“教师教得辛苦，学生学得累”这一难题。通过近一年的实践摸索，我们逐步认识到：学习内容及授课目标，是教学活动所要达到的标准，是教学工作的出发点和归宿。确定目标的意义在于能使教学工作明确方向，有所遵循，避免出现脱轨和失误，有利于教师克服盲目性，增强自觉性，按目标要求调控自己的认识倾向，意志活动和情绪反应，能使教师加强责任感、焕发工作热情。教师对目标的期望程度愈高，干劲就愈大，效益就愈好。在解决每节课的目标问题时，我们努力从以下四个方面做起：
（1）加强理论学习，转变教学思想，增强改革意识，更新观念，努力树立正确的人才观、教材观、质量观。
（2）严格贯彻执行新课程标准，领会课标要求，重视教学过程中对学生进行思想教育，注重培养学生提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力的创新意识。
（3）明确目标内容及水平要求：内容包括知识、技能要点，情感、态度及价值观等几个方面。水平要求有三个不同层次，即认知水平、智能水平和教育水平。认知水平主要看对知识的识记、领会和应用程度；智能水平主要是在认知水平的基础上，对思维能力、实践操作能力和创造能力的发挥程度；教育水平主要是指对学生进行思想教育达到的程度。
（4）要从教材特点和学生实际水平出发，能体现的要尽量纳入目标要求，不能体现的不要牵强附会，生拉硬塞。
二、发挥实践智慧去整合教材，优化课堂教学过程
优化课堂教学过程是指在遵循现代教学规律和贯彻教学原则的基础上，教师有意识地、科学地对教学理论，教学内容和方法以及教学设计的一种最佳选择，以期达到省时高效的目的。如在《二倍角的正弦、余弦、正切公式》中，我们通过集体备课后，我个人设计出如下操作程序：首先从学生默写和差角公式开始，结合和角公式因势利导“若α=β则得到什么？”从而得出二倍角的正弦、余弦、正切公式，接着提出几个问题：
（1）公式的推导思路是什么？体现了什么关系？
（在中，若α=β即可得到，说明倍角公式是和角公式的特例）。
（2）类比和角公式找出二倍角公式的适用范围？
（为任意角，中只有当时）。
（3）套用二倍角公式，请你把展开好吗？
（通过学生回答，使学生理解“二倍角”有广义上的含义）。
（4）请你思考二倍角公式倒过来有什么作用？
（5）请你写出二倍角公式各种变形公式？并体会如何应用它们？
学生通过积极思考，探讨出很多种变形公式，教师适时抓住时机，由二倍角的余弦展示出升降幂公式，强化公式的特点及应用，从而强化了本节的重点。然后通过典型例题的剖析、讲解，突破了本节的难点，最后再通过课堂练习的处理，达到巩固本节的基础知识、基本技能的效果。
通过校本研究活动的开展，我们逐步认识到，整合教材，发挥出教师的实践智慧是优化课堂教学过程的关键所在，同时也是需要在平时教学中不断研究不断提升的过程。在教学过程中着重做好以下几个方面工作：
1．要有先进的教育教学理念作指导
任何教学过程及其活动，历来都受到传统的或现代的教学论的影响，从事教学的人们不能视而不见，无动于衷。因此，我们每周利用业务研究时间，学习一篇教育教学文章，及时更新观念，保障课程改革的顺利实施。
2．内容精讲，突出数学思想和方法
从教学的实践过程来看，要解决“精讲”这一过程。首先做好吃透教材，进而开发利用好教材，达到教师能驾驭好教材的程度，能够准确地把握住知识点，知识的来龙云脉及知识中蕴含着的数学思想方法。其次,在课堂上要注意各方面知识的联系方式，既注重新授知识与所学知识的承前联系，又注重联系相关学科知识，增加情景的变换，达到互相渗透，增强迁移能力的同步联系；更要注重联系将要学到的知识，能起知识蕴伏作用的超前联系。最后要加强课堂反思，及时归纳、总结、提炼，达到知识升华的过程。
３．课堂教学方法措施灵活有效
为了实现学习目标，必须采取恰当的方法。有的课可以运用一种方法，有的课可以综合运用几种方法。不论哪种方法，在选择使用上，要紧紧突出新课改的基本理念，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，结合教材内容和学生的认识水平进行丰富多彩的教学情景设计。应从问题出发，让学生围绕问题进行探究活动、自主学习，体验教学发现和创造的历程，以激发学生的数学学习兴趣，逐步养成独立思考、积极探索的习惯。总之，选择的教学方法要实用、有效，更要灵活多变，防止机械照搬别人的做法，否则没有自己的个性特点，自己的实践智慧在课堂上也就得不到应有的发挥。
三、开发利用好教材资源，发挥教师的实践智慧
教材中的例题具有典型性、基础性、目的性，习题的难度相对适当，编排较为合理，层次比较分明，能面向大多数学生，是巩固课堂所学知识必不可少的重要内容，也是检查本堂所学知识掌握好坏的良好尺子。在实施过程中，教师若能按照新课程理念，发挥自己的聪明智慧，去开发利用教材资源，对例、习题加以改造及拓宽，不仅能开阔学生的解题思路，培养学生的数学思维能力，而且还能大大激发学生学习的兴趣，提高学习效率。如对《二倍角的正弦、余弦、正切公式》中的例５已知：的值。通过二倍角公式，引导学生分析出解决该题的关键是求出的值，而可以利用平方关系通过解方程求得，由此分析出确定的符号是本题的难点所在；然后引导学生去思考确定的符号的方法，通过审题得出由条件“”确定。最后让学生自己完成本题的解答。然后再把条件“”改为“”，问学生解答是否一样？学生们通过交流讨论，发现
由“”可得“”，结合可划分为“”，或“”两类来求的值。再把题目中的这个条件去掉，又应如何解答？同学们经过思考，找出了分类方法，确定出结果有两种形式。通过对这一例题的改造，同学们不但加深了这类题的解答思路，而且学会了关键条件在题目中的作用，同时也领会出分类讨论思想的应用，知道分类不是随意划分的，而是遵循一定的标准。
对待课后习题教师也要进行认真的思考，及时地去引导学生进行总结探究。例如在处理人教A版模块４第147页第６小题时，首先让同学们板演，评讲后，再观察思考回答以下３个问题：
（1）请你总结出本大题的四个小练习训练的目的是什么？
（2）观察“sinx” 及“cosx”前的系数与结果前的系数“A”有什么关系？（教师适时点拨，看一看两系数的平方和与A的关系。）
（3）比较这组训练题中“”及“”的系数比是多少？有什么规律？（这样一来学生明白了在公式倒用后，初相为什么是特殊角这一问题。）
此时同学们异常兴奋，抓住时机我又提出能否把化简为的形式 同学们通过思考商讨后，得出结论：
其中由来确定，用计算器算出角即可。在此基础上师生共同总结出的方法。这样，不但训练了课本基础知识，同时也使学生在快乐中突破了知识的难点，有种成就感，自豪感，增强了同学们学习数学的自信心，大大提高了学习效率。
课堂教学设计在教学中起着十分重要的作用，教师在教学之前进行教学设计时应以学生为重，以教促学，应学生动而动，应情境变而变，对课堂教学各种变化进行综合把握，充分发挥好自己的实践智慧，及时做出正确的判断，采取有效的措施。
总之，课改为教师发挥实践智慧提供了平台，实践智慧发挥的越好，课堂效率就越高，课改的效果也就越好，研究课标，充分利用好教材，是教师发挥好实践智慧的重要前提。做为一线教师必须以校本研究为载体，积极探索，大胆实践，使自己的聪明才智得到充分的展示，为推进新课改的实施而努力。
2006.10
PAGE
4浅谈普通高中课程标准实验教科书数学②
2.2.1直线与平面平行的判定的研究与教学
（751500） 盐池县师资培训中心 刘 祥
[内容提要]
本文阐述了在集体备课研究与做课的过程中，对教材的分析与研究，明确了课程目标与学习目标，确定了教学的重点难点及关键，制定了教学流程及教学设计；比较系统的总结了课堂教学过程中的10个教学活动和课后反思评价活动。通过“观察、思考、操作演示、尝试探究、归纳概括、应用反思、归纳小结、巩固练习”等活动，让学生经历“直观感知、操作确认、思辨论证、合情推理”的认识过程，转变学生的学习方式和教学方式，充分体现新课程数学理念。
[关 键 词] 直线 平面 平行 判定 分析 研究 教学 总结
我县于2004年秋在高一年级进行高中新课改。高中数学使用的是人教社 A版普通高中课程标准实验教科书数学必修系列和选修系列教材。各校都成立了高中数学备课组，每两周开展一次备课研究活动，有固定的活动地点（年级组数学活动室），有固定的活动时间（双周三下午4:30—6:00），有主持人（备课组组长），有中心发言人（年级数学教师轮流），有中心发言稿（教务处存档考核考评），有记录人（备课组长兼任记录，重点记录集体备课研究的重要内容，即课程目标、学习目标、教学的重点与难点，以及教学方法等，达成的共识，教学基本活动流程（图）和教学设计案例框架等）。坚持做到“六有”、“六落实”，取得了实效。现把人教社A版普通高中课程标准实验教科书数学2必修中2.2.1直线与平面平行的判定的备课研究与教学的情况总结如下：
1.备课研究及活动流程
1.1对教科书的整体认识。
本节课是人教A版必修课程数学2的内容，数学2包括四章内容，即第一章空间几何体（约8课时），第二章点、直线、平面之间的位置关系（约10课时），第三章直线与方程（约9课时），第四章圆与方程（约9课时），共约36个课时，这些内容是学习后续必修系列和选修系列的基本知识。
1.2 对“三个”转化的认识
特别是2 .2节和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开。依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定与性质。“平行和垂直”在定义和描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要作用。在第二章点、直线、平面之间位置关系中它集中体现在：空间中的平行关系之间的转化，空间中的垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。
在2 .2和2.3节的教学中，要求对有关直线与平面平行、垂直关系的性质定理进行逻辑论证；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修课程系列2中将用向量方法加以论证。
1.3对本节教科书的认识
本节教科书在内容的处理上，按照“直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算”的认识过程展开。先通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，然后再对直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质作出严密的逻辑论证。通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解空间的直线、平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
高中立休几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象力为主要目标。教科书根据“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求在内容安排和处理方式上，加强了引导学生通过自已的观察、操作等活动获得数学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。在空间直线、平面之间的平行、垂直关系的判定定理、性质定理的得出过程中，注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验、猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证。另外，教科书通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程。
1.4 2.2.1直线与平面平行的判定的分析（本节内容分析）
教科书首先说明了在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系。它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础。进一步说明可以利用直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行，但是用定义判定不方便，由此来引发探索判定定理的需要。
教科书通过引导学生观察门扇的对边互相平行，进一步得出门扇不论转动到什么位置，它能活动的竖直的一边始终平行于固定的竖直的边所在的墙面，以及通过“观察”，引导学生观察书的边缘与桌面的位置关系。在此基础上，教科书提出了两个思考问题和两个探究性的问题：
如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b a
①这两条直线共面吗？ b
②直线a与平面α相交吗？ α
通过上述“直观感知、操作确认”活动，教科书给出了直线与平面平行的判定定理，但没有给出判定定理的严格的逻辑证明（教学中不必对证明进行补充，学习了向量后有严格的逻辑证明）。
直线与平面平行的判定定理。是通过直线和平面内的一条直线平行来判定直线与平面平行。这个定理用数学符号来表示，就是：
aα，bα,且a∥b a∥α。
应用判定定理时，要注意3个条件必须齐备，缺一不可。判定直线与平面平行主要有以下3种方法：
①利用定义：证明直线与平面无公共点；
②利用直线与平面平行的判定定理，从直线与直线平行得到直线与平面平行。
③在学了平面与平面平行的性质后，还可以通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行。
实际上，平行问题以没有公共点为基本特征，抓住这一点，直线与直线平行，直线与平面平行和平面与平面平行问题就迎刃而解。
判定定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行。这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。
通过例1的教学，进而说明今后要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行（依据判定定理）。
1.5课程与学习目标
1.5.1课程目标
本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系，通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用空间几何的数学语言（文字、图形、符号）表述几何对象的位置关系,体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。
1.5.2学习目标
①直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系；抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
②以空间几何的上述公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出如下的一些判定定理和性质定理：
判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
垂直于同一个平面的两条直线平行。
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（对性质定理加以证明,判定定理将在选修系列2中用向量的方法加以严格的证明）。
③运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
1.6教学重点与难点
重点：通过直观感知、操作确认、归纳出判定定理，及其应用。
难点：判定定理的探究，合情推理的过程。
1.7教学基本流程（安排）
活动流程(图) 活动内容和目的
活动1.复习引入。 让学生拿出事先准备好的16K白纸1张和1枝铅笔，把白纸看作是一个平面，把铅笔看成是一条直线，让学生操作演示：直线与平面的三种位置关系。
活动2.观察教室门扇绕着一边转动的现象。 通过师生关门活动，让学生注意到门扇的两边是平行的。当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象。
活动3.观察翻动书的硬皮封面的现象。 让学生将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘（AB）所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？通过操作确认,具有平行的位置关系。
活动4.提出两个问题。 让学生拿出学具，操作演示问题1和问题2。分组演示分组讨论，得出结论，合作交流。问题1:如图，直线a与平面α平行吗？ aα问题2:如图，如果在平面α内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面α的位置关系如何 是否可以保证直线a与平面α平行 a b α
活动5.探究两个问题，得出结论（P56）。 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b。 a b α⑴这两条直线共面吗？⑵直线a与平面α相交吗？让学生拿出学具操作演示，探究两个问题，得出结论，合作交流，达成共识。通过探究，得出结论：⑴直线a与直线b共面；⑵直线a与平面α不可能相交, 直线a与平面α平行。
活动6.归纳概括直线与平面平行的判定定理。 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。它可以用符号表示：aα，bα,且a∥b a∥α。这3个条件缺一不可。
活动7.定理反思。 定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行。这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。
活动8.教与学例1（P56） 通过例1的教与学，初步应用直线与平面平行的判定定理来解决简单的问题，达到应用定理，巩固定理,掌握判定方法。今后要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。
活动9.课堂练习 通过课堂练习（P57），巩固、提高、发展，熟练掌握判定定理。
活动10.归纳小结 本节课我们学到了什么？让学生独立思考后，充分地展示自我才华，深化对判定定理的理解，达到会说会用的目的。通过课后作业，加深对判定定理的应用，达到复习巩固、提高、发展的目的。
2．课堂教学
在年级组数学集体备课研究的基础上，依据教学设计案例进行课堂教学，结合做课实录，现把2.2.1直线与平面平行的判定的教与学情况总结如下：
活动1.复习直线与平面的三种位置关系，引入课题。老师叫学生拿出事先准备好的1张16K白纸和一枝铅笔。我们把这张白纸看成为一个平面，把这枝铅笔看成是一条直线，可以吗？并让学生操作演示：
①直线在平面内 有无数个公共点；
②直线与平面相交 有且只有一个公共点；
③直线与平面平行 没有公共点。
通过演示说明可以利用直线与平面平行的定义来判断直线与平面平行。根据定义，判定直线与平面是否平行，只需要判定直线与平面有没有公共点。但是，直线无限伸长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？用定义来判断极不方便，由此来引发探索判定定理的需要。这就是本节课要学习的主要内容：直线与平面平行的判定，教师板书课题。这样教与学是在学生直观感知，操作确认的基础上，自然过渡，由此引发学生继续探索新知识的欲望和热情，为后续学习奠定基础，这是一个良好的开端，也是教学成功的一半。
活动2.关门活动。老师先让全班学生观察教室门扇、门框及门框所在的墙面，叫数学课代表做关门演示活动，具有一定的吸引力和影响力。同时让学生观察教室门扇绕着一边转动的现象，观察注意到门扇的两边是什么位置关系？学生齐声回答是“门扇的两边是平行的关系”。当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面是什么位置关系？让学生分组讨论得出结论是“另一边与门框所在的平面没有公共点，是平行关系”，此时课代表说“门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象”。这样通过学生的关门活动直观感知、操作确认、分组讨论合作学习，达成共识，“门扇不论转动到什么位置，它能活动的竖直的一边始终平行于固定的竖直边所在的墙平面。”
活动3.翻动书皮活动。老师让学生拿出数学2书，将数学2书平放在桌面上，翻动数学2书的硬皮封面，观察思考：封面边缘（AB）所在直线与桌面所在平面有什么样的位置关系？分组交流，合作学习，得出结论“书皮封面边缘（AB）所在直线与桌面所在平面具有平行的位置关系”。这样开展活动，学生亲自经历了操作（翻动），观察翻动书的现象，思考所提出的问题，交流所得出的结论，达到了合作学习的目的。经过这样的一个学习活动，给学生提供了动手操作的机会，经过直观感知、操作确认、得出结论这样的认识过程，进行“合情推理”。
活动4.思考两个问题。 a
问题1：如图，直线a与平面α平行吗？
问题2：如图，如果在平面α内有直线 α
b与直线a平行，那么直线a与平面α的位 a
置关系如何？是否可以保证直线a与平面α b
平行？ α
教师一边说，一边展示问题1和问题2，同时让学生们拿出学具，一张16k白纸和一枝铅笔，操作演示问题1，在问题1的基础上，再在白纸上画一直线b，操作演示问题2，然后再分组交流各自所得出的结论，合作学习，合情推理，深化认识过程。最后老师让一小组的代表把所得出的结论板书在黑板上：问题1的结论是直线a与平面α不一定平行。有两种情况：当有且只有一个公共点时，直线a与平面α相交；当没有公共点时，直线a与平面α平行。问题2的结论是直线a与平面α是平行关系。因为直线b在平面α内，a∥b没有公共点，也就是直线a与平面α没有公共点，即直线a与平面α平行。与各小组交流结论的合理性。通过各小组的交流活动，大家认可一个结论“平面α外一条直线a与此平面α内的一条直线b平行，则该直线a与此平面α平行。”（板书这个结论）。这样进行教与学活动，能提高、发展学生通过操作确认、合情推理的过程认识，激发学生的广阔想象力，开拓学生的思维，直线无限伸长，平面无限延展，发现结论是合情合理正确的（是成立的）。
活动5.探究两个问题。
如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b。 a
⑴这条直线共面吗？ b
⑵直线a与平面α相交吗？ α
让学生拿出已有的学具操作演示，探究上述的两个问题，合情推理，得出结论，并在小组内交流讨论，合作学习。各小组交流互动，达成共识，板书得出的结论：
⑴直线a与直线b共面；
⑵直线a与平面α不可能相交，直线a与平面α平行。
这样教与学，使学生经历了操作演示，尝试探究，合情推理的认识过程，得出了学生自已认可的结论，心服口服，无可非议，印象深刻，记忆在心。
活动6.归纳概括直线与平面平行的判定定理。在以上活动的基础上，老师提出一个问题，怎样判定直线与平面平行呢？让学生独立思考，举手回答问题，大约一分钟后，学生纷纷举手欲示回答，叫一名男生起来回答问题，并与前面得出的结论对比说明老师板书：平面α外一条直线a与此平面α内的一条直线b平行，则该直线a与此平面α平行。老师继续发问，与这个结论还有不同的结论吗？学生齐声回答没有。教师进一步说明，这个结论大家都认可，叫做定理，通常称为直线与平面平行的判定定理，它可以用符号表示：aα，bα,且a∥b a∥α。应用此定理时，要注意3个条件必须齐备，缺一不可。这样进行教学活动，为了进一步深化学生对“直观感知，操作确认，思辨论证，合情推理”的认识过程，得出判定定理。
活动7.反思判定定理，注意一个转化，空间问题转化为平面问题。让学生面对黑板看判定定理及其用符号表示，思考一个转化，分析定理，如何转化。定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。这样教学就是为了让学生进一步地熟悉判定定理（深刻认识判定定理），掌握判定定理的题设与结论，为今后应用判定定理解决一些实标问题作准备。
活动8.教学p56例1。出示例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。先让学生审题，弄清题设和结论，思考证明的方法。师生共同分析，寻找证题的方法。今后要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。（依据判定定理）。已知、（画图）、求证、证明等在此略。通过例1的教学，初步应用直线与平面平行的判定定理来解决简单的一些问题，达到应用定理 ，巩固定理，掌握判定方法的目的。
活动9.课堂练习（57页练习）。让学生翻开书56页，自读课文，从定理开始到57页练习，审清题意，独立完成练习1、2题，比一比，看谁做得又对又快。做完的请举左手，老师点名让学生板演填空答案、说明理由（证明过程），相同的请举手，不同的请举手，并说明各自的理由，教师及时掌握反馈信息，然后师生共同评判，矫正弥补，效果回授。这样，通过自读课文及课堂练习，培养学生看数学书的习惯和自学能力，使学生巩固、提高、发展所学的知识，熟练掌握直线与平面平行的判定定理及其应用。
活动10.归纳小结与课外作业。在评判、矫正练习后，师说，本节课我们学到了哪些知识？让学生独立思考后，充分地展示自我才华，深化学生对判定定理的认识，达到会说会用判定定理的目的；同学们可以在小组内交流一下，合作学习，谁来说一说呢？有一女同学回答是：“本节课我们主要是学习了直线与平面平行的判定定理及其用数学符号表示，以及应用判定定理解决了例1和练习1、2题中的问题。”另一男生回答是：“本节课我们通过关门、翻书、观察、思考、探究等活动，经过直观感知、操作确认、合情推理和思辨论证等认识过程，得出了直线与平面平行的判定定理，通过分析定理，掌握了数学的转化思想和方法，即空间问题转化为平面问题的思想和方法等”。她们说的好吗？谁还补充呢？全班同学异口同声，她们说的比较全面，也很好。老师作了肯定评价，她们说的好。本节课就学到这里，今天的作业是P64习题2.2A组3.4.5题，（下课）。通过课后作业，使学生达到复习巩固、提高、发展知识的目的。
在评课交流中，大家认为，本节课按照教科书编写内容序列组织进行了10个教学活动，让学生人人参与“观察、思考、操作、探究、归纳、概括、分析、应用、小结”教学活动，活动到位，思维活跃，反应面广，课堂活泼，回答问题都比较准确，认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的说理论证能力。并通过“直观感知、操作确认、思辨论证、合情推理”的认识过程，归纳概括得出直线与平面平行的判定定理，反思定理掌握数学转化思想，分析定理掌握数学转化思想和方法，应用定理解决问题，内化知识，提高发展。在整个活动中抓住关键，突出重点，解决疑难，达到了本节课的课程目标和学习目标的要求，成功的完成了本节课教与学的任务，是一节好课。
PAGE
15课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
郯城美澳学校 杨明
教学目标：
知识与技能:通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法:能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观:体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学方法
利用多媒体辅助教学手段，创设问题情景，实例引入现实生活中的二分法，通过例题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法。
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情境 1、游戏：假设“幸运52”现场，让学生猜某一商品价格2、实际问题：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，你能找一个简便易行的方法吗？一般至少需要检查接点的个数为几个？ 教师找两名学生猜价格。教师鼓励学生探究、交流，体会解决问题的思想和方法。教师引入现实生活中的二分法的定义，指出其适用范围。 从游戏引入能充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲。游戏和实例是为引入二分法的原理做准备，也说明二分法原理源于现实生活，并作用与现实生活。
新课导入 问题1：求下列方程的解问题2.能否解出上述方程的近似解？ 学生先在练习本上求解方程，发现问题，教师指出：简单方程可以通过变形或套公式解求精确解，大多数复杂方程不易求精确解，引出问题2的探究。 问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情
探究发现 例：求方程的近似解（误差不超过0.1）。分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．探究问题：问题3、如何选取函数零点大致所在的区间？问题4、如何进一步缩小零点所在的区间？问题5、分到何时才能满足精确度要求？问题6、能否给出二分法求方程近似解的一般步骤？注意： 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，通常可确定一个长度为1的区间； 建议列表样式如下：次数取a取b|a-b|12.5-0.0842.530.522.750.5122.52.750.2532.6250.2152.52.6250.12542.56250.0662.52.56250.063如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步． 教师引导，学生合作探究：1、解决问题3、4：师生共同选择初始区间，教师利用数轴演示二分法的过程。2、解决问题5：学生讨论精确度与区间长度的关系。3、解决问题6：学生归纳二分法解题的一般步骤，教师做最后总结及强调。4、教师给出规范解题格式，用表格演示用二分法逐次计算的结果。 以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解。学生在讨论、合作中解决问题。充分体会成功的愉悦。3、让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法。
练习巩固 1.(多项选择)下列函数的图象中,其中不能用二分法求其零点的是( ) 问题7:根据练习1，请思考利用二分法求方程近似解的条件是什么？2.利用计算器，求方程2x+3x-7=0的近似解 （精确到0.1）. 1、学生作练习1后，教师提出问题7，引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．2、学生作练习2：要求同位配合，一名同学负责作记录，另一名负责用计算器求值，尽快求解。3、教师利用“几何画板”引导学生讨论、评析形成结论． 1、鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习。2、让学生进行模仿练习，能及时的巩固所学知识与方法。3、利用几何画板的动态显示有利于学生直观观察，使学生更深入的理解二分法的实质。
归纳小结 1.二分法：这是一种求一元方程的近似解的常用方法。2.二分法求方程的近似解的步骤：体现了程序化的思想即算法思想。 1、教师引导学生总结一节课的学习体会，并进行课堂交流2、鼓励学生在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法。 让学生回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力。
布置作业 1. 课后练习2.市编《高中数学新学案数学1 》3.查阅资料了解求方程近似解的其他方法 学生做在作业本上和学案上。 1、让学生巩固所学内容，进一步提高对数学通性通法的学习与研究的认识。2、进一步体会算法思想
创设情境
探究发现
归纳小结
巩固练习
布置作业
新课导入
由猜数及实际问题引入现实生活中的二分法．
提出数学问题．
用二分法求方程近似解的思想、一般步骤和解题格式．
初步应用二分法解决简单问题．体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围
总结所学提高认识．
巩固所学内容，进一步提高能力．
D
C
B
A
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
是
否
否
是
结束
判断精确度
取新区间
中点函数值为零
求得中点
确定区间编号：570040
课堂教学案例
“正弦定理”的教学
------ 数学知识的发现学习
海南华侨中学： 黎必锋
[提示] 发现学习，指学生在学习情境中通过自己的探索、调查从而获得问题和形成观念的一种学习方式。发现包括让学生独立思考，改组材料，自行发现知识，发现事物的意义，掌握原理和原则。“正弦定理”的教学案例让我感受到，发现学习是极为生动活泼的学习。
片段一：正弦定理的推导、发现
教学情境：
[老师先利用多媒体投影直角三角形，引导学生观察，再提问引入]
老师：同学们，三角形是从小学开始我们就认识的图形，而直角三角形又是最简单的三角形，谁能说说直角三角形有哪些边角关系？（由于问题简单，同学们纷纷举手回答）
学生： , , 等
老师：同学们回答得很好，在关系式 与 中，它们有何联系？与会相等吗？
学生：相等，由变形可知 。
老师：因此，a、b两边与它们对角正弦值的比相等。该比值与相等吗？为什么？
学生：因为, 所以： 。
老师： 对于锐角三角形，关系式： 是否成立？要找出边与角的正弦之间的关系，就要把锐角三角形转化直角三角形，如何转化？
学生：作高AD。则 所以
同理可证： ，
所以在锐角三角形中也有：
。
老师：从上面的探究我们发现，在直角和锐角三角形中都有：各边和它所对角的正弦的比相等。而在钝角三角形有这样的结论吗？请同学们同桌之间相互讨论，共同探究，说明理由。
[让两位同学把自己的推理过程用展台展示，老师点评，共同归纳，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
即 ]
片段二：三角形解的个数的发现
教学情境：
[老师设计关于‘已知两边和一边对角解三角形’的三个问题，由同学们讨论分析，并让三位学生上黑板表演]
1. 在△ABC中，已知 a=4，b= ，A= 45 , 求 B 。
2．在△ABC中，已知 a＝4, b＝ ，A＝30°, 求 B.
3．在△ABC中，已知 a= 8，b= ，A= 45°， 求 B 。
学生一：由正弦定理得：
sinB= ==1 , ∴B= 90
学生二：∵ ∴sinB= = =
∴ B= 45
学生三：在△ABC中，
∴ sinB= == ， ∴ B= 30
教师问：哪位同学来评析，问题1的解题过程是否严谨？为什么？
学生答：不严谨，因为若B∈R ，满足 sinB=1的角有无穷多个，
因此必需说明：在△ABC中，B∈（0 ，180 ），B= 30 。
教师讲：这位同学说得很好。数学是清楚的，推理是严密的，不存在丝毫的含糊。我们再来看题二、题三的解题过程，它们是否也存在问题？哪两位同学上来评析，并改正。
学生甲：因为B∈（0 ，180 ），满足 sinB=的角有两个，所以
B=45 或 B=135 。
学生乙：因为B∈（0 ，180 ），满足 sinB = 的角有两个，所以
B=30 或 B=120 。
教师问：甲乙两位同学的评析是否有道理？谁还有补充，请举手。
[有的说对，有的说错，有的同桌交流讨论，有的举手…… ]
学生丙：我认为，在题三中，虽然B∈（0 ，180 ），满足 sinB = 的角有两个，但已知a >b,A=45 >B,因此 B=120 应舍去
则有 B=30 。
[老师当场表扬丙同学的思维严密，步步有理。]
学生丁：在题二中，答案B=45 或 B=135 没错，但为什么取两解而不是一解？要有充分的理由：a < b , A= 30 < B .否则思维不严密。
教师讲：（先肯定两位同学的补充）从上面三个问题的探究，你们发现什么问题？得否出什么结论？
学生： 已知两边和一边对角解三角形，三角形可能有一解，也可能有两解，解的情况要根据三角形中大边对大角，小边对小角的原则来判定。
………
[案例分析]
从新课程教学论的观点看：教学过程既是学生的认识过程，又是学生发展的过程。数学教师的主要任务就是为学生设计学习的情境，提供全面、清楚的有关信息，引导学生在教师创设的教学情境中，自己开动脑筋进行探究学习，发现和掌握数学知识。在学生思考问题时，不到有所领悟时，不告诉他答案，使学生的思考‘跳一跳，够得着’，使学生体验到学习的快乐。
本案例的教学特点是：第一、老师精心设计问题情境，循序渐进，有利于激发学生的学习兴趣。第二,从直角三角形引入探究正弦定理，顺应学生的思维,符合学生的认知规律，学生学得自然。第三，采用指导发现法，教师在关键时指导，学生探究、讨论、发现,形成数学理论.如要求学生从直角三角形到一般三角形推导正弦定理，从学生板演三个练习讨论发现三角形解的情况,充分体现了“学生是课堂的主体”这一课改理念; 体现了课堂教学不仅是传授知识的过程，而且更应该是师生共同建构知识的过程; 体现了课堂教学不是教师单独表演的过程，而是师生交流互动的过程。第四，本案例的教学,还体现了方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想方法在解题中的应用.
本案例主要采用指导发现法进行教学，发现学习的优点有：
（1）有利于激发学生的好奇心及探索未知事物的兴趣。
（2）通过练习解决问题，有助于学会发现探索的技巧与方法，有助于学生解决今后实际生活中的问题。
（3）有助于学生增进记忆能力，主动改进知识结构，因而提高有效检索信息的能力。
（4）有提高智慧的作用。发现学习有助于学生直觉思维、批判性思维、 创造性思维的发挥。新课标高中立体几何教学案例
空间中直线与平面垂直的定义及判定
广州大学附属中学 王 映
说明：
本教学案例使用的教材是人教A版普通高中数学课程标准实验教材必修2。
【教学设计】
1、 教材分析
（1） 教材内容的安排与要求：
与传统立体几何内容体系相比，本次立体几何内容的体系结构有重大改革。传统立体几何基本上按照从局部到整体的原则，从研究点、直线和平面开始，先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体的结构特征，几何体的体积、表面积等等。人教A版新课标实验教材先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，淡化几何论证，降低立体几何学习入门难的门槛，强调几何直觉，把培养学生的空间观念和空间想象能力放到突出的位置，以激发学生学习立体几何的兴趣。
“空间中直线和平面垂直的定义及判定”这一专题内容经修改后教学要求大大降低，特别是论证方面，删去了"利用有关概念进行论证和解决有关的问题"的要求；将"三垂线定理及其逆定理"由"掌握"级降为"了解"级要求，淡化了几何论证的要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探究。
（二）学情分析
笔者所带两个教学班差异明显，重点班学生学习习惯良好，基础相对扎实，但不善于大胆表述自己的观点，合作意识有待加强；另一普通班学生学习依赖性较强，自主探究意识薄弱。
同时，同一个班中的学生有近一半来自初中课改实验区，使用实验教材；而另一半则沿用原教材。学生的初中几何基础参差不齐，差异较大。其中非课改区学生的空间感以及了解的几何知识相对课改区有一定差距。
（三）教学目标
针对教材特点和学生现状，分别从知识、能力以及情感与态度三方面来确定本节课的教学目标如下：
1．知识目标：
（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理；
（2）会应用直线与平面垂直的定义及判定定理解决一些简单的问题。
2．能力目标：
（1）在合作探究中逐步构建知识结构；
（2）在实践操作中发展学生几何直观能力和空间想象能力。
3. 情感与态度目标：
(1) 通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；
(2) 鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。
（4） 教学重点与难点
1． 教学重点
会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。
2． 教学难点
在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。
二．教法分析
新课程标准把“自主探索、合作交流”作为本次课程改革积极倡导的学习方式之一。人教A版实验教材在内容处理上给教师提供了更多的创造新形式、新内容的空间，更注重教师对教材个性化的处理。本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：
1.高一学生刚开始学习立体几何，尤其是非课改实验区的初中毕业生，他们的空间概念比较薄弱。应充分利用“观察”、“思考”、“探究”等栏目，在原有教材内容的基础上重组整合教学内容，创设宽松的开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组谈论，自主探究，确保“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”四个层次认识过程的展开和实施。使学生在自主探索的学习中自己建构数学知识，发展学生的空间观念和几何直觉。
2.适当的多媒体课件演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。
三．学生课前准备：自由分组；准备三角板、正方体模型。
四．教学过程
教学实录(附教学录像)
教师：我们先来回顾一下，空间中直线和平面有哪几种位置关系？
学生1：两种。分别是平行、相交。
学生2：应该还有直线在平面内的情况！
教师：直线与平面这三种位置关系可以分类列表归纳如下：
教师：请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线l,天安门广场抽象成平面，我们可以直观地感受到直线l与平面具有怎样的位置关系？
学生：显然是垂直的！
教师：今天这节课我们就一起来学习这种直线与平面相交的特殊情况：直线与平面垂直的定义与判定。
教师：用教具直观演示：
我们知道两条异面直线可以通过适当平移成为相交直线，当这两条相交直线成90度时，我们就称这两条相交直线互相垂直。也就是说空间中两直线的垂直可分为相交垂直和异面垂直。
探究活动一：尝试探究中生疑
教师把课本中的知识点转化为具有探索性的问题，通过学生合作探究，以动促学。
一．引出定义：
教师：我们来做一个实验：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎样的位置关系？
学生会很快回答是垂直的关系！
教师继续提问：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？
学生的兴趣被调动起来，通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，学生得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！
教师：所以，我们可以借助线线垂直来定义线面垂直！以此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。
二．强化定义
教师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？
学生：充分利用桌面和笔不断进行尝试与探索。在这一过程中，学生主动参与、乐于探究，对线面垂直的定义有了深层次的理解。
学生1：我可以举出反例说明。如一条直线与平面斜交。可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。
（教师及时通过多媒体同步展示学生所举出的反例，增强直观感知）
教师：很好！该同学抓住了这句话的关键字：无数！“无数”其实只是对平面内直线的数目予以要求，却并未强调平面内直线的任意方向。回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任何”！
教师乘胜追击，把探究一作为问题的生长点，进一步激发学生的学习兴趣。学生在作探究一的同时意识到，由于平面内直线的任意性，给证明和判断空间中的线面垂直带来不便。于是学生在合作探究中又生一问在平面内找到多少条直线与已知直线垂直就足以判定直线与平面垂直呢？
探究活动二：分组讨论中释疑
让学生分组实验，大胆讨论猜想，以思促学。
学生：继续分组讨论。借助桌面、笔、直角三角板等工具进行探究实验。
有部分学生很快说出只需要在平面内找两条直线与已知直线垂直就可以了。
教师继续追问：是平面内的任意两条吗？
学生2：必须是平面内两条相交直线！
教师用两直角三角板直观演示，得出对平面内两相交直线并没有具体角度的限制，并发现：线不在多，相交就行！
至此得到一个判定空间中直线与平面垂直的重要判定定理：当平面内两条相交直线都与
直线l垂直时，就可以判断l与平面垂直了！
通过教师创设问题情境，学生分组合作、讨论、交流，发现并容易接受空间中线面垂直的判定定理。正如著名数学家弗赖登塔尔所说的：将数学理论家们业已证明并形式化了的“冰冷的美丽”还原为“火热的思考”！
深化定理，加强训练学生对图形语言、文字语言、符号语言的相互转化能力。
教师：多媒体显示定理的文字语言和图形语言，请学生写出符号语言。
教师：大家觉得是否准确？
教师：多媒体显示图形语言和符号语言，请用文字语言准确描述定理。展示线面垂直的几种常见直观图的画法。
探究活动三：
教师：线面垂直可以借助线线垂直予以证明，也体现了转化的思想。你能举出一些实际生活中的例子是借助判定定理得出线面垂直的吗？
学生：分组讨论。
学生5：比如我们所在的课室。右前方有一条竖直的墙角线，它与前方地面一条地脚线垂直，同时与我右边地脚线也垂直，而且地面这两条地脚线是相交直线！我们由判定定理得竖直的墙角线与地面垂直！
教师引入教材72页探究问题，鼓励学生借助线面垂直的定义及判定予以说明。
探究活动四：实验操作中新疑；
教师充分利用不确定情境激发学生创造性的探究，以创促学。
通过学生自己动手实际操作，结合几何画板制作动态演示课件，让学生视觉、听觉协
同参与，感知。
教师：在我们接触较多的正方体模型中你能找到线面垂直的位置关系吗？
学生们快速地通过每个小组自己带来的模型得出结论：每条侧棱垂直于上下底面，水平
的棱垂直于左右侧面。
教师：如果加上正方体的各条面对角线和体对角线后，你能否找到更多的线与面的垂直关系？（源于P74例2与P87B组习题2，进一步整合延展）
学生分组借助自制正方体模型讨论探究。
此时，教师放手让学生去想去议，调动学生思维的积极性和学习交流。当学生经过思考、讨论后，真正实现由感性认识向理性认识的过渡，达到巩
固所学知识的目的，激发学生的理性思维，引导学生由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡。鼓励学生大胆猜想、小心验证，把结论写在画有正
方体的练习纸上互相交流。让学生代表展示探究结果：
学生6：我们组发现正方体的面对角线BD与平面垂直.
教师：你能否证明你的结论？
教师：在学生表述证明过程的同时规范板书证明格式。
小结：要证明线面垂直只需在面内找到两条相交直线，
证明它们与已知直线均垂直。强调这是一个通过线线垂直转化证明线面垂直的方法。
学生7：我们组觉得线与平面好象是垂直的！
教师：这组同学猜想正方体的体对角线与三条面对角线组成的平面垂直。你们能结合线
面垂直的定义和判定定理帮助他们予以证明吗？
学生的探知欲望再次被激发，开始了又一轮热烈的讨论。
学生8：
好象学生6得出的结论
对我们证明学生7的猜想有所帮助！
教师：非常好！请结合图象观察，你认为平面内哪一条直线既与BD相交又与 垂直？
学生9：当我们把正方体的右侧面放在桌面当成底面，则得到与学生8已经证出的那对线线垂直完全一样！
教师：说得好！同理可证！
由于探究四是一个开放性的问题，充分创设机会诱发学生的学习动机。从广度上看，学生因没有固定答案限制而敢于作大胆猜想，对于不同层次的学生均有机会参与讨论探索。教师及时将学生分组讨论验证的结论展示给全体学生，并鼓励学生大胆交流，表述理论根据，展现自我。在这一环节中，学生充分体验通过自主探索，分组合作讨论得出结论的成功与满足感，进一步增强学生学习数学的自信，对激发学生的创新意识有极大的推动作用。当有学生在通过实验猜想体对角线与三条面对角线构成的对角面垂直时，教师引导其如何利用判定定理规范证明。在整个教学过程中教师必须时刻注意与学生的互动，追随学生的思维，不断调整。这也对教师的教学基本功、应变能力、数学修养等各方面提出更高要求。由于采取猜想——证明——表达与交流的学习模式，教师充当着合作者与促进者，与学生更为贴近，课堂气氛活跃。
探究活动五：
教师：若将正方体保留某些棱与顶点得三棱锥，请说出有几个面是直角三角形？
学生：三个！
教师：第四个面是怎样的三角形？
学生：等边三角形。
教师：若有一个三棱锥中
三个直角三角形面共直角顶点，
则第四个面是否可能是直角三角形？
学生分组讨论发现：由于第四个三角形的三条边不可能构
成勾股数，即不存在以上情况。
教师：请课后思考是否存在四个面均为直角三角形的三棱锥呢？
这正是教材上P77练习的变式！使学生再次对线面垂直定义与判定定理有了深层次理解，做到把本章重要知识点反复强调但不机械重复。在教师设计的一系列探究活动中，学生创新的思想火花不断迸发，知识结构也在学生主动探究中逐步构建。
教师小结：
本节课学习了空间中直线与平面垂直的定义和判定定理。其中，借助线线垂直来定义线
面垂直；要证明线面垂直可以借助定义和判定定理转化为证明线线垂直。在证明与判
定过程中需要灵活运用转化思想，大胆猜想，小心验证。
后记：
新的教学理念告诉我们：教材是学生从事数学学习的基本素材，它为学生的数学学习活动提供了基本的线索、基本内容和主要的数学活动机会，但它不是唯一的课程资源。教师只有创造性地使用教材，做课程的开发者、学习的促进者、教学的研究者、反思的实践者，才能把教学过程变为课程内容持续生成与转化的过程；才有助于教师不断提升专业素养；才能创造性地实施新课程，进行有效教学。
五．设计说明
《普通高中数学课程标准》下的人教A版实验教材以思维为主题，注重知识概念形成的铺垫，强化应用，给教师提供更大空间对教学内容进行重新整合。本教学设计力求做到源于教材、高于教材。
主要有以下几个特点：
1.尝试探索中生疑；
教师把课本中知识点转化为具探索性的问题，通过学生合作探究，以动促学。
如引入空间中直线与平面垂直的定义时，创设探究情境和条件让学生迅速进入角色。
问题探究1：
能否用线线垂直来定义线面垂直？
问题探究2：
直线l与平面α内无数条直线垂直，可以说直线l与平面α垂直吗？
问题探究3：
（1）在平面α内找一条直线与这条直线l垂直就可以判断出l⊥α吗？
（2）在平面α内找两条直线与这条直线l垂直就可以判断出l⊥α吗？
2．分组讨论中释疑；
让学生分组实验，大胆讨论猜想，以思促学。
《新课程标准》中反复强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。在教师创设促进学生学习的动态环境过程中，最突出的特征是问题的开放性与启发性。于是我以正方体为载体，设计了一系列开放式探究问题，最大程度激发学生最近思维发展区，引导学生看实物模型，其目的是提高学生的空间想象能力，加深对所学知识的理解和记忆。借助现代信息技术工具，看表现空间点、直线与平面位置关系的各种图形，获得丰富的感性材料。在引导学生观察模型时，启发
学生学会有目的地、有序地、全面地观察模型体现的直线与平面之间的垂直关系。
问题探究4：（分小组借助实物模型共同合作探究）
一个正方体的六个面与对角面、所有棱、面对角线、体对角线中，有哪些线面垂直关系？请找出并予以证明。
在人教A版教材中，线面垂直的判定给了两道例题，难度跨越较大，教师可结合学生的实际水平，对内容进行整合改编，实现对学生认知能力更深层次的挖掘！教师应避免过于注重书本知识现状，对教学内容产生依赖。
应由旧课程体制下的“依纲靠本”教科书忠实的执行者转变为课程创造性的执行者。
3.实验操作中新疑；
通过学生自己动手实际操作，结合几何画板制作动态演示课件，让学生视觉、听觉协同参与，感知，教师充分利用不确定情境激发学生创造性的探究，以创促学，引出探究5：是否存在四个面均为直角三角形的三棱锥？
着眼于促使学生独立思考和自主探索，给学生自主探索的机会，让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题；给学生比较充分的思考的空间和时间，在借助图形直观进行合情推理的过程中，增强学生探究的好奇心，加深对数学的理解，培养学生乐于钻研、勤于思考的习惯，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学
的价值.
六 教后反思
新课程改革要求教师成为一个“研究者”，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，不断对自己的教学过程进行反思。
1.满意的地方：在整个教学过程中，能不断激发学生探索新知的欲望，较充分体现了课程标准所提出的培养学生探究性学习和再创造的思维能力的要求。通过一系列探究活动多维度构建便于学生“自主参与、自主探究”的实践活动；多形式提供利于学生“展示自我、发展自我”的教学平台，力争使不同层次学生学有所获。
2.教学中的不足：在课堂组织与指导过程中，平行班由于有一系列过渡性问题，学生实施探究与证明的过程开展较为顺利；作为重点班，由于开放性问题难度较大，教师又担心课堂时间不足，导致在最后一个探究问题5上学生无法消化，未达到预期效果。应给学生更充裕的讨论与思考空间。由于课堂时间有限，可以鼓励小组课前带着问题预习并合作探究。使学生在课堂上能更充分发表自己合作讨论的结果，加强组间互助与沟通。必要时最后的探究问题可大胆删减，留作课后思考。
3.对实验教材的反思：
1． 在教学内容安排上：
“空间中线面垂直的定义和判定定理”是推导“面面垂直关系”和“线面垂直的性质”的基础，课本配置的两道例题难度跨越较大。鉴于新教材提倡教师不要拘泥于教材，应鼓励学生在实际操作中学习与认知的观念，教师可以结合多种版本的新课标实验教材，对其例、习题加以重新整合，合理设计探究问题，引导学生逐步掌握这一专题内容。
2.在知识点处理上：
对于立体几何初学者来说，应从一开始就应有意识地训练学生三种数学语言的规范表达。
正方体中的线面垂直关系具有一定的典型与代表性，是学生较为熟悉的模型，可以充分利用，帮助学生建立良好的空间感。
在新课程标准下的高中数学教材中，尤其在文科的选修教材里，甚至不出现空间向量的知识，这对于空间感原本就相对薄弱的文科学生来说，如何使立体几何的证明变得容易理解与掌握是一个值得思考的问题。
B
D
C
D
C
B
A
D
C
B
A
PAGE
8新课程课堂教学与创新思维的建构 编号：570000 网络备课方案
新课程课堂教学与创新思维的建构
网络备课方案
海南省教育培训院 罗才忠
绪论
新课程网络备课必须以《课程标准》为准绳，合理的编辑、组织、选择教材中有价值的内容，灵活地选择教学素材与学生共同探索。
教师要拥有多种文本的教材。这些教材各有特色，教师可以对照、比较、分析它们的特色，研究《课程标准》的要求，去粗取精，设计教案。
教案是教师的作品、专利。每个人有自己教案的特色，它有较强的针对性。一个教案多个班级上课用是传统的教案模式。每个班级要依特色修正教案。
教案是教学的思路，是教学的提示，但不是教学程序，更不是教学全过程。
教案要有弹性，在学生活动中有计划地调整教案。教案要服从教学活动，服从于教学的发展，服从于学生的思维与认知心理。
教案不是演戏的脚本，无须背诵台词。教学不是呆板地履行教案，而是在实施教案中发现与实际不符合之处，及时地调整与改进教案。
打破传统的单课时备课方法，选择章节总体设计，章节备课方案。教案的长度不能超过二课时，要研究二课时连上的可行性，逐步试行两课时连上。
欲研究新课程网络章节备课方案，必须遵循以下三大原则：
1、 校内资源共建原则
同一学校的年级备课组采取集体备课，资源共建原则。
同一个模块进行章节分工，每一章的每一节由一个教师执笔设计教案，集体参与讨论，集中集体智慧，修改定稿存档且备份，形成校本特色教案。这些教案的专利是执笔教师的，备课任务算集体完成的。这样可以减轻教师备课负担，提高集体备课质量，让广大的教师有更多的时间研究新课程课堂教学。
初、中级教师在高级教师的指导下每学期上传不少于一篇教案和五篇教学反思(或教学案例)到海南省教育研究培训院的网站http://res./hi/的中学数学课题研究栏目中 ( http: / / res. / hi / 的中学数学课题研究栏目中 )（市县教研室检查督促，学校考查核实），同时发电子邮件至：czluo@ ( mailto:czluo@ )，供海南省教育研究培训院每学期进行案例和论文（教学反思算作论文）评比用。评比网上比重占30%，看点击率和教师的评论；网下评比比重占70%，算评委的平均分。
优秀案例和论文每年集结出版，解决教师评职称论文发表问题。
二、省内资源共享原则
各校可以从海南省教育研究培训院的网站上下载教案进行加工处理。对下载的教案修改运用算完成备课任务。
样本实验学校要提前一个月将教案上传，教案也可以由全省教师自由提供。教案上传文件名格式 ****（学校名四个字）***（作者名）*********（教案名）。用wrd文档发电子邮件至：Czluo@供评比用。
每学期第15周进行新课程先进教研组、优秀教案网络评比。评比办法同上。
三、模块备课参照原则
1、章节总体设计原则
备课教师要根据《课程标准》解释“课标要求”，理解教材的“编写意图与特色”，作出“教学内容及课时安排建议”对比旧大纲与新课标作出“评价建议”
严禁超标评价。
2、教案设计基本模式
（1）教学目标：
(a)知识与技能
(b)过程与方法
(c)情态与价值
（2）教学重、难点
（3）学法与教学用具
（4）、教学设想
（5）、评价设计
附件一：章节总体设计参考样本
附件二：三维目标和教学设想的基本要求
附件三：教案设计参考范例
附件四：网络章（节）教案评比资格与评价指标
附件一：章节总体设计参考样本
数学1 第一章（节） 集合
一、课标要求
本章（节）是将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性；帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力．
了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．掌握某些数集的专用符号．
1．理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
3．能在具体情境中，了解全集与空集的含义．
4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养学生从具体到抽象的思维能力．
5．理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
6．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
二、编写意图与特色
1．高中课程不涉及集合论理论，但是作为近现代数学语言重要组成部分的集合语言，可以简洁、准确地表述数学对象和结构．在高中数学课程里，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．集合是一个不加定义的概念，教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算．
2．在教材编写中尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，使学生掌握集合语言．并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念．教材中无论是在概念的引入，还是集合语言的运用方面都充分体现了直观的思想，借助直观帮助学生理解和运用抽象的集合语言．
3．教材在例题、习题的编排上注重让学生重点掌握集合的基本概念，理解数学中出现的集合语言，并能使用集合语言表述数学问题，运用集合的观点，研究、处理数学问题．
4．本章按以下三节进行：第一节，集合的含义与表示；第二节，集合间的基本关系；第三节，集合的基本运算．本章在知识安排上以及节的名称上都与以往的处理有很大的区别．节的名称及相应内容的安排则显现出知识处理的条理性．例如，第二节集合间的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在这一节，并给出子集的概念，第三节集合的基本运算，是将集合的交、并、补运算放在这一节，并给出全集的概念，这样给学生展现出知识间的联系，便于学生学习．每节内容都从学生比较熟悉的实例入手，帮助学生理解抽象的概念，并恰当运用Venn图和数轴表示集合间的关系及集合的基本运算，从直观上帮助学生理解并运用集合语言处理问题，体现数形结合的思想．
5．在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用．本章的重点是让学生体会到集合是一种语言，使用集合语言能简洁、准确地表达一类事物．
三、教学内容及课时安排建议
本章（节）教学时间约4课时．
§1 集合的含义与表示 （约1课时）
§2 集合间的基本关系 （约1课时）
§3 集合的基本运算 （约2课时）
四、评价建议
1．重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章（节）及今后学习中，能否正确理解以及恰当运用集合语言。包括：正确掌握有关的术语和符号；使用集合语言表述数学问题；运用集合的观点研究、处理数学问题；针对不同的具体问题时，是否恰当地选择自然语言、图形语言、集合语言进行描述。
附件二：三维目标和教学设想的基本要求
一、三维目标的要求
1.知识与技能要求
知识与技能是指《课程标准》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理掌握及其运用。
对知识与技能的要求由低到高分为三个层次，依次是知道/了解/模仿、理解/独立操作、掌握/运用/迁移，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。
（1）知道/了解/模仿：要求对所列知识的含义有初步的体会，知道这一知识与技能内容是什么，并能在有关的问题中加以识别、初步理解与应用。
（2）理解/独立操作：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、表述、归纳、总结知识与技能；并能进行比较与判断，利用知识与技能解决有关数学问题。
（3）掌握/运用/迁移：要求系统地掌握知识与技能的内在联系，研究与分析问题的表象，选择解决问题的决策与方法。能运用知识与技能分析和解决较为复杂的或综合性的问题。
2．过程与方法要求
过程与方法是指《课程标准》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理发生发展的过程以及其中的数学思想和方法。
（1）经历/模仿：要求能够观察、体验数学素材，查阅、收集数学信息，借助、模仿他人成功的经验，尝试新的解题思路。
（2）发现/探索：要求能够梳理、整理知识脉络，研究、探索数学本质，寻求、设计解决问题的思想方法。
3．情感、态度与价值观要求
情感、态度与价值观要年求是指《课程标准》所倡导的对数学学习的反应与认同，对数学知识的领悟与内化。即有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
（1）反应/认同：具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。 （2）领悟/内化：获得、树立实事求是的科学态度，形成、增强战胜困难的信心，养成、发挥锲而不舍的精神，提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
二、教学设想的要求
新课程课堂教学不仅仅是提倡有良好的开头“创设情景 揭示课题”和精彩的结尾“承上启下 留下悬念”，更重要的是要设置“探讨论证”、“反馈矫正”环节，要求“学法指导，探讨新知”、“推理论证，发展思维”和“质疑答辩，排难解惑”、“互问互检 巩固深化”来更好地发挥学生的“主体”作用。
附件三：教案设计参考范例
§1.1.1 集合的含义与表示
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
（2）知道常用数集及其专用记号；
（3）了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；
（4）会用集合语言表示有关数学对象；
（5）培养学生抽象概括的能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义。
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情态与价值
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：集合的含义与表示方法。
难点：表示法的恰当选择。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪。
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1、 教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？
引导学生回忆、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。
1、 接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一堂课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
（1）1~20以内的所有质数；
（2）我国古代的四大发明；
（3）所有的安理会常任理事国；
（4）所有的正方形；
（5）海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
（6）到一个角的两边距离相等的所有的点；
（7）方程的所有实数根；
（8）不等式的所有解；
（9）国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体。
2、教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么？
3、每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义。
一般地，指定的某些对象的全体称为集合（简称为集）。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。
4、教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母表示。
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
1、 教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点？并注意个别辅导，解答学生疑难。使学生明确集合元素的三大特性，即：确定性、互异性和无序性。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等。
1、 组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）大于3小于11的偶数；
（2）我国的小河流。
让学生充分发表自己的建解。
3、让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由。教师对学生的学习活动给予及时的评价
4、教师提出问题，让学生思考：
（1）如果用A表示高一（3）班全体学生组成的集合，用表示高一（3）班的一位同学，是高一（4）班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系？由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于。
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作A。
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作A。
（2）如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国、日本与集合A的关系分别是什么？请用数学符号分别表示。
（3）让学生完成教材第6页练习第1题。
5、教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号。
并让学生完成习题1.1A组第1题。
6、教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考、讨论下列问题：
（1）要表示一个集合共有几种方式？
（2）试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点？适用的对象是什么？
（3）如何根据问题选择适当的集合表示法？
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
（四）巩固深化，反馈矫正
教师投影练习：
（1）用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；
（2）用例举法表示集合
（3）试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题。
（五）归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1、本节课我们学习过哪些知识内容？
2、你认为学习集合有什么意义？
3、选择集合的表示法时应注意些什么？
（六）承上启下，留下悬念
1、 课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题。
1、 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材。
§1.1.2 集合间的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
（2）理解子集、真子集的概念。
（3）能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2、过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
3、情感、态度与价值观
（1）树立数形结合的思想。
（2）体会类比对发现新结论的作用。
二、教学重点、难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念。
难点：难点是属于关系与包含关系的区别.
三、学法与教学用具
1、学法：让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,发现集合间的基本关系。
2、教学用具：投影仪。
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生：欲知谁正确，让我们一起来观察、研探。
（二）研探新知
投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）；
（2）设A为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
（3）设，；
（4）E={2，4，6}，F={6，4，2}。
组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：
①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集。
记作：（或。
读作：A含于B（或B包含A）。
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。
教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图。
图1 图2
投影问题3：与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b。”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
教师引导学生通过类比，思考得出结论：若，且，则A=B。
问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn图表示。
学生主动发言，教师给予评价。
（三）学生自主学习，阅读理解
然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例问题：
（1）集合A是集合B的真子集的含义是什么？什么叫空集？
（2）集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？
（3）0，{0}与三者之间有什么关系？
（4）包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释。
（5）空集是任何集合的子集吗？空集是任何集合的真子集吗？
（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即AA？
（7）对于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系？
教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法。
（四）巩固深化，发展思维
1、学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
例1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合，则下列包含关系哪些成立？
AB，BA，AC，CA
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2 写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
2、学生做教材第8页的练习第1~3题，教师及时检查反馈。强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集。
（五）归纳整理，整体认识
1、请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些。
2、在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（六）布置作业
第13页习题1.1A组第5题。
§1.1.3 集合的基本运算
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集。
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
（3）能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2、过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算。
3、情感、态度与价值观
（1）进一步树立数形结合的思想。
（2）进一步体会类比的作用。
（3）感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确。
二、教学重点、难点
重点：交集与并集，全集与补集的概念。
难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。.
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助Venn图，通过观察、类比、思考、交流和讨论等,理解集合的基本运算。
2、教学用具：投影仪。
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
问题1：我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
（2）A=是有理数}，B=是无理数}，C=是实数}
引导学生通过观察，类比、思考和交流，得出结论。教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
记作：AB。
读作：A并B。
其含义用符号表示为：
AB =
用Venn图表示如下：
请同学们用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系。
练习、检查和反馈
（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AB。
（2）设集合A=，集合B=求AB。
让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调：
（1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
（2）对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题。
2、交集
（1） 思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？
①A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
②A=是国兴中学2004年9月在校的女同学}，B=是国兴中学2004年9月入学的高一年级同学}，C=是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}。
教师组织学生思考、讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义：
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。
记作：AB。
读作：A交B
其含义用符号表示为：
。
接着教师要求学生用Venn图表示交集运算：
A AB B
（2）练习、检查和反馈
①设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示、的位置关系。
②学校里开运动会，设A=是参加一百米跑的同学}，B=是参加二百米跑的同学}，C=是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算AB与的含义。
学生独立练习，教师检查，作个别指导。并对学生中存在的问题进行反馈和纠正。
（三）学生自主学习，阅读理解
1、教师引导学生阅读教材第11~12页中有关补集的内容，并思考回答下例问题：
（1）什么叫全集？
（2）补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用Venn图又表示？
（3）已知集合A=，求。
（4）设是至少有一组对边平行的四边形}，A=是平行四边形}，B=是菱形}，C=是矩形}，求，。
在学生阅读、思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考完后，请学生回答上述问题，并及时给予评价。
（四）归纳整理，整体认识
1、通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？
2、并集、交集和补集这三种集合运算有什么区别？
（五）作业
1、课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2、请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义。
3、书面作业：教材第14页习题1.1A组第7题和B组第4题。
附件四：网络章（节）教案评比资格与评价指标
网络章（节）教案评比资格：
用Word五宋书写成电子文档提前30天发电子邮件至：Czluo@ ( mailto:Czluo@ )，经过审查符合《方案》要求者。
网络章（节）教案评价指标：
评价指标 比重 得分
1．解释课标要求 5%
2．理解编者意图 5%
3．课时安排建议 5%
4．三维目标合理 5%
5．学法学具运用 10%
6．教学设想合理 50%
7．训练层次分明 10%
8．评价设计扣标 10%
总分
A
B
A（B）
B
A
1编号：570033
对回归分析的认识、体会和思考
海口市第一中学 潘峰
一、教材分析
1．内容编排
散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分内容在《数学3（必修）》中已经出现过。在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。
2．学习价值：
⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；
⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。
3．教材处理的优点：
⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；
⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助）
⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；
⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。
4．重点和难点
重点：了解线性回归模型与函数模型的差异；了解判断刻画模型拟合效果的方法—相关指数和残差分析。
难点：解释残差变量的含义；了解偏差平方和分解的思想。
5．目标定位：
⑴．了解随机误差、残差、残差分析等概念；明确掌握相关关系，回归方程，散点图等定义；
⑵．了解回归分析的基本思想，会求回归直线方程，并会用回归直线方程进行预报；
⑶．掌握建立回归模型的一般步骤；
⑷．会用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果；
⑸．了解相关系数、会用相关系数判断相关关系的强弱；
5．方法指引：
⑴．对于回归分析只通过案例了解方法即可，不论是线性回归方程或者非线性回归方程，都只是模拟而已，是不确定中的确定性；
⑵．了解最小乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的差别与联系；
⑶．会用书中介绍的方法搜集资料、分析资料，感兴趣的同学可从互联网上查询相关资料。
二、 教材中的要点精析：
1． 相关关系：自然界中，大量存在着一些变量，它们之间相互联系、相互依存，关系密切。大致分为两类：一类是函数关系，又叫确定性关系；一类是相关关系，又叫不确定性关系、统计相关关系。
2． 回归分析：是对具有相关关系的两变量进行统计分析的一种常用方法。通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。
3． 回归函数，也叫回归方程。形如的散点图的各个点大致分布在一条直线附近，这种分析就叫线性回归分析，直线方程叫做回归直线方程。不是形如的回归方程，我们称之为非线性回归方程，具体选择何种类型，由经验判断，再分析残差是否异常，确定选择的好与坏。
回归直线：对于一组线性相关关系的数据 ，其回归直线方程的斜率和截距的最小乘法估计公式分别为：
（1） （2）
其中 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。
线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型中的的值是由和随机因素共同确定的，即只能解释部分的变化，因此把称为解释变量，把称为预报变量，其中为模型的未知参数，是与之间的误差。通常为随机变量，称为随机误差，它的均值。线性回归模型的完整表达式为： ，其中随机误差的方差 越小，通过回归直线预报真实值的精确度越高。随机误差是引起预报值与真实值之间误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。再者由于公式（1）、（2）中的分别为截距和斜率的估计值，与真实值之间也有误差，这也是引起预报值与真实值之间误差的另一个原因。
4． 残差分析
因为随机误差是随机变量，因此可以通过这个变量的数字特征来刻画它的一些总体特征。均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小。为了衡量预报的精度，需要估计的值，通过样本方差来估计总体方差。解决问题的途径是通过样本的估计值来估计的值。
根据截距和斜率的估计公式（1）、（2），可以建立回归方程，其中是的估计量，是的估计量。对于样本点而言，相应于它们的随机误差为 ，其估计值为， 称为相应于数据点的残差。类比样本方差估计总体方差的思想，可用作为的估计量，其中是由公式（1）、（2）给出的，成为残差平方和。可以用残差平方和衡量回归方程的预报精度。通常残差平方和越小，预报精度越高。
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据。然后，可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计等，这样作出的图形称为残差图。
5．散点图
表示相关关系的两个变量的一组数据，作为点的坐标，在直角坐标系中描出来得到的图形叫散点图。散点图使相关关系具有直观性。
6．回归分析的解题规律：
a) 在解具体问题过程中，通常是先进行相关检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系时，再求其线性回归方程；
b) 相关性检验有几种方法，教材用的是相关系数和相关指数，两者在教材中具有平方关系（在只有一个解释变量的线性模型中恰好等于相关系数的平方）。当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关。当越接近于1，表示相关程度越好，表明两个变量的线性相关性越强，越接近于0，表示相关程度越差，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；同样 取值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟和效果越好，回归方程的预报精度越高。在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近1，表示回归的效果越好。
c) 相关程度的强弱，除相关系数的大小之外，与选取的数据个数多少有关，还有一个问题是显著性临界值的选取，教材中点到即止，没有往下交待；
d) 回归分析计算量大，现在一般用计算机解决，学习中只要求明白原理即可；
e) 教材中直接选取对数变换是选取比较简单的函数演示而已，还可以做其他函数模拟；
f) 回归分析中，通常先观察散点图，若分布在一条直线附近，经验证线性相关，则选一次函数，否则选取其他函数模拟；
g) 判断两个变量的相关程度通常有：其一相关系数 ，相关系数的绝对值越接近于1，相关程度越高；相关指数，与类似，的值越大残差平方和越小，拟合越精确。
h) 判断模拟精确的尺度为：（或残差平方和）的大小。
7．建立回归模型的一般的基本步骤：
① 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
② 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；
③ 由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈现性关系，则选用线性回归方程）；
④ 按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
⑤ 得出的结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
[典型例题]
例1．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下
45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72
（血球体积，ｍｍ），（红血球数，百万）
(1) 画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 （3）若血球体积为49ｍｍ，预测红血球数大约是多少？
解：（１）见下图（要学会运用计算机技术辅助我们数学学习，加强直观上的效果，这里要求学生会运用简单的excel作出散点图，并直接通过计算机拟合出回归直线，具体步骤见本文最后的附录）。
设回归直线为，
利用公式（1）、（2）计算得
所以所求回归直线的方程为 ，图形如下:
（3）由（2）中求出的回归直线方程，把代入，得（百万），计算结果表明，当血球体积为49mm时，红血球数大约为7.9617百万。
[实战演练]1.某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：
时间 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
深度 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
（1）试求腐蚀深度对时间的回归直线方程；（2）预测腐蚀时间为80 s时产品腐蚀的深度大约是多少？
解：（1）经计算可得
故所求的回归直线方程为
（2）由（1）求出的回归直线方程，把代入，易得，计算结果表明，当腐蚀80 s时产品腐蚀深度大约为
8．非线性回归：
在散点图中样本点并没有分布在某个带壮区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系。当回归方程不是形如时，称之为非线性回归方程。 在一般情况下，比较两个模型的残差比较困难，原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反。这是可以通过比较两个模型的残差平方和的大小来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。
两个模型拟合效果的比较步骤：
对于给定的样本点 ，两个含有未知参数的模型 和
其中是未知参数。
可按如下步骤来比较它们的拟合效果：
①分别建立对应与两个模型的回归方程与，其中这里的为已知的；
②可以分别计算两个回归方程的残差与，比较两个模型的残差的绝对值，绝对值小的拟合的效果好；也可以分别计算两个回归方程的残差平方和 和，残差平方和小的模型拟合的效果好；
三、结束语
在统计中，回归分析是应用很广的。在中学，要讨论回归方程的‘求法’，这部分内容属于统计中对回归系数的‘估计’；另一部分是，判断回归方程是否有意义，这属于‘假设检验’。在中学的教学中，首先要让学生理解这里讨论的相关关系和过去学的函数关系的区别，这很重要。在估计问题中，应要求学生自己探索回归直线的求法（事实上，通过老师启发学生可以给出许多方法）。在统计中，重要的是寻找好的方法，而不是套用公式计算。从历史上看，拉普拉斯、欧拉等许多大数学家都曾为寻找这一直线而努力，他们的做法并不成功。后来，由勒让德、高斯提出了最小二乘法。套用公式计算回归系数，对学生来说并不困难。但这里应该让学生体会到，数学中介绍的方法是前人经过长期探索才得到的。体会在统计中寻找方法的重要。
作为老师应该清楚，之所以用最小二乘法，是因为这样得到的估计量，在许多标准下是‘好’的。而这些标准我们在中学无法讲授。另外，根据实际问题的需要，完全可以用别的方法，例如，把误差的平方改为误差的绝对值，或把误差改为求点到直线的‘距离’等等。人们现在正是这样做的。不应该让学生错误地以为最小二乘法是绝对的、永远是最优的。
应该让学生关注方程的意义和合理性。可以通过例子，提示回归系数计算的‘不合理性’：比如，如果在圆上取一组点，仍可套用公式，用这组点的坐标得到一个回归直线方程，这样的直线显然是没意义的。
以上就是我个人对人教A版教材选修1-2中的回归分析内容的一些认识、体会和一些小小思考,不足之处希望各位老师指出。事实上新教材还有许多处理方法均起到优化课堂教学模式、提高课堂教学效益、减轻学生课业负担的作用, 达到“少课时、轻负担、高质量”的目的, 希望能和广大一线教师一起在这方面作进一步的探讨。
附录：excel作散点图步骤：
1． 先将收集的数据以列的形式输入excel中，然后选中这两列数据点击〈插入〉中的〈图表〉进入后选择〈散点图〉即可，其他的选项视自身情况而定；
2． 作出散点图后，可以选中图中的散点，点击右键选择〈添加趋势线〉，在〈类型〉中选择〈线性〉，然后在〈选项〉中选择〈显示公式〉，点击完成即可看到拟合的直线和回归直线的方程，还可以在上一步的〈选项〉中追加选择〈显示R平方值〉，以观察拟合的程度。教学设计
课题：条件语句
惠来县慈云实验中学 杜光鹤
教材：人教社新课标数学《必修3》1.2.2
（Page 19 —20 ）
一．教材分析：
本节课是算法内容，算法在计算机科学与数学领域中都占据着重要地位。学习算法对于发展我们有条理的思考与表示能力，提高我们的逻辑思维能力也是很有帮助的。在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具，计算机的工作原理就是源自算法。
在前面，学生们已经学习了算法与程序框图，其中程序框图的设计就体现了算法的基本思想。由于计算机无法“识别”程序框图所表示的算法，因此课本安排了“基本算法语句”的学习，使算法通过计算机来实现，让学生们体会算法在计算机科学中的运用。本节课紧接《输入、输出语句和赋值语句》之后，是用于表达条件结构的程序设计语言。
学生要在四十分钟内掌握条件语句的格式和运用，熟悉程序的编辑、调试和运行，甚至了解程序设计中的一些“小技巧”等等……是一件非常难的事情。所以教学重点应该放在条件语句的格式和运用上，程序的设计、调试和运行则是教学的难点。要突破上述重点和难点，关键是要画出合理的程序框图。
二．目的分析
鉴于以上对教材的分析及学生们的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标：
（一）知识和技能：
1． 学会把条件结构“翻译”成条件语句；
2． 进一步体会算法思想，设计程序框图；
3． 会进行简单的计算机程序设计上机操作。
4．培养学生的逻辑思维能力；
5．培养学生的应用意识
（二）过程与方法
通过分析条件语句的运用，经历程序的设计、调试和运行，进一步体会算法思想在实际问题中的运用。
（三）情感与价值观
通过本节的学习，进一步体验数学源于实践的事实，从而提高学生学数学的兴趣，提高用数学的应用意识。
三．教法分析：
1．教学手段：为节省教学时间，提高课堂效率，一些相关教学内容制成课件形式放映给学生看。
2．教学方法：①为了调动学生学习的主动性和积极性，可尝试让学生采用自学阅读法、讨论法相结合的形式进行学习。②为了顺利实施教学，突出学生的主体地位，拟用演示法、引导法和实践法，让学生亲身体验算法在计算机上的实现过程。③做好学法指导。
3．教学课堂结构
创设情境—自学阅读—演示例题—反馈提高—巩固小结—作业布置
四．过程分析：
教 学环 节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图
创 设情 境 例1．画出程序框图，对于函数，输入的值，输出相应的函数值。 教师稍作引导，学生认真画出程序框图，教师给出修改意见。 激发学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。
自 学阅 读 条件结构条件语句IF条件 THEN语句1ELSE语句2END IF学生填写IF条件 THEN语句END IF 让学生自主学习，并认真填写表格，教师先让学生充分表达条件语句的特点（有如三段论），必要对条件语句格式加以补充和强调强调（特别要注意结束语END IF是否漏掉）。 培养学生的自学能力，注意到条件语句的基本格式。
演 示例 题 例1．编写一个程序，对于函数，输入的值，输出相应的函数值。（此题较容易，但有些同学还是容易漏掉一些语句，比如结束语“END IF”，教师要多加强调）例2．编写程序，输入一元二次方程的系数，输出它的实数根。（在设计程序框图时，很多学生都不能注意到避免重复计算的问题，教师提出修改意见后需要对此作简要说明。） 根据“创设情景”中的结构框图，改写出相应的程序，并在计算机上运行。让学生先画程序框图，然后教师给出修改意见，让学生明白一个好的程序往往会包含一些避免重复计算、设置记录变量等“小技巧” 让学生进行初步模仿，并让学生看到算法在计算机上实现的过程，提高他们学习的兴趣。提高学生们的逻辑思维能力和应用意识。
反馈提高 例3．编写程序：输入三个整数，输出最大的一个数。（此题不难，很多学生可以画出程序框图。但是学生进行程序编辑时，很容易出错，有的学生都分不清键盘上的“0”和“o”；有些单词也会拼写错误；对BASIC语言执行行命令的特点不清楚等等。需要教师对他们进行悉心指导。） 教师稍作分析，让学生画出程序框图，然后用程序设计语言来表达。 让学生在模仿的基础上学会创新。
反 思 小 结 在本节结束之际，你学到了什么？（关于条件语句的格式和运用，以及程序的设计、调试和运行。）体会到了什么？（算法思想在我们解决实际问题中的作用） 留时间让学生畅谈在本节课中的体验、收获。 学生经过小结与自我评价，形成价值判断意识，提高对数学理解，逐步养成良好的学习习惯。
作 业布 置 课本Page20 练习 4（学有余力试做课本例6）。 让学生独立思考完成。 巩固新知，拓展应用。
五、几点说明：
1．考虑到分段函数根据条件不同流程不同的特征很明显，故设置例1来复习引入条件结构这一旧知，再扩展到条件语句这一新知；
2．因为学生对计算机存储结构和存储特点理解还不是很透彻，大多数学生在解决课本Page19例6时可能有较大的思维障碍；另外，本部分知识重在算法思想的渗透，而不是编程技巧的训练，因此对它的难度做适当调整，改成现在的例3，而课本的例6做为练习题，让学有余力的学生课外完成。
3．教学过程注重程序调试，以检验程序的合法性和安全性。
语句2
语句1
语句
满足条件？
满足条件？
Y
N
N
Y古典概型
海口实验中学 刘冰妹
1、 教材分析
《古典概型》是高中数学人教A版必修3第三章概率3.2的内容，教学安排是2课时，本节是第一课时。古典概型是一种特殊的数学模型，他的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型
也是后面学习条件概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
2、 教学目标（以教材为背景，根据具体学情，设计了本节课的教学目标）
1、 知识目标：
（1） 通过试验理解基本事件的概念和特点
（2） 在数学建模的过程中，抽离出古典概型的两个基本特征，推倒出概率的计算公式。
2、 能力目标： 经历公式的推倒过程，体验由特殊到一般的数学思想方法的应用。
3、 情感态度与价值观目标：
（1） 用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
（2） 培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。
三、 教学重点与难点
（旧教材的安排是在学习了排列组合的基础上学习概率，而这节课是在没有学习排列组合的基础上学习古典概型及其概率公式，所以教学重点不是“如何计算”而是让学生通过生活中的实例与数学模型理解古典概型的两个特征，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。所以设计了这节课的重点为…）
1、重点：理解古典概型及其概率计算公式
2、难点：古典概型的判断
3、 教法与学法
（教无定法，教要得法，根据这节课的特点和学生的认知水平我设计了本节课的教法与学法。）
为了培养学生的自主学习能力，激发学习兴趣，借鉴布鲁纳的发现学习理论，在教学中采取引导发现法，结合问题式教学，利用多媒体等手段构建数学模型，引导学生进行观察讨论、归纳总结。鼓励学生自做自评，让学生做课堂的主人，培养团队精神，并利用了情感暗示以及恰当的评价等教学方法。
一言以蔽之，有效的教学能够唤醒沉睡的潜能，激活存封的记忆，开启幽闭的心智，放飞囚禁的情愫。
五、教学设计（骰子即色子）
教学环节 教学设计 师生互动 设计意图
一、创设情景引出课题 1、考察两个试验：①掷一枚质地均匀的硬币的试验；②掷一枚质地均匀的骰子的试验。这两个试验出现的结果分别有几个？（2个，6个）2、基本事件有何特点？①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和3、举例：在掷骰子试验中，随机试验“出现偶数点”可以由哪些基本事件组成？（2、4、6） 学生——思考、讨论老师——利用试验给出所有可能出现的结果即基本事件。老师——加以引导与启发，利用基本事件的关系发现基本事件的特点。学生——归纳与总结，鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力 这节课的重点是理解古典概型，通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计。先激发学生的学习兴趣，然后引导学生观察试验，分析结果，找出共性。最后，总结归纳出基本事件的特点。然后再通过举例，进一步加深对基本事件的理解，从而为引出古典概型的定义做好铺垫。
二、通过类比引出概念 例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的实验中，有那些基本事件？（6个）问题：上述试验和例1的共同特点是什么？试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。 老师——引导学生列举时做到不重复、不遗漏学生——列举出基本事件老师——引导学生找出共性。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 为了引出古典概型的概念，设计了例1。通过列举法列举基本事件，进一步理解与巩固基本事件的概念；然后设疑：“类比试验与例1中基本事件有什么共同点？”，通过问题的解决让学生体验由特殊到一般的数学思想方法的应用，从而引出古典概型的概念。
三、开放课堂探究公式 1、思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率又如何计算？2、观察：掷硬币与掷骰子的试验3、提问：（1）掷硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？（2）在掷骰子试验中， “出现偶数点”的随机试验的概率是多少？（3）你能从这些试验中找出规律，总结出公式吗？ 老师——提出问题学生——思考讨论老师——引导学生带着问题观察掷硬币与掷骰子的试验老师与学生——共同讨论，利用概率的加法公式推导出例题的概率学生——推导出古典概型的概率公式。 了解古典概型的概念之后，就要引领学生探究概率公式。为了突破这个重点我设计了3个环节首先，让学生带着思考问题观察试验，使其有目的的去寻找答案，有效的利用课堂时间，达到教学目标。其次，公式的推导是在老师的启发引导下，让学生带着好奇心去观察数学模型。（模型演示）多媒体引入课堂为学生提供了广阔的空间，通过直观感受，使学生对规律的总结快速而准确。最后，学生在回答三个问题的过程中，逐步感受由特殊性演变到一般性，最终得出结论。过程自然而有序，让学生体验到认知的自然升华，感受数学美妙的意境。体现了新课改中把课堂还给学生，提倡自主学习的新理念。
四、例题分析 加深理解 例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？思考：假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道，他是随机的可能性大还是他掌握了一定的知识的可能性大？探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选择所有正确答案，同学们有一种感觉，如果不知道正确答案多选题更难猜对，这是为什么？ 老师——给出题目，引导学生思考是否满足古典概型的特征？学生——思考、讨论、交流，说出看法老师——对学生的回答进行归纳与总结学生——根据已学知识回答老师——引导学生列举15种可能出现的答案，判断是否满足古典概型的特征，利用概率公式求值。 这节课的难点就是古典概型的判断，对例2 的分析是突破难点的契机，引导学生分析例2是否满足古典概型的两个基本特征有限性与等可能性，由此掌握求此类题目的方法，让学生进一步理解古典概型的概率计算公式，体验概率与实际生活是息息相关的思考与探究题的设计，让学生感受到数学模型的生活化，能用所学知识解决新问题是数学学习的主旨。当学生用自己的知识解决问题后，会有极大的成就感，提高了学习兴趣，体验了数学学习的真谛。
教学设计 师生互动 设计意图
五、循序渐进例题延伸 例3、同时掷两个骰子，计算一共有多少种不同的结果？其中向上的点数之和为5的结果有多少？向上的点数之和为5的概率是多少？例4、假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了密码，问他到自动提款机上随机式一次密码就能取道钱的概率是多少？例5、某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？ 学生——自做自评，在讨论中得出正确答案。老师——注意观察，及时评价。学生——自做自评，在解决例3 的基础上，例4与例5学生会迎刃而解。 这节课是在没有学习排列组合的基础上学习如何求概率，所以在教学中引导学生根据古典概型的特征，用列举法解决概率问题。例3也是对古典概型判断的深化。首先，让学生列举所有不同的结果，可以预计学生的列举不一定是完整的36种结果。其次，让列举对的同学帮助列举不对的同学找出问题，并解决问题。最后，让学生自己总结出解决这类问题应注意什么。在解决例3 的基础上，例4与例5学生会迎刃而解。 这样设计，从心理学上讲，让学生经历挫折，并在同学的帮助下解决问题，有利于心理的健康发展，并提高团队合作能力；从教育学上讲，挫折教育使学生经历知错改错之后，会增强信心，使他们以后面对人生会更坚强，迎难而上，无所畏惧！
六、变式练习巩固提高 变式练习：一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。解法1 设 表示“出现点数之和为奇数”，用 记“第一颗骰子出现 点，第二颗骰子出现 点”， 。显然出现的36个基本事件组成等概样本空间，其中 包含的基本事件个数为 ，故
。
解法2 若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们也组成等概样本空间。基本事件总数 ， 包含的基本事件个数 解法3 若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，也组成等概样本空间，基本事件总数 ， 所含基本事件数为1 老师——引导学生从不同的角度解决问题。学生——解法1用列举法，是学生很容易想到的。老师——给出解法2的过程学生——找出第三种解法 为了体现了知识的递近与螺旋式上升。在教材安排练习的基础上，设计了一题多解的变式练习，有三种解法，体现了数学的多变性和灵活性。更为重要的是万变不离其中，只有掌握了古典概型的特征，才能体会这道题的意境。解法1用列举法，是学生很容易想到的。然后老师给出解法2的过程，概率样本空间的改变，使学生产生了认知冲突，带着疑问听老师讲解这道题后，会豁然开朗，这时学生对古典概型的理解会更深刻，体现了“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。然后，引导学生找出第三种解法，这样做，既巩固了概念又拓展了对概念理解的深度与广度。
七、课堂小结自我评价 1、小结古典概型的解题方法与步骤：判定是否属于古典概型；求出基本事件，求出概率。2、还有那些知识点不清楚？ 学生——回顾与思考，小组讨论，每组派一名代表陈述观点。老师——给出恰当的评价，做出总结。 通过学生对本节内容的回顾与小结，使知识系统化，培养学生的逻辑思维能力，找出自己不清楚的知识点，通过及时的反馈信息为下节课的教学做好准备。
八、布置作业 作业：127页1 课后作业自主完成 作业是为了巩固知识，并且具有梯度性。
九、板书设计 古典概型基本事件的特征古典概型的特征概率公式 清楚明了，简洁有序的板书，有利于知识的回顾与总结。
六、教学评价
以问题为纽带，化结果为过程的教学理念始终贯穿了整个教学过程，因为我们不仅希望学生掌握知识，更希望学生掌握分析知识、选择知识、更新知识的能力。简单的说智慧比知识更重要，知识是启发指智慧的手段，过程是结果的动态延伸，教学中能够把结果变成过程，才能把知识变成智慧！
电脑投影
例题
练习
PAGE
1编号：570008
立体几何新旧两种教材的教学比较
海南中学 王青俊
《高级中学课本·立体几何》（全一册必修）（简称“旧教材”）是根据国家教委1986年制订的《全日制中学数学教学大纲》编写的。普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修第二册）及选修2—1（简称“新教材”）是根据教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》编写的。随着《新课程标准》的实施和教材改革的深入，如何尽快适应新教材中立体几何的教学，是每位数学教师需要研究的问题，通过两年的教学与实践，笔者将这两本教材及教学做了一个比较，供同行参阅。
一、教学内容及要求的对比
旧教材中包括直线和平面，多面体和旋转体两部分内容。新教材中分为：空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系和空间向量与立体几何三部分内容。教学要求如下表：
旧教材 教 学 要 求 新教材 教 学 要 求
直线和平面 使学生掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系，以及它们所成的角与距离等概念；使学生能运用上述概念，有关直线和直线、直线和平面、平面与平面的位置关系的平行、垂直关系的性质和判定，进行论证和解决有关的实际问题，以进一步发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及有根有据，实事求是等科学态度的品质。使学生掌握斜二测画法，认识数学来源于实践，通过空间图形的各种位置关系之间的内在联系的教学，培养学生的辩证唯物主义观点。 空间几何体点的、直位线、置平面关之间系 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能画出简单空间图形的三视图，会用斜二测法画出它们的直观图。 了解空间图形的不同表示形式（中心投影及平行投影），了解球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。
多面体和旋转体 使学生理解简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球、球缺）、球冠的有关概念，掌握它们的性质，能推导出柱、锥、台、球、球冠、球缺的表面积计算公式和体积，掌握用斜二测画出棱柱、棱锥、棱台、用正等测画出圆柱、圆锥、圆台的直观图的方法。 使学生能运用这些知识解决有关的实际问题，培养学生逻辑思维能力、空间想象能力。从而提高分析问题和解决问题的能力，提高学生学习的积极性。 空间向量与立体几何 了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的坐标运算。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量方法证明有关定理及解决夹角问题。
从内容来看，新教材保留了旧教材的主干知识，但多加了空间向量及用向量方法解立几问题。从教学要求来看，两种教材的差异较大。
1．关于直线和平面部分的教学要求，旧教材要求学生掌握空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及它们所成的角和距离；而新教材只要求学生了解直线、直线和平面、两个平面的位置关系，降低了学习立体几何的门槛，有利于提高学生学习积极性。关于直观图的画法，新教材只学习斜二测画法，旧教材多加了正等测画法。旧教材要求掌握柱、锥、台、球的表面积公式及体积公式的推导，新教材只要求了解这些公式的推导，让学生体会这些公式的产生过程，不要求记忆。对计算夹角、距离、面积、体积都适当降低要求，多介绍了向量方法解立体几何问题，注重思想方法的学习。
2．练习、习题的设置
在旧教材中，习题共分四类：练习（供课堂练习用），习题（供课内、外作业用），复习参考题及总复习参考题（复习参考题供复习本章知识时使用；总复习参考题供复习全册书使用）。课后的练习题目一般是1~3个，课后的习题一般在8~13个左右，总复习参考题、复习参考题的题量多于通常所需题量，供教学时使用。
新教材中习题共分三类：练习（供课堂练习用）、习题分成A、B两组（每小节后一般配有习题，A组习题供课内、外作业选用，B组题在难度上略有提高，仅供学有余力的学生选用），复习参考题分A、B两组，（A组题是属于基本要求范围的，供复习全章使用；B组题带有一定的灵活性，难度上略有提高，仅供学有余力的学生选用）。课后的练习题目与旧教材相比明显增多，有5~6个左右，习题A组的数目有8个左右，B组约有3个。
二、内容编排上的比较
1．内容的展开
旧教材以图形的位置关系为主线，从局部到整体展开几何内容。教材在给出平面的基本性质与画法后，接着研究空间两条直线、直线和平面、平面与平面的位置关系，着重研究了平行和垂直的判定与性质，还研究了夹角与距离问题，新教材以图形结构特征为主线，按照从整体到局部的方式展开几何内容。先认识柱、锥、台、球的结构特征，通过空间几何的三视图和直观图，从不同角度认识空间几何体，从中培养学生的空间想象能力。了解图形的面积和体积的计算公式，再了解两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，引入了向量法解立几问题。为学生解决夹角问题开阔了思路，避开了辅助线添加的难处。可使学生较深刻的掌握空间图形的性质以及性质之间的内在联系，还有利于培养学生的空间观念，空间想象能力和逻辑思维能力。新教材以建构主义理论为指导，让学生主动参与探索知识的发生过程，突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程。在获得知识乐趣的同时培养学生的探索精神和获取知识的学习方法。旧教材强调公理化体系，运用严密逻辑推理的方法，展现和论证有关知识。增加了学生学习的难度。
2．计算、证明的处理
旧教材中对于平行垂直关系的判定定理与性质定理证明主要运用公理，定理进行较严密的逻辑推理。对于角和距离的度量一般是先寻找，然后证明，最后计算，解决问题的技巧性很大，针对性很强。学生感到难学，挫伤了学生的学习积极性。新教材中对于平行、垂直关系的证明采用实验才证明、合情推理和演译推理相结合的方法，还引用了向量法、坐标法。降低了证明难度，拓宽了解题思路。有利于培养学生的数学思想方法。对于面积、体积的计算，旧教材着重于公式法，新教材着重于推导计算，不要求记忆公式。新教材对图形面积和体积的计算以及证明的训练力度有所减弱，需引起注意。但学生在获取知识的方法上有较大增强，这是新课改的一个亮点。
三、教学方式的变化
建构主义学习理论认为，学习是根据学习者的信念和价值观对客体或事件进行解释的过程，是一种主动地建构意义的过程，学习发生于与学习者相关的情境中，反思是学习的关键成分，学习又是通过协作吸收多种观点的过程。知识是学习者在一定的社会文化背景下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的。新教材基于建构主义等教学理论指导下，教学方式发生了变化。下面以“直线与平面垂直的判定”的教学案例对新旧两种教材的教学方式进行比较。
新教材的教学设计 旧教材的教学设计
1．现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，但一条直线与一个平面垂直的确切意义是什么呢？通过旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱和水面的位置关系，让学生感知线面垂直。2．能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？（讨论）3．给出定义，以及相关的概念。4．如何判定一条直线与平面垂直？有没有比较方便可行的方法？（通过让学生折三角形纸痕操作确认，引导独立发现线面垂直的条件）5．根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法？（进行合情推理，获得判定定理）6．应用：例1、例2的教学，通过应用，进行教学反馈。7．小结（1）请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程；（2）直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？ 1．将一本书打开直立在桌面а上，观察书的书脊和各页与桌面的交线的位置关系。2．如何定义直线与平面垂直？3．给出定义，以及相关的概念。4．如何判定一条直线与平面垂直？（通过三角板演示，发现规律）5．列出线面垂直的判定定理。6．证明判定定理。7．应用：例1的教学：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条边垂直于同一个平面。8．小结：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判定定理的证明及应用。
从上面教学案例中可以看出，新教材的教学可分为：（1）创设情境；（2）确定问题；（3）自主学习；（4）合作学习；（5）效果评价。让学生主动参与知识的发现、发生过程，注重思想方法的学习。定理的证明是学习的一个难点，新教材采取合情推理和实验证明的方法给予解决。旧教材采用逻辑推理的方法证明判定定理，学生难于接受，导致应用花的时间少，思想方法也难兼顾。
四、几点教学反思
经过两年多的课改实验，现把本届学生与往届学生学习立体几何的情况作一反思对比。（1）本届学生学习立体几何的兴趣比往届学生有较大提高，学生学习立体几何分层现象不够明显。这跟教材的展现形式、教学方式、学习方式的变化有较大关系。教材降低了难度，学生积极参与知识的发生过程，让不同程度的学生都得到收获。（2）学生的逻辑推理能力有所下降。但学生的动手操作能力、合情推理能力有所增强。由于课时少，内容多，教师的教学在赶进度，没有足够的时间训练学生的几何逻辑推理能力。导致学生对立体几何的证明会而不全面，应在选修系列2—1中加强这方面的训练。（3）在计算面积、体积方面，学生学得较轻松。因为不需要跟以往一样推导面积、体积公式，也不需要记忆公式，重于应用公式。但是涉及到求高、边长等问题学生无从下手。因为在学习面积、体积之前，学生没有学习点、线、面的关系，如何解决这一问题？有待探讨。（4）关于求角、求距离方面，新教材引入了向量方法，降低了难度，受到了学生的青睐。
参考文献
【1】高级中学课本《立体几何》，人民教育出版社1990年10月出版。
【2】立体几何全一册（必修）《教学参考书》，人民教育出版社教学编辑室编，1990年1月。
【3】普通高中课标教科书《数学》（必修二、选修2-1），人民教育出版社2004年5月出版。
【4】普通高中《数学课程标准》（实验）人民教育出版社2003年4月出版。
【5】《普通高中新课程方案导读》，华东师范大学出版社2003年10月出版。
PAGE
1《三角函数模型的简单应用》的教学设计
银川唐徕回民中学 唐希明
一．教学设计
1、思路：依据《课标》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。
依据学生的认知规律和水平，本节课将例1与例2调整了一下顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图，即由数到形。既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法。复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决例2打下一个良好的基础和准备工作，在讲解例2中，着重要注意以下几个方面的问题。
A、要和学生共同体验并总结求y=Asin(ωx+)+B函数的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验。
B、注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由数学知识到数学本质的理解。
C、注意实际问题与数学问题的相匹配。
之后本节课设有一道与学生学习相关的人体节律问题，通过解决可用三角函数模型描述出自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，并教会学生如何使用多媒体手段来模拟或解决生活中遇到的一些问题，为下一节的学习做一个准备工作。
2、设置：在每一个例题中都设置一个小结，养成一个边学、边练、边体验、边总结的学习习惯，并及时纠正在学习中出现的错误，总结经验。
3、本节设置了一些实际应用情景的练习题目，旨在加强和巩固。第②问是为讲解下一节做准备。
二．教案：三角函数模型的简单应用
〈一〉课本要求
会用三角函数来解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。
〈二〉⒈知能目标 （目标设计）
会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。
⒉情感目标：
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
⒊智育目标：
体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。
〈三〉知能要点梳理
学习本节课的目标是加强用三角函数模型刻画周期变化现象，本节课从四个层次介绍三角函数模型的应用。
①根据解析式引出图象→由数到形
②根据图象求出解析式→由形到数
③将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型（建模）
④利用收集到的数据引出散点，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型（是前三点的结合应用）
〈四〉重点与难点
重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型。
（五）学习方法指导
1、对本节应用的理解
应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当三角函数模型，解决问题的一般程序是：
（1）审题：先审清楚题目条件、要求、理解数学关系。
（2）建模：分析题目周期性，选择适当三角函数模型。
（3）求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论。
（4）还原：把数学结论还原为实际问题的解答。
问题解决
图到实际问题
2、学习上应注意的问题：
在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点，以及数据的变化趋势两个方面来考虑。
五、教学过程
1、引言 实际生活中见过的类似三角函数图象及物理中简谐振动
由例1：画出函数，并依据图象讨论其性质；
注意点：（1）与的区别与联系；
（2）周期性，A：通过观察可知T=
单调性：在每个上函数为单调增函数；在每个上函数为单调减函数。
注意：在每一个的
周期性；（1）依图可知T=
（2）；
师生共同总结：详见课件。
例2 1.回答第一问.
2.分析;求,即确定A、 四个量的值待定系数法。
第一步：先确定A、B。
1、数的方法
2、形的方法；依图可知：或，；
第二步：再确定与T 有关，由图可知：
第三步：确定。
师生共同小结：
总结；即可以梳理思路，可以对各知识之间的相关关系有一个较为深刻的理解。
情景1 目的：养成从实际情景中抽象和归纳问题，从而体验用数学解决问题的能力，欣赏数学的使用价值。
过程：1、师生共同读题，进入题目情景。
2、分析三大节律的特点，并由题目中所提供的数据选择一个来大概绘制图形，并总结所得。
3、教师指导，形成共识。，
4、出示 例，进行比较，完成题目要求。
师生共同小结：
情景2：利用所学知识和知识的迁移，学会如何处理具有周期变化的实际问题。
小结、作业。
课后反思：设计思路符合新课标的精神，做到心中有课标，心中有教材，心中有学生，从实际到理论，再由理论指导实际的认知过程，关注学生的学习情感和学习中将要遇到的困难，语言精练，宏观调控与微观操作相呼应，并注意细节的处理，尤其通过人体节律，激发兴趣，体现数学价值，切身感受数学就在身边，并能为我们服务。
实际问题
三角函数模型
实际问题的解
解析式
图象
三角函数模型的解题结果
PAGE
· 1 ·多媒体环境下《函数y=Asin(ωx+φ)＋P图象》的教学设计
宁夏青铜峡高级中学 杨致贇
提要 本课例通过演示“Power point”幻灯片\matlab课件将图象进行对比、观察、分析，让学生观察、分析，猜想、进而由学生归纳出三角函数的三种变换中：振幅变换、周期变换、平移变换是如何通过坐标间的关系反映出来，从而逐步加深对函数图象的初等变换的认识。
主题词 坐标变换 变形 动画演示
一、对教材背景的分析：
宁夏是全国率先实行新课改的省市之一，新课标的课本从内容的编排上为老师和学生留出了很大的探索、可塑空间。由于老师习惯于旧教材的编排模式，总是抱怨新课标难教，把握不了深浅，我认为新课标的内容和实际生活、社会发展联系紧密，同时又给老师在教学中留下了发展、探讨的空间，我教的是新课改中第一届的学生，在教学中我根据学生对中小学不同阶段的知识层面理解掌握的程度，对教材的知识大胆改革，并溶入了自己对教材的理解，尤其是函数y=Asin(ωx+φ)＋p的图象与函数y=sinx的图象变换关系。我利用四则运算的顺序与它们的几何意义相联系，对图象之间变换关系做了新的诠释。
二、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课选自人教版高中实验教科书《数学》（必修4）《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》，这节内容分三节课完成，本节课是最后一节，它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解y=Asin(ωx+φ)＋p与y=sinx的图象间的变换关系，通过学习y=Asin(ωx+φ)＋p的图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实的基础。
本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。
⒉教材的重点和难点
（1）函数y=Asin(ωx+φ)＋p的图象与函数y=sinx的图象变换关系。
（2）换元法的应用。
（3）两个图象的坐标间的解析式反映的代数意义和几何关系。
教学方法：体验探究法和形象探究法。同时在教学中可以采用“开通热线的方式”增加同学之间的协作关系。
⒊教材内容的安排和处理
函数y=Asin(ωx+φ)＋p图象主要学习图象变换的关系以及两种变换之间的综合应用。
三、学情分析:
学生在已经学习了作正弦曲线y=sinx的图象和五点画简图法,以及函数y=sinx的性质和函数y=Asin(ωx+φ)＋p的周期等性质的求法，并且有了一定的读图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。但对于给出的两个同类函数的变换关系要多次的变换让他们晕头转向，例如必修4第63页的几个函数间的关系，他们的判断方向颠倒，长度混乱。为了帮助学生很好的理解其中的内在联系，我在这块内容中加进了我的探索，我发现学生对初一学习代数式的意义认识比较深刻，我就把代数式的另一面：几何形式展现出来，以形带数，以数现形。使y=Asin(ωx+φ)＋p的图象变换的更加直观，容易理解，函数的形式可以多种多样，可以先伸缩再平移，也可以先平移再伸缩，任意的变换，畅通无阻。
四、设计理念:
根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。整个教学过程始终贯穿“体验为主线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索找核心，研究获本质”。
五、学习目标分析:
（1）知识目标：掌握坐标变换的变换规律，能从图象观察推证函数y=sinx与y=Asin(ωx+φ)＋p之间的图象变换关系，尤其两个函数图象的坐标间的关系表示的代数意义和几何意义。
（2）能力目标：在教学中努力培养学生的“由简单到复杂、由特殊到一般”的辩证思想，提高抽象概括的思维能力，培养学生的观察能力、动手能力、归纳能力、分析问题解决问题能力，培养学生的探究能力和协作学习的能力。
（3）思想目标：要认识到正弦函数的图象和性质来源于人类生产实践的需要，是客观实际的抽象，同时又广泛应用于客观实际，树立实践第一的唯物观点。
（4）情感目标: 在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
六、教法、学法分析
本节课以“探究——归纳——应用”为主线，通过设置问题情境，引导学生自主探究，总结规律，并能应用规律分析问题、解决问题。
以学生的自主探究为主要方式，把学习的主动权交给学生，让学生主动去学习新知、探究未知，在活动中学习数学、掌握数学，并能独立地提出问题、解决问题。
教无定法，教必有法，贵在得法。根据学生的实际水平，本节课利用多媒体教学手段进行直观演示与启发引导相结合的教学方法， 其步骤为：直观演示-—提出问题--—启发引导———归纳应用。
这样的教学方式有利于集中学生的注意力，激起学生的学习兴趣；有利于培养学生的观察力，激发学生的探究思维，更能调动学生的积极性和主动性。
教学中矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生会学习。根据本节课的实际情况，由学生自己动手探究、观察、分析、从而归纳出结论。这样增强了学生的参与意识，使学生“学有所得，思有所得”，在学习中有一种成就感。
七、教学对象的设计分析
课件的设计考虑到普通学生的整体素质，对学生的综合思维能力不能有过高的要求，只能循环渐进的开展。这堂课想借助于课件的展示以动画的形式给学生提供学习材料，使本节课更加生动、形象。
八、教学策略及方法分析
培养学生数学素质，首先是数学课堂教学要素质化，即在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，充分调动学生思维的主动性、积极性；有效地渗透数学的思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。根据这样的原则和所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：
（1）教学方法：创设问题情境，由学生观察发现、老师启发引导、探索相结合的教学方法。启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程；在此基础上，提供给学生交流的机会，使学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想；能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力；使学生会自觉地、主动地、积极地学习。
（2）教学手段：利用课件和投影仪等教学工具。主要目的是通过它们，尤其是多媒体的动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍。另外，也提高了课堂的教学效率，节省了时间，激发了学生的学习兴趣。
九、教学媒体的设计
本课电脑辅助软件：
1、用matlab软件制作函数y=Asin(ωx+φ)＋P图象呼之欲出，展示图象变换的动态过程，
2、课件主体用PowerPoint软件做成；
3、利用实物投影仪当堂呈示学生的练习。
十、教学过程设计
1、问题探究
利用多媒体课件展示y=sinx与y=Asin(ωx+φ)＋p之间的图象变换关系，提出所有要探究的问题。
教学情景设计问题 设计意图 师生互动
通过观察图象之间的变换图象，发现它们什么相同什么不同？（展示课件：y=2sin(x+）＋1的图象） 激发学生原有的知识和经验，为其运用作好准备；设置悬念，引出课题。 在老师的引导下，由学生发现，同学相互补充，
构成图象的基本元素是什么？ 引出图象的坐标。
点与点间的变化过程是怎样的？ 进入对图象的之间的变换关系的探究。 仅依靠学生自我发现，耗时耗力，且增加学生学习的挫败感。教师应该适时适当的予以指导。
y=2sin(x+)＋1上的点P0（x,y）, y=sin上的点P（x0,y0）的关系是什么？ 启发学生找到两种坐标之间关系的代数形式和几乎意义。 师生合作共同探索。投影学生的作业,老师进行简单点评。
y=Asin(ωx+φ)＋p与y=sinx的图象有什么变换关系呢？ 通过研究总结图象变换的方法。 学生：自我思考----得出初步结论----小组讨论----得出满意结果 ---回答所得结论。教师：启发诱导-----点拔释疑-----补充完善。这种教学方式，调动学生的积极性和主动性，体现了“教师是主导，学生是主体”的教学原则。
你能从以上的代数关系中表述它们的几何意义吗？ 给出这个问题的用意是开拓学生的思维，让学生从多角度思考问题，引导学生通过反思，概括出研究y=Asin(ωx+φ)＋p的图象的思想方法。 学生通过小组合作，按照从特殊到一般的思路得出结论。
y=Af(ωx+φ)＋p与y=f(x)的关系你能推导出来吗？ 设计这个环节的意图是通过对变换过程的探究,进而引导学生归纳概括,从现象到本质,总结出对复合函数的研究方法。 激发学生的探究思维，更能调动学生的积极性和主动性。
幻灯片显示的两题能很快找出关系吗？（演示“Power point” 幻灯片） 给出这个问题的用意是开拓学生的思维，让学生从多角度思考问题。 学生的作业用投影仪展示。
通过以上探究,你能否总结出本节课中函数变换的思路是什么？有没有更大胆的想法？ 设计这个环节的意图是通过对上述变换过程的探究,进而引导学生归纳概括,从现象到本质,总结出 由多个学生参予，突出数和形的结合，降低问题的梯度，突破难点，充分让学生体会自己获得知识的喜悦。）
布置作业：（必修4）第63页1、2、3，第65页1、2、3。
2、教学过程：
演示matlab课件（函数y=Asin(ωx+φ)＋P图象生成器）
引出课题。
板书：y=sinx与y=Asin(ωx+φ)＋p的图象之间关系。
我们分析： y=sinx上的点P0（x0,y0）———y=2sin(x+)＋1上的点P（x,y）,则P0（x0,y0）与 P（x,y）有什么关系？
又P（x0,y0）满足y0=sinx0
P（x,y）满足y=2sin(x+)＋1，可以变形为；=sin(x+)
得到；x0=x+变形为；x=2（x0－）
y0=变形为；Y=2（y0+） 这两个式子的代数意义是什么？（进入师生互动环节，学生讨论回答）
再次变形为：x=2x0－
Y=2y0+1，这两个式子的代数意义又是什么？
（再次进入师生互动环节，学生讨论回答）
它们的几何意义是什么呢？
x=2（x0－）为先向左平移个单位，得到的图象的所有横坐标扩大2倍，（周期变换）
Y=2（y0+）为先向上平移个单位，得到的图象的所有纵坐标扩大2倍（振幅变换）
（为师生互动环节，主要由学生给出结论。）
y=sinx与y=Asin(ωx+φ)＋p的图象之间关系又是什么呢？
学生导出代数关系，利用投影仪展现给大家。再由学生说出变换关系，并可以由其他人补充。
y0=sinx0与y=Asin(ωx+φ)＋p的关系为：x0=ωx+φ，y0=，它们的几何意义是什么？x=（x0-φ）÷ω，y=Ay0＋p的几何意义又是什么？
（为师生互动环节，主要由学生给出结论。）
知识应用：
1、已知：y=2sin(x+)＋1，求图象的对称中心，对称轴，及最大值，x为何时达到最大值？（师生共同完成）
2、为了得到y=2sin(x+)＋1，需要将y=2sin(x－)－1作什么变换？（学生上黑板完成）
课堂小结：1、y=sinx与y=Asin(ωx+φ)＋p的图象之间关系是通过对比它们之间的代数式得到。2、应用的是换元法。
布置作业：（必修4）第63页1、2、3，第65页1、2、3。
十一、评价分析
1.在本节的教与学活动中，始终体现以学生的发展为本的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，注意学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视学生自身潜力的开发和能力的培养，重视问题探究意识和能力的培养。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生得到不同的发展，体现因材施教原则。
2.调节与反馈：
验证两种变换的综合关系时，可能会出现有些学生无法观察到两种变换的关系的情况，此时，教师除了加以引导外，还需通过教师演示和详细讲解加以解决。
附：板书设计
课题y=sinx与y=Asin(ωx+φ)＋p的图象探究： 探究：y=2sin(x+)＋1与y=sinx 练习：为了得到y=2sin(x+)＋1，需要将y=2sin(x－)－1作什么变换。
十二、教学反思：
我在考虑这个设计时，纵观全局，认为这堂课不只是单纯教会学生函数y=Asin(ωx+φ)＋p的图象与函数y=sinx的图象变换关系，而是要使学生通过这些变换把初中和高中的知识有机的结合起来，把新课标的知识理念落实到实处。这堂课的教学是我对这些知识的认识，它从不同的角度阐述知识，通过坐标关系来分析是我自己的构思，在我教学的两个班中达到了满意的效果，实际应用中，90%以上的学生都掌握的很好，我以一堂课的形式展现给大家，作为我个人对课程尝试改革的一些想法，欢迎大家一起商讨。
2006年10月21日星期六
1合理运用 积极探索
——对人教A版高中数学新课标教科书的认识及教学体会
朱天丽 广州培英中学
教育部于2003年颁布了《普通高中新课程方案（实验）》及15个学科的课程标准。广东省作为全国首批普通高中课程改革四个实验省（区）之一，从2004年9月开始进行了高中新课程的实验。笔者有幸参加了第一次使用新教材的教学，下面是笔者使用人教A版的选修1－1、选修1－2教科书执教的一些认识及教学体会。
一、教科书充分体现了高中数学课程标准的基本理念
1．以学生为本，促进学生形成丰富的学习方式
教育必须以学生的发展为本，学生学习方式的改变是课程改革的重中之重。因此，使学生学会学习，形成丰富的学习方式，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念。
教材编排的结构体系能够引导学生针对不同的学习内容，采用不同的学习方式。例如，每一节常常是从“思考”开始，创设适当的问题情景，引导学生观察、猜想、归纳、推理，进行自主探索；书中设置的“探究”、“探究与发现”等活动提供给学生更大的学习空间，促使他们在小组讨论、全班交流的过程中学会合作学习、探究学习；“阅读与思考”可以促进学生阅读自学习惯的养成；“实习作业”为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造了有利的条件。
2．注重学生数学思维能力的提高
数学教育的基本目标之一就是提高学生的数学思维能力，进而培养理性精神。教材在内容的设计上，能够在学生已有的经验基础上，引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。例如在《常用逻辑用语》一章的例题与习题设计上，重视培养学生正确使用逻辑语言进行数学描述、判断和推理的能力；在《导数》的第一节设置了“变化率”，通过“气球膨胀率”和“高台跳水”两个问题，让学生经历直观感知进而抽象概括出导数的概念的过程和方法，进而又用学生已经熟悉“高台跳水”问题去研究导数的几何意义、函数的单调性与导数等问题；在研究《圆锥曲线》和《导数》的过程中，总是辅以图像或引导学生动手作图，不断渗透数形结合思想；《推理与证明》、《框图》中非常丰富的例子，都是有效促进学生思维能力的提高的好素材。
3．注重学生应用意识的发展
数学来源于实际生活，并在生活实践中有着广泛的应用。在近年不断深化的数学课程改革中，数学的应用意识得到了充分的重视。这一点在教材中也得到充分的体现：数学应用贯穿教材的始终。
（1）通过丰富的实例，从实际背景引出数学新知识。例如从对大学生身高与体重的相关性研究实例得出回归分析的方法；从吸烟与患肺癌的关系引出独立性检验的方法；从气球膨胀率和高台跳水问题抽象出导数概念…等等。这样强调数学概念的形成背景，使学生感受数学知识发生、发展的来龙去脉，从而激发学生的学习兴趣，体会到数学的作用、数学与生活及其他学科的联系。
（2）在例题、习题中都适当增加了相关的应用问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。例如《圆锥曲线》中有卫星运行轨道、炮弹爆炸点的轨迹、双曲线型冷却塔、卫星接收天线、天文望远镜、拱桥、隧道等丰富的题目；《导数》一章也有很多应用题，并且还专门设置了“生活中的优化问题举例”一节；《合情推理》中“火星上是否有生命”的推理、以古老传说“河内塔”为背景编制的例题是激发学生学习兴趣的好材料。
（3）教材设置的“实习作业”（统计活动），使学生在实践、探究的过程中学会应用，从而使应用意识得到进一步发展。
4．渗透数学史，体现数学的文化价值
数学是人类文化的重要组成部分，课程应帮助学生了解数学的历史、应用及发展趋势。教材中的“阅读与思考”、“探究与发现”等栏目，正是体现了这一理念。例如“牛顿法——用导数方法求方程的近似解”使学生了解科学家的伟大成就，并且更深刻的体会导数的应用价值；《推理与证明》中的“科学发现中的推理”，使学生通过阅读科学史实了解合情推理和演绎推理对科学发现的重要作用和贡献。
5．注重信息技术与数学课程的整合
利用信息技术可以提高课堂教学效率，呈现以往教学中难以呈现的课程内容，有利于学生更好的认识数学的本质。教材在便于使用信息技术的地方，都提出了有用的使用建议，设置了“信息技术应用”栏目，例如：“用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”、“用《几何画板》研究双曲线的渐近线”、“用《几何画板》研究抛物线”、“图形技术与函数性质”等等。
二、合理运用教科书，积极探索实现高中数学课程目标的有效途径
新课程的实施、新教材的使用，带给我们的是压力与挑战。在教学实践中，面对焕然一新的教科书，我们有喜悦，也有困惑、质疑。不论选用哪一本教材，都会有它的优势与瑕疵。因此，应该树立“用教材教，而不是教教材”的观念，弄清楚教材编写的理念与意图，积极面对困难和挑战，寻找对策，探索实现高中数学课程目标的有效途径。通过反思前一阶段的教学，笔者认为，要用好手中的新教材，做好以下几点是有益的：
1．教师要转变观念，要有终身学习的意识
在课程改革中，教师是新课程实施的直接参与者；在整个教育过程中，教师是最了解学生知识、能力、兴趣的人。因此，要实现课程的目标，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。
如果一个教师对教材新增内容不熟悉，对新课程的目标和理念不甚了解，那么他可能就无法理解新教材的编排意图，从而消极应付，新课程方案就很难贯彻和实施。因此，我们应努力更新和转变教育观念，充分认识自己在课程改革中的角色和作用：教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量；教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。这就要求我们每个人都应该认真切实地学习高中数学新课程的性质、理念、框架、目标和内容。在开设每个模块之前，通过查阅资料了解此部分内容的背景及教育价值，对教学内容做整体的研究，对比教材相对以往发生的变化，参考编写人员的教学建议，然后以课程理念为指导、结合学生学习的实际需要设计好教学活动。
我们只有不断学习新的教育理论与数学专业知识，提高自身的素质，才能适应不断向前发展变化的课程改革，为教育改革做出应有的贡献。
2．信息技术的合理运用
《课程标准》关于信息技术运用的理念比以往更加全面了：信息技术与数学课程内容的有机整合、增强数学的可视化、提高课堂教学效率、改善学生学习方式、信息收集和资源获取、计算工具。这样丰富的内涵给我们的教与学都带来了更大的开发空间。例如，倡导学生使用科学计算器进行数值计算、利用几何画板等软件研究圆锥曲线的动态变化过程等等。但是这些并不能完全取代教学，信息技术的运用一定要适当，不要为了用而用，是需要才用。
在进行《圆锥曲线》的教学时，运用几何画板演示椭圆、双曲线和抛物线的生成过程，是非常直观的，有条件的学校如果能让学生自己进行操作，学生将会对三种圆锥曲线的定义理解得更为深刻。
在《统计案例》教学中，有些问题利用电子表格Excel的快速生成数据和图像的功能辅助教学，易于操作，值得一试。
身高/cm 体重/kg
165 48
165 57
157 50
170 54
175 64
165 61
155 43
170 59
例如在进行回归分析时，往往需要将实验所得数据先制成散点图，再探求线性回归模型，求出相关系数，来说明拟合的效果好不好。在教学过程中我是先引导学生学会动手绘图、计算来完成，并通过这个完整过程体会回归分析的基本思想。但是学生的绘图和运算往往有较大的误差，所以可以教会学会利用Excel进行检验的方法。下面以选修1－2教材第2页例1“根据8名女大学生的身高和体重数据进行回归分析”为例来简要说明操作过程：
第一步将数据分两列输入电子表格（如右图）；
第二步选定数据区域，插入图表，选择标准类型下的散点图，完成，即可得到图1；
第三步选定灰色绘图区，选择图表下的“添加趋势线”，就可以选择函数进行拟合了，例如单击“类型”选择“线性”，再单击“选项”，在“显示公式”和“显示R平方值”旁的方框内打“√”即可得到图2，所显示的公式就是线性回归方程，R2为相关指数。
3．帮助学生打好基础，发展能力
重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养是我国数学教育的优良传统，这一传统在新课程理念中继续得到强调和发扬，“双基”被赋予新的内涵。我们的教学也应“与时俱进”地落实双基。
一方面是继承“传统双基”中的合理成分，例如重视函数的概念、数形结合思想等基本数学知识与思想方法，要结合教材提供的丰富材料，让学生经历这些基础知识的发生发展过程，反复接触，不断加深认识和理解；对于数学的一些基本技能，应该充分发挥教材中例题、练习、习题的功能，在学完概念、公式、性质之后进行基本运算、作图、推理证明的训练。对于删减的内容就没有必要再拾回，削弱的也不必再强化。
另一方面，由于科技的发展，算法、数据处理、函数建模、运用信息技术学习数学等内容和方法也加入“双基”的行列，这些更需要我们去探索行之有效的做法。例如基础知识的教学要重过程、重核心知识，关注学生学习过程中应用知识的综合能力；在对一类数学问题的解决方法进行归纳时，就可以渗透算法的思想；重视学生的估算技能，能正确熟练地使用计算器或计算机；鼓励学生积极参与教学活动，形成熟练的技能，进而培养数学能力。
4．教师要加强对学生学习的引导
新课程在结构、内容、实施、评价等方面都发生了新的变化，这些对学生的学习提出了新的要求，从而引发学生学习方式的变革。面对新的要求，学生会出现不适应问题，例如许多学生感觉进入高一，数学教学进度很快、知识变得抽象了、理解难度加大了、解题思路不清晰……等诸多问题。这就需要教师必须认真对学生的学习方法进行指导，帮助和促进学生学习方式的转变。
我们可以在课堂上结合教学内容让学生体会学习数学的方法，也可以组织学生交流学习经验与体会，但是，由于影响学生学习的因素是诸多的，所以仅从数学学习方法本身做指导还是有一定的局限性。教师的引导应该是多方面的：学习目的、学习态度的引导；自我监控能力的引导；探究性学习的引导；个别学习的引导；学习方式多样化的引导等。
传统的学习方式主要是“接受式学习”，这种学习方式比较单一、被动，忽略了人的主动性、能动性和独立性。改变学生的学习方式就是要把这种单一、被动的学习方式向多样化的学习方式转变，让学生真正成为学习的主人。应该让学生明白，任何一种学习方式，只要运用得当，就是有意义的学习。
5．加强合作，积极开展备课组内的教学研究与资源共享
教师作为课程实施的主体，面对的是严峻的挑战，单靠外出参加教研、学习，许多出现的疑惑、问题是不能及时得到解决的。所以教师与教师之间应加强合作，积极开展集体备课，分担问题，分享成功，通过不断的交流获取教学信息与灵感。
而新课程的实施，尤其是信息技术运用的加强，又使教师的备课任务更加沉重了。如果备课组共同努力，分工合作，各人都把自己最好的成果拿出来与大家交流，通过教学材料的资源共享，可以减轻每个人的负担，从而有更多的精力投入教学研究。经过实际操作的验证，这种做法是非常有效且有益的。
参考文献
1 严士健, 张奠宙, 王尚志主编. 普通高中数学课程标准（实验）解读. 江苏教育出版社, 2004
2 周卫勇, 徐铎厚, 杨春芳. 高中新课程的理解与行动. 首都师范大学出版社, 2004
3 管宏斌. 新理念下课堂教学观念的再创新. 中学数学教与学，2004.11
图2
图1
PAGE
4椭圆及其标准方程(第一课时)
广州市九十七中 伍晓焰
【教学目标】
双基：理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用．
能力：通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力．
【教学重点与难点】
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
难点：椭圆标准方程的推导与化简．
【教学手段】
运用多媒体和实物投影仪等辅助教学．
【教学过程】
一、创设情景、引入概念
首先用多媒体演示“神州六号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．
问一 “神州六号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）
此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子．
再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历．
教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的．
（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）
二、尝试探究、形成概念
引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征．
学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．
让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）
（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．）
启发、归纳出椭圆的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
引导学生找定义的关键处：
①平面曲线；
②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；
③常数大于| F1F2|．
（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．）
三、标准方程的推导
由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．
（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）
问二 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）
经学生讨论易得如下方案：
1．建系．取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系．
2．设点．设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则．又设M与距离之和等于()．
3．列式．依据椭圆的定义，有
．
，，
．
教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？
引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法．
（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）
4．化简．通过移项, 两次平方后得到：
，
两边同除以，得 ． （※）
由椭圆的定义可知，,即，
思考：观察右图，能从中找出表示的线段吗？
由图可知，．
令，那么（※）就是
．（）
此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程．
问三：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？
学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只要将方程中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程．
要求学生课后推导验证．
（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程．）
引导学生注意理解以下几点：
① 在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；
② 在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；
③ 椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．
四、例题讲解
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-4)，F2（0，4），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10，求它的标准方程．
（先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）
解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
．
因为2a=10，2c=8，所以a=5，b=4．
所以，b2=a2－c2=52－42=9．
所以所求椭圆标准方程为．
例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1（－2，0）和F2（2, 0），过点P0（,），求它的标准方程．
（先让学生分析解题思路．除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性外，还要注意引导学生分析本例与例1的不同点．）
解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，
＋
，
所以，．又，
所以，．
所以所求标准方程为．
另法：因为，
所以可设所求方程．将点P0（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程．
（说明：由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出与，根据条件写出方程；其二是由a，b，c的关系和椭圆标准方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步骤．）
五、课堂练习，即时反馈
1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=3,焦点在x轴；
（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．
2．椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为 ．
六、知识整理，形成系统（由学生归纳）
1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．
2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．
3．求椭圆方程的方法（待定系数法求轨迹方程）．
七、布置作业，巩固提高
1．课本P40．1－3．
2．小组合作自编题（总题数4个，可以填空、选择或解答题．要求说明编题的基本思路）．
3．探索题：上网查询有关椭圆的几何作法，对不同的作法作比较，并研究交流其作法根据．
PAGE
5(共13张PPT)
判断函数单调性有哪些方法？
比如：判断函数 的单调性。
x
y
o
函数在 上为____函数，
在 上为____函数。
图象法
定义法
减
增
如图：
动态
演示
单调性
导数的正负
函数及图象
x
y
o
x
y
o
切线斜率
的正负
x
y
o
注意：
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间。
1．应用导数求函数的单调区间
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。
(2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____函数，
在(－∞,1]上为______函数，在[1,2]上为__
__________________________________函数。
基础训练：
增
增
减
既不是增函数,也不是减函数
求函数 的单调区间。
变1：求函数 的单调区间。
理解训练：
解：
的单调递增区间为
单调递减区间为
解：
的单调递增区间为
单调递减区间为
变3：求函数 的单调区间。
变2：求函数 的单调区间。
巩固提高：
解:
解:
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
①求定义域
②求
③令
④求定义域
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便？
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
(04年全国理)
B
x
y
o
已知导函数的下列信息：
试画出函数 图象的大致形状。
分析：
解： 的大致形状如右图：
A
B
x
y
o
2
3
2．应用导数信息确定函数大致图象
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
(04浙江理工类)
设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )
通过这堂课的研究，你明确了 ，
你的收获与感受是 ，
你存在的疑惑之处有 。
(课本) P101 4 ， P107 A组 1
A灵活处理课本例(习)题培养学生思维能力
广东两阳中学 周杏伙
摘要：培养学生思维能力是数学教学的重要目标，如何能实现这一目标.灵活处理认真研究课本的例（习）题，挖掘并掌握其中丰富内涵，是一种行之有效办法，其对培养学生思维发散性、灵活性、深刻性、创造性、广阔性都有很大作用.
关键词：思维能力 课本例（习）题
例（习）题是教材的重要组成部分，这些例（习）题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是学生掌握双基的重要来源，也是教师传授知识的纽带，它蕴含着丰富的教学功能，处理好例（习）题的教学，对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都是至关重要.
一、引申拓广，培养思维的发散性
教学中，若对一些典型的例、习题进行变式处理，如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等，即可以在演变多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维.
例1 数学必修⑷P122第3题证明：对任意a,b,c,d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2) (c2＋d2) （1）
先让学生推证，发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问：能否有更新颖的证法呢？
引导学生抓住“a2＋b2”、“c2＋d2”、“ac＋bd”的结构特征，因此可考虑用构造法证明.
证法1 （向量法）
构造向量u＝(a，b), v＝(c，d), u·v＝|u||v|cosθ（其中θ为向量u与 v夹角）
则ac＋bd＝·cosθ,
(ac＋bd) 2＝(a2＋b2)(c2＋d2) cos2θ
≤(a2＋b2)(c2＋d2)
证法2（构造三角形）利用“三角形的两边之和大于第三边”（上图中OBCA为平行四边形）
由|OA|＋|OB|＞|AB|及|OA|＋|OB|＞|OC|，不等式⑴迅速得证.
由解法一不少学生都能发现a与b，c与d可交换位置.
[变1]求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ad＋bc) 2 ⑵
[变2]⑴式两边开方可否？
求证：≥|ac＋bd| ⑶
[变3]⑶式右边去掉绝对值可否？
求证：≥ac＋bd ⑷
对于⑴式能否有更深刻的变化呢？将不等式⑴字母分别排序，得
(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1 b1＋a2 b2) 2 ⑸
通过分析知道，可以按字母增加的方向演变.
[变4]设a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3∈R，
求证：(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)
≥(a1 b1＋a2 b2＋a3 b3) 2 ⑹
此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因势利导，把问题推广.
推广 设ai,bi∈R(i＝1,2……n)，则
(a12＋a22＋……＋an2) (b12＋b22＋……＋bn2)
≥(a1 b1＋a2 b2＋……＋an bn) 2
（当且仅当ai＝kbi时，取“＝”号）
这是一个重要的定理，叫柯西不等式.不等式⑸、⑹即柯西不等式当n＝2和 n＝3时的特例.
如此层层推进，使结论更加完美，更具有普遍性.
上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的思路，培养了学生的发散思维.
二、融会贯通，培养思维的灵活性
数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意用联系的观点处理问题，课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此，在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律，引导学生串通教材，做到融会贯通，开阔学生的视野，增强学生思维的灵活性.
如研究空间面面关系，线面关系，线线关系时经常要用到转化思想方法来解题，通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题，而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题.
例2数学必修⑵P72例3，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明：PA⊥平面ABC
BCC平面ABC
平面PAC⊥平面PBC
这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面垂直的例子，这样解剖一例串通一片，揭示了问题的本质，勾通了内在联系，使学生学过的知识结构化，系统化，学生的思维灵活性得到有效激活.
三、揭示规律，培养思维的深刻性
有些例、习题蕴含着解题思路或方法上的规律性，教师要有意识地引导学生去分析、归纳、挖掘、提炼，以总结出这些规律，并使学生深刻领会，牢固掌握，能用于解类似的问题，这有利于提高学生思维品质的深刻性.
例3 数学必修⑸练习：
等差数列{an}的前n项和是Sn＝5n2＋3n，求它的前3项，并求它的通项公式.
多数学生解为：∵S1＝a1＝8, S2＝a1＋a2＝26
∴a2＝S2－a1＝18, d＝a2－a1＝10, a3＝a2＋d＝28,
∴an＝10n－2,教学不应就此结束，可继续设问：“若等差数列这个条件去掉，应该怎样求an？”经过总结归纳，可以发现：
∵Sn＝a1＋a2＋……＋an Sn-1＝a1＋a2＋……＋an-1,
∴an＝Sn－Sn-1,这实际上就得到了有价值的通法了，即：凡是已知 Sn，抓住Sn与an的关系an＝
an学生掌握了此规律，以后处理类似问题就不费周折了.
再进一步推广、深化例3：
Sn是数列{an}的前n项的和，若对任何自然数n,
Sn＝an2＋bn(a、b∈R且ab≠0)可以证明数列{an}是公差为2a的等差数列.再进一步追问，若Sn＝an2＋c(c≠0)，数列{an}是等差数列吗？为什么？
如此层层深入思考，分析归纳，不断深化，有效地训练和培养了学生思维的深刻性.
四、标新立异，培养思维的创造性
例、习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应有意识地创设新活的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问题，鼓励学生标新立异、探究新解，达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的.
例4 数学必修⑷P111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C(2,5)试判断A、B、C三点之间的位置关系.这是一道基本题，但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系，寻求不同解法，如一些学生仅想到一些常规解法：
（1）证明|AB|＋|BC|＝|AC|；（2）证明点B在直线AC上；（3）证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同学，联想宽广深刻，不但有上述解法，还得到了如下的非常规解法；（4）证明点C到直线AB的距离为0；（5）证明△ABC的面积等于零；（6）证明点B是有向线段AC的一个定比分点，显然后者的解法较之于前者，更难想到，更独到，因而更具有创新性，有利于培养思维的广泛性、创造性。
五、联想转化，培养思维的广阔性
数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支，不同部分，都是相互联系、相互渗透的，解题方法、解题思路更是如此，因而，在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进知识的正向迁移，培养思维的广阔性。
例5 旧教材《立体几何》P70第4题：棱台的上、下底面的面积各是Q＇和Q，求证：这个棱台的高和截得这个棱台的原棱锥的高的比是。
证明此题后，要学生进行类比联系：即若把其中的“棱台”换为“圆台”，则有怎样的结论？学生经过类比联想，可得结论：“圆台的上、下底面的面积各是Q＇和Q，那么这个圆台的高和截得这个圆台的原圆锥的高之比是。”
对于刚解决的问题，或者是熟知的问题，引导学生横向思考，类比联想，常可获得某些问题的解题思考或新颖的结论。
例6 旧教材《代数》下册P17例7 已知a,b,m∈R＋,并且a＜b,
求证： ＞
教材上是用“分析法”证的，如果就此结束，效果不大，实际上，它内蕴着丰富的教学价值，如引导学生巧妙联想，灵活转换，构造函数来证，则很富有意趣。
证明：令f（x）＝＝＝1＋
∵a－b＜0,∴f(x)在[0,＋∞)上为增函数，
∵m＞0,∴f(m) ＞f(0) 即＞
这样的教学就使学生不再把函数与不等式割裂开来，而是融合为一个有机的整体，以后处理有关问题时将能迅速迁移，另如例1巧妙地利用了数形转换解题的思想方法，这些都有助于培养学生思维的广阔性、创造性。
综上所述，课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了思维品质，发展了思维能力，这正是我们所要追求的目标。
主要参考书籍
1、数学必修1—5，人民教育出版社.
2、数学必修1—5教师用书，人民教育出版社.
PA⊥BC
AC⊥BC
BC⊥平面PAC
BC 平面PBC
S1 （n＝1）
Sn－Sn-1 (n≥2)
就可求出
EQ \R(,QQ')
→
→
→
→
→
→
→
→
∪
∪
PAGE
7高一数学有效教学的实践与思考
——人教A版的教学反思与设想
广州市第三中学 林飒英
摘要：有效教学强调：关注学生的进步或发展，关注教学效益，关注可测性或量化，要求教师具备一种反思的意识。我采用了“问题情景——建立模型——探究——解释——应用——拓展”的模式展开教学，课后进行认真的反思
关键词：有效教学；实践；反思；设想
有效教学的理念源于20世纪上半叶西方的教学化运动，它强调的是：关注学生的进步或发展，关注教学效益，关注可测性或量化，要求教师具备一种反思的意识。新课程标准对教师的角色进行了重新定位，强调教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。交往意味着人人参与，意味着平等对话，教师要从课堂的权威变成为“平等中的首席”，教学过程是师生共同开发课程，丰富课程的过程，课程变成动态的、发展的，教学真正成为师生富有个性化的创造过程。
1、 人教A版必修1教学反思
新课程标准指出，学生的数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，在教学过程中，我采用了“问题情景——建立模型——探究——解释——应用——拓展”的模式展开，也就是说，在课堂教学中，尽力做到教材的内容尽量与现实生活中问题相挂钩，让学生感觉到数学就在身边，显示数学的实用性。这方面，人教A版已经做出了很好的示范。教材编写了很多实例，如集合的含义与表示，一开始就从8个集合实例入手，引出元素和集合的含义，而有效教学的理念要求教师在教学中，体现自己的个性，才能促进学生的个性形成和发展。以下是本人教学实践的个案
1、 抽象的教学内容与直观化、通俗化、具体化教学之间的关系。
案例一：“集合的含义与表示”
电脑设计情景：正在公路边等公交车的乘客人群与公交车公司出车数量。
实物情景：①课室里正在上课的学生；
②如何用适当的语言，把课室里的同学分成两部分，你有几种分法？
公交车，好多学生每天都要坐，他们常常感觉，要不等了好久，要不好挤，身边的话题引起学生的学习兴趣；课室里的同学，熟悉的人用不同的词汇描述。让学生体会原来数学就发生在身边。
案例二：“函数单调性”，由的图象观察随变化情况。
函数的单调性，教材编写的很好，从图形语言——文字语言——数学语言，一步一个台阶，可在实施过程中，我先让学生自己探究后，犯错、徘徊后才提醒，教学过程中发现，文字语言：“当时，随的增大而增大”，学生在初中里用过，一下就能说出来，而最后一个台阶，学生却很难跨上，即数学语言：“当时，有”。特别是成绩中下的学生，即使上课时用了几何画板展示，我自己教学体会，电脑展示得快，学生好象明白得快，忘得更快。这句“当时，有”，数学老师看似简单，可学生刚刚接触就感到怎么来的式子，以及后来在遇到有关的单调性问题，例如：若函数是定义在上的增函数，求不等式的解集。我把和比喻成戴帽的人与没戴帽的人，两个人比高，要相同条件，要么都不戴帽，要么同时戴帽，增函数可理解为一般的普通的帽子，高个子戴着仍然是高个，矮个子戴着仍然是矮个子，减函数可理解为魔术帽，矮个子戴了变高，高个子戴了变矮。
案例三：“指数函数与对数函数”的引入，课本设计了鱼化石中碳14的残留量。其中一个班讲课时用课本的引入，得，到讲对数函数时，继续用该引入中的，此时让学生动手探究，学生很不愿意动，原因大概是问题远离他们实际生活，并且数字太繁，当我上另一个班时，我马上把问题改为：如果你爸爸第一个月给你10元零用钱，你爸爸想通过奖励，以你表现好，每月以10%的增长率，问多少个月后你的月零用钱达到1千元？这时学生可来劲了，马上算，还问计算器怎么按，学生所表现出的热情和积极与第一个班我上课时完全不同。
因此，数学教学中问题的设计和选择，应尽可能地来源于学生们的实际生活经历，应找出更多的机会让学生们接触各种各样的现实问题，捕捉学生的生活的疑点、兴奋点，社会生活和热点，同时使抽象的教学内容更直观、更通俗、更具体。
2、 堂上合作探究学习的时间与自主技能训练的时间之间的关系。
也就是说，要合理分配两者的时间。一节课中，如果教师为了让学生多点的时间进行笔头练习，自己过早地抛出题设结论和过程，就会使学生失去探究学习和求知的兴趣，这与新课标的精神不相符。但数学科有它自己的特点，它强调的是培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力、空间想象能力和解决问题的能力，而这些能力的形成需要有牢固的知识技能作基础。我们知道，知识技能主要是靠学生的独立思考和自主的笔头训练，才能保证有机会发展他们的各种能力。所以每节课要合理分配时间，在两者之间取平衡，我把全班同学分成每四人就一个学习小组。
案例四：在学对数的性质时，由小组分工合作，分别在同一直角坐标系中画 ①与；②与；③与的图象，让小组的同学一起探究，图形特征，从而得到对数函数的性质。在探究过程中，学生在列表时不少人自变量取1，2，3，图象自然也只画了第一象限内的一小段；而有的画了一、四象限内的部分，就想当然，也就把曲线画穿过轴……，由于是分工，所以学生每人就不需画出所有的图形，有时间指正（或更正）错误，欣赏别人的成功，同时加深对图形的理解，这样既省了时间，又能达到探究互助的目的。
案例五：在研究几类不同增长的函数模型时，我讲完课本的例1后，就让学生自己去探究在的增长情况进行比较，让学生找出关键点，找出交点，在课内的探究，时间有限，数字运算不可能太复杂。而把课本的例2作为第二节上课时的复习与回顾，让例2复杂的数字的处理简化，直接由学生自己第一节课探究的结果来分析，得到题目想要的结论。
新课程提出要赋予学生更多自主活动、实践活动、亲身体验的机会，以丰富学生的直接经验和感性认识，宗旨在引导学生通过动口、动手与动脑，在亲自体验过程中获得发展，而一节课的时间很有限，处理好探究学习的时间与自主技能训练的时间之间的关系，是提高上课效率的关键。
3、 学生实际水平与新的教学内容之间的关系。
新课程标准指出，学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。我充分利用教材，同时也大胆地整合教材，使我的课堂教学更适合我的学生。
案例六：“函数”，初中到高中，初中的函数，教材采用“变量说”，高中提出了“对应说”，人教A版采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言，定义函数的方式介绍函数概念，把“映射”作为“函数”的一种推广，这种安排我在实践中觉得更有利于学生集中精力理解函数的概念。而具体教学过程，我为学生设计他们熟悉的“行程问题”、“比例问题”、“价格问题”，利用图表、图形（如课本第26页的练习2），让学生探究用集合与对应的语言来刻画，从学生熟悉实际背景和定义两个方面，帮助学生理解函数的本质。要求学生认识、描绘以及概括模式。
到了第三章，函数的应用，尽量挖掘与其它学科的联系以及实际生活的联系，如电话费、水电费、出租车费与用时的关系，银行利息与存款时间的关系，保险、物价、抽奖、股票、债券等等。引导和组织学生以学习小组的形式，进行调查和研究，让学生经历丰富的情感体验和实践活动，在情境中展开想象的翅膀，充分发挥思维的潜能，在生活中发现数学，提炼数学，应用数学。
案例七：1、让学生用类比两个数的关系思考两个集合之间的基本关系（包含、相等）。
2、让学生用类比两个数的运算思考两个集合之间的运算关系（并、交、补）。
在实际教学中，我让学生在课外先探究，课内提问完成，让我感到意外的是，第1个问题答得不好，而第2个问题学生回答的较好，学生把“并”类比为“加法”，“交”类比为“多项式的提取公因式的因式”，而“补”类比为“减法”，第1个问题回答不好，问题出在，学生并不理解“且 ，则”中的“”的意思，它代表了“小于或等于”。通过这个类比，修正了学生对“”的理解。
案例八、“二次函数”。二次函数是中学应用广泛的初等函数，曾经是初中阶段的学习重点，由于初中的教学要求仅限于作图，确定函数解析式，随着函数概念和性质学习的不断深入，但是教材这部分的内容没有独立的章节，我在教学中，充分利用二次函数作为载体，把函数的性质（单调性、奇偶性、最大值与最小值）的学习逐步深入，二次函数的“升级”，正好是初高中数学教学的衔接，再一次贴近学生的思维过度期。
每天我都上两个班的课，上完一个班，马上反思，如果发现有不合理的（包括教学目标的达到度、教学策略是否得当、学生主体地位是否得到足够的尊重、课程资源是否整合、对未预见言行是否处理得当、问题设置是否有意义、情境创设是否到位等教学内容、教学过程、教学效果等进行思考），如果时间允许，第二个教学班就马上调整自己的教学，如果当天不能调整，记录下来。通过与学生的互动，共同开发、创造课程资源活动的小结、思考，使自己的教学更加完善，感觉自己也在进步，也在收获。
总之，在教学反思的行动中，我坚持：一、保持敏感而好奇的心灵，“好奇心‘唤起关心’，唤起对现在存在或可能存在的东西的关心。正是好奇心使人们摈弃熟悉的思维方式，用一种不同的方式来看待同一事物。二、要经常、反复地进行反思，通过反思来理解对象、理解自己，让自己与对象对话、与自己对话。
2、 人教A版必修2的教学设想
1、空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系
空间几何体的教学，侧重空间想象能力的培养，空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。
根据这一界定，还有人教A版教材的编排上，对空间几何体的认识，从外部整体的认识到内部零件组成的认识过程，我设想，在学习知识前，①先让学生以小组的形式，分工用厚纸皮做长方体、圆柱、椎体、棱台，用十二支吸管做一个正方体模型（这要求每两人可共用一个，这些都成为今后教学的模型），通过动手做模型，搭建思维的空间框架，同时通过做模型，学生了解这些模型的结构特征，为学习第一章做了良好的铺垫（如结构、三视图，表面积）；②要求从书中找出二十个图，让学生画图形，学生自己先感觉，在平面上怎么去画出空间的立体图形，使学生在学空间几何体之前，自己先感受空间图形，希望他们尽快从二维走向三维，有利于第二章的教学，帮助学生完成了具体模型到抽象直观图的认识过程。人教A版编排上，很大篇幅都是采用长方体来解读空间中的直线与直线、直线与面、面与面之间的位置关系，让学生使用自己的作品，帮助自己建立空间想象，使学生养成动手习惯，当遇到无图的题目时，利用手中的笔（线）、本（面），能摆出题设的模型，如需要，还能画出；当遇到有图的题目时，如分不清，能动手摆出大概的模式，帮助自己分清。
2、 直线与方程、圆与方程
解析几何是17世纪数学发展的重要成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。
数形结合是本模块重要的数学思想，这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性和“数”的严谨性。例如：直线和圆是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度分析直线和圆的位置关系，那么，如何从“数”的角度刻画它们之间的位置关系呢？人教A版的教材编的很好，教材中采用了方程组求直线与圆的交点的方法，也采用通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断的方法。这样，在将学生所学知识加以整合和升华的同时，也为后续内容（直线和圆锥曲线的位置关系）的学习奠定了基础。
我设想，教学过程应“接头续尾，注重过程”。通过引导，使学生经历下列过程：首先建立坐标系，将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其相互关系；进而，将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结论的几何含义，最终解决几何问题。通过上述活动，使学生感受到解析几何研究问题的一般程序。由“形”问题转化为“数”问题研究，同时数形结合的思想，还应包含构造“形”来体会问题本质，开拓思路，进而解决“数”的问题。
参考文献：
①李长吉，张雅君：教师的教学反思 《课程教材教法》 2006、2
②崔允huo ：有效教学：理念与策略 广州市第十二届中学数学教学研究会《学习材料汇编》2006、8
③章水云：新课标下高中数学“有效教学”的策略探究 《中学数学研究》2006、8
④谭国华：新课程标准高考对数学能力考查的形式与要求 《中学数学研究》2006、9
⑤耿道永：中学数学“有效备课”的探究 《数学通报》2006、9
2006年10月28日星期六
PAGE
5编号：570004
海南洋浦实验学校：赵生碧
数学选修1—2若干问题的思考与建议
海南洋浦实验学校 赵生碧
内容摘要：数学选修1－2教材编写的优点、修改或建议.
关键词：选修1—2、优点、思考、结束语.
一.人教A版选修教材1-2编写内容的优点
人教A版选修1-2这本教材的导引、章引言、漂亮的彩色插图、随处可见的观察、思考？探究、阅读与思考、信息技术应用等等，给人以亲切感，有助于把学生引导到教科书中来，同时也体现数学的美学价值；数学史的渗透，数学家的创新精神，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，渗透数学的文化价值和亲和力.
其中教材令笔者较为欣赏的地方：
1.教材几乎每节都有思考或探究，以问题启发学生思考，使学生对某知识了解其来龙去脉，理解、记忆会更深刻，从而也有助于学生对数学学习产生更大的兴趣．
2.较多的例题与习题均是和生活有关的，或者是老师能较好利用从而激发学生兴趣的例子，这可以让我们的数学课堂不再那么枯燥、无味.
3.加强了信息技术的应用，信息技术有助于帮助学生更好的理解或更生动的丰富课堂教学.
4.选修1-2第四章《框图》笔者认为教材编写得相当好，在以后的高考总复习中每章都可以让学生自己画出知识结构图，即是对《框图》的一种复习，同时让学生自己画出知识结构图，有助于学生形成知识体系，完善认知结构.
选修1-2的教材在编写中与传统的教材相比增添了资料分析、观察、探究与思考等栏目，此栏目充分发挥了学生的主体作用和教师的主导作用.而发挥学生的主体作用，要求教师在教学中要敢于“放”，如何正确引导学生积极主动地学，充分激活学生的思维，积极讨论，展现个性，拓展知识领域.通过讨论，学生很容易掌握所学的知识点，而且在用所学的知识去解决问题的过程中又巩固了所学的知识，使记忆更牢固，使所学数学知识真正成为有用的数学.这样通过教师和学生的交流，学生和学生之间的交流，学生和书本之间的交流，学生参与活动，改变了学习方式.在探究活动的编写方式上，注重引导学生提出问题、主动探究、观察、分析结果、得出结论.在这一系列过程中都是学生动脑思考、动手去做，可使学生更深入地理解相应知识，建立知识间的联系，使他们在面对实际问题时，可灵活地运用知识解决问题.
例如：在第一章《统计案例》中，教材以学生的身高与体重；吸烟与肺癌有无关系作为学习材料，一步一步的引导学生进行理性的观察和剖析，在学习知识，解决问题的过程的同时又巩固了所学的知识，记忆更牢固，使所学数学知识真正成为有用的数学.同时还可以对学生进行健康教育，使他们远离吸烟，从而有一个健康的体魄.
应该说：选修1-2是本贴近生活，学生学习起来感到很轻松的好教材；它们即符合素质教育的要求，更能贴近学生，激发学生的兴趣，使学生参与到学习中来；这些将极大的提升中学数学教学的质量以及更好的培养学生的创新思维.
二.教材留给笔者的一些思考与建议：
教材的整体编排体现了数学来源生活，服务于生活，发展于生活，注重了数学思想的渗透，但由于学生的能力及基础参差不齐（尤其对文科生而言），大多数学生对课本的阅读理解感到困难，他们很需要教师的解释答疑，但按照课时的安排，完成教学内容已感到吃力.
“内容多，课时少”是学生反映最强烈的问题，事实上也是笔者在教学过程中感到最矛盾的地方，时间严格按照课标要求，实行36课时/模块，笔者作了几次调查表明，50％左右的学生认为老师讲课速度快，学习跟不上，没有时间理解和消化所学习的内容.因而有必要适当调整部分教学内容（尤其对文科生而言），同时调查表明，学生几乎没有学后反思的环节，这是致命的（尤其是文科生），这也是笔者在今后教学的一个迫切需要解决的问题，要逐步加以引导.
对现有的部分内容，该充实的还是要充实，让教材内容更具体，学生学习起来更方便，关键是看教师如何对教材进行整合.例如：某些公式、定理的证明、推导，虽然课程标准中不要求学生掌握，但教材中还是可以以某种恰当的形式给出（如小字的形式，以某个问题启发学生思考，介绍某些参考书或某些网站让学生自己去查阅等），以满足不同层次的学生的需求.
结合课标相比，在整个选修1-2的教学和研讨过程中，笔者赞同教材的例题设计、素材选择和内容的呈现方式，但同时笔者认为教材中存在一些尚须改进或改正的地方：
1.教材中开放题出现的较少，建议以后多增加一些开放题的习题或练习.
2.选修1-2在素材选材过于趋于城市化、实例化，脱离学生生活环境．教材编写风格上、情境设计上，过多吸收西方的中学教材的风格，教材中常识太多，引入背景过长，非数学的内容过多，容易分散学生的注意力，影响了对数学本质的把握．
3.选择大、梯度大，学生接受难度大．教材的例题引入比较浅，留给教师发挥与学生思考的空间大．例题、习题的梯度大，教学中教师难把握“度”，发挥的空间教师用不上，习题中过于实例化，数据过多，学生做题困难．有些习题取材于实际应用问题的背景太复杂，学生理解太困难．
4.螺旋上升系统性差．教材采用螺旋上升与循序渐进的混排方式，知识内部系统性差，螺旋上升实质上是简单的重复，如《框图》还得重新从程序框图学起，由于缺乏实验基础，螺旋上升是否科学还得由实践来检验，至少可以说与我们文化背景和习惯有很大的差距．
5.关于信息技术的应用，学生普遍要求教材能对具体操作步骤更细致些，让学生一看就懂得操作；因为目前信息技术在我们一些硬件设施比较薄弱的学校不能很好的普及.
总的来说，人教A版选修1-2教材顺应了改革的潮流，改变了教材的编排顺序，从特殊到一般，从具体到抽象，符合学生的认知过程；注重知识的发现、探索过程，让学生亲身经历观察、实验、分析、归纳、解释与应用等做数学的过程，学会学习，体验积极情感.
三.教后留给笔者的一些思考与建议：
选修1-2在课改之前大多数是高二的内容（相当一部分是新增内容），并且每周至少是6课时；现在实行课改后每周是4课时，课时紧，任务大，同时由于学生初中学段数学基础较薄弱，动手下笔能力较差，再加上必修内容学的不扎实，多数同学只能用耳去听，不用脑思考问题，更不用手下笔解决题目，因此我感觉学生学得不够扎实，大多数学生反映“消化不良”.
虽然教材注重知识结构体系的合理性，保持数学思想方法的一致性，对那些核心的数学概念和重要的数学思想遵循着循序渐进、螺旋上升理念，让学生有反复接触的机会，以保证学生获得必须的数学基础知识；但是我们广大一线教师在认真贯彻课改精神的同时，在实践中也要尊重学生的实际情况，在实际中总结经验，吸取教训，这样才能使数学教育获得良性发展；即要遵循阶段性、螺旋式上升的原则，又要强调发挥学生的主体作用，使学生在学习中有一个积极主动的状态，经过教学培养学生的一些探究精神、实践能力等等，这也是时代发展对教育提出的新要求；客观地说，我们的数学教学存在许多急需改革的地方.例如：
1.赶进度，一个模块严格要求36课时学完，学生没有时间理解和消化所学习的内容，我们都清楚，文科生的数学功底如何，重点中学与普通中学的学生的水平不一样，学生情况又不一样，重点中学的学生或许一个模块不要求36课时就能很好的完成，而普通中学的学生很可能一个模块超过50课时也不能很好的完成（在海南尤其是下面的农村中学，受各方面条件的限制）.笔者几次考试（每次考试课本上原题占有相当大的比例）也就充分说明了这一点.与其赶进度，倒不如根据学生的实际情况进行有目的、有针对性的教学. 既然是课改一个模块为什么一定要受36课时的束缚呢？笔者认为在高一第一学期开设的数学课程不宜过多，可以考虑只开一个半模块（甚至只开一个模块），让学生对高中的数学学习有一个适应的过程，以实现初高中的平稳过渡．
2.“注入式”教学盛行，大量采取“概念——例题——练习——习题”的教学模式，强调细枝末节，而概念教学一带而过，讲解例题就是归纳题型，然后就让学生进行大运动量的机械重复训练，擅自增加教学内容；
3.独立完成作业的学生不多．由于教材上所选的习题较难，背景较复杂，学生真正能独立做题的人不多，多数学生是在抄教材全解书上的解答或抄同学的作业．课外的教辅资料的与新教材的思路不配套，使用起来效果也不好，迫切需要与新教材真正配套的教辅资料；
4.强调题型训练，注重解题技巧而不重视核心数学思想方法.
……
四.结束语 当前数学教学亟须解决的问题较多，笔者认为应该解决的对策与方法是：
1.减少或删掉部分选修内容，理顺知识的内容.
2.课改专家要下学校进课堂现场解决教师的困惑.
3.建立教辅资料准入制，积极开发与教科书配套的资料.
4.培养学生解题后反思的习惯.
第 1 页 共 3 页能让学生看到“素描”而忘掉“人脸”吗？
宁夏 固原市二中 高建斌
教完新一轮高中数学教材，笔者对新教材中增添的新对象和新方法留下很深的印象，这种印象除了一些新鲜、生动、有活力外，也有一些割舍不下的缺憾。例如，学习了具有近代气息的数学内容向量一章，难道我们仅仅让学生机械的套用几个定义和一些运算法则吗？用物理中的几个例子说说向量的应用吗？或者以向量为工具证明几个几何命题吗？当然，这对于学习了向量知识后，是应该掌握的“形而下”的必须基础，但不应仅限于此。笔者认为，新的高中数学教材中引进了向量，除了让学生理解并掌握一些基本概念和运算法则外，教师还应在一定的条件下，适时地引导学生对这个陌生的“新数”（向量）的运算与熟悉的“旧数”（数量）的运算作适度的横向比较，尽可能让一些学生在陌生的运算中看到熟悉的模式，在熟悉的运算中又看到陌生的规则。譬如，在整数中的加法运算与向量中一种也叫做“加法”的运算中，我们用Z表示整数集，用V表示在同一平面内从一定点引出的一切向量所构成的集合，引导学生对Z中的加法和V中的加法进行对比分析
运算对比项 在Z中的加法 在V中的加法
定义的特性 若Z1，Z2∈Z，则在Z中存在唯一的数Z1+Z2 若a，b∈V, 则在V中存在唯一的向量a+b
例子 2∈Z,3∈Z，则2+3∈Z，2+3表示2与3的和，并且它表示在自然数列中的数2之后，再数出3个数，恰好对应于自然数列中的数5，因此可以写成2+3=5 OA,OB∈V,以向量OA的终点为起点作向量AC=OB则向量OC表示OA+OB并记作OA+OB=OC
交换律 若x,y∈Z 则x+y=y+x 若m ,n∈V 则 m+n=n+m
结合律 若Z1，Z2，Z3∈Z 则 （Z1+Z2）+Z3= Z1+（Z2+Z3） 若a，b，c∈V 则（a+b）+c = a+（b+c）
特殊量 对Z中任意一个数x，在Z中存在唯一的数0，使 0+x=x+0=x 对V中任意一个向量a，在V中存在唯一的零向量0，使0+a = a+0=a
相反量 对Z中任意一个数x，在Z中存在唯一的数b，使 b+x=0 称b为x的相反数，记作 – x 对V中任一向量a，在V中存在唯一的向量b，使a+b=0 称b为a的相反向量，记作 - a
教师选择这样一个角度，通过这样的比较，目的是让学生在“形而上”的层面上粗认“庐山的真面目”。事实上，一部分学生能够发现：（一）它们尽管都叫做“加法”，但它们的运算方式和意义都不同，（二）它们虽然在各自的“国度”里分别遵守着各自的“法律”，但它们的“法律结构”却有惊人的相似。大多数学生能明白，在整数集Z中的加法运算“环境”中，“5+6”有意义，在向量集V中的加法运算“环境”中，“a+b”有意义，“5+6”与“a+b”如果互换“环境”，那么它们都成了“非法移民”；有的学生竟能把这两个不同的运算“环境” 比喻成，一个如同蚂蚁社会，另一个如同人类社会，两种群体性质虽迥然不同，但它们都有一定的社会秩序……当你听到你的学生能发出这样的声音时，作为一名数学教师，是帮助学生继续探究“它们的社会”秩序而孕育数学这棵灰色大树上不可多得的新芽呢？还是以超出考试范围而掐掉未来才可能收获果子的新芽呢？数学教师应该明白，选择了前者，就为一部分（可能是一小部分）对数学有兴趣且有望走进数学殿堂的学生，在高考的“地铁直通道”旁，适时地打开了一扇侧看世界的窗户：
例如，用G表示由不为零的有理数构成的集合，用W表示由钟表上十二小时的钟点1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12构成的集合，让学生对G中的乘法*和W中的“钟表加法 ”（1 3=4，5 8=1，8 12=8） 再作进一步比较观察以及抽象概括
运算对比项 在G中的乘法 * 在W中的加法
定义的特性 若G1，G2∈G，则在G中存在唯一的数G1*G2 若h，k∈W, 则在W中存在唯一的数h k
例子 2∈G,3∈G，则2*3∈G， 2*3表示2与3的积，它恰好对应于G中的数6，因此可以写成2*3=5 7∈W,9∈W, 则7 9∈W, 7 9表示钟上7点再过9小时，钟上恰好是4点，因此可以写成7 9=4
交换律 若x,y∈G 则x * y = y * x 若h , k∈W 则 h k=k h
结合律 若G1，G2，G3∈G 则 （G1*G2）* G3= G1*（G2*G3） 若h，k，c∈W 则（h k） c = h （k c）
特殊量 对G中任意一个数x，在G中存在唯一的数1，使 1 * x = x * 1= x 对W中任意一个数h，在W中存在唯一的数12，使12 h = h 12 = h
相反量 对G中任意一个数x，在G中存在唯一的数k，使k * x = 1称k为x的倒数 对W中任意一个数h，在W中存在唯一的数k，使h k =12 称k为h的逆
通过这扇窗户学生看到了平时很少见到的，但又是最有用的数学“另景”（虽然这些景色对学生来说还只是一些朦胧的惊奇）：在一个非空集合中，引进一种运算（这个运算满足一些特性，如它的封闭性、可交换性、可结合性、有单位元、有逆元），由这个集合以及这个集合中的这种运算建立起一个结构系统（或代数系统------交换群）。
的确，真正从上面列表：Z中的加法运算、V中的加法运算、G中的乘法运算、W中的“钟表加法”运算的形式中，能抽象概括出它们的内容实质-------一个集合中只含一种运算所构成的结构系统的学生是很少的，但教师在此所做的目的，不是让学生严格理解群的抽象定义或者知道什么叫交换群等抽象概念，而是让学生知道，这边是山，那边是山，山的后面仍然是山，但山的后面的后面还有大江和大海。它的“含金量”用现行的教育评价方式是测不出来的，但这对一些热爱数学的学生却是难得的最有用的“另景”，它可使这些（哪怕是极少数）学生，在中学时期初步拥有，用另一双眼看“世界”的经历、节外生枝的冲动、怀疑和猜测某种美丽而又奇怪的数学形式背后，可能隐藏着某种大规律的敏感等。如果我们能使这些学生的数学“根毛”免遭“考纲”扼杀而得以伸延，那么他们将来靠兴趣也许只能靠这些兴趣，执著地坐数年 “冷板凳”，为中国的数学发展做点什么。这是选择了前者。然而，目前选择后者的数学“名师”比比皆是，这是因为，一方面他们了解市场需求，掌握绝大多数中国“观众”不爱“美声歌手”狂迷“通俗歌手”的时潮，“通俗歌手”不仅“观众”喜爱而且易成“名家”。另一方面他们对“高考”的脾气了如指掌，甚至高考卷中的某些能力试题也成了瓮中之鳖。这些高明的“行家里手”，也能使一些学生长成数学“尖子”，但遗憾的是这些“尖子”中，不少人对数学一点感情都没有，考完试就和数学坚决分手。这就难怪一些重点大学的教授对数学专业的学生说，你不爱数学为何要选择它呢┅┅作为数学教授非常清楚，如果把数学仅仅作为一种就业的手段而毫无兴趣可言，那么，他们无论如何都不会使数学这棵灰色的大树上节出“新果子”来，这是因为兴趣正是这棵大树的根系不断伸延的内在原因。
因此，教师要用新教材教出真正的新意和学生用新教材学出个真正的新感觉来，并非换一套新教材就能解决的事。她需要环境的各个方面的协调和改善，特别是对学校的教育质量指数必须用科学的方法进行绿色评估（手段、过程、发展斜率、教育成本、社会成本、未来发展潜力大小等）不仅看结果更要看这一结果得来的过程------是否假发展或零发展或超限超载的负发展等），这些的确亟待解决，但还需要一个漫长的过程，而目前有望我们教师尽快能改变地是，心静一点、眼光远一点、探究问题的面广一点，致使受数学感召的学生多一点，让数学这棵大树的根系更发达一点!
B
A
C
O“3.3.1方程的根与函数的零点”教学设计
山东聊城第四中学 王小玲
1． 教学目标：
1． 知识与技能目标：
（1）会用函数图象的交点解释相应的方程的根的意义；
（2）了解函数的零点与对应方程根的联系；
（3）理解函数零点存在的条件.
2． 过程与方法目标：
（1）通过了解函数零点与方程根的关系，渗透算法思想，为后面系统学习算法作准备；
（2）理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；
（3）体验数学从特殊到一般抽象出结论，再应用结论解决问题的思维过程；
（4）通过探究思考培养学生理性思维能力，观察能力及分析问题的能力.
3． 情感、态度与价值观目标：
（1）通过学习二次函数图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的系统性;
（2）在教学过程中，通过学生的相互交流、体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法，培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认识事物的意识；
（3）通过信息技术的合理应用加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识.
二．教学重点和难点：
1． 教学重点：
（1）根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数;函数零点的概念;
（2）存在函数零点的判定方法；
2． 教学难点：
（1）函数零点的概念；
（2）由学生自主学习得到存在函数零点的判定方法.
三． 教具准备：
多媒体课件 投影仪
四． 教学基本流程图：
五．教学过程设计：
问题设计 问题设计意图 学生活动及师生互动
（1）一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？ 点明本节课学习的内容 板书此问题
（2）方程与函数；方程与函数；方程与函数； 让学生求方程的根并通过观察与函数图象之间的关系,找出联系. 让学生讨论得出结论.两个不等实根与函数与x轴交点的横坐标关系;两个相等实根与函数与x轴交点的横坐标的关系;无实根时函数与x轴无交点.
(3) 你能从上面三个具体的实例中得到一般的一元二次方程的实根与相应的二次函数与x轴交点横坐标的关系吗 让学生经历从特殊到一般的思维过程;让学生探讨一般式的研究方案. 让学生提出根的个数由决定.从而由三种情况来得出一般结论.
(4) 给出零点概念.
(5) 只有一元二次方程的根与相应的二次函数的图象与x轴 交点的横坐标才具有这样的关系吗 让学生思维加深再深入到更一般的情形. 可让学生举例子.比如与.
(6) 同学们讨论函数,的零点与函数的图象与x轴的交点的横坐标的关系. 三者的关系由学生得出结论. 由学生代表得出结论,再由老师补充深化.
(7) 对于不能用公式法求根的方程来说,如何求出方程的根呢 让学生讨论,以培养转化的思想. 得出只需利用函数的图象及性质找出零点
(8) 探究:二次函数的图象在上有零点.计算的乘积.你能发现这个乘积有什么特点 在上也有这种特点吗 让学生计算. 由学生得到结论.同理.
(9) 上面的实例引导探究在满足什么条件时,在（a,b）上有零点. 经历从特殊到一般的过程. 势必学生在回答问题时漏洞很多.引导学生探究、补充完整.
(10) 例1中零点的个数仅有一个你能解释清楚吗 让学生积极思考. 引导学生从函数的单调性上考虑问题.
(11) 你能口头证明函数为增函数吗 让学生利用定义法即可. 让学生回答.
(12) 练习
(13) 师生交流与小结.由特殊一般性质实际;知道三者关系及求方程的根可利用函数的零点;数形结合的思想，化归的思想，由特殊到一般的思想.
(14) 作业 P102 2
开始
提出问题
实例1
实例2
实例3
由学生得出方程根与函数与x轴交点横坐标的关系
根与x轴交点横坐标关系推广到一般方程和对应函数
给出函数零点概念
学生探讨方程的根与图象与x轴交点以及函数的零点的关系
由学生探究实例得到存在函数零点的判定方法方法
教师规范结论
反思1
反思2
例题
达标测试
布置作业
反思小结
结束编号：570030
“算法初步”教学案例
海南中学 王 涵
1.1算法与程序框图
1.1.1、算法的概念和特征
1、 教学目标：
知识目标：
通过分析具体问题的过程与步骤，初步体会算法的思想、了解算法的含义，能用自然语言描述解决具体问题的算法。使学生体会算法的基本特征——有穷性、确定性、有效性、顺序性、不唯一性、普遍性（普适性）。
能力目标：
逐步发展学生有条理的思考与表达的能力，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观：
让学生初步了解我国古代、现代数学家对数学发展的影响和贡献。增强民族自豪感，增强对科学的热爱。体会算法在科学技术和社会发展中的重要作用，培养学生刻苦学习，努力拼搏，努力成才的学习积极性。
2、 教学重点与难点：
通过实例体会算法思想，初步理解算法的含义，体会算法的特征
3、教学基本流程：
材料一、
2002年8月20-28日在北京召开的世界数学家大会的徽标正是赵爽在为《周髀算经》做的注中巧妙地构造的一副“弦图”用来证明勾股定理。
材料二：
《九章算术》
《九章算术》是我国古代最主要的一部流传于后世的数学著作，它上承先秦数学发展之源流，后经汉代许多学者删补，最晚成书于公元1世纪下半叶。在中国历史上第一次出现了数学专著，是我国现有传本的古算书中最古老的数学著作。由于内容深刻、广博，它一问世就占据了中国数学舞台的中心位置。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。
该书共收录了246个数学问题，包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。其体例统一为：“今有。。。。。 问。。。。。。几何。答曰： 。。。。 术6曰： 。。。 ”全书以计算为中心，任何问题都要计算出具体的数字作为答案，而其术文全部是公式和计算程序，即现在经常说的算法。它集中体现了中国古代数学体系的特征：以筹算为基础，以算法为主，寓理于算，广泛应用。它的出现，标志着我国古代以解决社会各种实际需要（计算田亩面积、仓窖沟堤体积、交易、税收、编制历法等等）为主要内容，以算筹为主要计算工具，以当时世界上最先进的十进位值制的记数系统来进行各种运算，形成了一个包括算术、代数、几何等各种数学知识的体系。而且以算术（分数四则运算、比例问题等）和代数（负数的引入、一次方程组解法等）方面的成就最为突出。其中关于分数概念及其运算、比例问题的计算，负数概念的引入和正负数的加减运算法则等等，都比印度早800年左右，比欧洲国家则早千余年。
从此数学理论密切联系实际的风格和以计算为中心的特点，在中国也被牢固确立下来。
正如中国现代数学家，曾获得首届自然科学500万元大奖，在算法研究方面处于领先地位的吴文俊先生（1919~ ）所说：，“《九章算术》直道明代以前，向为中国数学上各种重大发现的源泉”。这本被誉为中国古算经之首的中国数学经典，于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》之于希腊和欧洲数学。在世界古代数学史上，两者像两颗璀璨的明珠，东西映辉，前者所代表的算法体系，与后者所代表的功利化体系旨趣既异，途经亦殊，成为现代数学思想方法的两大源泉。
材料三：
举世瞩目的神舟六号载人飞船于2005年10月12日上午9点整准时在我国甘肃酒泉卫星发射中心升空，17日返回。
计算机的问世可谓20世纪最伟大的发明，它把人类社会带进了信息技术时代，而算法是计算机科学的重要基础，就像使用算盘一样，人们需要给计算机编制“口诀”——算法，才能让它工作，要想了解计算机的工作原理，算法的学习是一个开始。
正如章引言中所述：算法并不是一个全新的概念，从古到今，算法都在扮演着重要的作用。
4、教学情景设计：
问题 设计意图 师生活动 备注
观察所给材料， 让学生初步了解我国古代、当代数学家对数学发展的影响和贡献。增强民族自豪感，增强对科学的热爱。体会算法在科学技术和社会发展中的重要作用，培养学生刻苦学习，努力拼搏，努力成才的学习积极性。 师：请同学们阅读所给材料，请谈谈你的感受。师：广义的讲，算法就是做某一件事的步骤和程序。如：菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌的算法。计算机的问世可谓20世纪最伟大的发明，它把人类社会带进了信息技术时代，而算法是计算机科学的重要基础，就像使用算盘一样，人们需要给计算机编制“口诀”——算法，才能让它工作，要想了解计算机的工作原理，算法的学习是一个开始。 正如章引言中所述：算法并不是一个全新的概念，从古到今，算法都在扮演着重要的作用。我们今天探讨数学中，现代意义上的“算法”
回顾二元一次方程组的求解过程 通过对具体的二元一次方程组的解法，初步感受是么是算法。 师：有几种方法，每个解法分别归纳出几个步骤？步骤的特点是什么？用语言描述一个算法：最便捷的方式就是按解决问题的步骤进行描述，每步做一件事情。 找同学板演师：如果对于一般的二元一次方程组如下，当a2b2-a2b1≠0时，该如何求解x,y呢？
思考： 从特殊问题得到一般问题的算法。注意结果，可以作为求解公式： x=(a1c2-a2c1)/ (a2b2-a2b1)y= ( c1b2-c2b1)/ (a2b2-a2b1) 由学生解答。明确解题步骤。
如何在计算机上求解二元一次方程组呢？ 让学生感知这类问题是可以用计算机来解决的。从而理解算法的描述性定义。 师：用excl表操作谁能描述一下算法的含义？ 数学中，现代意义上的“算法”通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，明确性、有效性、有限步
什么数叫质数？最小的质数是几？ 你能判断5是否为质数？6呢？引入例1 ：任意给定一个大于1的整数 n，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判断 从特殊推广到一般：1、理解设计一般问题的解可以从特殊的易于解决的问题出发，便于构造和“移植”程序和步骤，主要是体会算法的思想。2、为理解条件分支判断 打下基础。 让学生讨论猜想，如果让计算机解决，机器运行的步骤该是怎样的 S1:判断n是否等于2，是则n为质数;若n>2则执行第二步S2: 依次从2~（n-1）检验是不是n 的因数，若有这样的数，则n不是质数，若没有这样的数，则n是质数
试设计一个程序或步骤，求1+2+3+4+5+6的值。 1、明确每一步的运算实质是否一样，从而为下面理解循环打下基础。2、突出：递归性往往又是某些较为复杂的算法的特点（比起课本例2更容易理解算法的概念及体会算法思想。） 由学生分组讨论该如何设计。猜想，如果让计算机解决，机器运行的步骤该是怎样的师：进一步指出：有限构造或递归性构造的方法解决问题就是算法的思想。 见附：
课堂练习：1、你能举出更多的算法的例子吗？ 与一般的解决问题的过程比较，你认为算法最主要的特征是什么？2．算法的过程称为“数学机械化”，数学机械化的最大优点是可以让计算机来完成，中国当代数学家 在这方面研究处于世界领先地位，为此而获得首届自然科学500万大奖.3．任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积。4．任意给定一个大于1的正整数n.,设计一个算法求出n的所有因数。作业：1、试设计一个程序或步骤，求1*2*3*4*5*6的值。2、讨论如何用二分法设计一个求方程x2-2=0的近似根的算法(课本例2)
小结：
附：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算n(n+1)/2；
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
通过几个具体实例探讨算法的特征
有穷性、确定性、有效性、顺序性、不唯一性、普遍性
分析具体实例探讨算法的描述性定义—算法是怎样的？
通过模仿、分析、巩固对算法及特征的理解
小结与布置作业
x-2y=-1
2x+y=1
a1x+a2y=c1
b1x+b2y=c2
算法的概念和特征
二元一次方程组得求解步骤
两个具体实例编号：570001
人教社·数学A版·选修2—2教学研究
新课标教学研究课题组 （蔡芙蓉执笔）
新一轮的高中数学新课程实验已经历时两年多，冷静审视课程改革实验的得失，把握改革的导向，回头看看走过的路，不仅完全必要而且非常及时，这种务实的教学研究行为必将激励着人们求实奋进的教育情感。现谨对我校高中新课标数学教学研究课题组的教学试验活动予以审视与反思。
在课程改革实验中，我们清醒地认识到：新的《高中数学教程》一个显著的特点是大幅度调整了传统的教学内容，代之以近代数学最基础的知识和技能，从教材内容、习题配备、编排体系上都体现一个“新”字，《选修2—2》也正以新的姿态出现，对原教材内容进行重新整合与增删，体现新课程理念。该模块包括三章内容；《导数及其应用》、《推理与证明》、《数系的扩充与复数的引入》。
一．教学实录
导数与积分是微积分的核心概念之一，新教材舍弃了用极限概念“纯数量”地去定义导数与积分，强调让学生在实际背景下经历从平均变化率到瞬时变化率刻化现实问题的过程, 在实际背景下直观地实质地感受关于导数与积分的描述，体会蕴涵于其中的的重要数学思想——“数形结合思想”、“逼近思想”和以“直代曲思想”,感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．在教学过程中我们根据教材的这些特色，体现《课标》新课程理念。我们的教学体会是，《课标》和教材设计的基本思想是要求学生建立一些基本概念与初步掌握一些分析问题解决问题的基本思想方法。具体地说，对于导数部分的教学，我们把重点放在理解导数概念，会求一些简单的函数的导数和利用导数研究一些简单函数的有关性质。对于积定分，仅要求能初步理解积定分的概念与体会积定分的应用价值即可。 “推理与证明”部分的教学，我们依据《课标》和新教材，突出强调了对数学的基本思维过程与规律的认识与运用，改变过去过份侧重演绎推理而忽略合情推理的教学理念，把合情推理的教学放到合理的重要地位上来，教学中注重引导学生首先运用合情推理去探究、猜想和归纳得出结论，并运用数学证明方法证明结论的正确性，并在解决问题的过程中感受逻辑证明在数学与日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。“复数”部分，我们在教学中依据《课标》和新教材《数系的扩充与复数的引入》，删去了复数的三角形式及其运算的内容，突出了数系的扩充过程，复数的表示法及代数形式的加减运算的几何意义．通过方程的求根问题情境的设计，让学生了解数系扩充的全过程和引入复数的必要性，体会人类的理性思维对数系的认识和扩充的作用．对于复数的加减运算的几何意义的教学，我们注意到了这部分内容与平面向量、平面解析几何的横向联系，着重培养学生数形结合思想和综合运用知识的能力。
在实施本模块的教学过程中，我们的实际教学用时超过课程标准规定36课时（实际用了44个课时）。其主要原因是以下内容学生接受较困难，需要增加课时以确保学生能理解相关内容并落实必要的双基训练：（1）导数与定积分概念；（2）反证法、数学归纳法。
二．模块试题的命制目的及试卷分析
（1）模块考试的目的（试题见附件）：《导数及其应用》部分考查导数和定积分的基本概念、公式的初步理解、基本的运算技能以及对蕴涵于其中的“数形结合思想”、“逼近思想”和以“直代曲思想”等重要的数学思想的领悟；考查导数在函数单调性、最值等方面的简单应用；《推理与证明》部分考查初步掌握数学证明方法，对推理论证的技巧不作过高要求；《数系的扩充与复数的引入》则考查复数的基本概念和代数形式的简单的四则运算以及对复数加减法几何意义的了解。
（2）学生答卷情况：分数条形统计图如下：
学生总的答卷情况较好。解答较完满的题目是选择填空题中的导数、积分概念与运算、复数概念及运算有关的题目、解答题中的题1（复数）、题3（不等式证明）、题4（导数的简单应用）等。学生解答有困难的题目主要是解答题中的题5和题6。主要原因是题5的参数较多，学生存在阅读理解题意的困难和畏难情绪；题6是数学归纳法证明不等式，其中还涉及放缩法，对于基础不扎实的学生来说，解答该题有一定的困难。
三．模块教学反思
回顾本模块的教学，我们认为自己的教学安排是比较合理的，是能较好地体现课标理念的。学生总的反映良好，基本上达到预期的教学目标。我们的教学设计在体现课标的“问题性”、“科学性”、“思想性”、“过程性”、“应用性”以及“联系性”等基本理念方面是比较到位的。
例如，在1.5.1节的教学中，为了让学生感受“以直代曲”的思想，我们设计了两个例题，不厌其烦地反复将曲边梯形进行分割，然后求其面积的近似值的和，再考察当“分割”不断继续时，“面积的近似值”的变化趋势是怎样的；又如导数概念的教学，我们注重设计实际问题情景，让学生感受平均变化率当时的变化趋势，通过这样的教学过程，让学生感受到了知识的发生与发展过程，化解难点，使学生较好地认识导数概念的本质。
教学实验中存在的主要问题
（1）导数教学中容易落下可导性问题的陷阱，忽视对导数概念的理解；
（2）导数、定积分容易落下复杂计算的圈套；
（3）推理论证部分，教师没有准确把握《课标》，教学要求过高，学生面对较为复杂的问题，不能选择行之有效的推理证明方法；
（4）教学方式方面，有的教师对学生主体性的认识停留于表面形式，课堂上让学生自己看书或小组学习，教师没有提出具体的要求与建议，这是一种缺乏教师主导的形式主义的教学模式。
四、对课标与教材的修订建议
（1）导数的概念，不以极限的学习作知识准备，学习导数时理解就很难到位。定积分的概念中又出现数列极限的运算，这与前面的教学内容处理极不和谐。
（2）《推理与证明》对一些重要的思维方法与技能进行训练，课标与教材把它们集中讲授恐怕不妥，这样处理的最大缺陷是造成理解与技能训练不到位，学生没有深刻理解这些知识，就不能在分析问题与解决问题时自觉运用这些技能。我们认为，这些重要的推理证明方法，还是适当分散来处理较为妥当。因此，推理与证明方法的思维方式 非同一般，须循序渐进，经历一定周期方能形成气候，“打歼灭战”最终将导致事与愿违。
（3）教材中有引例设计不恰当，造成学习基本概念后不能及时回顾和解决引例所提出的问题，不利于激发学生的学习兴趣。对于教材存在的这些问题，笔者都做出有效的改进处理。以下是一个教学案例。
1．1． 节 变化率与导数 第一课时 “平均变化率”
教材中提供了两个引例：问题1. 气球的膨胀率，问题2. 高台跳水的速度 。这些引例突显了导数的应用价值，有利于培养学生的数学应用意识，但问题1涉及无理函数模型（），第二课时学习瞬时变化率与导数概念时若继续引用此例就显得繁琐了，因为计算r的瞬时变化率时需要用到“分子有理化”，这一运算技巧要到下一节学习导数计算的例5“求的导数”时才接触到。因此，我们认为这个引例有不妥之处，教学中将其暂时搁置，选用“自由落体问题”取代了问题1。具体的教学情境设计如下：已知自由落体的位移公式为，（1）在0〈t《1这段时间内的平均速度；（2）在1〈t《2这段时间内的平均速度；（3）在这段时间内的平均速度。
如此处理教材，既保持了教材原有的体现“应用意识”的特色，又便于第二课时学习瞬时变化率与导数概念时若继续引用引例，使问题具有了承上启下的功能。此外,学生在学习物理时已经知道“自由落体问题”的瞬时速度公式为v=gt,现在借助数学方法由位移公式导出速度公式v=gt,学生容易接受，且认可结论的正确性，与此同时，学生还从中认识到了数学的基础性和工具性的重要地位，从而激发了学生学习数学的热情。
（4）教材第二章 “推理与证明”选用的例题有些是与教学内容不甚匹配的，我们适当做调整处理。以下是我们的一个教学案例：
2.2.2节 “直接证明”中的“分析法”
“分析法”是“执果索因”，与“综合法”的“由因导果”是反其道而行之的，教材把分析法归为直接证明恐怕不太妥当，建议将其归入间接证明。其次，教材中分析法的例题选了一道立体几何中异面垂直的证明问题，这有不当之处。因为空间中的垂直关系判定一般需要具备几个条件才能下结论，若用分析法去表达证明过程就显得不够严谨和逻辑关系不甚清楚。我们对此例题作如下的处理：用分析法探求证明思路，用综合法表达证明过程。此外，再选下面这道不等式的证明题作为讲解分析法证明的范例。
（5） 关于复数代数形式的加减运算的几何意义，教材把“复数的模”仅作为“旁白”一带而过，这恐怕不利于让学生认识复数与向量以及解析几何的联系，而教学中如果淡化了这种联系，就会使学生认为学习复数是没有什么用处的，因而降低了学生对这部分内容的学习热情。因此，我们在教学过程中对“复数的模”进行适度的拓展，增加了以下的例习题：
总之，课题组对“选修2—2”教学实验能立足挖掘教材内涵，以新课程理念搭建探究问题的舞台，有所感悟，也有所收获，但课改试验仍处于初级阶段，始终是一盘未下完的棋！
注：模块测试题参见附件
参考文献：
1．刘绍学主编．普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）·选修2—2，北京：人民教育出版社。2005．6
2．严士健 张奠宙 王尚志．《普通高中数学课程标准（实验）解读》，江苏：江苏教育出版社．2004．3
PAGE
1数 学 归 纳 法
（第一课时）
姓名：岳 菲 菲
单位：高青县第二中学
地址：高青县第二中学
联系方式：13053307092（手机）
数学归纳法
第一课时
授课类型：新授课
【教学任务分析】
(1)了解数学归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关正整数的命题。
【教学目标】
1、知识与技能：理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式和整除问题。
2、过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；让学生养成自主思维、主动发现的学习习惯。
3、情态与价值：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】
1、了解数学归纳法的原理及其使用题型和基本步骤；
2、会用数学归纳法证明相关的等式和整除问题。
【教学难点】
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学基本流程】
创设情景，从具体实例引入新课
观看实验短片，类比得到引例的解决方法
探究得到一般情况下证明步骤
（得到数学归纳法定义）
例题练习利用数学归纳法证题
小结：数学归纳法的注意事项及其它应用
【教学过程】
一.课题导入
在数学研究中，有很多与正整数或自然数有关的命题，它们要求对所有的正整数都成立，或者对于从某个正整数开始的所有正整数都成立，例如：
能够被7整除
我们怎么证明它们呢？这一节我们将讨论这类命题的证明。
思考：
通过计算下面的式子，你能猜想出的结果吗？ -1+3=————
-1+3-5=————
-1+3-5+7=————
-1+3-5+7-9=————
上面四个式子的结果分别是2，-3，4，-5，由此猜想：
怎么证明它呢？
师生活动：学生A回答四个结果，然后教师引导学生猜想加到第n项时的结果，学生分组进行讨论，学生B回答。
设计意图：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
二.讲授新课
这个问题的特点是：要证等式在n为任何正整数时都成立。虽然我们可以验证n=1，2，3，4，5，……甚至n=1000，100000，……时这个等式成立，但是正整数有无限多个，我们无法对它们一一验证。所以，通过验证的方法无法完成证明。
要证明这个问题，必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。
我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏。
师生活动：观看多米诺骨牌游戏的实验短片。看完后，看一下对我们前面的思考题有什么启发？教师提出问题，引导学生回答，使所有骨牌都能倒下应具有什么条件 ？学生C、D回答。
设计意图：通过骨牌与正整数的类比，得出思考题的解题思路。
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；（奠定基础）
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下。（递推关系，若k块倒下必须导致k+1块也倒下）
类比多米诺骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长的一队1，2，3，4，……，k,k+1,……
师生活动：教师引导学生回答，要证明前面那个等式，只要证明哪两方面？
设计意图：培养大家联想想象的能力，类比骨牌和正整数得出解题思路。
只要验证，
(1)当n=1时，等式的左右两边都等于-1，即这时等式成立。
(2)验证递推关系，若当n=k（）时等式成立 ，证明当n=k+1时等式也成立。就可以由n=1时成立，递推出n=2时成立；由n=2时成立，递推出n=3时成立；由n=3时成立，递推出 n=4时成立……如此继续自动地递推下去，就可以说：对于任意正整数n，等式都成立。
教师板书：使多米诺骨牌全部倒下的条件和等式对所有正整数都成立的条件用表格对比理解。
设计意图：通过表格对比让学生更好理解证明的两个步骤、一个结论。
下面按照上述思路具体证明等式
师生活动：教师引导学生规范化步骤，提问学生回答每一步要干什么？怎么干？起什么作用？
设计意图：培养学生规范化步骤，以及自我思考、自我组织语言的能力。
证明：(1)当n=1时，式左右两边都等于-1，即这时等式成立。
(2)假设当n=k()时等式成立，即
在这种假设下，再考虑n=k+1时式的左右两边。
师生活动：证明这一步的时候，教师提醒学生要注意使用归纳假设，并且把证明的目标牢记在心，提问学生E目标是什么。
设计意图：培养学生做事情要有方向和目标，养成积极的做事态度。
左边=
=
=
==右边
所以当n=k+1时等式成立。
由(1) (2)可知，
师生活动：教师引导学生等式证完后，回过头来看一下每一步的作用：第一步是奠基、起步，第二步是假设与递推，是证明的关键。
设计意图：培养学生做事情有始有终的好习惯；从每步的作用上理解数学归纳法的思想。
还有很多命题不是从1开始的，那么一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的正整数n都成立，可以用以下几个步骤：
(1)证明当n=时命题成立；
(2)假设当n=k（）时命题成立，利用归纳假设，证明当n=k+1时命题也成立。
在完成了这两步之后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
用框图表示数学归纳法的基本过程：
奠基 假设与递推
例1 证明
分析:关键是第二步证明n=k+1时左边加一项，证出等于右边，必须使用归纳假设。
证明一：(正确步骤)
证明二:（在第二步中不使用归纳假设）
当n=k+1时 左边==右边
师生活动：在这个易错点上，先和学生一起书写正确步骤，然后给出另一种方法，其中没有用到归纳假设，让学生自己指出过程是否正确？是否是数学归纳法？
设计意图：强调数学归纳法在第二步的证明中必须使用归纳假设，否则就不能称为是数学归纳法。
例2证明：能够被6整除
分析:这是一个整除问题，与正整数有关，使用数学归纳法。第一步应该证明n=1时命题成立；第二步要确定目标，即在假设能够被6整除的前提下，证明也能够被6整除。
证明：(1)当n=1时，=6显然能够被6整除。
(2)假设n=k（）时，命题成立，即能够被6整除。
当n=k+1时=
=
由假设知能够被6整除，而k(k+1)是偶数，故3k(k+1)能够被6整除。因此，当n=k+1时命题也成立。
由(1) (2)知，命题对一切正整数都成立，即能够被6整除。
三.随堂练习
师：前面的两个例题是关于等式和整除问题，接下来同学们做两个练习。
1、数学归纳法证明：
2、证明能够被7整除
设计意图：检验学生这节课对数学归纳法的掌握情况
师生活动：找学生上黑板做，其他同学在下面做
四.小结
本节课，我们学习了：
数学归纳法的基本思想，证明步骤，适用题型，注意事项。
师生活动：学生F、G回答这一节课学习了什么内容，教师作思路理顺和补充。
设计意图：回顾总结这一节课的主要内容，使学生在整体上把握这一节课的知识点。
五.教学评价
课本50页第2题
【板书设计】
数学归纳法（第一课时）
1、 表格比较骨牌全倒下
和对所有正整数都成立的条
件
二、数学归纳法（定义） 例2
例1 小结
思考题证明
【教后记】
骨牌倒下的条件 等式对所有正整数都成立的条件
（1）第一块骨牌倒下 （1）当n=1时等式成立
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 （2）假设n=k()时等式成立，证明n=k+1
一定导致后一块倒下。 时也成立。
即若k块倒下，则第k+1块也倒下。
由（1）（2），骨牌一定全部倒下。 由（1）（2），等式对所有的正整数都成立。
对所有的n（）命题成立
(2)证明：若n=k()时命题成立，则]n=k+1时命题也成立
(1)证明:n=时命题成立自主探究结合学案导学式教学法
——教改课题阶段性总结
山东省桓台第一中学数学组 苏同安
课堂教学是教学的主渠道，它是学生掌握知识、培养素质和能力、开发智力的主要途径。传统的教学方法的弱点是没能使学生成为教学主体，学生往往处于消极、被动、受压抑的状态，学生的主动性、积极性不能充分发挥。既不利于传授知识、培养能力，又不利于开发智力和培养创新能力。纵观人类历史长河，人类的进步，社会的发展，文明的建设，都是人类集体智慧的结晶。而在当今高科技发展迅猛、知识爆炸的今天，一个人的能力毕竟有限，在学习、工作、生活、创造中，需要集体的力量和智慧，共同合作，克服困难，达到目的。世界上，各种群体成功的典范，充分体现了这一点。作为一名教育工作者，充分体会到当今中学生急需这方面的锻炼，来提高学习效率和能力，去迎接未来的挑战。因此，改革课堂教学，提高课堂教学质量，势在必行。
新课程改革的关键和最终目的就是要全面提高学生的素质和能力，促进学生的全面发展和终身发展。而课堂教学改革又是新课程改革的关键。所以，课堂教学改革成为基层教育教学工作者探究的中心问题。新课程、新教材既为课堂教学改革提供了一个崭新的“平台”、一个很好的支撑点，又对课堂教学改革提出了全新的要求。在当前形势下对课堂教学模式的研究不仅是进一步改进学科教学方法、提高和改善学科教学质量的重要途径，也可促使我们重新审视课堂教学目标的设置，以使我们的课堂教学能够培养学生真正符合素质教育要求的、新的知识和技能体系。让我们的教育教学除了要使学生在学业上取得优异的成绩外，更重要的是塑造他们完善的人格，培养他们坚强的意志品质，给他们注入一种永远奋斗的精神，使其在未来的学习、工作、生活中有爱心和进取心，并能接受各种挑战与竞争，不断实现人生价值，让家庭、社会放心。
山东省桓台第一中学数学组根据当前形势及上述的教育、教学思想，与时俱进，从最基本的课堂教学入手，学习、探究、尝试各种先进的教学模式，总结出（已开始全面运用）能提高课堂教学效果和学生学习效率、培养学生学习能力的教学方法——自主探究结合学案导学式教学法。
此法的全面使用，不仅提高了学生各方面的素质和能力，还大面积提高了学生的学业成绩，我校的数学成绩在2005年、2006年连续两年的高考中列全市第一；分获全国数学联赛一、二、三等奖的5名同学在05年的高考中，4人考入清华大学、北京大学，1人考入浙江大学（当年有7名同学升入清华、北大）。数学成绩的提高大大推动了总成绩的提高，即此种教育教学方法，不仅提高了学生的数学成绩，也端正了学生的心态、培养了学生的心理素质和应试能力，为总成绩的提高奠定了基础。
一、自主探究结合学案导学式教学法
自主探究结合学案导学式教学法就是利用学案导引学生的自主学习以促使学生进行主动的知识建构的教学模式。自主学习不是让每个学生各学各的，是要激发起全体同学的学习兴趣，使每个学生都积极主动地去探索、去学习，并加强合作交流，少走弯路。这其中的合作交流非常重要，包括师师、师生、生生的全方位合作与交流，但一定要尽可能的体现学生的主观能动性。此方法注重的是过程——学生在教师的科学引导下的探究与自主学习过程。知识不能通过被动灌输和传递获得，而必须通过学生主动、积极的建构实现。教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构。
自主学习能力可以说是学生学会求知、学会学习的核心，它是一种在教师的科学指导下学生制定有效的学习计划和学习策略、调节和控制各种任务行为的创造性学习活动。这里的自主学习概念不仅强调了学生高级认知能力（元认知和自我监控）在学习过程中的作用，也同时强调了学生对自己的学习过程的自主控制，这就使得我们培养学生主体性的目标得到了极为具体的落实。近年来有关建构主义学习理论的研究已经使我们对学习过程有了更加本质的认识，对自主性在学习过程中的作用和价值也有了较充足的的理论依据。这也是我们之所以要提出所谓的自主探究结合学案导学式教学法的理论依据。
学案是教师体现此种教育、教学思想方法的知识体系和能力培养的载体，它不仅有着导学的作用，还有“导教”的功能。这样，学案的作用不仅要成为沟通教与学之间的相互作用，还承担着引导和培养学生自主学习能力的作用，也就是引导学生在预习、听课、复习和巩固过程确立和使用适当的学习目标和学习方法，这也可以说是当前人们极为重视的自主学习能力的培养。为此，学案的科学、恰当的编制，显的极为重要，它怎样融入新课程理念，怎样与教材完善的结合，反映出基本知识、方法、思想的探究与学习，又怎样以丰富且有层次的问题、知识、方法、思想体系满足学生不同层次的需要成为学案要承载的主要内涵。
二、学案的编制思路及框架
设计和编制符合要求的学案是使用自主探究结合学案教学法的重要环节，也是本研究成败的一个关键。在学校领导的指导下，在校科研处的具体管理和统一要求下，本课题组组织部分骨干教师进行超学期集体备课及学案编写，并汇集成为校本教材。
我们对学案设计和编写提出如下的要求：
紧扣新课标：遵循“新课标”所倡导的基本理念、课程目标、设计思路、课程结构、教学建议、评价建议。对每章内容的教学目标和学习目标从三个维度进行分解和细化，旨在使教师教和学生学时既有针对性，又有整体性。
以学生为本：一切为了学生的发展，依据高中学生认识发展规律和心理特征，设置的栏目既要以双基为主、层层推进、简洁明了、清晰自然、目标明确，又要渗透新课标理念，创设基本知识自主学习及新颖问题的情景，以探究方式提出问题，引导学生探究数学知识、方法，快速掌握本节知识、方法要点，提高学生思维能力，激发学生学习兴趣。并倡导学生从问题开始，在对问题探究的过程中主动学习、互动学习、合作学习，全程创造性学习。
思路与要求：对各章节的知识与方法的学习与探索，要以双基为中心，与教材紧密相连，一定要完善地体现出教材中的基本知识、基本思想方法，使学生打下坚实的基础。设计基本问题时，可把一个重要知识点放在不同的情景中，反复考查，使学生能深刻认识，举一反三，灵活运用；同时，要注意总结方法、规律，渗透数学思想方法，培养学生综合运用知识解决问题的能力，提高学生的创新意识与解决实际问题的能力。问题的设置上一定要有层次，各种难度的问题都要有，但要严格控制难度，有适当的比例，这样，可满足不同层次的学生的需要。
整体框架：
1． 每一章分为若干节，每一节分为若干课题，每个课题一般讲两节课；
2． 每个课题的栏目设置及说明如下：
【课标要求】指明新课程标准对此部分内容的要求，明确教学及学习目标；
【导学求思】自然导入新课：或通过复习旧知识、承上启下进入新知结构；或利用有意义的问题导出新课；或采用类比、推广等手段自然进入新知结构。总之要调动起学生的学习积极性和兴趣；
【书中淘金】学生看完书后，对基本知识、方法进行填空；或者是对相关公式、性质、定理的适当推导；此处是学生自主探究基本知识、基本方法或其根源的重要栏目，一定要科学合理地设置基本知识、基本方法的探究过程与问答。不能只是一些生硬的知识的填空。
【双基自诊】设计3—5个紧扣课本的基本题目让学生解答，检测基本知识的掌握情况；
【范例剖析】设计3—5个典型例题进行分析、讲解与点评（基本题目可不给出解答过程，留空白，先让学生分析、解答。每个题后都要有“归纳点评”）
【思悟小结】对基本知识、思想方法、规律进行总结，对教法、学法及易错、易混点进行反思；
【双基测评】设计一组层次得当的题目测试学生，了解学生对本课题内容的学习、掌握情况，找出问题，不断完善。
【能力培养】设计2—3个综合题供有余力的学生（主要是实验班的学生）进行训练，提高综合能力。
三、自主探究结合学案导学式教学法的研究、实施过程及效果
研究、实施过程：
从2002--2003学年第二学期开始全面探究、使用此教学法，因这一学期是一个逐步探究和实验的过程，需要有学案上课和无学案上课的一个对照，再就是此学期还没有使用校本教材，所以不是每节课都使用学案，但每节课都要引导学生进行自主探究，通过一段时间的对比实验，明显地感到在有学案的情况下，学生自主探究的效率更高，掌握知识方法的效果更好。于是，我们积极主动按照学校的总体要求，把校本教材编写成为学案的形式，并从2003—2004学年第一学期开始全部使用学案，全面与自主探究式教学法相结合。学案编写的指导思想及整体框架就是按照本课题所倡导的自主探究思想来制定的，整体框架中有层次地设置的各栏目：【课标要求】、【导学求思】、【书中淘金】、【双基自诊】、【范例剖析】、【思悟小结】、【双基测评】、【能力培养】充分体现了本课题的思想及探究程序。这样，本课题的实践及应用已全面展开，并取得良好的效果。
课题实施效果：
1．学生学习目标更明确，并与教师的教学目标相对应，突出学习重点和难点，使学生在整个学习过程中都有明确的目标；
2．能提供适当的学习方法和学习策略指导，引导学生的主动探索和积极思考，增强学生的自主学习意识，提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力，促进学生问题意识和创新意识的发展。
3．能更好地梳理知识结构体系，使学生能够明确意识到新旧知识之间的相互联系，提供相关知识介绍和实践应用情况的介绍，促进学生从多方面、多角度进行知识体系的主动建构，促使学生认识到所学知识本身的价值；或者通过创设一种特定的学习和问题情景，使学生懂得意识到所学知识在解决具体问题时的作用和价值。
4．能够提供检测学习效果的适当材料，为学生的学习活动提供及时的反馈和评价，进一步明确在整个学习过程中的目的和要求，并使学生及时发现自身的不足，且能及时改进。
5．学生学习的效率大大提高，解答问题的规范性和准确性也有好转。
6．因为此种教学法，提高了学生的学习的积极性与主动性，强调了学生的主观能动性，让学生在各方面得到了锻炼，也明确了更远大的学习志向，不仅仅是为了现在的考试，甚至是高考。心态正常了，各方面素质，尤其是心理素质也不断提高。与人的合作精神及知识的应用意识也不断加强。取得如上述所述的显著成绩也就不足为怪。
四、建议
1．学案的编写和使用要与课本紧密相连，一定要反映出课本中的基本知识、基本思想方法以及知识的背景与发生过程。不能把学案写成类似学习辅导用书的模式。为此，我们不仅要求应该明确课程标准和教材知识的结构体系，而且还要求教师学习必要的教育和心理学理论，特别是有关认知心理学学习理论和教学设计理论、建构主义学习和教学理论，使教师在编写学案的过程中具备先进的教育教学理论的指导，增强学案的针对性和实用性。
2．要加强集体备课，对每一节课的学生自主探究方式、怎样引导学生探究以及怎样使用学案探索出最佳方案；同时，每位教师还应不断钻研业务、学习先进的教育教学理论，提高自身的素质，能驾驭此教学法和学案的使用方法，根据自己所教学生的实际情况对学案进行适当的增删或改进。
3．如上所述，自主学习能力可以说是学生学会求知、学会学习的核心，它是一种在教师的科学指导下学生制定有效的学习计划和学习策略、调节和控制各种任务行为的创造性学习活动。所以，使用此法时，不能简单地只是让学生随便看书或盲目地做学案上的问题，每位教师需要在集体备课的基础上充分备课，科学地、有层次地设计好每一个教学环节，因各部分内容的难易程度不一样，课标要求也不同，所以，对学生在各部分内容自主探究的指导方式、探究程度的要求上也应不同，要做到既要科学合理，又要有针对性。较难理解、较抽象的内容，教师要做好有层次的、恰当的引导，不可处处让学生单独探究。
4．要注意师生平等探索讨论 ：对提出或设置的问题，教师要通过引导、类比、对比、联想、观察、实验、归纳、化归，形成更数学化、更抽象化的问题；或形成引入探索、有希望成立的猜想；事项分解成更小、更具体、更可操作、更熟悉、更清晰并表现出递进层次的问题，为培养创造性思维作好必要的思考准备。
在学生自主解决问题时，教师要引导学生应用学过的知识自己解决问题。特别要鼓励学生在自主解决问题中的独创性和创新精神。解决问题的方式，可以是“各自为战”，也可以“分组分群”，还可以“你一言、我一语”讨论式进行。对于一时“迷路”的学生，不要马上否定，而要尽可能地肯定学生思维中的合理成分。要激励学生，争取给更多的学生创设参与机会，使全们得到自主解决的训练和感受成功的体验。
5．学案设计的问题是较全面的，各种档次的问题都有，比例是适当的。是为了满足不同层次的学生的需要。对于普通班，一定要求学生要抓好基础，一定要明确要舍弃的题目，并落实好计划和要求。
此种方法还需不断探索、实践，并进一步完善，望各位同仁提出宝贵意见。
2006年9月第二章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程
教学设计课例
普宁市城东中学 张东玲
教学目标：
（1） 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。
（2） 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
（3） 通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。
教学任务分析：
（1） 学生已有的主要知识结构
学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。
（2） 建立新的知识结构
与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。
教学基本流程：
教学过程：
问题 设计意图 师生活动 备注
1、回顾圆的定义，让学生用准备好的工具画圆。 学生动手画圆，结合图形，重现思维轨迹，为椭圆的学习作好铺垫。 1.由学生动手实验，并说出圆的定义； 画圆时，绳子一端固定在纸板上，一端栓在笔上学生再次体会笔尖到定点的距离不变的情景。
2.将圆心分开变为两个，绳子两端固定在这两个定点上，用笔勾住绳子，将会画出什么样的曲线呢？ 提出新的问题，激发学生的好奇心，引发学习兴趣。 1.师生一起画图，得到一个压扁的“圆”—椭圆；2.教师演示课件：拱桥、橄榄球、天体的运动轨迹等。 让学生领略到数学的美，认识到数学与生活息息相关。
3.在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？4.应该如何描述动点M所满足的几何条件？ 1.弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。2.让学生体会类比思想，整理实验，归纳抽象成数学问题。 1.引导学生分析实验，发现两个确定的量—定点及绳长，变动的量—笔尖（即椭圆上的点）。2.再次演示画椭圆的过程，引导学生发现规律：椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。 这里应给予学生充分思考和讨论的机会，引导他们说出自己的发现，并逐步修正得到椭圆的定义。
5.将两位学生所画的椭圆投影到大屏幕，并提出问题：在绳长相同的情况下，为什么画出的椭圆有圆有扁呢？ 使学生认识到椭圆的形状受到两定点的距离的影响。 1．教师：改变原有的两定点的距离画椭圆并观察图形，大家有什么发现 学生：的距离愈近椭圆愈圆，的距离愈远椭圆愈扁。
6.如果只改变绳长，而不改变的距离，又会出现什么结果呢 使学生进一步认识到椭圆的形状也受到绳长的影响。 教师：如果定点的位置相同，只改变绳长，椭圆又有什么变化？学生：绳愈短椭圆愈扁，绳愈长椭圆愈圆。教师：设||=2C，||+||=2a,如何通过a,c刻划椭圆的扁圆程度。学生：当越小时，椭圆愈圆，当越大时，椭圆越扁。
7.椭圆与两定点位置及定线段长有关，是否给定了线段长和两定点位置就一定能作出椭圆呢？ 加深对概念的理解 师生共同探讨，并演示课件，展示2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不同情形的轨迹。学生：当2a>2c时，轨迹是椭圆;当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以为端点的线段;当2a<2c时，无轨迹;当c=0时，轨迹为圆.
写出动点M所满足的几何条件的点的集合：P=M|||+||=2a。明确椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a（2a大于||）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
8.事实上椭圆在建筑、电子乃至航空航天等领域有着广泛的应用，因此，有必要进一步探求它的性质，研究它的方程。求曲线方程的步骤是什么？怎样建立适当的坐标系，求椭圆的方程呢？ 温旧知新，让学生认识到适当的坐标系有利于化简，也会使所得的方程比较简单。 学生回答求曲线方程的步骤，教师引导学生讨论如何建立坐标系。通过分析曲线的特征—对称性，得出以线段的中点为原点，以的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。 事实上，椭圆的美主要体现在均匀对称上，应充分引导学生讨论、发现这一点。
完成了“建系”，设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么，焦点的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与的距离的和等于常数2a（2a>||）。由定义可知，椭圆就是集合P=M|||+||=2a。||=,||=,+=2a.
能否将上面所得等式两边同时平方？应该如何处理两个根号的位置更有利于化简？ 在学生已懂得一个根式化简的情况下，针对具体的问题，寻求解决问题的想法。 请3—4名学生板演方程化简，教师在教室中走动，观察学生的化简情况。
组织学生评价板演情况，使学生明确若将上面等式直接平方，则化简过程繁杂且各项的次数很高；若将两个根式放在等式的两边，平方后可消去x2,y2,c2项简化计算，强调方法的选择。通过投影，将化简的过程呈现给学生。
教师：设||=2c, ||+||=2a，观察图形能否找出a,c，所表示的线段及其关系呢？ 结合图形，赋予a,c，以具体的几何意义。 （展示图形）学生：可以看出a,c是以为底边的等腰三角形的腰及底边的一半。教师：不妨令a2-c2=b2则方程可简化为b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得，这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a与b的关系如何？学生：a>b>0. 通过类比，让学生写出焦点在y轴上椭圆的标准方程，并根据方程分辨椭圆的焦点在x轴或y轴上。
教师用总结性的语言引导学生对椭圆方程再认识：椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1。椭圆的三个参数a.b.c满足。椭圆标准方程中的系数哪个小，焦点就在哪个轴上。
1教材中例1.2补充练习：已知椭圆的方程为则（1）a= b= c （2）焦点在 轴上，其焦点坐标为 ，焦距为 。（3）若CD为过左焦点F1的弦，则 CF1F2的周长为 ， F2CD的周长为 。 椭圆标准方程的应用。 2位学生板演例1，补充练习由学生口答。教师：如果将椭圆方程改为=1，上述问题（1）（2）（3）有何变化？学生：（回答略）
小结：（1）知识方面：总结了椭圆的定义；探讨了椭圆的扁圆；研究了在a、c的四种不同关系下的曲线轨迹；求出了椭圆的标准方程；了解焦点与方程形式的关系。（以上各知识点可借助课件展示出来）（2）能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，学会用运动变化的观点研究问题，通过椭圆知识学习进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美。
布置作业：教材习题2.2A组2。
教学说明
本节课研究椭圆及其标准方程，重点是研究用方程的思想来解决几何问题，是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化。这一节课的学习对培养学生数形结合思想、几何问题代数化等几何思想方法及辩证思维能力有着重要的意义。
下面是我设计本节课的一些想法：
（1）学生学习新知识必须在知识和经验的基础上自主建构与形成。在学习椭圆之前，学生已经学习了圆，因此本节课一开始即复习圆的定义，以旧引新，进一步探索椭圆的定义。在学生的“最近发展区”鼓励学生自由思考，自主发现，自由讨论，使学生通过动手画图，观察探索、归纳总结得出新结论。这正是新的课程标准所倡导的重视学生的自主探究能力的体现。
（2）学生的学习是在教师引导下进行的有目的的学习，教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和合作探究学习的过程，因此在教学中，我既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间，由此培养学生思维的敏捷性，提高课堂效率。
（3）课堂上，运用板演、相互交流、相互检查等方式，让学生开展合作学习。延迟判断，不把结论抛给学生，注重学习过程中学生的主动研究。同时不失时机的对学生进行美学教育，联系实际，激发学生学习兴趣；课后小结时，把解决问题和过程算法化，这有利于学生理清解决问题的思路和规范解决问题程序。
教学设计课例
第二章 圆锥曲线与方程
2.2椭圆
2. 2.1椭圆及其标准方程
单位：普宁市城东中学
姓名： 张 东 玲
根据条件，确定椭圆的标准方程
通过作图，提出问题，引入椭圆的定义义
回忆圆的定义，与已有的知识联系
小结与布置作业
PAGE数学必修1的教学回顾与思考
宁夏六盘山高级中学 陈宗善
数学必修1的实验教学经历了三个阶段，即困惑阶段、转折阶段和适应阶段。回顾这三个阶段的教学过程，有以下感受：
困惑阶段——————路在何方？
转折阶段——————柳暗花明。
适应阶段——————一路走好。
下面结合自己参加数学必修1的实验教学，谈谈我们的具体做法与反思，以便教师在教学中借鉴与思考。
1、 困惑阶段的教学回顾
2004年8月，新一轮高中数学新课程改革实验在我区全面展开，我校是首批高中新课程实验学校。高一数学教师多次接受了课标与教材的学习与培训，作好了实验的前期准备，但数学必修1的实验开始不久，出现了许多难以解决的问题，教师感到很迷茫，陷入痛苦的困惑阶段。具体表现在：
1.教与学的关系不协调
新课程倡导的新的学习方式包括：自主学习、合作学习和探究学习，由于学生很难改变长期形成的依赖于教师讲授的学习方式，习惯于被动接受，似乎没有老师的讲就无法学习，更谈不上合作交流和探究学习。如教师引导学生发现规律、归纳结论，但学生往往不会找，归纳不出来，就等着老师说出结果。教师试图改变以讲为主的教学方式，留给学生思考的时间与空间，开展“数学建模”、“数学探究”等学习活动，但学生不知怎样探究，造成了教师的教与学生的学的脱节现象。
2.教师不能创造性地使用教材
课程标准认为：“必修课程是所有学生都要学习的内容，是整个数学课程的核心和基础”。高中数学必修1（人教版），将传统的数学学习内容进行了充实、调整、更新和重组，以保证必要的基础知识和基本技能。由于教师过分强调教材，把教材看成唯一的教学资源，教材里有什么就讲什么，不敢大胆地取舍，不能创造性地使用教材。有些教师不能摆脱“应试教育”的束缚，不放过教材中的任何一道题，忙于处理课本习题和课外题，把数学教学看成单一的解题教学。数学必修1的主要内容是函数内容，数学课标指出：“在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题”。“在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用”。函数内容的学习是比较困难的，需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解。在教学中，教师舍不得放弃多年积累的函数的典型题目和方法，总想传授给学学生，没有体会到课标中关于函数内容的变化，补充了一些求值域的方法以及抽象函数等内容的习题，无形中加重了学生的负担。由于课标解读不具体，教师很难把握教学目标，造成了教师教得累学生学得苦的现象。
3.课时严重不足
教师普遍认为：教材越编越厚，习题越配越难，内容越上越多，感到教学如同追赶，课时严重不足。在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更谈不上留有巩固练习的时间了。要用9周36课时（每周4课时）完成数学必修1的教学任务，真是难上加难。每个学期要学完两大本书，相当于过去一了年的内容，以必修1为例，初中的二次函数、指数幂的运算法则、对数概念及其运算等内容已经压到高中，和传统的高中数学内容相比，高中数学必修1还增加了函数与方程、函数建模及其应用等内容，造成了速度快、学得浅、负担重、质量差的现象。
4.教材的问题
（1）教材内容与习题搭配有不合理之处。如课本第28页的B组题，第49页的7题（个人所得税问题）等难度过大。
（2）函数应用问题设置过难。如课本第108页的例2，解答繁长，计算量大，达不到使学生对不同增长的函数模型的体验。
（3）学科之间的教学不同步。如课本第34页的例3是关于烟花爆裂的物理问题，学生还没有学过其中的物理原理。
（4）很难做到使用现代信息技术解决问题。由于学校条件的限制，学生不能使用计算机作函数的图象。由于大多数学生没有计算器，函数应用的教学中学生不能体会算法的思想，达不到应有的教学效果。
2、 转折阶段的教学回顾
由于教学中存在着上述问题，数学必修1实验教学进入了低谷阶段，教师陷入到痛苦的困惑之中，对新课程实验产生了怀疑，新课程教学路在何方？在这种情况下，学校及时请专家指导，多次召开新课程教学研讨会，在反思教学的基础上，归纳了教学中出现的问题，提出了改进措施，形成了以下观点：
1.依据课标要求，创造性地使用教材
高中数学课程标准是国家对高中学生在数学领域的基本素质的要求，教材则是实现课程目标，实施教学的重要资源，它是依据课标而编写的。在教学中，应以课标为主，创造性地使用教材，即用教材教而不是只教教材。数学必修1中存在许多问题，教师应认真理解课标，对教材中不符合课标要求的题目要大胆地删减；对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的改编。此外，还应全面了解必修与选修内容的联系，要把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次接触，螺旋上升，实行分层教学。
2.教学改革不是对传统教学的否定，而是继承、发展和完善
建国以来，我国的数学教学积累了丰富的经验，对于传统的行之有效的经验，我们应该继承和发扬，如“双基”教学就是我国数学教学的传统。传统的听课理解、模仿记忆、练习作业等，仍然是当前数学学习的主要形式。可以对传统的学习方式适当改造，指导学生进行探究性学习，鼓励学生在解决数学问题的过程中，积极思考，探索规律。
教学是师生之间的对话、沟通、合作、共建的交往活动。长期以来，由于受“应试教育”的影响，教师将知识作为“绝对的客观真理”强加给学生，学生成为装知识的“容器”，基本上教师拉着学生走进教材，走进教参，走进标准答案，限制了学生的个性发展。面对新课程，教师应改变旧的教学方式，充分发挥主导作用，成为学生学习知识建构的指导者和促进者。在高中数学新课程的实施中，教师应从学生已有的知识经验出发，创设丰富的教学情境，营造一个和谐的课堂气氛，倾听学生的回答并适度评价，为学生的发展提供时间与空间，激发学生探求新知识的兴趣。教师要培养学生形成良好的学习习惯，引导学生探究学习，领会数学思想方法，构建知识，训练技能，获得数学活动的经验，消除过分依赖于老师讲授的被动学习状态，最终达到教与学和谐统一的发展。
3、 适应阶段的教学回顾
经过困惑和转折阶段，教师对新课程的实施有了明确的认识，依据课标使用教材的能力逐渐增强，使数学必修1的教学走上了正常运行的轨道。通过集体备课，解决教材中出现的各种问题。在教学中针对性地安排公开课、说课和评课活动，与同行切磋交流 ，把握教材的“度”，提升课堂教学效果。通过进一步的学习与培训，加深对课标的理解。新课程的实施处在实验阶段，难免出现问题，教师必然经过实践---认识，再实践---再认识的反复过程。随着新课程改革的不断深入，每一次学习和培训，都会有明显的收获。通过教研活动和课题研究，促进教师专业发展。在新课程的实施中，数学“双基”教学显得十分重要，伴随着实验工作的进程，我们提出了《新课程理念下高中数学“双基”教学设计研究》的课题，正处在研究阶段。我们通过以上做法，确保了新课程的稳步实施。
新课程的实验已进行了近一年时间，回顾数学必修模块的教学过程，深感实验工作的复杂性和艰巨性。解决问题、反思教学、总结经验教训，是我们的根本任务。在今后的教学中，还会面临新的问题和新的挑战，随着新课程改革的不断深入，学生由肤浅的、稚嫩的学习，逐步走向深刻的、成熟的学习，教师也会在使用新教材的同时，逐步走向成熟。
四.几点思考
1、尊重传统的学习方式，适度开展探究性学习
高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。新课程呼唤新的学习方式，在教学中教师应创造条件使学生有机会经历数学知识的发现、发生、发展的过程，在尊重传统的学习方式的同时,渗透探究性学习的某些因素，通过探究性学习活动,培养学生学习数学的能力.然而，由于学生在数学课主要学习的是间接知识，不易过多地使用“数学建模”、“数学探究”等学习方式。如果每个概念都从实践中引入，每个定理都在探索中发现，需要多少时间才能完成？过分强调探索与发现，违反人类文化继承和发展的规律，也给高中数学已经饱满的内容安排增加更大的压力。所以开展探究性学习活动要量力而行。
2、重新认识“双基”，确保数学教学质量
高中数学课标指出：“我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统”。“随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能”。高中数学课标对“双基”没有给出明确的界定，我认为，数学必修1—5的内容、选修系列1、系列2的主要内容应该属于“双基”的范围。例如算法、数据处理、概率统计、向量、导数及其应用等，是近、现代数学的重要知识，应当视为当代高中数学的基础；用计算机或计算器解方程、求函数值、绘画函数图象等，反映了运用现代信息技术的需要，应当视为当代高中数学的基本技能。教师应注意“双基”的发展变化，认识“双基”的新的内涵，围绕落实“双基”，设计教学过程，设计练习。只有重新认识“双基”，才能有效地落实好“双基”，进而提高教学质量。
3、不断完善新教材，新课程改革才会有生命力
2005年秋季高一使用的新教材，是在2004年教材的基础上改编的，教材问题相对减少。新课标下新教材的初衷是减轻学生负担，但现在实际教学内容偏多而不深入，教师忙于赶进度，学生消化不了就已到下一节课，反而增加了学生负担，建议适当减少教材内容。
初中学生已学过二次函数，掌握了二次函数的图象特征，会解一元二次方程。数学必修1可增设二次函数性质的再研究，结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数问题，可把必修5中解一元二次不等式内容提前至此，有利于学生理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，也便于掌握函数的基本性质。
由于教师水平的差异，对数学问题的理解和对课标的把握会出现较大偏差，而教材是依据课标编写的，建议课标解读更具体，教学目标更明确，以便一线教师更好地理解课标、使用教材，使高中新课程改革顺利地进行。《程序框图》的教学设计
青岛第十七中学 徐明俊
一、教学课题：人教A版数学③第一章第1.1.2节“程序框图”第二课时。
二、设计要点： 学生学习了算法和程序框图的第一课时，对算法的概念有了一定的认识，并且能用语言表示一个算法，掌握了程序框图中的顺序结构和条件结构，对算法有了一定的了解。因此本节课的设计，本着学生为主体的原则，引导学生完成循环结构的学习。
三、教学目标：
1．知识目标：（1）理解当型循环结构和直到型循环结构
（2） 能将具体问题用两种循环结构的程序框图表达
2．能力目标：培养学生的逻辑思维和创造性思维
四、教学重点、难点、关键：
（1）重点：理解当型循环结构和直到型循环结构
（2）难点：能将具体问题用两种循环结构的程序框图表达
（3）关键：两种循环结构作对比，启发学生思考、探索。
五、教学方法与手段：
1．教学方法：启发式教学法
2。教学手段：多媒体
六、教学过程：
教学过程 教师活动 学生活动 设计意图
一复习 1、请同学们举出一个写顺序结构框图的例子2、请同学们举出一个写条件结构框图的例子3、给定x的值，求出|x-3|的值，请画出程序框图 学生举例子，然后由学生回答 （1）循环结构中含有顺序结构和条件结构，所以对这两个知识点加以复习（2） 让学生试着体会教师的角色，既增强了学生的学习兴趣，又能做到对知识的温故而知新
二新课引入 引入本课的学习内容：循环结构框图，并引出概念 知道循环结构框图解决的问题类型 复习旧知的同时，顺理成章的引出新授内容
三当型循环结构 （一）当型循环结构执行当型循环结构时，先__________,若___________________,就_____________.然后再_____________ ___________,直到____________,此时执行循环体后面的步骤。例题：画出计算1+2+3+ … +100的值的程序框图。 通过课前预习，根据自己对当型循环结构的理解，结合框图，进一步掌握当型循环结构 将框图直接给出，开门见山的将知识点传授给学生，再结合框图，用语言叙述当型循环结构框图的特征，这样，学生的思维非常清晰设计一个累和的例题，使用循环结构
例题讲解 通过分析教师给出的程序框图，运行框图的同时，体会如何使用当型循环结构，解决这种累和问题 对于当型循环结构，学生虽然已经理解，但尚且不会应用，因此，教师直接给出例题答案，让学生思考，探究，从而掌握循环结构框图要点：（1）通过判断条件，控制循环的终止（2）通过计数变量和累加变量达到累和的目的
变式练习 变式1：用当型循环结构画出计算1+3+5+ … +99的值的程序框图。变式2：用当型循环结构画出计算1+2+3+ … +100 的程序框图。 学生通过对例题的学习完成两个变式练习 变式练习1：计数变量改成了i=i+2变式练习2：累加变量改成了s=s+i
四、直到型循环结构 执行直到型循环结构时，先__________,然后___________________.若____________,则_____________.直到____________时, 跳出循环 ，执行循环体后面的步骤。 类比当型循环结构，完成直到型循环结构的学习 在学习当型循环结构之后，进行了例题及变式练习，知道了循环结构框图的画法，掌握了当型循环结构，然后再学习直到型循环，不至于引起混乱，而且将难点分散
巩固练习 例题：画出计算1+2+3+ … +100的值的程序框图 用直到型循环结构画出上述例题的程序框图 还是当型结构框图中的例题，让学生再用直到性循环结构做一遍，这样学生就不需要重新审题，只需要专心致至的区分两种循环结构就可以了
小结练习 画出两种循环结构的程序框图 口述两种框图的运行过程对比两个程序框图，得出运行结果 得出两种框图的区别：（1）当型循环式条件成立时执行循环体，而直到型是条件不成立时执行循环体（2）当型循环体不一定运行循环体，而直到型至少运行一遍通过对比，进一步体会两种循环结构的程序框图
七、课堂小结，布置作业
八、思考题，让学生将探讨问题的兴趣延续到课后，韵味缭绕
智力陷阱：求满足的最大整数解的程序框图A处应为 .
否
是
I 100100
s=0
i=1
开始
结束
i=i+1
s=s+i
输出s关于《统计》内容的研究性学习
510630 华南师范大学附中 叶巧卡
内容摘要：转变学习方式，提倡研究性学习是新课程改革的显著特征，本文从数学必修3《统计》这章的教学，让学生进行一次研究性实践活动，从实践层面阐述学生进行研究性学习的过程和收获以及教育教学中所采取的策略。
关 键 词：新课程 研究性学习 探究活动 案例
1． 新课程与研究性学习
1、2004年，高中新课程改革的第一年，高中数学课程设置了数学探究、数学建模、数学文化内容，要求在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、数学建模活动，提出高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。研究性学习作为一种新的学习方式，就是在这样的教育背景下提出来的。
2、研究性学习是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定研究专题，主动获得知识、应用知识、解决问题的学习活动。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。研究性活动往往与课题研究联系在一起，而课题的探究过程成为改善学生学习方式的一个重要方法。研究性学习从动态的教学活动层面上看是一种学习方式，它强调学生在学习活动中的主体性行为，使学生积极参与到教学中来，让学生用自己的眼睛去看世界，用自己的头脑去思考问题，积极地寻找、获取各种资料和信息，培养学生的动手能力和创新能力。
2． 对数学必修3《统计》内容开展研究性学习
1、 选择《统计》内容的原因
对于统计知识，学生在小学就已经有了初步的认识，到了初中，也学习了一些简单的与统计有关的概念，比如样本、平均数、众数、中位数等，学生具备了一定的统计知识。高中数学必修3的《统计》主要让学生学习统计的各种方法，学会收集、整理、分析数据，体会用样本估计总体及其特征的思想，通过解决实际问题，系统地经历数据收集与处理的全过程。
数学必修3的《统计》这一章的知识相对比较简单，又跟实际生活联系密切，比较有利于引导学生从这里作为切入点进行研究性学习，开展数学探究实践活动。
2、具体做法：提出具体要求 学生确定课题 学生制定学习方案 学生具体调查过程 撰写统计报告 改进报告，制作课件，班内交流 选出精品，校内交流 优秀课题，写成论文，参加创新大赛
第一阶段：宣传与发动
结合教材，以数学必修3的《统计》这章内容为素材，布置数学实习作业，做一次数学实践活动，以数学学习小组的形式开展数学研究性学习，学生自主地选择统计调查课题，结合教材中的内容去收集和处理数据，让每个学生都有展示自己调查结果的机会。
这一阶段，让学生制定课题，设计方案。作为开始和引入，主要是为了培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，体会到数学的价值，享受到数学的乐趣，增强学好数学的信心。
由于刚开始接触这一新的学习方式，所以老师要在选取的统计问题上多加指导，贴近教材内容，贴近学生的认知水平，贴近学生的生活实际，而且涉及的专业知识不能太多，要易于理解，同时对每个小组如何分工、怎样合作必须给出明确的指导意见。比如有个小组选择的课题是“酒店未来的发展方向”，课题涉及的内容就不太符合中学生的知识水平。此阶段要求师生共同讨论，老师引导学生学会分析将实际问题数学化，找准统计问题的研究方向，设计第一份调查问卷。
本阶段还要初步熟悉统计调查问卷的设计。比如有个小组选择课题是“高一级同学最想拥有的超能力调查”，设计的问卷很简单，对超能力的定义和理解也不是很准确，老师就必须提出改进的办法，或者是换课题，或者是重新设计比较合理的问卷。比如课题“广州市高一高二学生的生活满意程度调查”的问卷经过近十次修改，最后的问卷是：
广州市高一高二学生的生活满意程度调查
目的：调查广州市高一高二学生的生活满意程度 和生活的简单态度
1、与我认识的多数人相比，我更好地把握了生活中的机遇。
A 是 B否
2、你与家人是否亲密无间；
A 是 B否
3、你是否曾经觉得你的家庭对你不好，但是你又确知他们的确对你好？
A 是 B否
4、你父母对你的教育方式：
A强迫型 B 溺爱型 C 自主型 D 其他
5、父母的受教育程度：
A小学毕业B初中毕业C高中毕业 D大学毕业或 以上
6、你有没有为集体服务的意识
A有 B没有
7、你发现赞扬别人是件容易的事还是困难的事
A 是 B否
8、你有（ ） 个亲密非常的好友
9、如果对方临时取消约会，你会怀疑他的动机吗？
A会 B不会
10、你觉得自己的能力和学习成绩被恰当地评价了吗
A 是 B否 C不清楚
11、你对别人因学习压力自杀有什么想法？
A 可以理解 B 不可思议 C 不清楚
12、我总是不断提高学习奋斗目标。
A 是 B否
13、你在周末睡懒觉而不学习会产生负罪感吗
A 是 B否
14、你是否在意别人如何看待你？
A 是，非常在意 B 比较在意 C 有点儿 D 一点也不
15、你经常分析自己、研究自己
A 是 B否
16、你很诚实
A 是 B否
17、你是否认为生活满意感与金钱成正相关
A 是 B否
18、你的对你目前的生活，你觉得
A非常丰富充实 B 充满坎坷 C安稳但缺乏刺激 D 有点儿乏味 E沉闷之极，令人沮丧
19、自评（对现状的满意程度 ） (0-100):
20、你认为你现在拥有的最重要的（在下面选）：
21、 你最渴望得到的：
A和美的家庭 B朋友 C良好的品质 D对生活的热爱 E 优异的成绩 F 来自各方面的理解 G 外貌和优雅的气质 H 健康 I其他，如 。
年级 高一 高二 性别 男 女
性格 外向 双向 内向
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
我还想说或补充：
第二阶段：实施与反馈
平时上课按照正常教学进度，介绍统计知识的同时，安排与所选的统计问题内容有关的典型案例，落实典型案例的活动目标，让学生初步掌握数据统计的常用方法。
为了让学生更加明确自己的调查目的、熟悉调查活动的开展，活动中期在班里进行一次中期交流会。让2个做得比较好的小组在班里介绍他们的做法及进展情况，让其他小组互相交流，探讨学习，共同进步。教师在参与活动的全过程中定期跟踪、了解进度，对学生的思想、观念、表达的准确程度及表达方式给予及时、具体、准确的指导意见。比如怎样分发问卷，收集第一手数据等等。
经过这一阶段实质性工作的铺开，激发了学生的学习热情，拓宽了学生的视野，让学生通过自身的实践活动，接触到更多的社会知识和科学知识，并且完成了数据收集、数据整理的工作。在教师的正确指导下，学生体验到改变传统学习活动的方式，以学习小组形式作为开端，让他们能够对经过提炼加工和收集的数据进行整理，并输入电脑进行统计，然后由学生写出结论报告。在这一阶段，老师要教会学生写调查报告，比如写调查报告的基本步骤，一份调查报告包含的要素等可以印成试卷发给学生作参考。
第三阶段：总结与交流
学生将写成的调查报告制作成课件，把调查结果在班里进行展示和评比，学生自己选择统计图表或其它方式展示自己的调查结果。最后挑出优秀作品在年级进行演讲、欣赏及交流，在学校范围内展示学生的调查报告。
其中一个小组的课题是“华附高一学生幸福指数调查”，经过分析数据得到这样的结论：
提问内容 占幸福同学的百分比 占不幸福同学的百分比
幸福重要吗 1．47%觉得不重要 9．72%觉得不重要
觉得不幸福会生活态度消极 59．89%选择是的 62．5%选择是的
觉得不幸福会产生动力努力改变现状 30．77%认为是的 26．39%认为是的
这个结论引起许多争论，甚至社会上都认为现在的学生不幸福……，在网上也有关于这个问题的报道，如耿银平的评论“调查学生幸福指数值得效仿”等现象，学生进行研究性学习还是第一次引起社会如此众多的关注。虽然这些结论还存在一定的争议（因为学生还不了解幸福的真正含义）。但这些对我们来说都不是最重要的，重要的是要让学生参与实践的过程、懂得探索的途径。诸如此类的情况还有很多，学生的钻研积极性得到极大的提高。
第四阶段：完善与提高
《统计》内容的实践活动培养了学生对各种能力的综合应用。它涉及到文字理解能力、对实际操作的熟悉程度、对相关知识的掌握与应用，提高学生良好的心理素质、培养创新精神和开发创造能力，在活动过程中结合观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法。为了完成课题研究，师生应组成“共同体”，遵循“老师指导、小组开展、统计实践、数学建模、形成结论、合作讨论、完成报告”的活动步骤，提高学生由分工独立到互动合作的能力。
小组成员最好是优、良、中、差均衡搭配，在每个环节中，建议分由不同的学生轮流做组长，负责召集、记录和写报告，然后师生共同讨论、评定和总结。教师应把重点定位在科学思维方法的引导、如何得出研究结论上，而评价时应重视学生是否真正参与了数学实践活动、是否得到了必要的收获等这些方面。必要时，还要对学生在完成这一任务过程中的合作能力、过程操作进行仔细观察和纪录，关注学生是否肯于思考、坚持思考和善于思考，并不断帮助他们改进思维方法与实践方式，并重视实际操作和多学科知识综合运用能力的培养与应用。
对于值得后续研究的课题，让学生继续修改和完善，写成研究性学习小论文，参加学校的创新大赛，甚至市的、省的或全国的创新大赛。比如课题“广州居民用水情况对水质的影响”，“探究广州高中学生对流行音乐的熟悉程度”和“中学生主观幸福感心理调查、分析与引导论文”等参加学校科技创新大赛，获得一等奖，最后“中学生主观幸福感心理调查、分析与引导论文”还获得广州市、广东省科技创新大赛一等奖。
3． 回顾与总结
1、与平时课堂教学的对比
学生学习的时间、地点、内容，以及学生学习的参与度、组织形式、活动方式、多样性结论和学习效果等方面都与平时的课堂教学不同。学习地点从课室延伸到课外；教师主讲改为学生自主学习（或相互学习）；学习的载体从单一的课本变成大量的课外学习资料。
按照以往的教学模式，在这一章的学习中，主要由老师在课堂介绍统计有关知识，或者运用多媒体举些具体事例给学生增加认识和理解。而在新课程下，学生自主选择课题、与同学合作调查、分工查阅资料、共同交流分析、撰写调查报告（或研究论文），在整个活动过程中，学生都是以一种充满兴趣、积极热情的精神参与进来的，表现出主动学习的热衷态度，从设计问卷开始学生就主动查阅各种资料（课余时间泡在图书馆或到电子阅览室上网搜索……）、而讨论时又纷纷发表意见气氛热烈……；而且，他们为了能够更好地运用统计知识来分析自己搜集到的数据，上课都变得格外认真，不再是被动地接受；在实践活动的后期，他们为了向全校展示自己的课题结论时，课件的设计都十分注重美观大方、简单明了而又准确实用，运用各种各样的统计图表，甚至有些课本都还没有介绍过的。
后期实践活动，让学生了解到数学原来可以这样学的。数学原来也是生动活泼的，并体会到数学的应用价值。本次统计实践活动吸引了全年级621人参与，前后总共完成了上百篇数学统计内容的调查报告，得出了许多非常有意义的结论，甚至超出了当初预想的效果，这些结论关注生活、结合实际，使学生在学到数学统计知识的同时，达到了体验生活、深入社会、增长见识、开拓视野的目的，还有助于增强社会责任感。这些报告中涉及到科技创新、社会生活，甚至还有学生的情感等各个方面，在校内和社会上产生了较大的影响，引起了广州地区新闻媒体的高度关注，先后作了相关的报道。其中“华附高一学生幸福指数调查”在3月29日的广州日报和信息时报都刊登了，并详细报道学生的实践活动……，当天晚上广东电台马上进行电话访谈，采访了我的学生和老师。学校也因此开展了一系列德育活动——“寻找身边的幸福”。
2、学生学习表现方式和老师的教学方式
由于必须做调查实践，设计问卷和收集数据，这样，学生就必须走出课堂，甚至走出校园、走入社会才能完成（例如，4班的数据就是在广州购书中心通过咨询广大读者或路人来获取第一手数据）。这样的学习，跟学生在平时的课堂教学中的表现就有很大区别。学生是从实践的体验中，带着自己的问题和发现再走进教室的，所以在课堂交流中，个个都表现得积极主动，纷纷展示他们的调查结果，显示出积极参与的学习态度、浓厚的学习兴趣与热情，在真正获取知识的同时，感受到了学习数学的快乐。在这次调查活动中，使学生充分认识到数学知识也可以自己在生活实践中主动探索获取。
其次，突破以教师为中心，以引导、合作与交流为主要方式。在教学实践中应引导学生逐步认识到教师不是唯一的指导者与合作者，有目的地开发周围的人际资源帮助自己学习与发展，学会与他人的交流与合作，这是终身学习的重要基础。开发数学学习资源，转变教师的教学观念，丰富了学生的学习方式。
3、在这次实践活动中，师生互动，共同学习，获取进步，收益良多。通过这次非常有意义的实践活动，真正培养了学生科学的思维方法，综合实践能力，并达到了培养学生创新能力的目的。
这一过程将小组学习、全班教学与个人自学有机地结合起来，使教师的教学、学生的学习两个方面达到双赢的效果。即使学生的某些探究结论不一定正确，但是学生们在积极的实践过程中，学会了探究的方法、学到了创新的理念、增强了克服困难的信心，对这种探究精神来讲，它比结论更重要！而我们作为老师，结合新课标，一边指导一边实践，逐步改变传统的“讲授式教学”，走向“研究式教学”。
4． 反思与改进
1、 研究性学习中，教师不给学生直接而具体的学习内容，只提供有关情境或线索，或者引导学生自己从自然、社会、生活中去发现和确定问题，围绕问题去开展研究性活动，从而解决问题，获得新的知识和经验。同学们在初次开展活动时，会由于缺乏经验或是知识水平的局限而感到困惑，因此，问题就成为研究性学习的一个关键，如何引导学生寻找和发现问题从而确定课题呢？这值得我们认真思考和继续改进的方面。
2、 要有效地开展研究性学习，就必须有研究型的师资。教师自身的科研创新能力是指导学生进行研究性学习的首要条件，但从现状来看，绝大多数教师缺乏科研和指导学生进行研究性学习的能力，不能适应创新教育的研究性学习的需要。在研究性学习中教师的角色已发生根本性的转变 ,要充分发挥教师的主导作用 ,而学生是教育中具有能动作用的主体 ,要充分发挥学生的主观能动性 ,教师要指导学生 ,还需要不断的提高自己的研究水平 ,宏观的把握课题的研究进展 ,对小组成员进行分工 ,调整策略和方法 ,与学校家长和社会进行沟通。
参考文献
1．普通高中数学课程标准（实验）解读 数学课程标准研制组 2004年4月
2．为了中华民族的复兴 为了每位学生的发展 基础教育课程改革纲要（试行）解读——华东师范大学出版社 2001.8
3．陈繁球：《转变学生数学学习方式的实践与探索》
PAGE
1让学生自主引入认知冲突，引发思维碰撞
阳江市第一中学 曾令存
摘要：发现问题往往是创新的先声，其意义绝不亚于解决问题。但在传统教学中，教师往往过早、过于直接地把问题（认知冲突）呈送给学生，欠缺了一个让学生自主发现问题、提出问题的过程，不能让学生体会到问题的产生过程。这一误区，往往使学生的问题意识得不到很好的培养，其感知问题、提出问题的能力低下，甚至把没有问题等同于圆满完成学习任务。为此，在教学中必须要让学生成为问题的发现者，让学生带着属于自己的问题去探究，这样才能使学生真正感受到探究问题的新奇、兴奋与成功的喜悦。因此，在教学中，老师的角色应是使学生遇到问题的“机缘” 创造者，而不是问题的呈送者，而学生则是问题的发现者和探究者。
关键词：思维展示 认知冲突 思维碰撞
在学生的内部认知结构中，刚刚获取若干知识点与整个系统的联系往往只处于松散状态，在这些新知识点（群）之间并未形成有效联通。这就必然引起学生的某些认知迷惘和混乱，但并不意味着学生发现了问题，而只能说学生意识到问题的存在。要成功跨越这一认知迷惘阶段，就必须由学生自我准确地诊断出问题出在哪里，问题的本质是什么。要实现这一目标，往往需要知识点（群）互相碰撞。通过知识碰撞，引发出能暴露问题本质的各种信息数据，再由学生自主完成信息数据的收集、整理、分析，把问题的本质反映出来，进而实现知识点（群）之间联通。这就是一个认知冲突的自主引入过程，其主体是学生。研究发现，在以学生为主体的认知冲突自主引入的过程中，“数”与“形”、思维方式方法、“点”与“面”的相互碰撞起着关键作用。
一、“数形”碰撞
“数形”碰撞是帮助学生实现自主的知识碰撞的重要教学技巧。研究表明，基于“形”的具体形象特征，“形”的碰撞往往发生在“数”（隐藏在“形”后的规律）的碰撞之前，而“形”的碰撞往往能诱发出“数”的碰撞。因此对学生而言，“数形”碰撞是实现知识有效碰撞的一种重要的探究问题的手段。在实践中，可以分为“形”碰撞和“数”碰撞两个环节。
例如对于以下两个知识点：
A、如果向量a与向量b互相垂直，并且向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），那么a b=0.
B、如果直线l1与直线l2互相垂直，并且斜率存在，分别是k1、k2，那么k1×k2=-1.
1、以“线”为纽带诱发“形”碰撞
向量（有向线段）的图形与定义，跟直线有相通之处：都是线，而现在两者均是线与线的垂直关系，那么其中规律是否也相通？
2、以“形”碰撞导出“数”碰撞
学生在向量与直线的图形相通（垂直关系）的启发下，自主地沿着图形的相通去深入思考，在自我思维空间主动地让两个知识点产生碰撞，从而引发出一连串问题：
问题1、这两个知识点均涉及垂直问题，其“形”相通，那么其“数”即内在规律——“a b=0”和“k1×k2=-1”又有什么联系？
问题2、向量与直线的图形既然有相通之处，那么直线的倾斜角和斜率知识能否应用于向量？
问题3、除垂直外，向量与直线还有哪些方面（如平行）相通？
这种由“形”及“数”的知识碰撞就形成认知冲突，这些问题就是知识碰撞所产生的火花。在问题的引导和启发下，学生探索出：对于向量a=（x1，y1）和向量b=（x2，y2），当x1，y1，x2，y2均不为0时，其斜率分别为：， 。根据知识点Ｂ：k 1×k2=-1，得出，即，也就是说，当向量a与向量b互相垂直，其内积为0。同样道理，对于向量平行，直线的斜率相等规律也能适用。
通过知识碰撞，实现了从“图形相通”向“本质相通”的飞跃。而学生的内部知识结构，随着知识点之间的不断联通，整个认知结构也会发生变化，这种变化会促使学生的数学思维变得更流畅、更严谨和更敏捷。
二、思维方式方法碰撞
不同的学生对于同一个知识点的理解角度、思维方式、深度、广度等方面往往存在差异，这种差异对实现学生的思维碰撞极为有利。某些深层次的问题往往就能在积极的思维碰撞中浮现出来。在教学中，老师应为实现学生的思维碰撞创造机遇，积极引导学生自主地把自己的思考方法、策略、对问题的见解与别人交流，让学生从思维的交流中发现各自的不同（产生碰撞），并自主分析产生不同的原因，把其中的深层次带有规律性的问题发现出来。
在实践中，思维碰撞可分为三个环节：1、思维展示；2、思维方法的差异比较（思维碰撞）；3、对碰撞所引发的信息回收及分析。
例如，对于等差数列问题：1+2+3+……98+99+100=？的教学，我们进行以下实验：
1、思维展示
在课堂上，学生产生出两种思维方法：
方法1：对于 S=1+2+3+……98+99+100，也可以写成S=100+99+98+……+3+2+1，把这两个式子相加，会发现：1+100，2+99，3+98，4+97……它们的和都是101，共可以组成100个式子，所以2S=（1+100）×100 故S=.
方法2：第一项1与倒数第一项100之和、第二项2与倒数第二项99之和、第三项3与倒数第三项98之和……均为101，于是同样得出方法1的结果。
2、思维方法差异比较（思维碰撞）
这两种思维有相通之处，都算出正确结果。但也有不同，第一种思维必然引伸出等差数列的求和方法：，要特别注意的是，这里作为分母“2”的分子是整个。第二种思维必然引伸出另一种方法：。这里作为分母“2”的分子是n。这种由分母带来的表达式差异使思维方法差异更清晰地暴露出来。
3、信息回收与分析
思维碰撞，就是要引发碰撞的火花，这种碰撞火花往往预示着，在学生的认知结构中产生出新信息（新知识），这正是思维碰撞的成果。应让学生学会回收与分析信息。在上述问题中，学生的第一种对于n的奇偶问题，均容易理解；而第二种在数列项数是奇数的情况下，如何理解有个式子相加？通过信息回收，学生认识到，能反映等差数列的求和一般规律，也就是说，一个新的知识在学生的认知结构生成了。同时，通过对信息的深入分析，在思维上的局限性也暴露出来了。但这种局限只是相对这一阶段的学生而言的，当学生在深入探究等差数列：a1 ， ， ，……，，就能发现，当n是奇数时，有中间项，并且等于，也就是说，中间项可以理解为个，这一理解就可以为中的自圆其说，而其局限性就被打破了。如果在这一阶段，上述的局限性没有被暴露出来，让这一局限性潜藏在学生的思维中，学生在以后的学习（如数学归纳法和二项式定理）就会产生认知模糊。例如，展开后的二项式系数最大值问题，就往往要讨论n的奇偶和中间项问题，如果在等差数列的学习阶段不打破这一局限，那么这一局限就会延伸至此。
三、点面碰撞
在探究性学习当中，学生所探究的问题（外部知识）往往比较复杂抽象，如何引导学生主动进入问题所处的外部知识环境当中进行探究？研究发现，点面碰撞是一种可行的方法。所谓点面碰撞，就是学生根据问题和自我内在知识结构特点，创造性地设计出若干个知识点，与“面”——问题所处的外部知识环境碰撞，积极回收碰撞所引发的各种信息，对这些信息进行分析和加工，使问题的本质暴露出来。
点面碰撞有以下三个关键环节：一是 “点”的创设；二是以点带面，求索引证。
例如，已知全集U是全体自然数，子集A={x|x=2n，n∈N}，子集B={x|x=4n，n∈N}，那么以下关系正确的是：
（A） （B）
（C） （D）
这是考察集合关系（子集、补集）问题。
1、设“点”
实验课中，教师引导学生根据外部问题和内在知识结构特点设计出如下的“点”：设全集U={1，2，3，4}，则A={2，4}，B={4}。学生通过自主进行点的创设，就能较好地体验到从特殊迈向一般的认知规律。
2、点面碰撞
让学生以特例对选择项逐一试验：
对于选择项（A），A∪B={2，4}∪{4}={2，4}，即U≠A∪B；
对于选择项（B），={1，3}∪{4}={1，3，4}，即U≠；
对于选择项（C），={2，4}∪{1，2，3}={1，2，3，4}，即U=；
对于选择项（D），={1，3}∪{1，2，3}={1，2，3}，即U≠.
因此，根据排除法，答案是C。
进而以点带面，把思维由“点”向整个“面”延伸——对于集合A={x|x=2n，n∈N}和B={x|x=4n，n∈N}，其内在联系与A={2，4}和B={4}有什么相通之处？这样，就能从“点”的对比（A={2，4}与B={4}的子集关系）当中发现A={x|x=2n，n∈N}与B={x|x=4n，n∈N}的内在联系，从而认识到全集U、集合A、B与集合、的关系，从点及面地得出正确答案。
参考书目：《高考数语外》2005、1-2 《中学数学教学参考》
《初等代数研究教程》
PAGE
1编号：570032
由一道例题所引发的……
（教学案例）
洋浦实验学校 王晓虎
在学必修三的互斥事件时，我想，概率以研究赌的输赢发展起来的，它利用了人们好胜的心理，只要抓住切入点，教学中肯定有许多能激动人心的地方，以此来激发学生的好奇心，一展数学的魅力。为此我选了这样一道例题，例：小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成。小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？
在我的启发下，同学们采取画树形图，找出基本事件的总数，利用对立事件的概率关系求出了所要的结果。这时我将题目进行了变式，1、如果只记得最后一个密码是8，那么随机输入2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？问题一提出，很快班长黄朝相就站起来，只见他说：从反面思考是1/6，并上黑板画出了树形图。看其他同学的表情，对此问题有一定的兴趣，我开始了再变式.2、如果小明只记住了密码中的三个数如2，4，6，那么随机地输入由2，4，6和其它一个数字组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？此时同学们陷入了深思，从大家的表情中我猜想，是啊，这很有可能，到底应该是多少呢？不久李城玑给出了解答，正面是1/60，要求的答案自然是59/60，我让李城玑上黑板用图形来表示其想法，作着作着同学们看出了破绽，陈丰站起来说老师并没有说，2、4、6是前三个密码，不知道的这个数是哪个位置并不确定，这一点拨，李城玑沉思了，过了一会儿大家都想到了此题的答案。我随机一想，洋浦的海南人没有不知道彩票的，彩票中不是也有这些问题？我就依彩票来进行变式.变式1、大家知道私彩也是由四个数字组成的，这‘万字图’是怎么来的，谁能上来给大家说清楚？果然不出我的意料，话音一落，课堂顿时热闹起来，个个情绪高涨都想上来亮一手，只见李腾、吴丹美、万信书都举起了手，我让他们三个都上来用图形表达自己的想法，李腾同学画树形图，吴丹美直接写了0000——9999，万信书用了表格采用列举的办法来说明，接着我让他们三个再给大家讲讲其中的道理，小李从树形图上说了半天没说清，小吴说，从0000——9999就该是10000个，小万的表格大家认可能，但从道理上，还是不能说明白，这时我让大家一起再想，不一会又有几个上来解释，可不知为什么，说不到点子上，最后李标站起来说，第一个位置上有十个数字来排，所以它有十种可能，第二、第三、第四个位置上也是如此，通过树形图可以看出是四个十相乘刚好
是10000，对这一解释大家都信服。接着我又说私彩中定位和同上大家都听说过没有，只见小李站起来说：“定位就是个、十、百、千四个位上哪个位上是什么数已定下来，同上就是有几个数是要中奖的哪个数中的数。”“好，那么假定知道一等奖的个位数是2、百位数是5，要买中一等奖，最多需要买多少张？” 过了不久，小杨站起来说:“最多需要买100张，因为两个位置的数都定好了，另外两个位置都有10个数可填，画树形可知是10×10。”“只需要买100张就中10000万，既然如此那么为什么人们都不去买呢？私彩摊上哪么多定位的讲解，他们一定说的是假话了。”同学们笑了，“如果定的准，他自己就买了。”看来以后大家是不会上当的。接着，我又一进步提出问题，如果我们知道一等奖中，有2、3、6同上，要买中一等奖，最多需要买多少张呢？同学们开始思索，过了一会儿，小林起来回答说:“和前面密码问题一样，应该是240张。”这时，大家反应过来了，是这回事。这时我又问，如果只知道一等奖中必然有3，要买中一等奖，最多需要买多少张？这时，我看到，好多同学可能猜测我要提出这个问题，一个个都提前进入了状态，个个苦思冥想不得其解，过了近五分钟，不知谁冒出了一句：“正难则反。”一时间好多学生舒展了眉头，原来应当是5000张，我说这是为什么呢？小李站起来说，一个数都不知道有10000种可能性，这10000张中要么有3要么没有3，各站一半，知道了一等奖中有3，那当然是5000张了。看来，好多同学已经明了对立事件的概率的求法要点。看看就要下课了，可问题的闸门已经打开，自然而然大家都想计算出如果只知道两个数同上，要买中一等奖最需要多少张？三个数同上呢？……
反思：做一个有心人，去发现生活中的问题，用数学的方法和学生一道去解决，学生感兴趣，乐学，显得很主动，我自己感到也是一件有意思的事。教学设计
作者：叶丽燕 （广东省河源市河源中学）
课题：1.2 利用二分法求方程的近似解（数学必修1）
（1） 教学目标
1、 知识与技能：
能够用二分法求方程的近似解；
通过本节课知识，进一步提高学生对函数与方程的关系，体会函数知识的核心作用，提高学生类比转化、分析归纳等数学思想方法的认识，并且在近似计算的学习中感受近似的思想、逼近的思想和算法的思想。
2、 过程与方法：
创设情景引发学生思考怎样求方程的实数解，通过对解的存在区间的不断细化掌握利用二分法求方程的近似解；在学习过程中体会其中蕴涵的数学思想。
3、 情感、态度与价值观：
通过精心设计适宜的教学情境，让学生在师生和谐、互动的氛围中，愉快地、自然地、主动地接受新知识，通过学习，培养学生辨证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。
（2） 教学重点和难点
重点：利用二分法求方程的近似解。
难点：对“二分法”概念的形成。
(三)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 [问题1]对于方程,怎样找出它的一个实数解？ 老师提出问题，学生思考。 创设情景，引发学生的思维空白，造成悬念，使学生积极思考、学习。
复 习 引 入 [问题2]方程一定有实数解吗？学生经过启发发现：要找方程的实数解首先要确定实数解的存在性。[问题3]如何确定方程实数解的存在性？学生共同回忆起方程实数解的存在性的问题即方程对应函数的零点存在区间问题从而联想有关知识：函数y=f(x) 的零点：y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。函数y=f(x) 的零点即对应方程f(x)=0的实数解。3、若函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上的图象是连续 曲线，并且在闭区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0,则在区间(a, b)内，函数 y=f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个实数解。 教师借助多媒体投影出复习内容并根据学生回答，适当地做一定的启发；学生回忆旧知识，并思考、讨论回答问题。 通过复习，提问，引导学生将找方程的实数解的问题与找方程对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换，并为将新知识纳入旧知识体系作铺垫。
概 念 形 成 [问题4]同学们能不能找出上述方程的一个实数解的存在区间呢？学生通过估算得到不同的并且有公共区间的存在区间。[问题5]区间越小说明什么问题呢？学生经过讨论发现，方程实数解的存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解。老师进一步引导学生发现，给定精确值，当方程解的存在区间端点的近似值相等时，可认为是方程的一个近似解。[问题6]如何使方程实数解的存在区间越来越小呢？各讨论小组通过交流及老师引导得到不同的将解的存在区间无限细分的方法：每次将区间二等分、三等分……，每次只留取区间端点值符号相反的区间。[问题7] 如果刚好在某个中点x0满足f(x0)=0,可说明什么？学生通过讨论发现，当某个中点x0满足f(x0)=0，则x0即为方程一个实数解。 学生动笔、思考估算并回答问题。学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，并引导学生再思考，然后总结。学生小组分析、研究、讨论交流，老师进行课堂巡视指导。老师对学生的不同回答给予分析并作适当肯定与鼓励，同时引导学生自己提出问题7并自己解决问题。 让学生在估算过程中尝试探索，体会成功喜悦。让学生学会分析，在老师引导下进行想象分析，并初步体会数学极限、逼近思想。引导学生自己探索寻找方程实数解的方法，逐步形成二分法思想。培养学生思维多样性、创造性，体验解决问题的成功喜悦。
概 念 形 成 [问题8] 以上述方程为例，用每次二等分区间来细分方程实数解的存在区间的方法求方程的一个近似解，精确到0.01。学生利用最后得到方程2x +3x－3=0 实数解所在的区间表（见附页）老师在师生共同解决问题8后引导学生共同归纳所用方法并指出这种方法叫“二分法”。[问题9]利用二分法可以找出方程的所有实数解吗？为什么？学生经过讨论发现二分法可以用来逼近方程的实数解的精确值，但不能用来找到所有的实数解。老师利用几何画板帮学生认识例题中的方程只有一个实数解，并指出以后会学到还有两个虚数解。[问题10]在利用二分法求解方程的过程中，每次舍去的区间可能有实数解吗？什么情况下一定没有呢？学生经过讨论发现只有当已经确定方程只有一个实数解的情况下，才可排除每次舍去的区间有实数解的可能性。[问题11]实际生活中利用到二分法的思想方法的例子有没有呢？试举例。学生经过讨论举出各种例子，老师举出如测试管道漏气等例子。 学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导。老师利用多媒体投影问题答案，并适当地做一定的启发，最后总结。学生分析讨论问题，老师利用几何画板展示方程对应函数的零点个数及存在区间，学生观察思考。学生思考联想实际生活，尝试举出利用二分法的例子，老师对学生的不同回答给予适当肯定与鼓励。 培养学生动手能力，逐步掌握利用二分法求方程近似解的思想方法。通过对二分法的局限性的探究，使学生的认识不断加深（认识到需要结合其它方法才能把方程的解全找出来），同时培养学生思维的严谨性。培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系。
操 作 练 习 找出方程的一个实数解（精确到0.1） 学生小组比赛，看哪组的答案又快又准。老师利用多媒体展示正确答案（见附页）及学生比赛成果、评奖优胜组，并鼓励所有参与者。 通过比赛强化训练，使课堂效果显著，并培养学生合作竞争精神。
归 纳 总 结 利用二分法求方程实数解的过程可以用一个流程图表示：（见附页） 要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解 先由学生自己归纳总结，老师借助多媒体放映动态流程图，与学生共同归纳完善。 通过流程图的演示，使学生感受算法的思想。学生自己先从知识、方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。同时，学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理。注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力。
课后作业 自编习题，利用二分法求方程的近似解。 书面作业要求学生独立完成并互相对比。 让学生自己设计作业题，既发挥了学生的主动性又可更好地巩固知识。对高中数学新教材立体几何的教学体会
青铜峡市第三中学 张艳荣
我校参与新教材实验也已近三年，使用的是人教版高中数学新教材（A版本），作为多年奋斗在一线上的一名普通教师，更应该直面新课改，加强对课改精神理解，不断完善自身教学素养，为新课改增砖添瓦，现将高中数学必修2立体几何初步在自己教学过程中从以下几个方面谈一下自己粗浅的一些体会和认识。
一、对立体几何知识的理解
立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影和中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确的使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
二、新课标对立体几何知识的要求
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论定；学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
三、新旧教材的比较
旧教材是在学习完解析几何后出现的，内容只有一章，分为两个单元，先学习空间直线和平面再学习简单几何体，课时要求为36课时，对简单几何体的性质、球的体积、表面积的教学要求为掌握内容，教学中是先让学生认识点、线、面的位置关系，再认知简单的几何体棱柱、棱锥和球体的概念和性质。这样使学生先从理性上研究了点、线、面之间的关系，再认知几何体几何体，学生只是一个很传统的知识接受过程，不符合学生的认知规律，不适合对学生创新思维的培养。
新教材中，立体几何初步是学习完必修1后在必修2分两章出现，内容分为空间几何体的结构、三视图和直观图、球的表面积和体积（对球的表面积和体积要求了解即可）；空间点、线、面的位置关系；这样的安排，使学生先认识了空间几何体的结构特征，并且能够画出实物图，同时也了解了空间点、线、面的位置关系，学生的认知过程是由感性上升理性认识，更符合学生的认知规律。
在旧教材的教学过程中，因为学生先学面解析几何，认知点、线、面的关系都是平面的，形成了思维定势，接着学习立体几何中的点、线、面的关系，然后学习空间几何体的特征，学生很难建立起空间的概念，大部分学生画出的图形是平面的；新教材的教学内容安排是先学习立体几何，学生先认知生活中的空间几何体，了解结构特征，在意识中已经建立起了空间的概念，再去学习研究空间点、线、面的位置关系，学生画出的图形有很强的立体感，对知识的理解和应用就很容易了。
新教材更注重知识的实用性，学生在学习完第一章后自己能够画出学校建筑的直观图，尤其是将来学习理工科的学生学习三视图更具有实用性；阅读材料画法几何与蒙日使学生了解了空间几何学在建筑学和美术学方面的应用；探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积使学生先了解原理，再去探究和应用原理研究柱体、锥体、球体的体积，学生能够学习知识，应用知识。
四：信息技术与立体几何的整合
计算机和数学有着内在的、固有的密切关系。在数学教学中，借助计算机的直观形象，充分表现数学的动态性，为抽象思维提供直观形象，由于计算机有及时的反馈控制，增强了学生解决问题的主动性、独立性，能促进学生的个别化进程的实现。 信息技术与高中数学的整合给单一的数学课堂走向了新的发展，数学不再枯燥无味。学生通过网络带来的信息了解更多的数学信息，利用信息技术学习空间几何体更加形象具体。以往的立体几何的教学，是通过教师的讲解和学生的空间想象认识几何体和理解知识，造成了学生学习立体几何难；信息技术与立体几何的整合使教师通过课件带给了学生看得见的几何图，知识的理解和接受不再是空洞无味，而是形象直观，同时也让学生走进立体几何，学生自己通过计算机制做课本中的几何体，使点、线、面动起来。如：我在教空间几何体结构一节内容时，先要求学生在计算机上制作圆柱体、圆锥体、棱台，在制作中学生建立了较强的空间感，在知识的学习过程中学生体会到几何体的构造及生成过程，这些过程如同让学生真正地进入了立体空间，学生可以从不同的角度观察所作的几何体，在所制做出来的立体图形中穿行，这增加了学生学习立体几何的兴趣，学生自己制做立体图形，也能激发他们的成就感。
五、立体几何教学中发现的一些问题
立体几何学生学习完后，学生虽然对空间图形的认知很好，学生也能够画出立体的图形，但是对于立体几何的证明题确出现了不知道如何证明的问题；对这一部分的内容考试是以立体几何的实用性为主考试，还是以后面的点、线、面的运用为主；学生的探究活动较多，课时出现紧张的状况；习题虽然出现了A、B两组，有利于不同层次的学生学习，但是B组题有些题难度过大，尤其是对于学习文科的学生不适应。
六、对人教版新教材编排的一些建议
望新教材编写上，能及时全面多样化配置教师用书，使教师更方便地提高自己业务水平；增加课后习题练习的数量，使教师和不同层次学生更能灵活的选择取舍。在题目编写上加大选择填空题的数量，编排一定数量、难度不同的成套单元测试试题，尽可能从题目题量、题型上与高考同步，使学校教师、学生更容易接受新教材。空间几何体三视图内容虽然实用性强，但难度较大，是否可做为理科学生的学习内容，文科学生为选学，棱台内容是否可删去。
当然，高中数学新教材也难免存在这样或那样的问题，这是新生事物发展过程中出现的正常现象，在教学中，我们要用辩证唯物主义的态度去看待这些问题，扬长避短。应该承认，高中数学新大纲和新教材，确实给我们的高中数学教学提出了全新的教育教学理念：要求我们在中学数学教学中，既要重视传统的数学知识的传授又要重视对学生的能力培养；既要重视研究性学习中的课题作业即数学的应用又要重视研究数学的一些基本的方法；既要重视学生相互间的合作精神又要重视学生的个性张扬。我们认为，只有这样，我们的高中数学教学才能走出“轻负担、高效率”的新路子，也只有这样，我们的高中数学教学才能为学生的将来储备能力，为提高学生的终身学习能力和学生的综合素质作出其应有的贡献。
对高中数学新教材立体几何的教学体会
作者单位：青铜峡市三中
作者姓名：张艳荣关于高一数学课堂教学的几点建议
蓬莱市教研室 王恒玉
大家知道，学生之所以优秀，其中很重要的一个方面是他们具有优秀的学习品质、良好地学习习惯与掌握科学的学习方法。高一学生刚踏入高中大门，他们对高中阶段到底该如何学习、怎样学习，可以说是肚里没底、心中无数，脑中基本属于空白。而此时，正是需要我们高一教师发挥作用的时候了。我认为，我们高一教师不但要给新生传授知识，更要在引导学生建立良好的学习习惯与掌握科学的学习方法上下功夫。即不但要教书，更要教方法、教习惯。我们都知道，高一是基础、是关键，如果高一这年没抓好，高二、高三抓得再紧，出再大的力也很难上去。因此，可以这样讲，高三不好，根子应出在高一上，应该在高一的级部管理、学生的学习习惯的养成、学习方法的建立上找原因。
就我们高一教师的现状来看，大致由三部分组成：第一部分是刚从高三毕业班下来的教师，这部分教师应当说有着较丰富的教学经验，知识面也较宽，但同时也或多或少地带有教高三的思路和方法。比如，教学起点高、节奏快，有时容易过高地估计学生，造成对高一教学把握不准，甚至出现不会教等情况出现。第二部分是从初中被选拔上来的初中的教师，这部分教师应当说热情高、干劲足，但对高中教材陌生，对高一就更陌生。第三部分就是刚参加工作的新教师了，这部分教师不用说对高中教学的方方面面都比较陌生。
一、认真学习新课标、钻研新教材，把握好教学的重点与关键
我们知道，从2004年秋天开始，我省开始在高一新生中使用新教材，执行新的课程标准。新课标到底新在哪？ 用教育部基础教育司课程发展中心主任助理刘坚的话讲：从内容的方面的变化来讲，只用一年即可完成；若从教学方式方面的变化，则需五的年时间；但若从课程文化方面：教师与学生的关系方面，民主、平等的对话与协商式的先进文化，这是新课程最本质的要求（变化），这种变化所需的时间大约要用五十年的时间，情感、态度、价值观的教学是一个漫长的过程，要多年才能完成。
1、教学理念新
《普通高中数学课程标准》中明确提出了自己的指导思想，集中体现在课程理念上：⑴构建共同的基础，提供发展平台；⑵提供多样课程，适应个性选择；⑶倡导积极主动，勇于探索的学习方式；⑷注重提高学生的数学思维能力；⑸发展学生的应用意识；⑹与时俱进认识“双基”；⑺强调本质，注意适度变化；⑻体现数学的文化价值；⑼注重信息技术与数学课程的整合；⑽建立合理、科学的评价体系。这十条理念对高中数学课程、教学教研提供了近期的发展方向，同时也为高中数学课程基础性和发展性、多样性和选择性给出了基本的定位，通过模块式的课程结构，从数学内部为不同基础、不同需求的学生提供了多种类的选择。有对数学教学如何处理数学本质与形式的细致分析；也有倡导积极主动、勇于探索的学习方式；有对教师的数学教学方式问题，如要求教师在教学中恰当地处理数学的本质与形式，有对我国数学教育的传统问题的分析，如强调的是高中数学课程应该发扬我国数学具有的重视基础知识、基本技能训练和能力培养的优良传统，有我国数学教育的时代问题，如注重现代信息技术与数学课程的整合，同时指出了数学教育面对的困难和更富有挑战性问题，如发展学生的数学应用意识，如在应试教育影响下如何建立合理、科学的评价体系等。
2、评价体系与结构、内容与目标新
数学课程标准将高中数学课程分为必修和选修，必修课程由5个模块组成：选修课程由4个模块组成，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干个专题组成。
课程内容与2002年颁布的《全日制普通高中数学教学大纲》对比主要有四类特点：
一是教学内容未变化的占有相当部分；
二是新增加的教学内容，如二分法求近似解、幂函数、空间直角坐标系、几何概型、茎叶图、全称量词与存在量词、定积分与微积分基本定理、柱坐标系和球坐标系、算法初步、框图（流程图、结构图）、推理与证明、数学史选讲、住处安全与密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充、矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与实验设计初步、统筹法与图论论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数。另外新增的数学建模、数学探究活动和数学文化是贯穿于整个高中课程的主要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。
三类是删掉的教学内容，如极限等。
四类是教学、学习要求上有调整的，如立体几何初步中仅要求认识柱、锥、台、球及其简单的组合体的结构特征；对棱柱、正棱锥、球的性质由掌握降为不做要求；反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数的定义，也不要求已知函数的反函数；对抛物线、双曲线的定义和标准方程的要求从掌握降为了解，对其有关性质由掌握降为知道；对组合数的两个性质不做要求。还有提高要求的，如分段函数要求能简单应用，知道最小二乘法等。
3、课堂教学观念新
课堂教学是高中数学教育活动的基本构成部分，是实施学校教育的基本途径，整个数学课程内容中的绝大部分要靠教师的课堂教学去完成，课堂教学的观念的转变将是新课程理念真正贯彻、落实和实现的根本性标志。课堂教学最终应转向以“自主、合作、探究”为精神内涵的新课程课堂教学。
数学课程标准中对学生的学习方式给出了详细的描述：学生的数学学习活动不应只限于接收、记忆、模仿和练习，提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师的引导下的“再创造”过程。同时，设立了“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习课程中，养成独立思考促进学生形成科学合理的学习方式，帮助学生养成独立思考、积极探索的习惯。
课堂教学中，教师的教学方式直接影响学生的学习方式，数学课程标准中对教师的教学方式的选择也提出了具体的要求，当然教师的讲授仍然是重要的教学方式，但要注意的是必须关注学生的主动参与，师生互动。对教学方式的选择，应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学特点，结合数学课程标准中对学生的学习方式的要求去选择。
从以上分析中我们可以知道，新课程 一是内容新、单位课时知识点多，密度大，以前一年要完成的内容现在半年就得完成。在内容增加而课时相对没有增加的前提下，不及时转变教学观念是没有出路的。我们知道，新的《课程标准》将取代教学大纲成为指导我们教学的主要的纲领性文件，它明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。它是我们高中教学的指导性文件，也是将来高三复习的指导性文件，它的意义与《考试大纲》同样重要。因此，我们要象重视学习《考试大纲》那样学习研究新课标，避免出现课标不要求的、不考的内容费时费力，而要求的重点内容又强化力度不够等情况出现。我在教研活动中发现，那种不看不学《考试大纲》，但凭自己的直觉或被杂七杂八的资料牵着鼻子走的人大有人在。比如， 从《考试说明》颁布的第一年(91)起，就明确规定：立体几何中异面直线距离问题只考查已给出公垂线的情况，而有的教师上课中却给学生讲了许多求公垂线的方法，什么线面垂直转化法了，什么最小值法了......等等，讲了四五个方法，加大了学习的难度，白做了好多无用功，浪费了学生宝贵的学习时间，犯了导向上的错误。这种情况今后再也不能允许出现，否则，会误人子弟的。因此，认真研究新课标、钻研新教材是摆在我们每一位高一教师面前的一项重要的任务。大家都经历过或即将经历过由学生到教师的这一转变的过程。我的体会是，做教师与做学生的要求绝对不一样，可以说有天地之别。为什么这样讲呢？因为学生时代有些问题是不必弄的很清楚，有的题型教师都给我们总结归纳好了，甚至有些较难的题暂时不会放放也可以，再说，有些题高考能否考还很难说......。以上做法或想法，作为学生或许可以，但做为教师却绝对不行。因为教师的职责要求我们必须独立地、彻底地弄清、弄懂所有的问题，不但如此，还要引导学生归纳总结解题思路、解题方法、对教学中出现的每个问题必须彻底地搞透彻，决不允许对知识的是是而非、不懂装懂的情况出现。不知大家有没有这样的体会？讲有些习题，教师讲着讲着有时可能就忘了，这种情况我在听课时有时遇到。究其原因，不是经过自己刻苦钻研的问题，靠看习题答案或问别人得来的知识，印象不深，容易忘。因此，对于新教师来说， 必须下大功夫、大力气、独立地钻研、彻底弄清问题的来龙去脉、考查的知识点、考查的目的及有关试题的变形之后，才能归纳出解题规律、解题思路、解题方法。总之，教师要做几倍于学生的工作，这样才能上好课，教好学。另一方面，对于老教师来说，虽然教材大部分内容仍然没变，但毕竟增加了部分新知识，涉及知识的更新问题。更重要的是，要转变教学观念，改变教法，尽快地与新课标的要求相衔接。新课标明确提出要改进教学方法，实行启发性教学和讨论式教学。要求发扬教学民主，师生密切配合，交流互动，激发学生独立思考及对数学问题的好奇心，让学生感受、理解知识的产生和发展过程，培养学生的科学精神和创新意识，形成学生获取新知识、发展新知识和运用新知识解决问题的能力，以及用数学语言进行交流的能力。
二、实施“两主教学”，还思维于学生，还时间于学生
课堂教学首先要解决好主次问题。我们讲教学的三原则应当是：学为主体，教为引导，练为主线。大家注意，我这里讲的是教为“引”导，而不是教为“主”导。由于历史的原因，现在我们的大部分教师至今仍没有搞清楚教与学的主次关系，长时间地将教师的教与学生的学等同起来，形成教学并重的模式。更有甚者，有的教师的课堂教学变成了以教师为中心的以“教”为主的“一言堂”的这种极不正常的教学方式。这部分教师课堂教学仍热衷于注入式、满堂灌的教学模式，以讲代练、不分主次的一讲到底、填鸭式的教学方式，学生甚至根本没有动脑思考及动手练习的时间。长此以往，势必使学生养成眼高手低的习惯，一听就懂，再做就不会，造成学生长期能力低下。我们知道，教师只能教给学生如何走路，而不能代替学生如何走路，代替学生进考场，这一不争的事实早已为大家所共识。我们讲，教师不是录放机、不是抄书匠，而是设计师、是引路人。有这样一个现象不知大家是否经历过：做某个题时，教师先讲了一个很好的方法，过了一段时间以后，再检查学生：不会的仍然不会，个别会做的仍用当初他自己做的笨法来做。这种现象说明：教师讲得再好，学生没时间动脑思考、动手练习巩固，没有变成学生自己的知识，因此记不住。因此，要求老师们一定要牢固地树立“学为主体”的思想，还思维于学生，还时间于学生，积极实施启发式、讨论式的教学模式。具体要求是，实行五让：能让学生动脑思考的要让学生自己动脑思考；能让学生动用练习的要尽量让学生自己动手去做；能让学生观察的要让学习观察；能让学生描述的让学生自己描述；能让学生总结的要让学生自己去总结。要少讲多练，要想方设法引导学生自己去思考问题、发现问题、进而让学生自己去解决问题。要充分贯彻“两主”的课堂教学原则，也即：尊重学生的主体地位，促使学生主动发展。课堂上一定要给学生足够的动脑思考及动手练习的时间，要积极调动学生参入课堂讨论，充分发挥学生的求异思维、发散思维、创造性思维，使学生全员参入、全程参入。坚决废除“注入式”、“一言堂”,“满堂灌”。
三、开展创造学习工程，使学生获得终生的学习能力
江泽民同志指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”。开发人的创造力，培养人的创新素质和创造能力是时代赋予我们这一代教育工作者的责任。创造学习的一个基本内涵是使学生掌握科学的学习方法，提高创造性思维能力。未来社会对"文盲"概念的界定不再是没有知识的人、不识字的人，而是不会学习、缺乏创新意识的人。研究学生的学习规律，使学生学会学习，是当今教研教改的不可忽视的重要课题。古人讲：授人以鱼，只供一饭之需，教人以渔，则受用无穷。因此，我们在加强教法研究的同时，还要注意加强学法的研究指导。开展学法研究，介绍给学生科学的学习方法，传授给学生良好的学习习惯，提高学生的学习能力。高一新生，刚来高中，热情高，干劲足，学习的愿望强烈，况且他们头脑中没有形成条条框框，容易接受新思维、新方法。对他们来说，从高中刚开始就养成良好的学习习惯，至关重要。俗话讲：磨刀不误砍柴功。我们在设法调动学生学习积极性的同时，还要注意引导学生把勤奋精神与科学态度结合起来。要求老师们要经常与学生一起研讨学习体会与学习方法，安排学习经验交流会，互相学习，共同提高。
课堂教学中教师要立足于讲清解题思路，要将解题的思维过程暴露给学生。不要就题论题，要多讲些如何想的，少讲些如何算的（近几年考试中心命题思路），要教会学生“为什么这样解”，“解此类题的思路是什么？”学生最关心的问题是，当初是你是如何想到这样解的？今后再遇到类似的问题如何下手。要注意讲清思路受阻的原因以及打开解题思路的步骤、方法。一方面要注重习题的“一题多解”，开阔学生的思路，培养学生发散的思维能力，同时也培养了学生的学习兴趣，“兴趣是学习的动力”。另一方面，还要注意习题的“多题一解”，要善于引导学生，对习题进行归类、总结，完善对一类知识的变通，从而提高学生举一反三，融会贯通的能力。
单元测试是教学过程中的非常重要一个环节，要求老师们在深刻钻研大纲、教材的基础上拟好每份单元考试题。要狠抓批改、讲评、落实这三大关。批改要及时主动，并做好记录（哪个题错多少人？哪些同学在哪个知识点上出错），这样讲评时才能重点突出，针对性强。凡单元测试出现的错题必须及时更正，应严格要求学生，建立错题集，改错本。
四、强化集体备课，打好整体战
备好课是上好课，讲好课的前提与关键。很难想象一个教师课前准备不足，上课时靠临场发挥能够将有关问题讲清楚、讲透彻、讲明白。因此，可以说，充分的备课是上好课的先决条件。在这里我想主要谈谈关于集思广益、强化集体备课的问题。我们知道，教育是一个综合的过程，一个班学生的学习成绩的好坏，一个教研组整体教学成绩的高低，应当说与集体智慧、群体努力是密不可分的。我们都知道：一人有一技之长，十人就有十技之长。如果我们能集思广益，充分发挥备课组每个成员的优势与特点，群策群力，相互学习，取长补短，那么，我们就将拥有了不起的力量。俗话讲，三个臭皮匠，顶个诸葛亮，我想讲得也正是这个道理。在此需要指出的是我们所说的集体备课，不是由某一个人备好课，写好教案后，大家一起用，而是在先进行个人备课的基础上，由备课组长牵头，以备课组为单位，成员分工负责的单元“说课”制度。如：某节课或某单元的重点、难点、关键是什么？这部分主要题型都有哪些？可预见学生经常出错的地方都有哪些？解决问题的方法、措施都有哪些，等等。可采取分工把口、设立中心发言人等措施与方法。同时，强化听课、评课制度，提倡和鼓励备课组成员之间互相听课，互相学习，取长补短。评课要一分为二，要切实评出优缺点，优点发扬，缺点纠正，那种只谈优点不谈缺点或只谈缺点不谈优点的评课方法，都是片面的不可取的。特别是对于刚参加工作的新教师来说，更应该经常去听听骨干教师的课，多参考参考他们的备课笔记。有三点建议：第一，建立邀人听课制度。经常邀请备课组其他老师，特别是骨干教师来听听自己的课，让他们多给自己提出改进意见。第二：将授课进度适当放慢1--2节左右，听完课、改完教案再讲。但不能抄教案，必须在自已先备好课的基础上，参考骨干教师的教案，再去听听他们的课，最后修改完后再上讲台，这样可加快我们新教师的成长进程。第三：建立及时反馈制度。要经常了解学生对自己授课情况的反馈意见，提倡自己定期召开学生座谈会，及时反馈有关情况，及时改进教法，因为我们的目的只有一个，那就是提高我们的课堂教学效率，提高学生成绩。
PAGE
5编号：570038
课题：§1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图象教学课例
海南省琼海市嘉积中学数学组 李圣汉
一、课例背景：本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）必修4 《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象》。这是本人在琼海市嘉积中学高一（8）班上的一节数学观摩课，本节课若采用传统的方法讲授，作图量大，耗时多。所以，本人主要运用计算机中“几何画板”软件探究“函数Y=Asin（ωx+φ）的图象变换”的课例。借助信息技术强大的作图和分析功能，让学生充分利用“几何画板”的动画功能，对其三角函数图象的变化能直接进行“数学实验”的操作，培养学生探究和解决实际问题的能力充分体现数学源于实践,源于生活;充分体现“以学生发展为本”的新课标要求。
二、课标要求
本节的课标要求是结合具体实例，了解y=Asin（ωx+ψ）的实际意义，能借助计算机画出函数y=Asin（ωx+ψ）的图象，并观察参数A、ω、ψ对函数图象变化的影响，同时结合具体函数图象的变化，使学生领会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想。
三、 教学目标
1、知识与技能
（1）借助计算机的几何画板软件辅助功能，探究参数ω、φ、A对函数y=Asin(ωx+φ) 的图象变化的影响，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想。
（2）会用“五点法“画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图。
（3） 结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义。
2、过程与方法
让学生通过动手探究、观察函数的图象，发现参数ω、φ、A对函数图象变化的影响，体 验其现实意义，体会图象的直观性。
3、情感、态度和价值观
（1） 使学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感情认识到理性认识的飞跃。
（2） 通过对曲线的伸缩、平移等变换，体会三角形函数曲线的平滑，流畅美。
四、 教学重点、难点
1、重点：考察参数ω、φ、A对函数图象变化的影响，理解函数y=sinx图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。
2、难点：ω 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的概括。
五、 学法与教法
1、学法：学生借助计算机通过探索y=Asin(ωx+φ)的图象，观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响，理解函数图象之间的变换规律。
2、教学方法采用了实验与探究法
六、教学用具:计算机、投影仪。
七、教学设计过程
（一）创设情境，揭示课题
首先，本人通过“几何画板”的动画功能很直观反映物理中的单摆运动（挂钟的摆动）
通过以上设计能够使学生通过“几何画板”的动画功能，形象、直观的把“单摆运动” 演示给学生，这样通过创设问题情景，使学生了解到本节课函数Y=Asin（ωx+φ）的图象的重要性，使学生能够感受大众数学的意义，使学生明白数学其实就发生在我们的身边，使学生在学习过程中感受数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性，更好地促进学生的发展，体现了新课标的要求。
（二）探究新知，突破难点
其次在讲解新课前，先提出数学问题，然后让学生在用“几何画板”进行数学实验时能抓住本课要点,明确本节课的重要内容，带着问题集中注意力探索问题，激发学生的求知欲望。设计如下数学问题：
1、如何由函数Y=sinx的图象经过变换得到函数Y=Asin（ωx+φ）的图象？
2、函数Y=Asin（ωx+φ）+k的图象与字母A、ω、φ、k的关系是怎样的？
3、如何由函数Y=sinx的图象经过变换得到函数Y=3sin（2x+π/3）的图象？
这样设计一系列问题，层层解剖，层层推进，引导学生研究问题要从具体的函数到抽象的一般函数的科学态度和方法。提出问题后，设法引导学生动手探究函数Y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数Y=3sin（2x+π/3），那么“几何画板”是较好的数学教学软件工具，通过“几何画板”的“拖动”功能可以很形象直观的观察到三角函数的图象的变化。函数的图象Y=3sin（2x+π/3）一节内容已经上了一课时,第二课时主要的问题是用五点法画函数Y=3sin（2x+π/3）的图象,并由此总结出由函数y=sinx的图象到函数Y=Asin（ωx+φ）的图象的变化规律,这样就必然涉及到大量的图象,在以往的教学中对这个问题的处理总是不能达到很好的效果,于是采用计算机辅助教学就成为必然的选择，本人认为,计算机辅助教学必须充分体现“以学生发展为本”。以学生为主体,让学生积极参与,自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和内涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求。所以运用“几何画板”的动画功能将函数Y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数Y=Asin（ωx+φ）的图象，很直观形象的演示出来，并且课堂上学生通过“几何画板”功能可以动手自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和内涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求。以下是学生用“几何画板”探索由y=sinx图象得到函数y=Asin（ωx+φ）图象的变化过程：
1、y=sinx 向左平移π/3 y=sin（x+π/3） 横坐标为原来1/2倍
纵坐标不变
y=sin（2x+π/3） 纵坐标为原来的3倍 y=3sin（2x+π/3）
横坐标不变
2、y=sinx 向左平移 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next)π/3 y=sin（x+π/3） 纵坐标为原来3倍
横坐标不变
y=3sin（x+π/3） 横坐标为原来的1/2倍 y=3sin（2x+π/3）
纵坐标不变
3、y=sinx 横坐标为原来1/2倍 y=sin2x 向左平移π/6 纵坐标不变
y=sin（2x+π/3） 纵坐标为原来的3倍 y=3sin（2x+π/3）
横坐标不变
4、y=sinx 横坐标为原来1/2倍 y=sin2x 纵坐标为原来的3倍 纵坐标不变 横坐标不变
y=3sin2x 向左平移π/6 y=3sin（2x+π/3）
5、y=sinx 纵坐标为原来的3倍 y=3sinx 横坐标为原来1/2倍 横坐标不变 纵坐标不变
y=3sin2x 向左平移π/6 y=3sin（2x+π/3）
6、y=sinx 纵坐标为原来的3倍 y=3sinx 向左平移π/3倍
横坐标不变
y=3sin(x+π/3) 横坐标为原来1/2 y=3sin（2x+π/3）
纵坐标不变
对以上的图象的六种变化先让学生猜想，然后让学生通过“几何画板”的软件亲自动手探索图象的变化过程,获得亲身体验，验证三角函数图象变化的规律，使学生获得成功的喜悦感，培养学生学习、探索数学问题的兴趣，增强学生探索几何问题的信心，培养学生的创新和勇于探究问题的能力。以下是我用“几何画板”设计好动画的图象，让学生按照自己的思路，利用几何画板的“拖动”功能进行三角函数变换,观察三角函数的图象，将会得到怎样的结果.通过电脑的演示,让学生在错误的结果与正确的结果之间进行比较，转变了学生的思维.如下图所示:
让学生观察，分别拖动点A，ω，φ，观察A，ω，φ的变化是如何影响三角函数图象的，然后由学生概括出函数Y=sinx的图象变换到函数Y=Asin（ωx+φ）的图象的变化规律，并且掌握函数Y=Asin（ωx+φ）的图象与字母A、ω、φ的关系是怎样的，借助计算机“几何画板” 软件的动态拖动功能,在课堂教学中,很容易地得到丰富的三角函数图象.这样,学生就很容易通过自己的参与、探索与归纳,深刻理解A、w、φ这三个系数对三角函数y=Asin(w x+φ)图象的影响，大大地增加了教学容量,活跃了课堂气氛,提高了教学效率,为进一步研究其他函数图象的性质,打下了坚实的基础,从而培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体的辨证思维方法；运用“几何画板”的动画功能提供学生思考问题和探索问题的空间。特殊到一般的学习方法比较符合学生的认知规律，同时也培养了学生抽象概括能力。这“形”中的直观和“数”中的严谨，让学生在“一惊一喜”中达到一悟皆通的效果。
我们的教学不能总是：先学原理，再举例总结运算步骤，也不一定是“讲清——总结——练习”的程序。虽然提出一定的运算程式，便于学生模仿操作，但过分强调程序，就会造成学生思维的呆板化。长期这样学生就产生了一种很强的依赖性。可以是“情景——诱导——猜想——探索——总结”教学过程模式，以学生发展为本，让学生站到第一线来，打破传统观念。所以上课时我主要采用了“引导探究式教学法”与陈重穆教授的“GX课堂教学32字诀”，“引导探究式教学法”主要以问题为中心，通过不断提出问题、探索问题、分析问题、解决问题，使学生掌握新知识，并形成一定的探究和创新等能力。在本节课中设计三个函数图象变化的数学问题,通过“几何画板”软件的动画功能,带着问题不断的探索函数图象的变化，激发学生对数学的求知欲望,探索多种函数图象变化的方法,开阔学生的新视野, 使学生掌握本节课的重要知识，并形成一定的探究数学问题的创新能力.而本节课中主要的教学主线是陈重穆教授的32字诀：“积极前进，循环上升；淡化形式，注重实质；开门见山，适当集中；先做后说，师生共做”.上课所在的班学生的成绩普遍较好,学生在课堂上表现出了很高的参与的热情,学生在回答教师提问时用不着教师刻意指名回答，而是学生随意的主动地站起来回答。本课知识相对集中复杂，由于课时的压缩，节余的时间用来进行巩固深化，函数图象变化较复杂，那么通过设计问题启发学生能够用“几何画板”从千变万化的变式中寻找到三角函数变化规律本质，从而使学生能够很好掌握函数从y=sinx图象到y=Asin(ωx+φ)的图象六种变化过程的方法。 学生的主体地位得到了较好的体现，既加深了对知识的透彻理解，又培养了学生研究问题的科学方法，这是的引导探究式教学法优势所在。利用几何画板动态测量、跟踪轨迹和快速作图功能进行数学实验,使学生体会到做数学的乐趣。“以学生发展为本”是我们进行课件设计时的重要指导思想.也是课改的重要指导思想。
八、课后反思
这节课用简谐振动中的位移与时间的图象引入新课,创设情境，激发学生学习新知的情意；操作上，每次不是让电脑代替学生去作图，而是让学生先动手通过计算机实验作图，树立起数形结合的思想，然后利用电脑动态演示图象的变换过程，学生直观的看到各参数对函数图象的影响，突破传统教学上的难点；图象变换的根本原因加深了学生对已有知识和经验的认识和理解。通过实践练习，整个教学过程中，让学生动手探究，教师点拨，使学生的学习达到“探索得资料，研究获本质”。同时学生认识到数学来源于生活并应用于生活，起到了良好的效果。体现了新课标的理念：每个知识都应该由学生通过活动、探究、体验来获得。但是这样一来，使得课堂上时间明显不够，训练量不够，学生的知识的巩固程度令人放心不下，这也是实施新课程中我们应该着力去研究的问题。另外，从新课程的理念：改变学生的学习方式这一角度来看，运用“几何画板”的动画功能提供学生思考问题和探索问题的空间。观察函数中的参数的变化带来的图象的变化，从而根本上改变学生的学习方式，使计算机的信息技术能够很好的运用于新课程改革，使学生真正成为学习课程的主体。
九、参考文献：1、唐瑞芬,朱成杰.《数学教学理论选讲》 华东师范大学出版社。
2、鲍建生等译.教学的窗口:中学数学教学案例集. 上海教育出版社。
3、马忠林主编的《数学教学论》 广西教育出版社
4、王光明等编著的《现代数学教育选讲》 西南师范大学出版社
5、宋乃庆、朱德全等编著的《教育实验研究》 重庆出版社
6、陶维林编著的《几何画板新版特色与实用技巧》 清华大学出版社
2006年11月5日
3
1课例说明 对数函数及其性质
青岛第九中学 李文臣
教学目标
1．知识目标：使学生掌握对数函数的图象和性质，并且能由此解决一些简单的问题
2．能力目标：通过与指数函数研究方法的比照，强化学生的类比思想；通过不同底数的对数函数之间、不同底数对数值的相互转换，发展学生的化归思想；通过函数列表与单调性的关系、图像变换、对数值的符号总结，发展学生的特殊到一般的抽象能力
3．情感目标：通过师生间的合作探究，培养学生的协作交流能力。通过各种新问题的链接，培养学生的问题意识
教学重点：对数函数的性质及其应用。．
教学难点：对数函数的图像
教学过程及设计意图
一 复习提问：
1 依据如图的指数函数图像，判断a,b,c,d的大小顺序（提问）,并由此集体回答：指数函数的定义域？值域？单调性？过哪个定点？分哪几类？
2 提问0.20.3>1 老师强调同底化意识（标准化思想）
3 集体回答对数换底公式 loga1= logaa= logaan
4 对数的定义及相关元素的取值范围，老师提问学生集体回答（该部分要简洁明快）
设计意图：既是旧知识的复习，又为本节课提供知识和方法上的储备
二 引入新课
对数函数——y=logax（a常数？范围？），x自变量，定义域？．比如y=log2x,y=logx
从上面两个特殊的函数开始，列表描点连线。
提问x如何取值？学生齐答对数值，老师用课件肯定
对照列表，集体回答增函数？快慢？快？慢？提问两种结论的解释
学生动手画出图像，展示课件的图像，让其他学生与自己的成果对比
y=logx的图像？（要比上一个图像快一些，两个图像都要求用实物投影展示学生的成果，实现纠错激励的反馈，甚至可以打分评价）
展示课件，与前者比较有规律吗？可否利用刚才的成果？二者之间有何关系？能否获得更一般的结论？指导学生记录结论
设计意图：让学生动手画图，发展他们的实践能力；设置问题链，使他们由被动接受为自觉探索；由列表看单调性快慢，实际上是渗透斜率导数变化率的思想；最后的问题便于发展学生的转化意识和抽象概括能力
师生互动，重视课堂即时性的评价，提高学生学习的积极性
估计y=log3x与谁类似？你能在同一个坐标系下画出它的图像吗？如何判断二者的相对位置？两个列表中能找到相同的x y 提问判别方法
展示课件配合学生的回答
估计y=logx与谁类似？你能画出它的图像吗？如何判断二者的相对位置？再提问（稍微快一点）
展示课件配合学生的回答
对照课件，你认为对数函数可以分哪几类？定义域？值域？过哪个定点？单调性如何？
设计意图：与指数函数的知识和方法类比，确定同一类别中的函数的相对位置（强调特例法的重要性），进而抽象出一般的对数函数性质，这是本节课的中心。结论重要，但是探索过程中的方法和思想更重要
这是今天的核心内容，它至少能解决以下问题．
例1 求下列函数的定义域：
展示课件。（1）（2）口答，（3）（4）要有规范表述，展示课件，配合强化学生的回答
提问此类问题的一般程序？（列不等式组，用对数函数的单调性解之）
例2 比较大小
老师问：(1)因为（y=log2x？）在（（0，+∞）？）上是（增函数？），，所以（log23＜log23.5？）
（2）（3）提问学生。
展示课件，配合强化学生的回答
练习采用集体口答形式
例3 比较大小（八个小题）
同底化变成标准问题
（1）老师启发学生回答，用课件说明解题过程，（2）（3）（4）提问，后5个集体口答。
后六个问题都是与0进行比较，能得到一般性的结论吗？
提问并整合，让学生笔记符号法则
例4 比较大小
师：正负？比1如何？
展示课件，配合强化学生的回答（可以快一点）．
设计意图：上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化，其中对数值的符号判断对抽象概括能力提出了较高要求，是提高学生学习能力的好素材。
例题=习题，例题也要在学生探索的基础上讲解；习题也应该反思总结。不要将二者割裂开来
小结：知识（图象与性质，解对数不等式组的方法、对数值大小比较的规则、符号法则）；思想方法（转化、标准化、类比）
作业：课本习题2.2 A组7，8，10 选作B组 2，5
本节课设计意图：问题链的设置，让学生动手画图，自己完成例题，既能使他们由被动接受为自觉探索。又能发展他们的实践能力。
把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的解答和探索
不仅要让学生学习新知识新方法，更要教给他们数学研究的基本原则，学习方法的养成（比如课堂笔记）、知识创新能力的自我培养，都是本节课目标。不仅着眼于学生当前的学习，也站在整个初等数学的高度上关注着学生今后的发展
课后记：学生的错误也是一种重要的成果，充分利用也可以达到非常好的效果，比如例题4（4）的学生板演，应该纠正其全部错误以警示他人，然后再战时标准答案，而不应该简单的判断对错
PAGE
1(共20张PPT)
导数的几何意义
广大附中
高二（6）班
作业点评:
高台跳水运动中， 秒 时运动员相
对于水面的高度是
（单位： ），求运动员在 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在 呢
同理，
运动员在 时的瞬时速度为 ，
上升
下落
这说明运动员在 附近，正以大约 的速率 。
１．你能借助函数 的图象说说平均变化率
表示什么吗？请在函数
图象中画出来．
割线AB的的变化情况
１．你能借助函数 的图象说说平均变化率
表示什么吗？请在函数
图象中画出来．
２．在
的过程中，
请在函数图象中画出来．
你能描述一下吗？
概括：函数 在 处的
导数 的几何意义就是函数
的图像在点
处的切线AD的斜率.
（数形结合）
课本P8
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以
用在点P处的切线近似代替 。
大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数 的
图像上，(1)用图形来体现导数 ，
的几何意义.
(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在 附近呢？
(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在 附近呢？
增（减):
增（减）快慢：
=切线的斜率
附近：
瞬时
变化率
（正或负）
即：瞬时变化率（导数）
（数形结合，以直代曲）
画切线
即：导数
的绝多值的大小
=切线斜率的绝对值的
大小
切线的倾斜程度
（陡峭程度）
以简单对象刻画复杂的对象
(2) 曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在
附近比较平坦，几乎没有升降．
曲线在 处切线 的斜率 0
在 附近，曲线 ，函数在
附近单调
如图，切线 的倾斜程度大于切线 的
倾斜程度，
大于
上升
递增
上升
这说明曲线在 附近比在 附近
得迅速．
递减
下降
小于
下降
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)
（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）
变化的函数图像，根据图像，估计
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中
药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格
的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率,
就是药物浓度
从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率.
函数f(t)在此时刻的导数,
（数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
抽象概括：
是确定的数
是 的函数
导函数 的概念：
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的
瞬时变化率
小结：
１.函数 在 处的导数
的几何意义，就是函数 的图像在点
处的切线AD的斜率（数形结合）
＝切线 AD的斜率
3.导函数(简称导数)
2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学
思想方法。
以简单对象刻画复杂的对象人教A版数学必修5 §2.1.1 数列的概念与简单表示法 (第一课时)教学设计案例
数列的概念与简单表示法(第一课时)
教学设计案例
山东省滕州市第一中学 时科峰（277500）
一、教材与教学分析
1．数列在教材中的地位
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．
2．教学任务分析
(1)了解数列的概念
新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．
(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．
3．教学重点与难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系．
二、教学方法与学习方法
自主学习与合作探究相结合．
三、教学情境设计
问题设计 设计意图 师生活动
问题一：根据实际例子，归纳数列的概念．（1）棋盘中的数学（2）一尺之棰，日取其半，万世不竭．——《庄子》（3）三角形数；（4）正方形数；（5）观察树枝数目；（6）餐馆一周的营业额． 从生活实例引入，让学生认识数列是一种重要的数学模型．认识数列具有顺序性．并总结数列的定义． 师：引导学生分析每一列数的规律，并利用所发现的规律求出下一个数．生：分析每一个数的规律并利用规律求出下一个数．师：让学生体会从实际生活中提炼出一列数据，分析这些数据的规律，利用这些规律解决一些实际生活问题，引出数列是一种重要的数学模型．（板书课题——§2-1-1数列的概念）师：请分析六组数的共同特征，总结数列的概念．生：分析并找出规律，总结数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．
问题二：思考下面两个问题，并举几个数列的例子．（1）．1，3，5，7和7，5，3，1是同一数列吗？（2）．- 1, 1, - 1, 1, … 是不是一个数列呢 数列中的数可以重复吗 认识数列是有顺序的，且数字可以重复出现． 师：肯定学生的回答，并引导学生分析问题（1）．生：回答不是，并说明数列是有顺序的．师：引导学生分析问题2．生：回答是数列，符合定义，定义不要求数字不能重复．师：让学生举出几个数列的例子．生：举例．师：肯定学生的举例，并以一个学生的例子为例引出项的概念：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项．．．．．．排在第n位的数称为这个数列的第n项．板书记法：a1，a2，a3，．．．，an，．．．，简记为：{an}
问题三：分析下列5个数列，按照给定的标准分类． 让学生根据所给的标准对数列分类．进一步认识数列的规律性． 师：引导学生根据项数的多少分类．并给出定义．生：根据项数的多少分类可以分为：有穷数列如（1）和（4），无穷数列如（2），（3）和（5）．有穷数列：项数有限的数列叫有穷数列；无穷数列：项数无限的数列叫无穷数列．师：引导学生根据项的大小分类，并给出定义．生：根据项的大小可以分为：递增数列如（1）和（4），递减数列如（2），摆动数列如（4），常数列如（5）．递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列；递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫递减数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些小于它的前一项的数列叫摆动数列；常数列：各项都相等的数列叫做常数列．
问题四：分析下列两个数列的项与序号之间的关系． 让学生认识数列是一种特殊函数．总结通项公式的概念． 师：引导学生分析这两个数列，联想以前学过的知识，从函数的角度分析数列．生：分析并联想到函数，并从函数的角度分析数列，并找到相对应的函数，求出其定义域．师：举出一个定义域为正整数集的函数，求出其函数值，排成一列，让学生举例说明．得出从函数角度对数列的认识．生：合作讨论后举一例说明，并给出函数角度的说明：数列可以看成以正整集（或它的有限子集）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．师：强调有限子集必须从1开始，并重复说明函数角度下的数列定义．分析an=f(n)可以表示数列中的每一项，引出通项公式的概念，并让学生总结概念．生：总结并给出通项公式的概念：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
问题五：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． 让学生学会分析数列中项与序号的关系，并会求数列的通项公式；学会用联系的观点看问题． 师：引导学生分析数列通项的求法，解决（1）至（4）题；生：口答（1）至（4）题；师：让学生分析解题思路，并通过第（5）小题向学生说明数列的通项公式不唯一．生：回答第（5）至（8）小题．师：引导学生学会用联系的观点看问题，寻找各个小题之间的联系，使问题简单化．生：发现并分析（5）和（6）之间的关系，（7）和（4）、（5）之间的关系，（8）和（6）之间的关系．师：引导学生利用“寻联系，找差异，化异求同”的观点解决（8）至（10）题．生：发现规律并应用．
问题五：通过本节课的学习，你有何收获？ 学生小结． 师：回到上课前的引例，说明“棋盘中的数学问题”的简单解决需要后面所学的知识，第6个问题给我们什么启发，根据这些数据，如果你是老板，你将如何安排？生：分析并回答：在周五和周六多准备食物和让更多的员工上班，在周一和周二少准备些食物安排少量几个员工上班．并说明原因：周一和周二营业额小，说明这两天吃饭的人少，周五和周六营业额大说明这两天吃饭的人多．师：这节课你有什么收获呢？生：点明本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数，是定义在正整数列集（或其有限子集）上的函数．
作业：书面作业：习题 2.1 A组第 1，3 题；B组 第1题．预习作业: 预习课本第 34 和 38 页，思考下列问题: (1)数列的表示方法有哪些 (2)递推公式与通项公式有什么区别
五．板书设计
§2-1-1 数列的概念
一、数学模型——数列1．定义：2．记法：3．分类：二、数列是一种特殊的函数通项公式： 例1．
六、教学评价与反思
新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.
鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现:
(1) 体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置
本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学生的学机动机和学习兴趣.
(2) 注重展示知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力
本节课通过逐步引导，层层设疑，让学生经历由形到数，由实际到抽象，由具体到一般的形成概念的过程，使教材更生动，更具亲和力.
(3) 关注学生的合作意识
在形成定义的教学设计中，设置了恰当的教学情境，引导学生合作与交流，强化学生的合作意识、协作精神，收到了很好的效果．
特别感谢：
指导教师：刘 金 张 萍 颜长安 杨列敏
合作教师：王 丽 崔洪涛 闫士朴 梁海龙 李 曼
2006年9月23日
PAGE
第 1 页 共 5 页编号：570006
课堂教学中如何发挥学生的主体作用
海南省万宁市教育局教研室 林永坚
摘要：改变传统落后的教学方法，提倡“主动参与，乐于探究，合作交流”的教学方式，充分发挥学生的主体作用。
关键词：新课程教学改革，激发兴趣，参与能力，互动教学，主体作用。
课堂教学过程是师生共同活动的过程，课堂教学效果不但受教师的影响，而且还受学生的制约。在课堂教学中如何充分发挥学生的主体作用，才能真正把课堂还给学生呢？
1、 创设宽松、民主、和蔼的课堂教学气氛。
枯燥呆板的课堂气氛使学生的主体性被扼杀，学生被教
师牵着鼻子被动地、痛苦地在知识的沙漠里跋涉，思想阻塞，操作迟钝，更谈不上创造性地、主动地发展。因此，课堂教学中学生的主体性发挥的程度，取决于教师创设的教学环境的宽松程度。课堂教学环境宽松，学生的主体性发挥得愈充分。当学生提出出乎意料的想法时，教师应积极评价。当学生对教师提出疑问时，教师要给予鼓励和解释，当学生一时还理不清思路时，教师应耐心地给予点拨，这样，学生感到安全，放松，自由和愉快，才会敢于发表自己的独到见解。所以，在课堂教学中要营造友好、和蔼、民主、平等的学习氛围。
2、 激发学生的学习兴趣。
美国的心理学家布鲁纳认为：“学习的最好剌激即是对
所学材料的兴趣。”兴趣是最好的老师，是诱发学生强烈求知欲望的源泉，是发挥学生主体作用的重要前提条件。怎样激发学生学习的兴趣呢？
1、以情激趣。情感是一种很强的内动力，“亲其师，信其道。”教师要对学生倾注满腔热情的爱，用师爱的力量去激发学生的学习兴趣。
2、情景激趣。兴趣是入门的先导，是学习的主要动力，有了兴趣，学习就会积极主动，精神饱满，思维灵活，记忆迅速，为教学创造良好的条件。因此，要注意突出身边数学的应用，把数学知识与学生熟知的实际生活挂起钩来。如汽车轮为什么做成圆的？屋梁为什么做成三角形？如何不过河知河宽？不上山知山高？等一系列趣题，把学生引入有趣的教学情景中去。例如：在讲分段函数时，可用一个与生活息息相关的例子：小华到水果市场买苹果，买10市斤以内每斤1.0元，如买10斤以上，每斤0.8元，如何求此函数的解析式？学生思考后引导学生列出买x斤苹果所付金额的函数解析式： 1.0x (00.8x (x≥10)
这样，可以让学生更好的理解掌握分段函数，把知识点和实际生活联系起来，让学生在具体事例中寻找数学问题，让学生感到数学也有趣味，通俗易懂。从而激发学生学习数学的兴趣。
3、幽默激趣。幽默的教学艺术，能增强教学的趣味性。所以，教师应努力使自己的教学语言像火种，点燃学生心底的兴趣之火，像石块溅起学生心灵港湾的兴趣之波。
3、 鼓励学生质疑问难。
古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”教学
中教师要特别注意质疑问难这个教学环节。过去传统落后的教学方法是“教师讲，学生听，教师问，学生答。”学生始终处于被动地位，思维在很大程度上受到抑制。学生对质疑问难存在两种障碍，一是有畏难情绪，二是教师设计问题不太到位。好的教师不是单纯教书，而是唤醒学生，激励和鼓舞学生。教师对有畏难情绪的学生要给予热情鼓励，比如让学生“大胆谈谈自己的意见，”“说错了也没关系。”讲历史上名人质疑问难的故事，比如爱因斯坦从小就爱问为什么？长大后成了举世闻名的科学家。鼓励学生大胆向老师提问，向老师挑战，允许学生在任何时候提出问题，把提问的权力还给学生。教师还要引导学生掌握质疑的方法，如在新旧知识的比较中质疑，从教学的重难点处发问，多问几个为什么？诱发他们奇思妙想，挖掘学生的创造潜能。
4、 以学生为主体，加强参与意识。
近年来，全国各地的课程改革，就像生机勃勃的春日走
进了校园，带来了可喜的变化。然而，学生在认知过程和能力的形成方面，仍依赖于教师，课堂教学中学生的主体性的体现仍然比较薄弱，与培养创造型人才还不相适应。因此，我们要转变教育观念，最基本的就是以学生为主体，重在加强学生的参与意识，完善其作为教学主体所体现出来的自主性，课堂教学要以学生为中心，而不是以教师或者教材为中心。倡导学生勤以动手，自主探索，合作交流的学习方法，这就要求教师务必做到如下几点：
1、尊重学生的主体地位，而教师是学生学习的组织者，引导者和合作者。教师要当好向导和顾问，从旁协助学生主体地位的发展。注意启发和点拨相结合，真正培养和发展学生的自主性。
2、教师要为学生创造主动发展的宽松环境，如自由讨
论，与教师民主相处，平等交流等。让学生在迷茫中求索，在争辩中明理，在讨论中认知，在交流中完善，在合作中进步，在创新中提高，使学生成为知识的发现者，这样才能做到教学相长。
3、教师要注意开发学生的潜能。教学中要根据学生的现有水平，不断地提出他们通过努力可以达到的新的要求，使知识，能力，自主性同步提高。
4、让学生积极参与，自主学习。因为学生是教育的主体，是他们的具体情况决定着教育所采取的具体形式，强调学生参与就是要让学生全身心地投入，在教师的引导启发下
主动探索，自主获取知识。只有让学生充分地表现出各自的观点，才能做到有的放矢，才能和学生一起更有成效地完成教学任务，使学生在课堂中快乐幸福地成长.
5、 面向全体学生，发展个性特长。
学生主体性的一个重要体现在于独特，与众不同。任何
创新活动的结果都表现出鲜明的个性。素质教育就是要重视每一个学生的兴趣、爱好和特长，充分发挥学生个性。重视个性发展应该是“发展优等生，提高中等生，关注后进生。”教学中要采取分类要求，分类指导的方法。一是设计不同层次的学习目标，使各个层次的学生都有奔头。二是课堂提问由浅入深，富有层次，难度大的问题让优等生回答，难度小的问题让后进生回答，并尽可能使他们体验成功的喜悦。三是作为分层练习，习题要有一定的梯度，使后进生“吃得了”，中等生“吃得饱”，优等生“吃得好。”让每个学生都有成功的机会，使各个层次的学生各尽所能，各有所获，尽情发展。
6、 废止注入式，运用启发式。
注入式教学是以传授知识为中心，教师直接把知识交给
学生，形成了以教师为中心，以教材和课堂讲授为中心的教学模式。尤其是满堂灌、填鸭式更为突出。结果，学生成了接受知识的容器，忽视了学生的主体地位，束缚了学生的创新精神。启发式教学法强调学生的主体地位，提倡师生互动，自主探索，合作交流，主动发展。这是启迪学生心灵之窗和智力之门的一把永不生诱的钥匙，是把学生头脑当成“一把需要点燃的火把。”教学中尽可能地采用含而不露，引而不发，指而不明的方法，把功夫放在引导、启发、点拨上面，留给学生思考的时间和空间，让学生自吃其力，自求其果，使学生充分感受到主动觅吃的乐趣，真正把课堂还给学生，把素质教育落到实处。
7、 动手实践，培养学生的操作能力。
要解决数学知识的抽象性和学生思维的具体形象性之
间的矛盾，最有效的方法就是加强学生的动手操作与实践，让学生通过操作具体的材料，建立丰富的想象力。这既符合学生的认知规律，又能激发学生参与学习的积极性。
例如：在研究正方体的平面展开图中，要让学生先准备好自己设计的一个可以折叠成正方体的平面图形，在课堂上让学生在小组内讨论交流，探索正方体的平面展开图有哪几种。然后由各组代表把讨论成果分别展示和分类，引导学生从中发现规律，探索问题解决的途经，寻找求正方体表面积的方法。让学生在操作的过程中动手、动口、动脑，让学生共同参与教学过程，让他们在做中学，完成了形象直观向抽象概括的转变，掌握了立体图形的特征，建立了空间观念，收到良好的效果。
美国伊克中学的校训是：“要我听，我记不住，要我看，我会忘记，要我做我会理解。”这就说明了在做中学的重要性。在做中学，是真正体现了我国课程改革的宗旨：培养学生的创新精神和实践能力。
总之，在课堂教学中，无论新课程如何改革，无论教师采用何种教法，都要把学生的主体性摆在首位，并贯穿于整个课堂教学的全过程。每个教师都要注意调动学生的积极性，激发学生的求知欲望和兴趣，加强学生的参与意识，培养学生的动手操作和创新能力，使在课堂教学中充分发挥学生的主体作用得到实现。
参考文献：
1、 普通高中《数学课程标准》（实验）人民教育出版
社。
2、《学校教育科研全书》（上下册）人民日报出版社。
3、《新课程中教师行为的变化》首都大学出版社。
f(x)=
PAGE
1编号：570035
空间向量在立体几何中的应用案例
保亭中学 马军
题型一：利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，其方法是通过向量的运算来判断，这是数形结合的典型问题。
例：在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1
分析：
此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同。
利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算去计算或证明。
题型二：利用向量求空间角
可求线线角、线面角、面面角，关键是进行向量的计算
例：已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为1(如图)，M是 底面BC边的中点，N是侧棱CC1上 的 点 ，且 CN = CC1，
用坐标法证明: AB1⊥MN
分析：如图建立空间直角坐标系
M-xyz.(其中P为B1C1的中点)
课堂演练：
定理 长方体的一条对角线的平方
等于一个顶点上三条棱长的平方和。
已知：长方体AC’中，AC’是一条对角线（如图）
求证：AC'2=AB2+AD2+AA'2
即：l 2 = a 2 + b 2 + c 2
例：空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60角，求AD与BC所成的角
分析：
1、了解异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补。
2、求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示。
本题反复运用了封闭回路。
题型三：利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单
例：正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离
分析：
1、此题用找公垂线的方法比较难，用向量代数的方法则简捷，，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性。
2、平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离
课堂演练1：
(1)、求CD的长
(2)、CD与AB所成的角
课堂演练2：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心
（1）求证：B1O3⊥PA
（2） 求异面直线PO3与O1O2成的角
课后思考题：
已知在一个60的二面角的棱AB上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且AC⊥AB，BD⊥AB ，又知AB=AC= BD=a, 求异面直线AC与BD上的两点C、D间的距离。人教社A版（必修4）第一章
§的图象
执教人：曲师大附中
刘珊珊
2006年11月
【数学目标】
（1）由五点法作图引出本节研究对象，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，层层逼进，由浅入深，降低难度.
（2）突出以学生为中心，充分调动学生学习的积极性，通过一步一步的猜想、探索，加以多媒体展示，增强学生的直观感知，最终找到问题的答案，其中渗透转化思想、类比思想.
【重点与难点】
重点：先探索的图象如何由的图象分步得到，进而探索图象的影响，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.
难点：的图象的影响规律的概括.
【教学准备】
（1）教师：多媒体、投影仪、课件、坐标纸
（2）学生：五点法作图 （复习）
教学导图：
【教学设计】
1．创设情景，以五点法作图为背景，由旧知识引出新问题，激发学生学习兴趣.
设计意图：由学生学过的知识入手，显得自然流畅.
教师——如何作函数的简图？
学生——五点法作图（列表、描点、连线）.
教师——让学生作函数的简图（演示课件）.
学生——在坐标纸上作的图象.
2．提出问题，能否由的图象得到的图象？
设计意图：给学生大胆猜测、自由探索的空间，培养锲而不舍的学习和钻研精神.
教师——从问题如何由的图象得到的图象为主线，让学生自由讨论.
学生——交流、讨论，最后得到各自独特的见解，如有的同学提出分步完成，由，
或由
或由
或由.
教师—— 一一板书，肯定学生的回答，鼓励其大胆尝试.
3．摘出学生的某一思路进行分步探索.
设计意图：通过层层逼近，分散难点，通出重点.
教师——找出学生探索的某一条思路，一步一步学生探索（例如第一条思路）,要求学生在同一坐标系中作出函数的图象，并探索怎样由图象得到的图象，又怎样由的图象得到的图象，进而怎样由图象得到的图象.
学生——作图并观察，思考教师提问的问题.
教师——投影学生的图象.
学生——思索、小组讨论.
教师——巡视，指导.
学生——个别回答.
教师——板书，归纳出图象向左平移个单位得到的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，再将得到的函数图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍，得到的图象.并展示几何画板课件，让学生直观地感受每一步，并验证所得结论的正确性.
教师——提出问题：怎样由图象得到图象，再得到图象，最后得到图象.
设计意图：培养学生从特殊到一般的归纳能力.
学生——积极思考，认真组织，给出答案.
教师——板书→→→的每个过程. 并概括总结的图象的影响作用.
设计意图：升华本节知识，突出重点，形成体系.
师生——共同分析一般情形，如何得到的图象的过程.
教师——展示多媒体课件，以直观感知，肯定学生们的探索思路是正确的.
4．提出思考问题
设计意图：培养学生多角度分析问题、解决问题的能力.
教师——回扣本节之初几名同学的其它思路，挖掘更深层次的意义.
学生——课后自主研究.
【作业设计】
教科书课后练习1、3题.
【教学设计说明】
1．设计1由刚学过的五点法作图，引出本节探讨的函数的图象.
2．设计2、3，分散了难点，突出了重点.先由学生之间的交流、讨论，再得到教师的点评，层层逼近，活跃了课堂气氛，增强了学生学习的兴趣.
3．设计4，总结归纳，形成体系，提高学生多角度分析、解决问题的能力.
参评教学设计
创设情境，由旧引新
探索怎样由的图象得到的图象
探索怎样由的图象得到的图象（由特殊到一般）
探索怎样由的图象得到的图象（由特殊到一般）
将的图象变为的图象的一种方法
3浅谈新课程下的数学课堂教学
——让学生学会学习
兖州市一中 田慧
新课程是素质教育从形式走向实质，从探索走向实施的标志。它真正体现了教育是为了人的发展，作为实施新课程改革主阵地的课堂教学，采用什么样的方式才能适合新课程的特点，这是每一个教学者需要认真探索的问题，在数学教学中，可采用“六段式”教学法，充分发挥学生的主体地位，模式如下：
一、提出问题——引导学生学会学习
教师根据教材内容和学习的实际，编拟出具有导向性的自学提纲，自学提纲以问题形式出现，应具有启发性、探索性和层次性。如在教学“函数的奇偶性”时，学生要完成的自学提纲是：
（1）函数与的图象关于 轴对称；自变量的定义域关于 对称；函数与的图象关于 对称，自变量的定义域关于 对称，从中你发现了什么规律？
（2）利用书中表格，探究函数数量变化的特征，试用特殊到一般的推理方法，说明函数是偶函数，是奇函数。
（3）叙述函数奇、偶性的定义。
解决这3个问题后，再让学生思考：判断函数奇、偶性的前提条件是什么？在前三问的基础上学生会很快找到答案。学生在学习新课的过程中，除了解决教师提出的问题外，还要根据学习内容，自己提出问题，自己解决，教师要引导学生学会提出问题，善于提出问题，敢于提出问题，问题提出来了，并得到了解决，也就学到了知识。
二、指示方法——指导学生学会学习
教学中，学生在教师的指导下，独立思考，主动探究，在学习探究过程中，教师应注意了解学生的研究进展，当学生出现思维偏差时，适时进行导向性启发，当学生出现思维障碍时，适时适度予以点拨，通过教师的方法指示，学生学会思考，学会联系课本解决问题，教师的指示方法起到了指导学生学会学习的作用。
三、学生学习——通过实践学会学习
当问题解决后，学生应根据教师的指示方法，对解决问题的过程和问题本身进行反思与评析，审视求解过程，总结经验及规律，从而形成自己的学习方法，这一阶段是学生实践学习的重要阶段，学生的科学思维头脑和自学能力就是通过实践学习培养起来的。学生通过反复的实践学习，逐步掌握学习方法和技巧，自学能力就会不断提高，学习效率也会随之提高。然后通过学生之间互相交流心得，相互促进，从而达到全体学生学会学习的目的。
四、明了学情——了解学生怎样学习
教师给学生指示过方法，通过学生实践学习后，应了解学生对知识的应用进展情况，了解学生是怎样学习的，其方法是“一看二听三谈”。“看”是教师看学生学习的表现，如学生会不会运用所学的公理、定理、性质等解决相应的简单问题，看学生做题速度的快、慢，思考问题的方法、思路是否正确，看学生作业正确率的高低等；“听”是教师有针对性地听学生之间的议论，听学生的发言，听学生所提出的问题，是哪层次的；“谈”是师生交谈，了解学生学习的困难程度和学习体会。通过“一看二听三谈”来了解学生是怎样学习的。
五、问题精讲——进一步指导学生深化学习
通过明了学情，发现学生普遍存在的问题，应对这些问题进行精讲，帮助学生分析问题的已知量与未知量，抓住问题的突破口，使学生学会解决问题的方法，掌握要领，揭示规律和渗透思想方法，从而使知识系统化，如：在“函数奇偶性”一节中，可总结出如下规定：在函数的定义域的公共区域内，当与均为奇函数时，它们的和函数是奇函数，它们的积函数·是偶函数。在学生接受并掌握了的基础上，再采用适当的方式进行变式练习，以培养学生思维的灵活性，提高训练效果。
六、强化小结——强化效果学会学习
这一阶段学生应该学会归纳总结的学习方法，对本节所学的重点公式、定义、定理等进行概括，学生学会了概括归纳的方法，分析问题、解决问题的能力就能随之提高。
“六段式”教学要求实现学生学习的个体化，使学生成为学习的主人，要成为学习的主人，就一定要学会学习，就一定要掌握学习方法。所以教师在“六段式”课堂教学中要紧紧抓住每一个教学环节，对学生进行学会学习不同指导，把学生培养成会学习、会创造，会自主教育的全面发展的创新人才。(共8张PPT)
古典概型
+
1、考察两个试验：
①掷一枚质地均匀的硬币的试验；
②掷一枚质地均匀的骰子的试验。
这两个试验出现的结果分别有几个？
2、基本事件有何特点？
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件都可以表示成基本事件的和
3、举例：在掷骰子试验中，随机试验“出现偶数点”可以由哪些基本事件组成？
古典概形
例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的实验中，有那些基本事件？
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型
2、思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率又如何计算？
解：所求的基本事件有6个
A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，
F={c，d}
1、问题：上述试验和例1的共同特点是什么？
3、问题：
（1）掷硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？
（2）在掷骰子试验中， “出现偶数点”的随机试验的概率是多少？
（3）你能从这些试验中找出规律，总结出公式吗？
概率公式
例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
思考： 假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道，他是随机的可能性大还是他掌握了一定的知识的可能性大？
探究： 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选择所有正确答案，同学们有一种感觉，如果不知道正确答案多选题更难猜对，这是为什么？
例3、同时掷两个骰子，计算
（1） 一共有多少种不同的结果？
（2） 其中向上的点数之和为5的结果有多少？
（3） 向上的点数之和为5的概率是多少？
例4、假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了密码，问他到自动提款机上随机式一次密码就能取道钱的概率是多少？
例5、某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
变式练习：一次投掷两颗骰子，求出现的 点数之和为奇数的概率。
解法1：用列举法
解法2 若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们也组成等概率样本空间。基本事件总数4 ， 包含的基本事件个数2。
解法3 若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，也组成等概率样本空间，基本事件总数2 ， 所含基本事件数为1 。编号：570002
教学设计
人教社·数学A版·选修1—1教学研究
新课标教学研究课题组
21世纪随着社会信息化和知识经济的发展，人类社会对人才的观念已产生根本性的变化，对我们教育提出了强烈的变革要求，传统的教学模式，已经不能适应当今社会对人才的需求，这就要求我们教师用新课程的理念对曾经被视为经验的观点和做法进行重新的审视.．
高中数学选修课程系列1中的选修1—1教材，是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，它包括“常用逻辑用语”“圆锥曲线与方程”“导数及其应用”三章内容。同学们将利用逻辑用语准确地表达数学内容，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而更好的进行交流。在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上同学们将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与一元二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本性质,感受数形结合的基本思想，.而导数是微积分的核心概念之一，同学们将经历从平均变化率到瞬时变化率刻化现实问题的过程,体会导数的思想,感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．
选修1—1教材是课改后的新教材，在编排体系上较以往的教材发生了很大的变化，对原教材的内容进行了重新整合和增删，删减了一部分计算繁琐,内容难理解时代又不需要的内容，而增加了一部分适应信息时代需要的内容．
教师问卷调查分析：对于新教材选修理1-1的使用情况，我们在4月8号对参加数学研讨会的全省数学教师（主要是教研、备课组长）进行了调查，有效问卷189份，占参加会议教师人数的90%以上，各位教师认真配合，调查工作非常顺利，调查的结果具有一定的代表性，一方面说明了广大教师对教材改革非常关注表现出很高的热情．另一方面说明新教材在海南省使用有一定的不太适应性，多数教师认为：新教材的内容过多，每个模块9周的时间课时是严重不够的！教材中A组题的难易度教师们基本上是认可的。对新教材倡导的自主探究数学活动，还有近11%的教师认为没有必要，新课标的理念还有待全面贯彻落实在教学中去。对于教材的组织形式，有近85%的教师认为教学的实施难度大，对教师的新教材培训工作应改进和加强。从调查中对新教材持反对意见的占12%，必须通过有比较说服的材料让这部分教师能对新教材认同（各类数据见附件一）。
附件一：教师（教研、备课组长）问卷调查具体统计如下(注：本统计由苏伟完成):
序号 问 题 供 选 择 的 内 容 统 计 结 果
1 您认为新教材的内容 A、过多 B、适当 C、偏少 A（88%）B（10%）C（2%）
2 您认为每个模块9周的时间 A、充裕 B、适当 C、偏少 A（0%）B（19%）C（81%）
3 您认为教材A组体难度如何 A、容易 B、适中 C、很难 A（5%）B（92%）C（3%）
4 您对教材B组题如何处理 不作要求 B、选作 C、重点讲授 A（8%）B（86%）C（6%）
5 新教材倡导自主探究,您认为 A、没有必要 B、应适当尝试 C、应多做尝试 A（11%）B（68%）C（21%）
6 对新增内容,您认为 非常合理 B、应减少 C、应再增加 A（10%）B（85%）C（5%）
7 您认为教材的组织形式 A、容易实施 B、实施难度大 C、无法实施 A（6%）B（90%）C（4%）
8 上课过程您和学生交流的情况 A、经常交流B、有时交流 C、偶尔交流 A（41%）B（48%）C（11%）
9 如何才能提高学生解决实际问题能力 A、学好基础知识B、大量练习 C、方法引导 A（57%）B（4%）C（39%）
10 对于多媒体在课堂上的应用,您认为 A、是必须工具B、辅助手段 C、不必使用 A（14%）B（85%）C（11%）
11 新教材对提高学生数学素养,您认为 A、有很大帮助 B、有所帮助 C、帮助不大 A（18%）B（58%）C（24%）
12 您对教材改革的态度 A、非常支持 B、基本赞同 C、反对 A（37%）B（61%）C（12%）
学生问卷分析：在4月10号对我校的近2000名学生进行问卷调查。高一对必修模块②进行调查，高二对选修模块1-1进行的调查，调查中学生占63%认为每个模块36个课时不够用，实际授课远远超过36课时，对于教材上配套练习只能做很少部分或只能做比较简单的学生66%；对教材上配套习题A，只能做很少部分或只能做比较简单的学生占49%；对于习题B只能看懂部分或只能做部分的学生占82%；学生认为教材很难学的占；使用信息技术辅助教学的占，这说明了现阶段学校的教学硬件还很差（各类数据见附件二）。
附件二：学生问卷统计分析表：（注：本统计由吴多耀完成）
序号 问题 供选择的内容 统计结果（%）A：B：C：D
1 你认为每个模块用36个（9周）时间是（ ） A、够用 B、很紧张 C、比较宽松 D、实际用了9周以上 ：：：
2 你对教材上配套练习题是（ ） A、只能做很少部分 B、只能做比较简单的 C、基本上不会做 D、能全部做 ：：：
3 你对教材上配套习题A是（ ） A、只能做很少部分 B、只能做比较简单的 C、基本上不会做 D、能全部做 ：：：
4 你对教材上配套习题B是（ ） A、只能看懂部分内容 B、只能做部分题C、全不会做 D、能做大多数题 ：：：
5 你认为教师对教材中的“探究问题”是 （ ） A、教师没有讲探究内容，由学生自己看B、教师在教学中能很好地使用探究问题C、教师能根据教材中的探究问题有针对性搞一些教学活动D、教师还增加了一些探究活动 ：：：
6 你认为教材对你来说（ ） A、很难学 B、还可以 C、较轻松D、根本上没有办法学 ：：：
7 你认为教材中选用的实际问题是（ ） A、还可以理解B、与生活中的实际不太贴近C、与实际生活偏差太远了D、实际问题过于程序化、公式化 ：：：
8 教师在教学中，使用信息技术辅助教学方面（ ） A、有时使用信息技术B、根本没有使用信息技术C、有时教师提一下这方面的事D、教师常使用信息技术辅助教学 ：：：
9 你认为教师在教学时对每章的章图、导入语是 A、根本没有讲B、只提一下C、每次都认真讲D、有时讲章图、导入语 ：：：
10 你认为教师在教学过程中你是在（ ） A、认真听讲B、基本认真偶尔不专心C、有时认真有时不专心D、不认真听讲 ：：：
附件三：教学反思教案：
第1章 常用逻辑用语教案设计
数学是一门逻辑性很强的学科，不论是表述数学概念和结论，还是进行推理和论证都要使用逻辑用语。在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识研究问题和进行思考交流不可缺少的工具．在本章书中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，了解数理逻辑的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁.
1.1命题及其关系
一、教材分析
本小在初中学习简单的命题知识的基础上，进一步学习命题的概念、命题的构成和四种命题的概念及四种命题之间的关系，使学生所学有关命题的知识形成较完整的体系．命题是构成语言的基本要素，学好命题的有关知识对提高语言表达的逻辑能力、培养学生的思维能力、推理能力打基础，更为数学化的认识客观世界，表述实际问题提供工具．
本章中的命题，一般是明确给出了条件和结论的命题，要使学生了解什么是条件，什么是结论，会将一个命题分解成“若p，则q”的形式，例如指出命题“若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线互相平行”中的p和q. 对于简单的，没有明显写成“若p，则q”形式的命题，也应分清条件与结论是什么，准确地分解成“若p，则q”的形式. 例如：将命题“对顶角相等”分解成“若p，则q”的形式. 对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题。
二、教学设想
本小节首先给出命题的概念、命题的构成，接着讲述四种命题的概念及四种命题的关系．
在1.1.1 命题一课中，找出命题的条件和结论，是教学的重点也是难点．因为找出一个命题的题设和结论，是对该命题深刻理解的前提，而对命题理解能力是我们今后研究数学必备的能力，也是研究其它学科能力的基础，固是一个重点内容．理解和掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题．但有些命题，没有写成“若…，则…”的形式，例如，“对顶角相等”，“等角的余角相等”等，题设和结论不明显．对于这样的命题，学生往往搞不清哪是题设，哪是结论，又没有一个通用的方法可以套用，要经过分折才能找出题设和结论，才可将它们改写成“若…，则…”的形式．所以分清题设和结论是教学的一个难点．在教学过程中，教师要组织或引导学生从具体到抽象，结合学生熟悉的事例，来理解命题的概念、找出一个命题的题设和结论，并能判断一些简单命题的真假．
另外命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“如果……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“那么……”等形式表述．
对命题的逆命题、否命题与逆否命题，只要求作一般性的了解，重点是四种命题间的相互关系以及互为逆否命题的两命题之间的等价性。这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时是非常困难和难以理解的.在教学中应通过简单明了的实际例子，使学生体会四个命题的构成形式。对于四个命题间的关系图，教师应通过实际例子引导学生得出. 使学生理解四种命题间的真假关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系，能利用这一等价关系转换角度、间接解决或证明一些问题.
否命题所用的符号“￢”，这是新的国家标准规定了的．符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；不是p；非p．而在过去的书中，非P常用“”表示．
“若p，则q”形式的命题，也可能一种复合命题，并且，其中的p与q，可以是命题也可以是开语句，例如，命题“若x２＋y２＝０，则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句．对学生，只要求能分清命题“若p，则q”中的条件与结论就可以了，不必考虑p与q是命题，还是开语句．
三、附：教学教案
1.1.1 命题
（一）教学目标
１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；
２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
（二）教学重点与难点
重点：命题的概念、命题的构成
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
（三）教学过程设计
1．复习回顾
初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
2．思考、分析
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 ．
（2）2+4=7．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（４）若x2=1,则x=1．
（５）两个全等三角形的面积相等．
（６）３能被２整除．
3．讨论、判断
学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4．抽象、归纳
定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
5．练习、深化
判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集．
（２）若整数a是素数，则是a奇数．
（３）指数函数是增函数吗？
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
（５）＝－２．
（６）x＞１５．
让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．
解略。
引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．
过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
6.命题的构成――条件和结论
定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
7．练习、深化
指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．
（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．
此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q，并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。
此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．
解略。
过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
8．命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
强调：
(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．
(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
9．怎样判断一个数学命题的真假？
(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
10．练习、深化
例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（1） 面积相等的两个三角形全等。
（2） 负数的立方是负数。
（3） 对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．
解略。
11、课堂练习：Ｐ４ ２、３
12．课堂总结
师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？
2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式．
4．如何判断真假命题．
教师提示应注意的问题：
1．命题与真、假命题的关系．
2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否为命题．
３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．
13．作业：P9：习题1．１Ａ组第1题
1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系
（一）教学目标
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
（二）教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；
（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别；
（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
（三）教学过程设计
１．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
３．归纳总结
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：
(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
５．四种命题的形式
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）
逆否命题：若￢q，则￢P．
６．练习巩固
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（1） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（2） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（3） 若x2=1,则x=1；
（4） 若整数a是素数，则是a奇数。
７．思考、分析
结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格：
原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
真 真
假 真
假 真
假 假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
８．总结归纳
若P，则q． 若q，则P．
原命题 互 逆 逆命题
互否 互 为 否逆 互否
为 互 逆 否
否命题 逆否命题
互 逆
若￢P，则￢q． 若￢q，则￢P．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
９．例题分析
例4： 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p2 ＋ q2 ＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］
≥（p ＋q）2＞×２２＝２
所以p2 ＋ q2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
１０：课堂总结
（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；
（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
１１：作业 P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题
1．2充分条件与必要条件
一、教材分析
“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念，是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，也是高中数学的基础．充分条件、必要条件、充要条件是本章中的重点内容，要求学生熟练掌握三者之间的关系，并能解决相关问题，这里不强调对充要条件的证明，但要能结合实际例子判断两命题之间的关系.由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”等简易逻辑知识联系紧密．这种逻辑知识对学生判断是十分有用的．学生在上一节书中都了解到原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的．为此，本教案着重从“原命题、逆命题”与“充要条件”的联系进行分析，从而没有提及否命题和逆否命题．在实际教学中，可将否命题与逆否命题容纳进去．本教从A是B的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件四个方面进行明确叙述，便于学生进行正确的判断．
由于这节课概念性、理论性较强．一般的教学使学生感到枯燥无味．为此，激发学生的学习兴趣是关键．把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学命题，从而培养学生的数学能力，为强化等价转换这一数学思想打下良好的逻辑基础
本节的重点与难点是关于充要条件的判断．充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的因果关系．在判断条件p和结论q之间的因果关系中应该首先分清条件是什么，结论是什么；然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；最后再指出条件是结论的什么条件．
要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
二、教学设想
学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的p，q与四种命题中的p，q要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的开语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题．
由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．
由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．
教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．
三、附：教学教案
1.2.1充分条件与必要条件
（一）教学目标
1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（二）教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件
（三）教学过程设计
1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab,
（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
２．给出定义
命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，
所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2” ＂的必要条件．
3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0；
（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．
例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件
(1) 若x ＝ y，则x2 ＝ y2；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(3) 若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．
４．练习巩固：P12 练习 第1、2、3、4题
５．课堂总结
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若pq，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．
６．作业
P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；
② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；
④ p是q的既不充分也不必要条件．
1.2.2充要条件
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（1） 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．
（2） 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.
（3） 通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3. 情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
（二）教学重点与难点
重点：
1、正确区分充要条件
2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
(三)教学过程
1.思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．
易知：pq，故p是q的充分条件；
又q p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件
２.类比归纳
一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作
p q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.
3.例题分析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（2） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（3） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（4） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
（5） p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2
分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，pq ,但q p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；
４．类比定义
一般地，
若pq ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；
若pq，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；
若pq，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若pq ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；
②若qp，但p q，则p是q的必要但不充分条件；
③若pq，且qp，则p是q的充要条件；
④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
５．练习巩固：P14 练习第 1、2题
说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．
６．例题分析
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．
证明过程略．
例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？
７．课堂总结：
充要条件的判定方法
如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．
８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题
1． 3简单的逻辑联结词
一、教材分析
逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学需要全面的理解概念，正确的进行表述，判断和推理，这就离不开对逻辑知识掌握和应用。在日常生活，学习，工作中，基本的逻辑知识是认识问题，研究问题不可缺少的工具。而本节内容简单的逻辑联结词又是逻辑知识的基础，也是学生在初中数学中学习过简单的命题知识进一步深化和推广。
二、教学设想：
由于逻辑联结词是逻辑知识的基础，也是学生能否掌握和判断一个事物并形成正确的逻辑思维能力的关键，所以逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义以及含有逻辑联结词的复合命题的理解和应用应是本节的重点，也是本节的难点。 为了突出重点，突破难点，在教学上采取了以下的措施：
（1）从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察，探讨，联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想。
（2）通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点。
依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主，以谈话法，讲解法，练习法为辅的教学方法，意在通过老师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题，发现问题和解决问题的能力。为此，在教学活动中，通过列举两组例子，让学生观察，找出两组例子的区别和联系，从中发现问题，并通过简单的指导，启发学生与已有的知识做模拟，来加深对理性知识的理解。
2．逻辑联结词“或”、“且”、“非”
让学生了解逻辑联结词“或”，“且”“非”的含义，了解三者的含义，主要目的是让学生学会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容，因此内容设计上要求通过具体的数学实例来展开，避免抽象讨论.
⑴ 不要求引入和使用真值表，避免学生机械记忆.
⑵ 应该让学生明白“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
⑶ 让学生掌握识别判断复合命题的形式的能力，并能结合具体例子判断命题真假.
例：①小李是老师，小赵也是老师（p且q）；
②他是运动员兼教练员（p 且q）；
③1是质数或合数(p或q，假命题)，10不是5的倍数（非p，假命题）.
⑷ 教学中不要求写出“或命题”，“且命题”的否定命题.
例如：不要求写出“10是4或5的倍数”的否命题.
⑸ 教学中，要注意“ ”、“ ”、“≤”、“≥”、“ ”，“交”、“并”、“补”符号联结的命题与“或”、“且”、“非”的关系.
三、附：教学教案
1.3.1且 1.3.2或
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（1） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义
（2） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
（3） 掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q P∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（即一假则假） (即一真则真)
2．过程与方法目标：
在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．
3.情感态度价值观目标：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
(二)教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：
1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．
2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.
(三)教学过程：
1、引入
在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）
2、思考、分析
问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；
②12能被4整除；
③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；
②27是9的倍数；
③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？
例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
3、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∧q
读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∨q
读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
4、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
5、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成
平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
解略．
6．练习
Ｐ２０ 练习第1 ， 2题
７.课堂总结
（1） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义
（2） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
（3） 掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q P∨q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假
８．作业：
P20：习题１.３Ａ组第1、2题
1.3.3非
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（1）掌握逻辑联结词“非”的含义
（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题
（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
p ￢P
真 假
假 真
2．过程与方法目标：
观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．
3.情感态度价值目标：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
(二)教学重点与难点
重点：
通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
难点：
1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．
2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.
(三)教学过程：
1、思考、分析
问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1）①35能被5整除；
②35不能被5整除；
（2）①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
2、归纳定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作
￢p
读作“非p”或“p的否定”。
3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同时为假命题，也就是说，
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
p ￢P
真 假
假 真
4、命题的否定与否命题的区别
让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么
命题￢p：5不是15的约数；
p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
5.例题分析
例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少有一个
其否定语分别为
分析：“等于”的否定语是“不等于”；
“大于”的否定语是“小于或者等于”；
“是”的否定语是“不是”；
“都是”的否定语是“不都是”；
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；
“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；
例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解略.
6.练习巩固：P20 练习第3题
7．小结
（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．
（２）简洁、准确地表述命题 “￢P”.
８．作业 P20：习题１.３Ａ组第3题
1．4全称量词与存在量词
1、 教材分析：
全称量词与存在量词是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识这两类在现实生活中广泛使用的量词，会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法.
本节内容安排在学习了命题及命题的否定之后，旨在通过丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词（即全称量词和存在量词）的含义，会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假，会正确地写出这两类命题的否定，认识到含有一个量词的全称命题的否定是特称命题，含有一个量词的特称命题的否定是全称命题的规律。
教科书每一小节均由“思考”引入。对于量词，重在理解它们的含义，不要求追求它们的形式化定义。
二、教学设想：
⑴ 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题.
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等.
特称量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等.
⑵ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
例：我们班学生都是团员.
正确否定： ① 我们班学生不都是团员；
② 我们班有学生不是团员.
错误否定：我们班学生都不是团员. 这部分内容是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识到这两类量词是现实的生活世界经常使用的两类量词，会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假，会正确的写出这两类命题的否定，理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题，和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题.结合命题的四种关系，这为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法.同时使学生体会从特殊、从具体到一般的认知过程和规律，便于培养和提高学生对问题的抽象和概括的能力.
教学中举例要注意数学用语的准确性、简洁性和示范性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释.
例如：作为对全程命题的示例，“所有成功的人都很勤奋”这样的例子不能引入.这里“成功”、“勤奋”并不是一个准确的表述词汇.
（3）含有全称或一个量词的命题进行否定.
通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
在探究的过程中，教师应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，而不是机械地在原先的命题前加“非”“并非”“不”等得到它的否定．这样便于学生通过观察，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教科书中选用的例子都是数学中的具体例子．《 普通高中数学课程标准（实验）》 中提出“通过生活和数学中的丰富实例，理解全程量词和存在量词的意义”，但具体教学时，教师尽可能不用生活中的例子，避免一些不必要的麻烦．生活中的例子如果把握不好，就容易出现问题，如“所有的数学家都聪明”是全称命题吗？又如“有些女孩子胆小”是特称命题吗？
例如：所有能被3 整除的数都是奇数
否定为：①存在一个能被3 整除的整数不是奇数.
②有些能被3 整除的整数不是奇数.
③有些能被3 整除的整数是偶数.
④所有能被3 整除的数不都是奇数
也可以写作：⑤并非所有能被3 整除的整数都是奇数
错误的否定写法：所有能被3 整除的数都不是奇数.
但是我们认为①、②、③、④的写法更符合《课程标准》的教学目标，从量的角度用明确的量词形式进行否定，用词上更符合数学的表述方式，有利于培养学生的数学思维能力.
三、附:教学教案
1.4.1全称量词1.4.2存在量词
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．
（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及
判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义
难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
(三)教学过程
1．思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；
(2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
2． 推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
3．发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（8）都是全称命题。
通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
（5），存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6），存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
（7）， 存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
（8），不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命题（5），－（8），都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
4．练习、感悟
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B. ；
C. D.
（2）下列特称命题中，假命题是：
A. B.至少有一个能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x2是有理数．
（3）已知：对恒成立，则a的取值范围是 ；
变式：已知：对恒成立，则a的取值范围是 ；
（4）求函数的值域；
变式：已知：对方程有解，求a的取值范围．
5．作业、探究
（1）作业：P29习题1.4A组1、2题：
判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5），－（8），跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写出它们的否命题。
1．4．3含有一个量词的命题的否定
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
(三)教学过程
1．回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？
2．思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）x∈R, x2－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6） x∈R, x2＋1＜0。
3．推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非x∈R, x2－2x＋1≥0”，也就是说，
x∈R, x2－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，
所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，
每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，也就是说，
x∈R, x2＋1≥0；
4．发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
它的否定￢P
特称命题P：
它的否定￢P：
x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
5．练习、感悟
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（1） p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2） p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；
（4） p： x∈R, x2＋2x＋2≤0；
（5） p：有的三角形是等边三角形；
（6） p：有一个素数含三个正因数。
6．小结与作业
（1）小结：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？
（2）作业：P29习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
椭圆教案设计
1、 教材分析
圆锥曲线与方程是本章的主要研究对象，圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系．圆锥曲线都是平面内符合某种条件的点的轨迹，在必修②中我们已经学面解析几何初步，对曲线与方程有一定的认识，因而在本章中可以把圆锥曲线作为一个整体来研究，但这样做教学难度较大，所以教材是按每种曲线的定义、方程、简单的几何性质这几项来来讨论的．椭圆作为圆锥曲线的起始课，是一个承前启后的概念，是教学的重点．涉及的概念是全新的，因此要通过直观的教具演示或信息技术的辅助演示来探究，使学生理解并明确概念；在方程化简过程中遇到了比较复杂的根式化简问题，由于初中义务教育阶段没有详细介绍无理方程的化简，因此要通过学生的预习与教师的认真讲解结合起来，才能突破教学的难点．
2、 教学设想
1、§2．1．1椭圆及其标准方程
（1）教具的准备
多媒体课件（）：第35页章头图，作两个圆锥的顶点相同，一个圆锥的母线是另一圆锥的母的反向延长线，然后用与圆锥的轴成不同的角度的平面去截圆锥曲面，得到圆、椭圆、双曲线、抛物线等，给学生一个圆锥曲线的直观的印象，使学生对圆锥曲线有一个初步的认识；多媒体课件（）：倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线；倾斜着烧杯的水面的边界线；发电厂的循环水的冷却塔的外形轮廓线；探照灯反光镜的轴截面的曲线．通过这些日常生活中学生所熟悉的实例，进一步加深了学生对圆锥曲线的印象．这一点对学生来说并不难，但如何揭示圆锥曲线的内涵，就不是那么容易了．这时可设问：我们怎样定义椭圆、双曲线、抛物线曲线呢？通过设问来激发学生的探究欲望．先让学生把课本打开到36页，首先探究椭圆曲线的定义， 教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出椭圆的定义，再改变细绳的长度使它为两定点间距离时，点的轨迹又是什么？
（2）椭圆的标准方程
利用类比圆的对称性建立直角坐标系求圆的方程的过程，利用椭圆的几何特征，建立以焦点，所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系．（i）由椭圆的定义，椭圆即为集合；（ii）将坐标代入定义式中，即得无理方程，要化简这个无理方程，必须把两个根式分开到等号两边，即为，将此式平方整理为，再平方再整理得到，令，即可得椭圆的标准方程．
（3）例题讲解与引申
教科书中选取了三个例题，每一例题都有侧重点，（i）例1主要是让学生真正理解椭圆的标准方程和椭圆的定义，当然也可以用以下的方法来求：设椭圆的标准方程为，则；（ii）例2是具有代表性的用代入法求动点的伴随点的轨迹，再讲例2时，可以稍作点引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程；（iii）例3主要是求轨迹方程的一般方法，通过方程的特征来化为椭圆的标准方程，特别向学生强调轨迹的完备性和纯粹性．引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．
2、§2．1．2椭圆的简单几何性质
（1）椭圆的简单几何性质
通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质，而这种依赖曲线的方程来讨论曲线的几何性质是解析几何中讨论曲线的几何性质常用的方法．因此，在教学中，不仅要注意对研究结果的理解与应用，而且应注意对研究问题的方法的培养．基于学生对由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点比较熟悉，所以在研究椭圆的范围、对称性、顶点等性质时，除了课本上的方法外，提醒学生椭圆的方程也可化为函数形式，将椭圆的范围的讨论化归为对函数的定义域和值域的讨论；在学习函数图像对称性时，如果用代方程不变，那么当点在曲线上时，它关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴成对称图形．同理，如果用代方程不变，那么曲线关于轴对称；如果同时用代，用代方程不变，那么曲线关于原点成中心对称；再介绍椭圆的顶点时，先给学生对圆锥曲线的顶点下统一的定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点，叫做圆锥曲线的顶点；由43页的思考问题来讨论椭圆的扁平程度，刻画椭圆的扁平程度的量为离心率．
（2）例题的讲解与引申、扩展
本节课教科书也是三个例题，（i）例4是巩固和理解由椭圆的标准方程而得椭圆的简单几何性质的具体应用，把例4稍作点扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．这同时提醒学生注意椭圆的焦点也可以在轴上；（ii）例5本身题目涉及的知识并不难，但对学生来说由图形来建立直角坐标系，并能近似计算出，，三量的值是有比较实际意义．可以把例5引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程；（iii）例6是椭圆第二定义的例题，尽管教科书受课程标准的限制，教科书中没有提到第二定义，椭圆准线等概念，但考虑学生将来学习的需要，适当提到第二定义，准线，离心率的另一种定义．结合第47页组的第小题以及48页上信息技术应用（用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆）可以把例6扩展到一般情形．
3、 附：教学教案
1、§2．1．1 椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
预习教科书35页至40页，观看或操作课件（），当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子（可以引导学生观察课件（））．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．
（ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
（iii）例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．
另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，
则．
例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．
引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．
例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
解法剖析：设点，则，；
代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．
引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件（）的展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
2、§2．1．2 椭圆的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； ．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．
解法剖析：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
例6如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：（用《几何画板》探究）若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
双曲线教案设计
1、 教材分析
双曲线及其标准方程和双曲线的简单几何性质是本节的主要研究对象，双曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系．双曲线是平面内符合动点到两定点的距离差的绝对值是一个常数的点的轨迹，在§2．1中我们已经学习了椭圆，对圆锥曲线与方程有一定的认识，因而在本节中可以直接按双曲线的定义、方程、简单的几何性质这几项来探究．双曲线作为圆锥曲线的第二个概念课，是一个承前启后的概念，是教学的重点．涉及的概念是除了一些可以与椭圆类比的外，还有它自身的特点，因此在教学要通过直观的教具演示或信息技术的辅助演示来探究，使学生理解并明确概念；在方程化简过程中同样会遇到了比较复杂的根式化简问题，由于有椭圆方程化简的经验和通过学生的预习是能突破对无理方程化简的这个难点的．
2、 教学设想
1、§2．2．1双曲线及其标准方程
（1）教具的准备
多媒体课件（）：第35页章头图，作两个圆锥的顶点相同，一个圆锥的母线是另一圆锥的母的反向延长线，然后用与圆锥的轴成不同的角度的平面去截圆锥曲面，得到圆、椭圆、双曲线、抛物线等，重点是让学生观察当平面与圆锥曲线的轴线平行时，截口线给学生一条双曲线的直观的印象，使学生对双曲线有一个较深刻的认识；多媒体课件（）：发电厂的循环水的冷却塔的外形轮廓线和某种慧星的运行轨道．通过这些日常生活中学生所熟悉的实例，进一步加深了学生对双曲线的印象．这一点对学生来说并不难，又已经学习了椭圆那一节，如何揭示双曲线的内涵，就比较容易了．这时可设问：我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的轨迹是椭圆．那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么呢？通过设问来激发学生的探究欲望．先让学生把课本打开到页，首先探究双曲线的定义， 教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出双曲线的定义，再改变细绳的差的长度使它为两定点间距离时，点的轨迹又是什么？
（2）双曲线的标准方程
利用类比椭圆的对称性建立直角坐标系求椭圆的方程的过程，利用双曲线的几何特征，建立以焦点，所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系．（i）由双曲线的定义，双曲线即为集合；（ii）将坐标代入定义式中，即得无理方程，要化简这个无理方程，必须把两个根式分开到等号两边，即为，将此式平方整理为，再平方再整理得到，类比椭圆令，即可得双曲线的标准方程．
（3）例题讲解、扩展与补充
教科书中选取了两个例题，每一例题都有侧重点，（i）例1主要是让学生理解双曲线的标准方程、双曲线的定义及三量的关系，当然这个例题没有难度，起不到真正理解双曲线的定义及标准方程的作用，必须补充一个有一定难度，以能帮助理解定义及标准方程的题目．补充：求下列动圆的圆心的轨迹方程：① 与⊙：内切，且过点；② 与⊙：和⊙：都外切；③ 与⊙：外切，且与⊙：内切．（ii）例2根据声学原理与双曲线的定义相结合来解决实际问题，是一典型的双曲线的应用题．这个题可作如下扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
2、§2．2．2双曲线的简单几何性质
（1）双曲线的简单几何性质
通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质，而这种依赖曲线的方程来讨论曲线的几何性质是解析几何中讨论曲线的几何性质常用的方法．因此，在教学中，不仅要注意对研究结果的理解与应用，而且应注意对研究问题的方法的培养．基于学生已经对由椭圆的标准方程来研究椭圆的图形特征比较熟悉，所以在研究双曲线的范围、对称性、顶点等性质时，除了课本上的方法外，提醒学生双曲线的方程也可化为函数形式，将双曲线的范围的讨论化归为对函数的定义域和值域的讨论；在学习函数图像对称性时，如果用代方程不变，那么当点在曲线上时，它关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴成对称图形．同理，如果用代方程不变，那么曲线关于轴对称；如果同时用代，用代方程不变，那么曲线关于原点成中心对称；再介绍双曲线的顶点时，提醒学生回忆：圆锥曲线的顶点下统一的定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点，叫做圆锥曲线的顶点，这样双曲线只有两个顶点；应用信息技术来探究双曲线的渐近线概念；由页的思考问题来讨论双曲线的扁平程度，刻画双曲线的扁平程度的量为离心率．
（2）例题的讲解、引申与扩展
本节课教科书是三个例题，（i）例3是巩固和理解由双曲线的标准方程而得双曲线的简单几何性质的具体应用，题目基本上没有难度，必须把它稍作点扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率；（ii）例4本身题目涉及的知识并不难，但对学生来说由图形来建立直角坐标系，并能近似计算出，，三量的值是有比较实际意义；可以作如下引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．（iii）例5是双曲线第二定义的例题，尽管教科书受课程标准的限制，教科书中没有提到双曲线的第二定义、双曲线的准线和圆锥曲线的统一定义等概念，但考虑学生将来学习的需要，适当提到双曲线第二定义、准线、离心率的另一种定义．结合第59页组的第3小题以及借助信息技术应用可以把例5扩展到一般情形．
3、 附：教学教案
1、§2．2．1 双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
预习教科书49页至53页，观看或操作课件（），当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子（可以引导学生观察课件（））．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集．
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆：设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．
（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．
补充：求下列动圆的圆心的轨迹方程：① 与⊙：内切，且过点；② 与⊙：和⊙：都外切；③ 与⊙：外切，且与⊙：内切．
解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆的半径为．
① ∵⊙与⊙内切，点在⊙外，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是；
② ∵⊙与⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，∴的轨迹方程是；
③ ∵与外切，且与内切，∴，，因此，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，∴的轨迹方程是．
例2 已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，，．
设为巨响发生点，∵、同时听到巨响，∴所在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，∴．由双曲线定义知，，，∴，∴点在双曲线方程为……②．联立①、②求出点坐标为．即巨响在正西北方向处．
探究：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？
探究方法：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件（）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
2、§2．2．2 双曲线的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因开发数学形象思维 拓展全面创新能力
广东省河源市河源中学 谢建明
内容摘要：本文论述在高中数学教学中根据数学形象思维的特点——形象性、非逻辑性、粗略性、想象性等，利用数学教学中常用手段如何去开发数学形象思维和拓展学生的创新能力。
关键词：形象思维 创新能力 形象性 非逻辑性 粗略性 想象性线性形象思维 模型隐蔽化 思维空间 计算机
培养创新能力，首先要具备创造性思维。“创造性思维是创造过程中的思维活动，是抽象思维和形象思维两种思维新颖的灵活的有机结合。”数学是构造现代科技大厦的基石，它在培养和提高思维能力发挥着特异的功效；他的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的高级纳米材料，对发展能力发挥着举足轻重的作用。传统的数学教育重视抽象的逻辑推理演算，却忽视了灵活发散的形象思维，从而导致我国中小学生的数学文化精神严重“缺钙”。古代希腊数学家说：“从作图的直观上发现了数学的非演绎的无理的元素，这些元素是使得作图的直观可与音乐和艺术相媲美。”这正是数学形象思维重要性的一个缩影。因此，发展形象思维是培养创新能力的一个必要的突破口。
一、形象思维的含义
形象思维是人类运用事物存在的具体、感性的形象来认识和把握客观世界的思维方式。
对于形象思维，它最早由俄国文艺评论家别林斯基提出，那时常用于文艺领域。我国科学家钱学森在20世纪80年代把它提高到思维形式的科学高度。
二、形象思维的基本特点
（一）形象性
形象性是形象思维最基本的特点。形象思维所反映的对象是事物的形象，思维形式是意象、直感、想象等形象性的观念，其表达的工具和手段是能为感官所感知的图形、图象、图式和形象性的符号。形象思维的形象性使它具有生动性、直观性和整体性的优点。
（二）非逻辑性
形象思维不像抽象（逻辑）思维那样，对信息的加工一步一步、首尾相接地、线性地进行，而是可以调用许多形象性材料，一下子合在一起形成新的形象，或由一个形象跳跃到另一个形象。它对信息的加工过程不是系列加工，而是平行加工，是面性的或立体性的。它可以使思维主体迅速从整体上把握住问题。形象思维的结果有待于逻辑的证明或实践的检验。
例1：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果水量V与高h的函数关系如下左图所示，那么水瓶的形状是如下右图中的 （ ）
【分析】本题是一道应用题，题中没有任何参数.条件用函数图象表示V和h间的函数关系，把只用图形表示瓶子的形状放在选择枝的位置，显然，这里不通过具体的计算来进行判断，需对所给图形认真观察分析，抓住其特点进行思考与判断.这就需要比较强的非逻辑性形象思维能力.
（三）粗略性
形象思维对问题的反映是粗线条的反映，对问题的把握是大体上的把握，对问题的分析是定性的或半定量的。所以，形象思维通常用于问题的定性分析。抽象思维可以给出精确的数量关系，所以，在实际的思维活动中，往往需要将抽象思维与形象思维巧妙结合，协同使用。 又如上例1也体现了形象思维的粗略性。
（ 四）想象性
想象是思维主体运用已有的形象形成新形象的过程。形象思维并不满足于对已有形象的再现，它更致力于追求对已有形象的加工，而获得新形象产品的输出。所以，形象性使形象思维具有创造性的优点。这也说明了一个道理；富有创造力的人通常都具有极强的想象力。
例2．（2001年高考题第18题）
如图1，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，，，SA=AB=BC=1，AD=.
（1）求四棱锥S—ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值
【分析】本题第（2）问关键是确定二面角的平面角.由于面SCD与面SBA二面角的棱未作出，先作出面SCD与面SBA的棱是首要任务。由于面SCD、面SBA、面ABCD两两相交，因此面SCD与面SBA的交线必过面SCD、面SBA与面ABCD的交线AB与DC的交点，为此延长BA、CD相交于E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。（如图2）其次要求考生认真观察，分析题的条件，依靠想象得出是所求二面角的平面角，然后再加以证明。这样就会目标明确，化难为易，迅速解决此题.这里正体现了形象思维的想象性。
三、开发数学形象思维，拓展学生的创新能力
（一）题意明确化的线性形象思维
在高中数学的函数、二次曲线方程和立体几何的内容的习题中可以强化这类思维。立体几何中常用的图形割补法、图形颠置法、点线转移法等，在函数和平面解析几何中常用的数形结合思想等，这些都是培养形象思维较好的方法。
例3：过点M（1，1）作直线L交双曲线x2-于A、B两点，是否存在直线L使线段AB的中点恰为M？
常规解题方法用设两点法和待定系数法求出直线L，然后代入曲线得出一元二次方程，再用判别式法考虑“△”的大小，从而判断是否存在，其过程比较繁。如果从点位置去分析此题，就简便多了。通过作图发现，我们可以得出这样一系列的推论。①当点在双曲线内时，存在只交同一部分的直线。此时该中点（x0,y0）满足x20->1.②当点位于渐近线与双曲线所围成的区域内，找不到这样的直线，此时0< x20-<1.本例就是。③当点位于两渐近线围成的区域内，存在交于两部分的直线L，此时x20-<0.
上述例题是从问题的题设展开形象思维发散,从变化中抓住问题的本质,值得学习。
例4 长方体一个顶点上三条棱的长分别为a,b,c (a,b,c两两不等)，一条对角线为AB，长方体的表面上A，B两点间的最短路程为,则a、b、c的大小关系是___________。
【分析】：长方体表面上A、B两点间的最短路程？侧面展开图上的直线段长；展开？怎样展开？有几种不同的展开方式？
解：在长方体表面上从A到B的最短路途，由于长方体的对称性，可从以下三种实现方式中比较获得：
（1）AB= （2）AB= （3）AB=
由已知是短路程为第（2）种情况下获得：
∴ AB>AB且AB> AB,
而AB与AB则大小关系不定，
∴ 可知a,b,c的关系为：2ac>2bc且2ab>2bc，2bc与2ab不定。
即a>b且a>c，b,c关系不定。
这里利用线性形象思维，通过点线转化，不但题目得到很好地解决，而且从中也培养了学生创造性思维。
（二）模型隐蔽化的转换思维空间的形象思维
这种形象思维需要同学们有敏锐的观察力和丰富的类比联想力，要求学生思考问题不要停止和束缚在一个层面上，要大胆地跳跃到另外一个思维空间上去解决问题。这种思维在“转化思想”中得到淋漓尽致的发挥。如构造函数，构造坐标，构造数列，构造等价命题，构造数学模型等等。
例5：函数f(x)满足2f(a)f(b)=f(a+b)+f(a-b)且f(0)≠0,则f(x)为
A．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.不能判断奇偶性
【分析】常规方法是：令a=b=0，得f(0)=1,再令b=-a等步骤可得出函数f(x)为偶函数。如果我们联想到三角函数和差化积的公式上，问题可蜕化成：2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β),显而易见cosx是偶函数。
例6．在一页纸上所印的文字要占Scm2,上下页边空白处要留acm宽，左右要留bcm宽，若注意节约纸张，则以如何尺寸的篇幅最为有利？
【分析】：若设书页的高为xcm，宽为ycm，则书页的面积为S1=xycm2.因为（x-2a）(y-2b)=S,所以y= 因此S1=通过把式子变形，在利用均值不等式就可以解决这个问题。
在生产实际中，如何节约原材料、降低成本等问题通过建立数学模型能得到很好的解决。这正是培养学生形象思维的很好办法。
例7对于一切大于1的自然数n，
证明：（1985年上海高考试题）
【分析】 本题常规证法是利用数学归纳法。但若采用构造数列的方法，这样将更简捷、新颖。显然an>0，a2=若对任意n≥2时，n∈N，都有an>1，则原命题得证，
证明： 注意到欲证不等式左、右皆正，故构造数列{an}，并令
显然an>0，a2=为此，考虑n≥2时，
∴an+1>an>an-1>…>a2>1，故原命题成立.
这些都是利用到了模型隐蔽化的转化思维空间的形象思维。类似的例子很多，在此就不一一指出。上述告诉我们在数学教学中充分利用数学问题培养学生的跳跃性、发散性的思维。这样，才能在头脑中迸发出灵感的火花。
（三）利用计算机突出形象思维训练
形象思维方法主要有联想和想象，具有直观性和跳跃性，利用多媒体辅助教学可以轻松表现它的特点。CAI课件的直观表现力，展现逻辑思维过程，克服学生在归纳综合等抽象思维中的障碍，有利于学生形成清晰的图景，加深对规律的认识。
例如：利用计算机的模拟功能可以模拟一些运动过程中出现的临界状态，从而给学生建立一幅清晰的图景，象学生难以理解的追击问题及相遇问题都可以清晰的显示出来。就追击问题来说，学生对等量关系寻找易出现问题，可设置一动画过程：AB两点间的路程，一人以速度a从A点出发走t时间，然后一人从A点以b速度同相而行，在一点两人重合，在这一过程中利用画面的色彩和各种功能键，可随时使画面静止下来，供学生观察分析，从而得出两人走过的路程相等而第一人比第二人多走了t时间。利用MCAI使问题解决的过程形象化，同时又对比数量关系，使之概括抽象，让学生容易深刻理解类似象工程问题等其他问题也可以通过类似的线段图来解答。
总之，数学教学比一般学科的教学对于培养创造能力更为有利。现代脑科学和思维科学的研究结果表明：人的大脑两半球具有不同的思维功能，左半球主要从事符号、判断、推理等抽象思维，右半球则主要从事构图、识别、想象等形象思维。形象思维善于提出解决问题的各种尝试，抽象思维则善于按一定的逻辑程序有条理地解决问题。大脑两半球通过联结而相互作用，只有两半球功能的互补，才能使人的创造性智能得以充分发挥。数学被人看做一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。在证明一个数学定理之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次以一次地进行尝试，最后得出论证推理。由此可见，数学既需要逻辑推理的抽象思维，又需要想象与猜测的形象思维，在数学教学和数学学习中，根据教材的特点，开发数学形象思维，自觉地习惯于抽象思维与形象思维的结合，使大脑两半球的相互配合与补充更为协调，创造能力无疑将会得到更大的提高。
参考文献
1.温寒江。构建中小学创新教育体系。2002.1.
2.R.柯朗.H罗宾斯.数学是什么.汪浩等译.
3.祁平.几何教育的功能哲学思考.数学通报.2001.5.
4. 波利亚.《数学与猜想》（美国）.
图1
图2
12.2.1椭圆及其标准方程（一）
山东省沂南县第一中学 牛纪堂
一、教学目标：
1、知识与技能目标
（1）理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程；
（2）掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法；
2、过程与方法目标
（1）经历椭圆的形成过程，培养学生运动变化的观点，训练学生的动手的能力；
（2）通过联系曲线方程的求法，推导椭圆的标准方程，建立类比的思想；
（3）在椭圆的概念与标准方程的应用中，学习数学思想和解决问题.
3、情感态度与价值观目标：
通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，体验成功的快乐.
二、重点、难点：
重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；
难点：椭圆标准方程的推导与化简.
三、教学设计：
教学环节 教学过程 师生互动 设计思想
情景引入 多媒体展示：材料1：地球围绕着太阳旋转；材料2：“神舟六号”飞船升空录像.引入课题：椭圆及其标准方程. 师：引导学生观察轨道.生：观察动画，指出地球与“神六”的运行轨道.师：板书课题. 利用学生熟知的地理规律：地球围绕太阳转引入，让学生感到亲切自然；通过“神六”的升空录像，让学生感受现实，激发学生的兴趣，培养爱国思想.通过做实验，让学生动手实践，体验椭圆的形成过程，加深对椭圆定义的理解.将学生分为四人一组，通过分组讨论、研究，增强学生的合作意识.
学习探究（一） 动手实验：取一定长的细绳，把它的两个端点固定在黑板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，旋转一周，会得到什么图形？把绳子的两个端点拉开一段距离，再套上铅笔旋转，又会得到什么图形？继续拉远两个端点的距离，直到把绳子拉直，又会得到什么图形？ 实验(1)教师演示，学生观察思考.实验(2)、(3),各小组学生利用手中工具在图板上进行实验.
归纳总结： 当绳长大于两定点的距离时，轨迹是椭圆； 当绳长等于两定点的距离时，轨迹是以这两个定点为端点的线段； 当绳长小于两定点的距离时，没有轨迹. 师：引导学生讨论实验结果，总结规律.生：小组讨论，相互补充，得出结论.
教学环节 教学过程 师生互动 设计思想
学习探究（一） 多媒体展示：椭圆形成过程.利用点的轨迹，描述椭圆的定义.椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点的距离叫做焦距.常数（大于） 师：引导学生观察椭圆形成过程，找出动点、定点及绳长是否变化，组织小组讨论. 生：小组讨论，给出椭圆 定义.师：设动点为M，椭圆的定义可用什么式子表示？ 通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.建立椭圆的方程是本节课的难点，为降低难度，让学生回顾求曲线方程的步骤，以已有的知识来探求新的知识，温故知新，教师再加以正确的引导，新知会自然形成.
学习探究（二） 下面我们来建立椭圆的方程建系：以所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy.设点：设点M（x,y）是椭圆上的任意一点，点M到的距离和为2a,焦距为2c(c>0),则F1（－c,0）, F2(c,0)列式：由定义：2a，即 化简：整理,得 ∵a>0,c>0,2a>2c ∴>0.方程的两边都除以，得 生：回顾求曲线方程的步骤：⑴建系，⑵设点，⑶列式，⑷化简.师：引导学生按求曲线方程的步骤建立椭圆的方程.生：思考，回答：(1)怎样建立适当的坐标系(2)如何设点？(3)怎样列式？ (4)如何化简？生：分析化简的方法，在练习本上完成化简.
教学环节 教学过程 师生互动 设计思想
学习探究（二） .如图：，则令，则，那么方程变为：（a>b>0）. 师：请同学们在图中找出长度等于a,c的线段，则师：引导学生推出椭圆的标准方程.师：指出其焦点在x轴上，坐标为F1（－c,0）,F2(c,0)生：观察图像，识记方程. 椭圆的标准方程的导出，放手给学生有很大的难度，这里采取有意义的接受学习的 方式，教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.展示动画，通过类比的方法，让学生对照焦点在x轴的情形，写出焦点在y轴上时，椭圆的标准方程.通过图表便于对比，加深学生对两个方程及几何意义的认识.尝试练习，加深对方程及几何意义的理解.
多媒体展示动画：将椭圆的焦点放在y轴上 结论：当焦点在y轴是时，椭圆的方程为：.多媒体展示图表：让学生对照图形、方程理解记忆. 师：若焦点放在y轴上，方程又怎样 ？生：小组讨论椭圆的方程，相互交流、补充，得出结论.生：分析方程、图形，识记椭圆的标准方程.师：引导学生如何根据方程判断焦点的位置？
实践体验 1、你能判断下列椭圆的焦点位置吗？并写出焦点坐标.(1) ； (2). 生：根据所学椭圆的标准方程，思考后回答.师生共同矫正.生：总结如何判断焦点的位置？
教学环节 教学过程 师生互动 设计思想
实践体验 2、请你写出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1) a=4,b=1,焦点在x轴上； (2) a=4,c=,焦点在y轴上. 生：练习本上完成后回答.师：指出求椭圆的关键是求a和b的值，a、b、c的关系是. 通过练习，加深学生对a、b、c的理解和对公式的记忆.让学生分析阐述解法，训练语言表达能力，提高分析问题的能力。让学生板演，规范学生的解题步骤.通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结方法规律.体验高考，提高学生的学习兴趣，增强学习的信心.回顾反思本课时所学知识，梳理巩固所学内容.
学以致用 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-2,0)，(2,0)，并且椭圆经过点()，求它的标准方程. 生：分析题意，寻求解法.师：正确地引导学生.生：一生板演，其它学生做在练习本上.师生共同矫正.生：思考是否还有其它解法？发表见解.总结方法：（1）定义法（2）待定系数法.
体验高考 （全国)已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为( )A、2 B、3 C、5 D、7 生：思考，解决，体验高考.
课堂小结 多媒体展示：（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程（图形、焦点坐标、标准方程、a、b、c的关系）. 生：总结本节课所学及收获.师：课件展示所学内容.
2.2.1椭圆及其标准方程一、椭圆的定义 方程的推导常数（大于） 二、椭圆的标准方程 （a>b>0） 学生板演区域
四、板书设计：
F1
F2
M
PAGE
第 5 页编号：570003
《导数及其应用》教学随想
海南中学 王涵
我们作为数学知识、数学文化和数学思想的传播者，教学中能否体现《标准》中所列举的10项基本理念，是新课程下课堂教学成功与否的判别标准。在课堂教学中，如何吸取教材中的精华，经过再加工使学生主动地接受新知识，并积极地参与探索，是每一位教师都应该追求的目标之一。从课改开始，我们就使用人民教育出版社的数学教材[A版]，由陌生到熟悉，转眼已过去两年多。以下就我个人在选修2—2中“导数及其应用”一章的教学践实谈几点体会。
一、注重对学生学习兴趣的培养
兴趣，对人们从事实践活动，获得知识，发展智能，提高能力等是一种强大的动力。微积分的内容在我国的中学教材中几进几出，根据以往的情况，《标准》对这部分内容的教育价值、定位、处理上的变化和变化的缘由作出了诠释，教材也充分体现了《标准》的要求。微积分在数学中的重要地位不言而喻，那么如何使学生主动接受这一重要的知识及其中缊含的数学思想和方法呢？首重任务是要培养学生的学习兴趣。好的开端是成功的一半，在教学中要引导学生认真阅读本章的导言：“……，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑……”。开篇就把学生的思维带入一个充满憧景的情景中，在教学中教师又结合具体实例和相关的史料，使学生产生渴求新知，探求未知领域的欲望。另外，教师又创设情境，引出一些学生常见的但以旧知无法解决的问题，激发学生的学习兴趣，使他们把探寻的目光聚焦于“导数”。
二、寓德教学于数学教学之中
微积分是全面认识数学价值的一个较好的载体，且在现代社会中随处可见（如运动速度、绿地面积、工厂的“三废”排污率，人口的增长率，环境问题等等）。在教学过程中我们结合教材中的实际例子，使学生在学知识的同时随之产生一种责任感，使命感。另外在定积分内容的教学中，除渗透“以直代曲”的数学思想外，通过介绍我国古代的相关的数学成就（如介绍祖冲之的伟大贡献等），激发学生的学习兴趣，培养民族责任感，激发学生的热情，树立为振兴中华，开创未来的崇高理想和为科学献身的远大志向。由于导数及其应用的内容涉及知识较多，方法灵活，在教学中除安排学生完成教材上的练习外，还应适当的增加一些思考题，给学生一个反复思索的平台，这种再创造的过程自然可以培养学生的创新能力，而一段时间的反复思索则可以锻炼学生的坚持性，培养他们坚忍不拔、百折不挠的意志品质。
三、数学教学中要注意学生的创新意识的培养
21世纪是以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代，社会的信息化，经济的全球化使创新精神与实践能力成为影响整个民族生存状况的基本因素。由此培养学生的创新精神我国基础教育改革的目标之一。在这章的教学中，对教材中设置的思考问题应引起足够的重视。如：不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？等等，教师要积极引导学生对这些问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题。正如当代著名的数学家马丁·加德纳斯所说：“你考虑的可能性越多，就越容易找到决窍，这是所有具备创造能力的数学家的奥秘之一。”
四、在教学中，加强思维深刻性的培养
中学数学教学的一个重要任务就是对学生进行基础知识教学的同时，加强对学生思维能力的培养，并使学生形成良好的思维品质。这其中思维品质的六个方面：广阔性、深刻性、灵活性，组织性，批判性、创造性中，思维的深刻性在本章的教学中也要作为一个重要的内容，应予以关注。而思维的深刻性是指学生善于深入思考问题，准确把握问题的本质和规律性联系，不为表面现象和各种干扰所迷惑的思维品质。在本章导数概念的引入时，教材中安排几个典型的问题（如汽球膨胀，高台跳水等），这些问题设置为学生建立导数的概念架设了一座桥梁，我们在教学中应紧紧围绕这些问题，由表及里，由浅入深，层层剖析，引导学生透过现象看本质——变化率——导数。又如在定积分的教学中，从曲边梯形的面积出发到汽车行驶的路程这些实际问题入手，总结归纳出解决这类问题的“四步曲”：分割、近似代替，求和、取极限。教学的重点应放在思想方法上，再结合教材中的思考问题以及练习，不仅使学生建立起导数和定积分的概念，同时使学生体会到解决数学问题的一般方法，即从特殊到一般，从具体到抽象这一认知过程，培养学生思维的深刻性。
五、通过教学培养学生的自主学习的能力
“要培养工程师使之能适应明天的技术，那么主要的力量应放在教会学生如何学习，因为学生将不得不活到老学到老。”所以我们必须对学生的终身教育奠定基础。不仅要传授给学生知识，还应说培养学生自主学习的能力。这是智力竞争时代的迫切要求，也是深化教育改革的重要课题之一。在导数及其应用一章的教学中，利用教材中设置的大量的探索问题，思考问题作为培养学生自主探索的题材，培养学生的自己学习的能力。如在变力作功问题中，探究：如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a＜b）那么如何计算变力F（x）所做的功W呢？象这样的探究问题不难，但可以给学生以启示，即善于发现问题并积极思考进而解决问题，使学生在学到知识的同时也学会了如何学习。不断提高学生的自主学习能力。
以上就是本人在《导数及其它应用》一章教学中的一些做法和想法，通过本章的学习，学生普遍感到教材内容的安排合理、选材适当、收获颇丰。
用教材中的“探究”活动培养学生的探究能力
青岛第十五中学 苏延红
翻开课改后的高中教材，立即被彩色的画面、人文性的语言所吸引，新教材在教学内容设置上，变化最大的是课本中的每一章的每一节中都设置了“观察”、“思考”、“探究”等活动，这是对传统的灌输式教学方式的重大改革，通过这些活动，引导学生发现问题，提出问题，亲身实践，主动思维，可以逐步培养学生善于提问的意识，勤于实践的习惯，主动探究的能力。使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
什么是探究式学习？教师如何在课堂上利用教材中现有的探究活动进行教学？笔者在教学实践中，根据新课标的要求，对这些探究活动进行了一些分析与探索。
1． 探究性学习的概念
从广义上理解，探究性学习泛指学生主动探究的学习活动。它是一种学习的理念、策略、方法，适用于学生对所有学科的学习。从狭义上理解，探究性学习是指在教学过程中以问题为载体，创设一种类似科学研究的情境和途径，让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的产生过程，进而了解社会，学会学习，培养分析问题、解决问题的能力和创造能力。从教学角度看，探究性学习是指学生在教师的指导下，以类似科学研究的方式，进行主动探究的一种学习方式。
高中数学课程标准的一个理念就是：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，发展他们的创新意识。
新版教材的各章节都在不同的位置，恰当的设置了各种各样的探究活动，提出了恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思、等理性思维的过程，切实改进了学生的学习方式。
2．探索知识的发生过程 引导学生去发现问题
数学是一个动态的过程，是一个思维的实验过程，数学结果并不能反映数学的全貌，组成数学整体的最重要的方面是数学研究的过程。只有让学生自己去体验、感受、发现知识的发生发展过程，领略数学对象的丰富、生动且富于变化的一面。这样既有利于学生掌握数学全貌，又有利于激发学生学习数学的热情，更有利于树立数学发展过程中的数学思想。
案例1 观察二次函数=x2-2x-3的图象，（如图）
我们发现函数=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点，
计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？
在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？
（人教A版必修1 3.1.1方程的根与函数的零点）
这个探究活动是在学习方程的根与函数的零点时设置的，教材以一个学生所熟悉的二次函数入手，引导学生探究二次函数的两个零点-1、3所对应的区间[-2，1]、[2，4]，通过计算 与 的值，发现了乘积均未负数的规律（由图象也可得出）。这个规律促使学生猜想，是否所有的零点所在的区间[a，b]都有 < 0。当他们画出自己所熟悉的各类函数图象，通过自己动手实践，得出了方程的根存在的条件。虽然没有严格证明（教材没做要求），但学生通过分析、处理相应的信息，自己去体验、感受、发现了知识的发生发展过程，从而形成了分析问题、解决问题的能力。
通过探究活动，学生摆脱了被教师“满堂灌”的学习，学生感觉到在知识的学习过程中随时可以提出问题，发现问题，他们学会用批判的眼光去观察问题，敢于向权威挑战，对教材写的、教师说的、名人题的问题敢于质疑，通过一定的归纳、类比联想、改变属性、逆向思维、数学实践、追溯过程等探究，才能感知知识的产生，有利于学生的学习。
3．探究问题解决的方法 帮助学生寻找解决问题的切入点
问题解决是一个发现、探索和创新的过程，它也是一种基本技能，是提出问题、建构数学模型、设计求解方法、检验答案等各类技能的整合。问题不等于习题，它不能靠学生的模仿、套用等途径解决，它需要学生创造性的运用知识来解决问题。学生对需要解决的问题首先要进行表征和理解，然后提出各种可以用于问题解决的策略并进行假设检验，最后在教师指导和自己的探索下，形成自己解决问题的理念和策略。
案例2 （1）联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并且画出它吗？
（2）如果圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？
（人教A版必修2 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积）
在学习柱体、锥体、台体的表面积与体积时，圆台的表面积的推导是一个难点，课本在分析了棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积的计算方法后，引出学生所熟悉的圆柱、圆锥也是从其侧面展开图入手，将空间图形问题转化为平面图形问题，从而解决表面积问题。此时，探究活动的提出非常自然，学生在此活动中，根据前后数学知识的联系，利用类比的方法，自然从侧面展开图的形状及图形面积的计算入手，但对于扇环面积的求解对学生来说是一个难点，此时教师只要用圆台的定义加以引导，通过圆锥与圆台的关系，学生的探究任务就能顺利完成。
通过此探究活动，学生不但学到了数学知识，更学到了解决问题的方法，提高了解决问题的能力。通过探究活动，学生不再会解决问题时感到盲目，无从下手，在他们现有的认知水平和已有的知识结构下，通过对问题进行分析，对知识进行联系，对方法进行类比，并结合信息技术手段（如几何画板、Excel等），提出各种可以解决问题的策略，通过对这些策略的实施，一步一步达到解决问题的目的。
4．体验数学知识的变更 培养学生主动解决问题的意识
数学是千变万化的，学生若要做到灵活运用数学知识解决相关问题，必须要在数学中体验数学知识的变更。对一些毫不起眼的基础性命题，进行横向的拓宽和纵向的深入。可以通过逆向思维求其逆命题；可以通过设常量为变量拓展问题；可以通过引入参量推广问题；可以通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别，并变更出新的命题。这样，无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都会使学生体验到如何将数学知识进行变更，在解决相关问题时也能得心应手。
案例3 （1）在例2中，若把条件改为：E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA上的点，且，那么四边形EFGH是什么图形？为什么？
（2）在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
（人教A版必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系）
这是在学行公理后的例题“如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形”之后提出的探究活动，例2是一个比较简单的题目，探究活动（1）是对它横向的拓宽，探究活动（2）是对它纵向的深入，例2中的中点是学生所熟知的，条件改为“”后，引导学生利用比例线段来判断平行、等量关系，教师若将条件再改为“，”弱化了一个条件后，四边形的形状又发生了变化。学生通过探究更加明确了特殊四边形的概念，而条件“AC=BD”的加入，四边形的形状又有了质的变化。这一探究活动，学生体验了数学知识的千变万化，条件的改变、条件的弱化、条件的加强等，都会使数学问题发生变更，但它们之间却都有着密切的联系和一定的区别。
通过探究活动，学生体会到数学知识的学习是在不断提出问题、解决问题的过程中展开的。当学生学到了某个知识后，马上会有用它来解决问题的想法，可以解决一些基础性命题，也可以解决一些知识的变更问题，更可以解决现实生活中的实际问题。这样有利于学生对某个知识的深入了解，从而拓宽视野、丰富知识的应用范围，提高对所学知识的迁移能力。
探究活动是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，课堂上学生通过参与探究活动，初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神。这为学生的探究性课题学习打下了良好的基础，使探究性课题学习能顺利、自然的进行。总之，探究活动给课堂教学模式带来了巨大的冲击，这种全新的以数学探索和创新过程为主导的教学模式，将随着新的课程标准的实施和新教材的使用，会被越来越多的教师所使用，让学生真正成为课堂的主人。
参考文献：
《普通高中数学课程标准》
王平 《探究性学习教学示例》
A
F
D
C
B
H
G
E
PAGE
4数学教师如何应对新课改
山东临清市第二中学（252656） 穆守伏（13181096502） mistermu@ ( mailto:mistermu@ )
高科技的迅猛发展推进着社会发生日新月异的变化，这种变化使社会对人才的需求发生急剧的改变，也就对教育发出了强烈的挑战，特别是对于工作在第一战线的教育工作者，确实有一种危机感。同时这种变化也迫使教育发生了根本的变革，而新课标就是在这种强烈的时代呼吁中应时而生。课改的要求、新课标全新的理念，都对教师是一个全新的挑战，那么对新课标下的数学教师该怎么做呢？
一、如何实施课堂教学？
新课标下的课堂教学时应做到：积极创设情景，震撼学生心灵，竭力调动学生兴趣；给予思考机会，体验成功情感，不断提高学生信心；发扬教学民主，平等互动交流，积极激发学生思维；延伸拓展阅读，结合生活实际，充分扩大学生视野。
创设恰当的课堂情景。一个恰当的课堂情景，不仅有利于学生学习和理解，掌握数学知识和技能，感受数学的力量和美；而且可以使学生更好的去体验数学教学内容中的情感，为更好的体验数学知识的发现和形成过程，激发学生学习数学的兴趣和求知欲望。
给予学生主动思考的机会和时间。教师“在备课的时候主要思考的是，如何对教材进行重构、突出主干知识，如何精选课堂中的例题。在备课时想的第一个问题，也是想的最多的一个问题就是：什么内容是非讲不可的？什么内容可以不讲？什么内容可以让学生讲？”（山东省实验中学王学红《探索灵活多样的教学模式，优化学生的学习方式》）
恰当地利用信息技术。新课改提出要注重信息技术与数学课程的整合，在高中数学教学当中，很多过去难以呈现的课堂内容在应用信息技术之后得到很好的解决。但让学生看屏幕代替看黑板，点鼠标代替板书的教学并不适于数学教学，数学讲究严密的逻辑推理和规范的解题步骤。也就是说，多媒体仅是一个教学辅助手段，绝不能够成为教学的主体。
发扬教学民主，平等互动交流。数学教学是教师思维与学生思维相互沟通的过程，如果离开了学生的参与，整个过程就难以畅通，实践表明学生参与的深度、广度、态度和程度，直接影响着数学课堂的教学质量。
二、如何提高自身素质？
新课程改革对教师的素质、能力、责任心等要求甚高。教师是新课程改革成功的关键性因素之一，“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应主积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质”。作为一名教师，怎样提高自身素质呢？
合理定位教师角色，树立终身学习观念。当终身教育、终身学习成为生活的一部分时，学生学习的范围不断扩大至社会生活的各个层面，学习成了学生适应社会发展的必要手段。因此，学生的学习不能只停留在掌握某些知识，而应着力于培养能力。同样教师不仅也要树立终身学习观念，而且要合理定位自身角色，在新形式下，“教师的职责已经越来越少地传递知识，而越来越多地激励思考；除了他的正式职责以外，他将越来越成为一名顾问，一位交换意见的参考者，一位帮助发现矛盾论点而不是拿出现成真理的人”（联合国教科文组织《学会生存——教育世界的今天和明天》）。终身学习社会中的教师在学生未来成长的过程中，将只起参谋和顾问的作用，他们必须与学生一道，共同谱写美好的未来。
正确对待竞争与合作。竞争本是促进教师积极工作的动力，但过度竞争不利于教师间的团结合作、互相帮助，不利于教师间民主气氛的形成和发展，也会在一定程度上影响到教师的心理健康，间接影响教育教学质量。教师应该积极参加新课改专题研究活动，加强合作与交流，借助集体的智慧来提高自身素质。
尊重学生，开发利用好这个宝贵资源。尊重学生的人格，宽容对待学生一切合理的挫折和失败，注意发现和肯定学生在失败的学习创造过程中体现出来的创造学习热情和进取精神，尽量呵护学生的灵感。学生是发展中的人，要承认学生具有巨大的潜能，坚信人人都可以成功、人人都能成功。允许学生犯错误并改正错误，学生的错误和优点一样都是珍贵的教学资源，都应得到正确地开发和利用。
教师自身的反思与总结。面对新课改，教师不仅要有丰富的学科专业知识、教育教学理论知识、教学情景知识、信息技术知识，而且要做到继续学习，终身学习。在教学过程中要以研究者的心态置身于教学情境之中，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践上的各种问题，对自身的行为进行反思，对出现的问题进行探究，对积累的经验进行总结，使其形成规律性的认识。这种“行动研究”能把教学与研究有机地融为一体，它是教师由“教书匠”转变为“教育家”的前提条件，是教师持续进步的基础，是提高教学水平的关键，是创造性实施新课程的保证。
三、如何评价学生？
新课程要求建立以“学生发展为本”的发展性评价体系，因此应改变以标准的智力测验和学生学科成绩作为考核重点的评价观，树立多种多样的评价观。教师要采用多种评价方法，通过多渠道、采用多种形式，多方面观察和评价。从静态的、单一的、终结性的评价转为动态的、多维的、发展性的、激励性的评价；从注重智力的评价转为注重多元能力的评价，使评价活动成为学生探索、体验的过程和教学相长的过程，产生更多的积极效应。就是说，“数学教学的评价应有利于营造良好的育人环境，有利于数学教与学活动的调控，有利于学生和教师的共同成长”。
重视对学生数学学习过程的评价。数学学习过程的评价，要能够引导学生正确认识数学的价值，产生积极的数学学习态度、动机和兴趣。
发掘闪光点，正面激励探索精神，肯定创造性活动。通过对学生多角度、全方位的评价和激励，使每一个学生都能得到成功的体验，促进学生的发展。在这个评价和激励中，要特别注意榜样的作用，因为“榜样的力量是无穷的”。
尊重学生，做到因材施“评”。教师应充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异，不同的学生个体、不同的学习基础、不同的学习阶段、不同的场合，应该有不同的评价。应建立这样一个育人理念：“每一位学生都要发展，但不求一样的发展；每一位学生都要提高，但不是同步的提高；每一位学生都要合格，但不必是相同的规格”（福州市台江第四中心小学）。
建立合理科学的评价体系不等于满课堂的表扬。评价是一把双刃剑，表扬和鼓励固然能提高学生的积极性，但批评同样具有鼓励的效果。对学生的鼓励不是越多越好，无原则的鼓励不仅不能促进学习，反而对学生的健康心理和健全人格的形成造成不利影响，会造成是非不分、固步自封、骄傲自满。在课堂教学要真正地加强对学生进行情感、态度价值观的正相关的教育。
四、如何提高学生的学习动力？
新课改力求让学生真正成为课堂学习的主人，让学生充分感受数学求知的乐趣，让学生在不断的探究和合作中发现规律，让学生在解决问题的过程中全面提高素质。也就是说，要不断提高学生的学习动力，具体地说有那些可行的做法呢？
改善教与学的方式，使学生主动学习。学生的数学学习活动不能限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等也是学习数学的重要方式。教师的讲授应该更多关注学生的主体参与，师生互动。
让学生在自信和成功的体验中学习数学。虽然不是所有的学生都能学好数学，有的学生甚至永远也成不了数学尖子。但是教师一定要客观地对待这种差异，只要学生在自己原有基础上有所进步，就应该给予肯定。对不同起点的学生采取不同的方式、方法，让每一个学生都能在自信和成功的体验中学习数学。
发展学生的数学应用意识。提醒学生注意适时进行复习总结，在应用中达到熟练掌握，提高学习数学的兴趣。这也是《普通高中数学课程标准（实验）》在“课程基本理念”中所要求的：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验”。
加强学习方法的指导。“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么”（毕达哥拉斯语）。现代科学知识量多且发展快，学生获得知识信息的渠道呈现多样化。教师不能只是传授现成的教科书上的知识，还要指导学生懂得如何获取自己所需要的知识，掌握获取知识的工具以及学会如何根据认识的需要去处理各种信息的方法，最大限度地开发其潜能、发展其能力。
五、如何提高学生的数学素养？
高中数学课程的总目标是：“使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要”。教育家孙维刚老师说：“从以知识目标，转移到以活生生的学生本人为目标，通过教育教学活动，培养他们睿智非凡的头脑，全面培养他们的素质，使他们成才”。所以，在课堂教学中注重提高学生的数学素养显得十分重要。
切实开展数学探究、数学建模活动。《普通高中数学课程标准（实验）》中说：“高中阶段至少各应安排一次较为完善的数学探究、数学建模活动”。新课程之所以提倡积极主动的探究学习方式，目的是为了丰富、改进学生的学习方式，发挥学生的主动性。在教师指导下的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学、写专题总结报告等，能够使学生切身感受“做数学”的乐趣，提高学生的数学素养。
注重数学文化的作用。“数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力”。数学文化的学习，可以使“学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值”，“激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识”。
提高学生对数学的认识。要使学生认识到“数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用”；“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”；“在现代社会中数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要”；“数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪；便于将灵魂从变化世界转向真理的实在（柏拉图）”。数学教育“使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”。
将合作学习与独立思考想结合。合作学习变“教”的课堂为“学”的课堂，改变了过于接受学习的现状，可以培养学生的创新能力，增强学生的合作意识。但是，学生间的合作学习却不利于培养学生的独立思考能力。数学是形象思维性很强的学科，只有将合作学习与独立思考结合起来，才能更好地提高学生的数学素养。
以上笔者学习新课标、实施新课改、使用新教材中的体会，不当之处恳请批评指正。
参考文献：
1.《普通高中数学课程标准（实验）》人民教育出版社，2003.4
2. 2006年山东省新课程培训材料
PAGE
3编号：570041
《基本不等式》的教学实践反思
三亚榆林八一中学 王 海
本学期学习必修5《基本不等式》，我上完这节课后感触颇深，在教材的处理和学生的互动方面有所收获，我将这些经验总结起来，供各位同行参考，希望大家提出宝贵意见。
一、教学目标
本小节的内容包括基本不等式的证明及其意义；正数a，b的几何平均数的两种解释；一个不等式链；培养了学生发散的思维能力和数学探究能力，使他们对数学能保持浓厚的兴趣。
二．本小节的教学重点是理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义；难点是利用基本不等式推导不等式；关键是对基本不等式的理解掌握。
三．教材处理及教学设计
1、证明均值不等式
教材上：x，y∈R，(x－y)0, 当且仅当x=y时，等号成立。
令 x=, y=, 所以 xy,当且仅当a=b时，等号成立。
接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。
证法２：当a>0,b>0时，有(a－b)0 a+b2ab
(a+b) 4ab
a+b－２(舍去)或 a+b２
当且仅当a=b时，等号成立
证法３：当a>0,b>0时，(—)0 a+b－２0
当且仅当a=b时，等号成立
这样学生通过多种证法对均值不等式应有更深刻的理解。
2、均值不等式的几何意义及两个正数a，b 的几何平均数的两种解释均可由学生阅读教材后自行总结。
3、接下来教材设计了例1，思考交流，练习这三步得到了不等式链，但我认为这样知识比较分散，不利于总结归纳，所以做了如下的教学设计：
已知a、b都是正数，试探索 、、 、 的大小关系，并证明你的结论。
教学建议：先用特殊值法探索、推测其大小关系，再对所得结论进行证明。
解：取 a=b=1 ，则有===
取a=1,b=4，计算后，可猜测
证明如下：
证法1：因为a，b都是正数，根据基本不等式，得.
要证
因a，b均为正数，由基本不等式可知 ，也即 ，当且仅当a=b时，等号成立。
我认为这样设计有以下优点：
1、把不等式链的各部分放在一道题中，有利于比较、总结、归纳。
2、在证明过程中学生进一步体会到由特殊到一般这一人类重要的思维方式，另一方面体会到数形结合的思想在解题中的运用。
3、本题的证明既有代数方法又有几何方法，这样学生对不等式链应该有深刻的理解。
四．新课程标准中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的探究能力。本节课学生通过多种证法经历和感受了式子的来历，又通过探索不等式链的成立，加强了主动探索，敢于质疑，兴趣浓厚，联想丰富，有想像力。
参考文献：
1、普通高中课程标准实验教科书数学必修5《教师教学参考书》北京师范大学出版社。
2、《新课标实验教材“不等式”一章的教学分析与建议》。中学数学教学参考2005年第8期。
- 1 -科别：数 学
题目：数学教学中如何发挥
课本例习题的内在潜能
学校：阳春市第二中学
作者：林 万 英
初评等次：一等奖
电话：7984269
数学教学中如何发挥课本例习题的内在潜能
阳春市第二中学 林 万 英
【摘要】：
本文对课本例习题由表及里，培养思维的深刻性；探索例习题的非常规解法，培养思维的批判性；精选变式例习题，培养思维的广阔性；引导学生对例习题探究和猜想，培养思维的创造性。
【关键词】：
递进 精选 变式 挖掘 内在潜能
【正文】：
高考源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求教师不断挖掘教材中例习题的多种功能，深化例习题教学，发挥例习题的内在潜能，以培养高素质的学生。本文就全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）为例说明数学教学中如何发挥课本例习题的内在潜能。
1、 对例习题由表及里，培养思维的深刻性
心理学研究表明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具
体到抽象、由简单到复杂的。因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步的多次的获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，培养思维的深刻性。如在讲椭圆的第一定义的应用时，可根据教材设计如下：
题组一（巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置）：
1、 P95题2 如果椭圆上一点P到焦点F的距离等6，则点P到另一个焦点F的距离是 ；
2、 P96习题4 已知椭圆的标准方程为为椭圆上的点。
（1）点M（4，2.4）与焦点的距离分别是 ， ；
（2）点M到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离等于 。
题组二（提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置）
P93例1（2）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，- 2）、（0，2），并且椭圆经过点，求椭圆的标准方程。
题组三（发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置）
1、 P95题1 平面内两个定点的距离等于8，一个动点M到两个
定点的距离的和等于10。建立适当的坐标系，写出动点M的轨迹方程；
2、 P94例2 已知B、C是两个定点，=6，且△ABC的周长等
于16，求顶点A的轨迹方程；
3、 P128例1 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
对例习题由浅入深，层层递进，环环相印，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝重重成功的喜悦，既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，训练了学生数学思维。
2、 探索例习题的非常规解法，培养思维的批判性
教师应注意深挖细琢例习题，寻找机会展示自己的思维过程
提出新假设、新论断，通过探求问题的非常规解法带给学生意外的惊喜，以训练学生思维的批判性。
如P15例1 求证：
常规解法是：因为都是正数，所以为了证明，只需要证明，展开得即因为21成立，所以，即证明了。
很多学生对该解法只知其然，不知其所以然，甚至在独立完成如时容易犯将该式两边平方的错误，为了避免这种情况，教师应引导学生用新方法，独立地组织自己的思维进程，训练学生的思维。
非常规解法是：
又如P123题6 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴。
教参的答案是：
设抛物线的方程为，
（1）当过抛物线焦点的直线的斜率k存在时，设它的方程为。先求交点P、Q的坐标，解方程组｛得，的坐标 ；再求交点M的坐标，直线OP的方程为而准线方程为代入上式得，因为，所以直线MQ平行于抛物线的对称轴；
（2）当过抛物线焦点的直线的斜率k不存在时，，所以直线MQ平行于抛物线的对称轴。
该解法属于常规解法，计算非常繁琐，若在（1）中引导学生用整体思想方法，则问题就简单多了：
由｛消去x得，因此，又由①，直线PM的方程为②，准线方程为 ③，由①②③得，故所以直线MQ平行于抛物线的对称轴。
学生惊喜之至，问题得到巧解，既补充和延伸了课堂教学，消除了学生的疑虑，排除了干扰，又培养了学生的质疑精神、科学的批判精神和锲而不舍的学习精神，我们何乐而不为呢？
三、精选变式例习题，培养学生思维的广阔性
课本教材往往只是研究问题的基本形式，并用与之相应的习题让学生训练，这样即使把有关问题做遍了，也只能是把握问题的某个方向，因此，教师要挖掘例习题深层次的知识点，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维。
如P107题2 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 ；
该题虽然简单，但学生的理解还处于一知半解的状态，为了使学生掌握其通性通法，举一反三，达到触类旁通的境界，为此，作如下变式：
变式一：已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 ；
变式二：已知方程表示椭圆，则m的取值范围是 ；
变式三：已知方程表示椭圆，则m的取值范围是 。
又如P82 题3 已知是圆C的直径的两个端点，求圆C的方程。
可作如下变式：
变式一：已知是圆C上的两点且圆心在x轴上，求圆C的方程；
变式二：若圆C过点A（3，2）且与直线x+y-3=0相切于点，求圆C的方程；
变式三：若圆C过点A（3，2）且与圆相切于点，求圆C的方程。
学生解题的实质是基本问题的各种各样的变化形式，对教材中的例习题进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想激发思维；使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了基本题中所演生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。
4、 引导学生对例习题探究和猜想，培养思维的创造性
在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己
是一个发现者、探索者。教师应该鼓励学生大胆探究与猜想，深刻领悟新课程改革精神，认真研究教学要求，以学生为本，精心设计例习题，以培养学生的合作能力和创新素质为己任，给学生一片自主探索的天空，使学生的创新能力得到培养，个性品质得到和谐发展。
如P113练习题5 当渐近线方程为时，双曲线的标准
方程一定是吗？如果不一定，举出一个反例。
可点拨如下：
（1）的渐近线方程为，即 ；
（2）写出一个渐近线方程为的双曲线方程（学生的答案大多数为）
（3）能否再写出一个渐近线方程为的双曲线方程？（受教师的启发，学生大胆探究，很快得另解为）
（4）渐近线方程为的双曲线方程可以统一用一个方程表示吗？（学生纷纷发表自己的见解，得出答案就是
（5）还有更好的表示形式吗？，若有，找出它与渐近线方程的区别。
学生兴奋到了极点，跃跃欲试，积极观察、猜想，终于找出来了，即是渐近线方程为的双曲线方程为。
学生如释放重负，却有一种成功的喜悦！思维创造性的火花也已点燃。这样，在完成P114题2（4）求渐近线方程为且经过的双曲线的标准方程时避免了讨论，轻松多了，有一种得心应手的感觉。培养了学生的探索精神和猜想能力，让学生的创新思维在实践中得到锻炼，在实践中绽放出创新之花！
总之，在全面推进素质教育的今天，教学中要对例习题进行全面合理的设计，面向全体学生，充分发挥例习题的内在潜能，不仅使学生听懂，而且还要拓展学生数学思维，培养学生的创新能力！
参考文献：
金立荣 洪秀满.《用新课程理念丰富数学活动课的教学》.《中学数学》.2003.12
PAGE
5关于高中数学新教材的几点思考
石嘴山市第七中学 王勇
在课程改革大潮中，高中数学新教材应运而生并适用了几年了。它综合编排的体系、富有一定弹性的教材结构、注重从实际问题引入等特点更符合高中学生的年龄特征和认知规律，更适合一线教师进行教学改革、全面推进素质教育。中学数学的教学内容为初等数学的基础知识，这些基础知识源远流长，不可能再有什么创新，更不可能要求学生发明创造什么新的初等数学结论。因此，我认为数学教育创新应该着眼于学生建构新的认知过程，而这一过程的创新应该体现在以下三个方面：
⑴勤于思考：创新的前提是理解。数学离不开概念，由概念又引申出性质，这些性质往往以定理或公式呈现出来，对定理、公式少不了要进行逻辑推理论证，形成这些论证的理论需要思维过程。为此，首先必须让学生对学习的对象有所理解。数学知识的获得主要依赖于紧张思维活动后的理解，只有透彻的理解才能溶入其认知结构。要理解，就需要勤于思考，勤于思考的表现还在于对认知过程的不断反思、回顾，不断总结挫折的教训和成功的经验，避免墨守成规，勇于创新。
⑵善于提问：学生在数学课堂中通过观察、感知学习的对象以后，要学会分析，要有自己的见解，善于挖掘自己尚不清楚的问题，多角度、全方位的探究，并提出质疑。作为一个中学生，善于提出新颖的、具有独特见解的问题，是创新的一个重要标志。
⑶解决问题：著名数学家波利亚有这样一句名言：“数学的核心是问题”。的确，离开了问题，数学就失去了存在的意义。因此，数学学习的核心是问题解决，学数学离不开解题，解题是在掌握所学知识和方法的基础上进行运用，解题可以训练技巧，磨练意志。就数学本身而言，解题是没有固定的模式的。对于某种类型的问题，的确又存在着一定的模式。所以解题训练的最终目标是学生掌握了多种题型的解题模式，领悟出数学最本质的内涵，进而忘记模式，像庖丁解牛一样，依规律而行，达到“大道自然，天人合一”的境界。因此在解决问题方面，教学的关键是：让学生知道解题的思路历程和学会在解题后进行反思总结，达到“教是为了不教”的目的。提倡多题一解，以利归纳；提倡一题多解，避免思维僵化。因为一种解题思路对某一类题目可能是一种“笨”的方法，而对另一类题目就可能变为一种巧思妙解。正如：“海纳百川，有容乃大”。
“勤于思考、善于提问、解决问题”，说的都是“问题”。显然，数学问题就成为数学教学创新的载体。教师除了根据教学内容广泛收集问题外，最好能创造自己的问题，这些问题不仅仅是停留在把课本题目中的条件、结论在逻辑上互动，而是把课本题目进行改造，成为情境题、开放题、应用题，并加以积累，不断完善，形成具有特色的校本问题。然后把这些问题通过启发、引导等教学手段，在课堂中使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，从而培养学生的创新意识和能力。
在施教过程的各个环节中，有意识的把上面谈到的意图加以贯彻、落实：
⑴在引入新概念时，要把相关的旧概念联系起来，教师要确立信任学生的观念，要注意，大胆地放手让学生把某种情境用数学方法加以表征；在形成概念时，要留给学生充足的思维空间，要善于多角度、全方位地提出有价值的问题，让学生思考，提倡学生自主地建构新概念；在辨识概念时，要多鼓励学生质疑。“读书无疑者，须教有疑。有疑者确要无疑，到这里方是长进。”从学生的角度看，学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始。
⑵在学习数学定理、公式、方法时，离不开对命题的证明。要改变传统的分为“展示定理、推证定理、应用定理”简单三步的模式，而要结合实际情况，在证明命题前为学生创设认知冲突的疑惑情境。用特殊化、一般、类比、推广、似真推理等种种手段，猜出结论，然后再给出严格的证明。
⑶在解题教学时，要渗透解题策略，要改变传统的解题训练多而杂的做法。设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，即巩固了基础，又实现了有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值。解题训练设置一定坡度，可以使学生循序渐进的从易到难，完成一个小题，相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵，喜悦之心，不禁而生。
例如：我在讲解三角函数中《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》这节课时，就是利用课后习题中求弹簧振子的振幅、周期、频率这个题目引入本节课，把它做成一个Flash课件，创设问题的情境，促使学生积极参与活动，把学生的学置于问题之中，使整个教学过程转化为学生“发现问题、提出问题、解决问题、发现新问题”的能力培养过程。这样通过创设问题情境，使教学活动在知识和情感两条主线的相互作用下完成，知识通过情感功能更好地被学生接受、内化，取得意想不到的教学效果。
⑷传授知识的过程中要注重结论与过程的统一。抛弃“高分低能”，讲求知识与能力并重，是素质教育的根本出发点。因此，在传授知识过程中注重结论与过程的统一，是数学教学的一条基本原则。
从教学的角度讲，重结论、轻过程的教学只是一种“形式上的走捷径”的教学，把形成结论的主动过程变成了单调刻板的背诵条文，剥离了知识与智力的内在联系。它排斥学生的思考与个性发展，把教学过程庸俗化到无需智慧努力，而只需听讲和记忆就能掌握知识的程度。这实际上是对学生智慧的扼杀和个性的摧残。强调过程，就是强调学生探索知识的经历和获得知识的体验。它不但使学生在获取知识的过程中培养了各种能力，而且也使所学的知识更加牢固。
例如：在讲高中新教材§4.1.3节《已知三角函数值求解》时，我做过这样一个可控性对比试验：在我所教的两个平行班级中，其中一个班级直接告诉这种题目的求解方法，并总结出解题的规律：先求在第一象限的正角α，然后判断：若所求角在第二象限，则为π-α；若所求角在第三象限，则为π＋α；若所求角在第四象限，则为2π-α。在做课后练习的过程中非常顺利，即便是学习比较差的同学也能掌握规律，迅速得出正确答案。而另一班级，在其他条件均未改变的条件下让学生自己利用前面所学知识，通过正弦函数的图像得出结论。在这一活动中，很多学生感到困难。在做课后练习的过程中，许多同学通过与其他同学讨论才得出结果，而且只做了三道题就到了下课时间，远未完成本节课的要求。但一周以后我重新拿出这节课的一道题目，第一个班级中只有几个善于复习的同学记住了规律，做出了题目，而第二个班级有一半多的同学做出了此题。一个月后，把这道题稍加深化重新考察，第一个班级中已经没有同学会做这道题了，而第二个班级中仍有很多同学能够做出。可见，学生自我探索知识的过程，实际是学生获得各种能力的过程。
课堂教学中，首先要营造平等、相互接纳的和谐气氛。教师要及时提出具有挑战性、具有思维价值，能激发学生积极参与课堂教学活动的新问题。要留给学生思维的空间，要鼓励学生提出不同的想法和问题，要注重课堂中教师与学生的交流和学生与学生的交流。在交流中，教师要耐心倾听学生提出的问题，并从中捕捉有价值的问题，展开课堂讨论，并适时做出恰当的评价，使班级体成为一个学习的共同体，共同分享学习的成果。通过交流，不断进行教学信息的交换、反馈、反思，可修正思维策略，概括和总结数学思维方法。其次，教师本身要善于发现问题、综合运用知识解决陌生的新问题的能力。教师要尽力帮助学生主动建构数学认知系统，使学生形成良好的数学知识网络。此外，教师的教学本身也要不断创新。教师要改变教育观念，学习现代教学理论、建构主义认知理论、多元智能理论等，了解我国以及国际上数学教育改革的动态，把学习作为实施创新教育的支持条件。
虽然强调探索过程，也要处理好时间问题。因为强调探索过程，这却是一个人的学习、发展、创新所必须经历的过程，也是一个人的能力、智慧发展的内在需要，是一种不可量化的“长期效应”，也就意味着学生可能花了很多时间和精力，而眼前消耗的时间和精力应该说是值得付出的代价。
PAGE
1直线与平面平行的判定
银川二十四中学 高晓萍
1． 背景分析：
本节教材在高中立体几何中占有很重要的地位，因为它与前面所学面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系，而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要的方法；同时又是后面将要学面与平面的位置关系的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法，同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。
二.教学目标分析：
根据本节教材在中学几何中的特殊地位和大纲要求以及学生实际，本节课的教学目的制定如下：
1．掌握直线与平面平行的判定定理其及应用；
2．通过探究线面平行的判定定理其及应用，进一步培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力；
3．使学生掌握“观察 ---猜想---证明”的数学思想方法和逐步培养学生的辨证唯物主义的思想观点。
三.教学的重点与难点及解决办法：
教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。
突出重点的方法：动手操作，练习巩固。
教学难点是：直线和平面平行的判定及其应用。
突破难点的关键是：弄清原理、分清步骤，证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行。
四：教学过程设计：
教学环节 教学程序(师生双边活动) 设计意图
一．创设情 境，直观感知 【提出问题】①直线和平面有哪几种位置关系？②在这幅图中，你能出这三种位置关系吗？(多媒体演示)③在这间教室中，你能找出这三种位置关系吗？④观察：将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线a与桌面所在平面a具有什么样的位置关系？（多媒体演示）（学生很容易回答：平行）老师再问：你得平行的依据是什么？（学生易答：直线与平面没有公共点）老师追问：你怎样知道？这里学生被问住了，因为直线与平面的无限延伸性，要找它们是否有交点是不可能的。所以很自然引出，我们需要找一条比较实用的直线与平面平行的判定方法。
【设计意图】之所以这样引入是因为：
（1）中学生好奇心重，利用教室现有实物做教具，比较容易吸引学生的注意力，唤起学生对旧知识的回忆，为新课做铺垫。
（2）通过思考，激发他们的求知欲。让每个学生都进行积极的思维参与。(3)从实际背景出发，直观感知直线与平面平行的位置关系。通过引导学生观察书的边缘所在的直线互相平行，进一步得出书不论怎样转动到什么位置，封面边缘所在直线与桌面所在平面都平行。在此基础上提出两个探究性的问题。
二探索研究，操作确认 【探索研究，操作确认】1．探索探究：（探究1）：如图（1）所示直线a与平面平行吗？如图（2）所示，如果平面内有直线与直线平行，那么直线与平面的位置关系如何？是否可以保证直线与平面平行？ 【设计意图】由探究引起学生思考，吸引学生的注意力，调动学生的学习积极性。第二，在教学中培养学生自己获取知识的能力和逻辑思维能力及空间想象能力，不断提高学生的几何语言表达能力。
教学程序(师生双边活动) 【设计意图】
探究2）：如图（3）平面外的直线平行于平面内的直线。这两条直线平行共面吗？直线与平面相交吗？ (3) 直线与平面平行吗？ 2．操作确认：①练习：判断下列命题是否正确。（1）若平面外一条直线a与直线b平行，则直线a//平面；（2）若直线a与平面内一条直线b平行，则直线a//平面；（3）直线a在平面外，直线b在平面内，则直线a//平面 。直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号语言：aα,bα，且a∥b a∥α由此判定可知：在证明一条直线与平面平行时往往把它转换成直线与直线平行. 【设计意图】教育过程的规律表明：教师对学生的教育不是简单的给予，不是移植。知识的传授、智力的发展、能力的培养、思想品德的形成，都必须通过学生的积极思维运动才能实现。【设计意图】引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合理推理，获得正确的结论。定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系转化为直线间平行关系。为了便于记忆，我们通常把这个判定定理简单说成“线线平行，则线面平行”。）
（三）思辨论证，解释应用。 练习1：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，①与AB平行的平面是_______________②与AA1平行的平面是________________③与AD平行的平面是__________________ 【设计意图】为了突破“应用”这一难点，我在学生学完定理后安排了一个应用定理的例题。这样安排可使学生有一个从具体到抽象，由感性到理性的认识过程。
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面。（注意写出已知、求证，作出图形，书写格式） 【练习1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F 分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：3，则对角线AC和平面DEF的位置关系如何？【练习2】正方体ABCD—A1B1C1D1中，有为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。【练习3】已知，如图P是平行四边形ABCD外一点同M，N分别是PC，AB的中点。求证：MN//平面PAD【思考题】如图，正方体木块ABCD—A1B1C1D1中，P是平面ABCD上的一点，现需过点P画一条与平面ADC1B1平行的直线应该怎样去完成？ （四）归纳小结
（1）小结判定定理的内容；
（2）说明判定定理的思维过程是把直线与平面平行的问题转化为判定直线与直线的平行问题，简述为“若线线平行，则线面平行”。这样叙述的目的是方便学生记忆；
（3）再次强调，在运用定理时一定要注意三个条件要同时具备，缺一不可。
（五）知识运用
给学生布置课本68页习题2.2的第3,4题作为课后作业。(六).板书设计：
设计的优点是：从定理内容——定理证明——定理应用。条理清楚，思路清晰。主要是使学生对整节课的学习内容有一个比较系统的认识，从而达到培养学生的逻辑思维能力的目的。
【设计意图】在例题的讲解中，主要给学生对题目的题设和结论进行分析，引导学生找出符合判定定理的三个条件，从而得出要证结论。
其理论依据是：定理的证明和应用对发展学生的逻辑思维有特殊的作用，但其间起决定作用的却不是证明本身，而是证题思路的探索。而且通过对例题的分析，教给学生运用定理的方法。不断提高学生运用知识的能力。
根据教育心理学中的遗忘规律，遗忘有先快后慢的特点，因此及时安排学生练习是巩固新知识的有效方法，后面安排的课后作业也是这个道理。为此我按梯度安排了3个练习，前2个练习要求全班同学做，第3题难度稍大，只要求有能力的同学做。这样安排既照顾全体同学，又兼顾优生。
在解决思考题时，有的学生可能会想，为什么不可以直接过点P作BC的平行线呢？为了解决这个疑问，可以让学生动手在一个实物模型上画一画，看看能否保证画出的直线一定与已知直线平行。另外，还可以引导学生思考“若a//a，怎样在平面a内找到一条直线b，使b经过平面内的一个点A，并且b//a？并把学生思维引导到用性质定理解决问题上来，即过已知直线和点A作一个平面和已知平面相交，交线和已知直线平行，此交线就是要找的直线 b。至此，学生已基本能掌握本节知识，达到预定目标。这时给本节课作一个小结：
目的是使学生通过一定量的练习巩固所学的知识，形成技能，从而发展为技巧。
五.教学评价设计：
本节课内容处理上，按照“直观感知—操作确认---思辨论证---度量计算”的认识过程展开的。通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面平行的判定定理。
高中立体几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标。根据“ 认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求在内容安排和处理方式上，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。在空间直线与平面的判定定理的得出过程中，注重典型 实例的观察、分析、给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验、猜想等合情推理后，再进行演绎推理，逻辑论证。加外，本节课通过“观察”“思考”“探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象了数学模型，从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题过程，注重探索空间图形性质的过程。
D
C
B
A
PAGE
5新教材教学中应给予重视的几个观点
―“人教A版”教材教学与研究的体会与思考
吴忠中学 马利军
随着新课程的全面推进和教学改革的不断深入，广大一线教师对新课程理念的理解，对新教材内容编写及其体系设置的认可，发生了巨大的变化。两年多来，笔者致力于新教材的教学与研究之中，深有体会；新教材更注重学生创新意识与能力的培养，从教材的编写上不难发现，编者更希望数学教学成为再创造、再发现的教学，数学教师应致力于教学观念的转变，积极推进讨论式教学和探究式的教学，重视现代教育技术的应用。循序惭进的教学体系，强调教师应充分关注学生的基础知识与基本技能，教师要加强与学生的交流，注重新旧知识的交流，加深对知识的综合运用，教材通过阅读材料，帮助教师提高学生对数学的兴趣，使学生既感悟到生活中的数学，又使德育教育渗透于无形之中。
这些特点，彰显着新教材的个性，然而如何运用好新教材，使其为新课程和数学的教育教学发挥更大的作用，引起了广大教师的积极思考和讨论，历经两年多的新教材教学与研究，笔者认为，以下的几个观点应给予高度关注：
（一）“研”应先于“教”，“教”中时时“研”
新的课程改革，要求教师应是课堂教学的促进者，学生成长的引导者，学生发展的评价者，教师应是终身学习者，更应该是行动的研究者。在这些角色的定位中，笔者认为“教师是行动的研究者”应位列之首。这是因为，一个新课程下的教师，是具备了新课程理念的现代教师，而现代教师不应只是被研究的对象，自己应该就是研究者，因为惟有教师最能了解自己的教学问题，也惟有教师经由研究自己以及同事的教学实际，才能促进专业的成长，落实课程改革与教学创新。
[案例]两种教学思路，迥然不同的两种效果。
受到数学必修（1）教学的启发，进入到数学（4）“三角函数”一章的教学前，笔者向本组的10名教师发起了“教研型集体备课”的倡议，由于诸多原因，仅有四名年轻教师积极响应，于是“教研课”与“传统课”开始了正面的比对，五人小组经过反复讨论，确定了如下专题进行研究：
1：新旧教材的内容编写及体系设置的差异。
研究结论：
（1）形式上：
旧教材 新教材
章节 第四章：任意角三角函数二单元：两角和与差三角函数三单元：三角函数图象与性质 第一章：三角函数第三章：三角恒等变换
位置 在“数列”一章之后，在“向量”一章之前 被“向量”一章隔开
课时 36节 18节
（2）内容上：①新教材引入了计算器计算
②任意角三角函数一节弱化了正弦线，余弦线，正切线，强调了坐标运算。
③新教材弱化同角关系式结构，强调运用与推导。
④诱导公式加入了正切公式，位置与顺序做了调整。
⑤新教材将两角和差的正余弦公式放在“三角函数图与性质”之后
⑥新教材将“的图象”一节放于正切函数图象之后
⑦新教材删去了“已知三角函数值求角”的内容
⑧新教材增加了“三角函数模型的应用”的内容。
⑨旧教材中只有“弧度制的由来”，“同频率正弦电流相加，频率不变”两个阅读材料。新教材有“三角学与天文学”、“信息技术应用”、“利用正切线画函数图象”，阅读与思考“振幅、周期、频率、相位”，探究与发现“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数，余弦函数的性质”，探究与发现“函数及函数的周期等。
⑩例习题中出现了许多高考习题，以及方法与思维较为灵活的综合习题等。
2：这些差异体现了哪些新课程的理念？（弄清编排的目的与意义）
3：内容的调整降低了难度，如何在教学中既注重基础知识又加强能力的培养？（依据教材的特点，大家展开了积极的研究与讨论，最终确定开展问题教学法，教学中注重分层教学，辅助以多媒体教学手段，编写了分层作业，其中有基础作业，能力作业，探究报告作业等）
4：你在教学中将如何开展自主学习，如何培养创新思维。（此专题可在教学中进行，以小结报告形式汇报）
四个专题的设置，使每位教师投身于研究之中，并关注每节课堂里实施的效果。共同组织听课、评课，及时对教法进行调整，两章内容下来，大家对新课程的内容要求了然于心，驾驭课堂的能力有了较大的提高，学生学习也变得轻松积极，探究问题的热情高涨，而“传统课”的教师仍旧老调老式的开展教学，没有更深的研究教材及其学生，反面埋怨教材编写太乱，删去了有用的，增加了没用的知识，几次测试下来，两种教法的结果差距在12分左右，老教师们这才发现“研究”的价值，变种“研”先于“教”，“教”中时时“研”的观念得到了支持。
值得一提的是，教师进行的研究工作，更多的是“行动研究”，而不是“理论研究”，当然，研究的内容必须是准确的、有价值的，研究与教学是不可分离的，“研”先于“教”，关系于教的方向，教中时时“研”更多左右着教的质量。
（二）“教”是为了“不教”
数学学习的实质就是把客观的数学知识结构内化为个体的认知结构，是内在的过程和内化的结果，面对于“教”的理解通常包括两层含义：传道、授业、解惑；启发、诱导、点拔。教数学就是传授数学知识，数学思想方法，学习策略以及情感、态度和价值观。教什么？如何教？是每个人都在关注的问题，但人们却忽视了教的本质，笔者以为那就是“不教”，这其实是一个“授之以渔，还是授之以鱼”的问题。
新课程理念下要求教师要把提高课堂效果与质量作为追求的目标，教必不可少，教的终极目的就是为了不教，同类的问题，几遍的教，考试时学生仍旧不会，这已不是学生学习的问题，而是教师的教学问题，教的目的，旨在使其融会贯通，当忘记所教的知识后，其解决问题的思想与方法还在学生的记忆之中。两年多新教材的教学，笔者更注重知识的形成过程，充分利用课本中的“探究”与“思考”调运学生自主探究学习的意识，所教的学生自学能力好，解题能力强。
[案例]一题五解，妙在其中。
在学习了直线方程的五种形式后，笔者留给了学生一道作业，收交后从中整理出了五种不同的解法，开了一节“体会”课。
题目：过点，作直线，与轴、轴正半轴分别交于A，B两点，O为原点，求面积的最小值及此时的直线方程。
学生A：设直线方程为
令得，令，得
两点坐标为
是与轴、轴正半轴的交点
由，有
当且仅当，即时最得最小值4
的最小值为4，此时方程为
学生B：设的方程为
点在上，
又
当且仅当即时
面积有最小值4，此时方程为
学生C：由解法1可知整理得
，解得且当时
的面积最小时，的方程为
学生D：由解法（2）可知：
的面积最小值为4，此时方程为
学生E：如图过点P分别作轴、轴的垂线，并设
，则面积
当且仅当即时，S有最小值，此时
的方程为
实际上，任何主导作用下的教，都要落到一个相对独立的主体身上，教师教的一切内容都要通过一个独立的主体为载体和中介而发生作用，就理论上讲，教师讲解本身不是目的，而是为了唤起学生学习的愿望，启发学生浓厚的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯的手段。
以上的五种方法概括起来无非是判别法和利用均值不等式法，但其灵活运用知识能力体现得淋漓尽致，各种数学思想得到发展，整堂课中用了同一题目引导学生转换视角寻求不同解法对学生创造性能力的提高大有裨益，突破思维定势不拘泥于常规的课堂教学法，课前思考，课中品味，“教”是为“不教”。解法的巧妙与其独到之处是长期对学生自主探索培养的结果，要做到“不教”，对于教师的教学是一个极大的挑战，教师应充分利用教材，积极开展自主学习与探究式学习。
（三）用教材搭建创新的平台,以课堂作为合作的阵地。
新教材的编写很大程度上体现了编者们对于广大中学教师的迫切期望和要求：创新与合作。这是关于教法与学法上需要不断探索完善的观念，新教材为教师提供了广阔的发展空间。
在一次听一节“点线距离公式”的解析几何课时，讲课教师就充分利用了新教材的特点，上了一节“尝试性问题”课，其问题如下：求如下点P到直线的距离。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
看似平凡的小问题，却使我们看到了一节生动的好课，说明它堪当助猜，启证分式的重任，请看：（1）（2）告诉我们下手不难（还“负责”特例检验），（3）（4）的结果分别为和，从而预示一般公式的形状和结构，（5）“负责”两件事，①剔除假猜想：和，以其结果引向有根的猜想；②其求解过程提示了证明的途经（画坐标线时，正好交出一个直角三角形）。
麻雀虽小，五脏俱全，平凡的小题，却像“基因组”一样孕育了我们期盼的知识生长过程中的坑坎波折，教学中师生不断的交流与合作，以“尝试性”教法拉动教学设计的过程，调动每个人的每根神经，教无定法，创新是教学的灵魂，教学中，以教材为基本，充分发挥教材的指导作用，又不拘泥于教材的题型设计，“变式”、“拓展”大胆运用，以合作学习为学习的手段，充分 利用好课堂的40分钟，积极探寻更好的教法与学法。同时，我们会从对它的探索求解中认识“旧方法”之不能与不足，从而呼唤新知新法的降临，它无异于沧海的航船、通幽的曲经。
创新需要更大的勇气，合作需要更多的智慧。
新课程的改革中，我们面临着许多的困难，只有不懈的努力，不懈的钻研，满怀信心面对每一个挑战，始终将学生当作学习的主人，扎扎实实的将理念落实于实际的教学之中，定会走在课改的前列，为新课程推进做出更大的贡献。
A
B
O
y
x
1
2
PAGE
1课程改革实施过程中的做法、想法与看法
肇庆市教育局教研室 郭志勇
2004年秋，广东省同山东、海南、宁夏三省一起拉开了新一轮高中课程改革的序幕，作为一个基层的教研员，在这次改革的大潮中，毫无选择地要参与其中，那么教研员究竟是何角色？我个人认为，第一，是课程改革实验的参与者；第二，是课程改革实验的操作者之一，是学生与家长的责任人之一。下面谈谈一年多来我们的一些做法、想法及看法。
肇庆市位于粤西，经济欠发达，普高滞后，近两年正大力发展普通高中，学校由原来的一个年级几个教学班增到十几个、二十几个，三十几个，最多的有五十几个。这样一来，高一、高二年级80%的教师是新毕业的，没有教学经验，部分教师能照本宣科讲清楚就不错了，更不用说如何把握与处理好课标与教材了，因此对教师的培训与引领就显得格外重要。
一、做法
1．学习打基础。六、七月份，我们为将要上高一的教师准备三份资料，一是教育部、教育厅及市教育局下发的有关课程改革的文件材料，二是学科课程标准，三是学科教材等。要求教师认真学习上述材料，达到对课改有所了解的目的，以便能更快、更好地进入角色。
2．培训进角色。暑假期间，尽量组织教师参加各级各类培训，力争做到骨干培训与全员培训相结合，理念培训与教材、教法培训相结合，集中培训与分散培训相结合，校外培训与校内培训相结合，培训的最终立足点是学校的高一年级备课组。
3．宣传减压力。有一部分教师，特别是年纪大一些的教师对课程改革心存畏惧，总觉得自己不能适应课程改革的要求，心理有点害怕，不敢到高一上课。因此，我们向教师宣传本次课程改革提出的教育教学理念、教育教学方式、评价观念、课程目标等等，不是从未有过的新东西，而是对以往千千万万个优秀教师好的做法、好的经验加以概括总结，并加以推广。这样一来，教师们容易接受，不至于觉得课改来了，不知如何是好。
4．设计开课方案指导教学。过去的一年，由于我们手里没有整套教材，因此课程的开设按部就班，从必修到选修按顺序进行，没有作调整。现在，有了全套教材，参考07年的考试大纲后，我们可能调整课程方案，其本想法是分三条线。第一条线：数学1→数学4→数学5→选修2—2→选修4—5；第二条线：数学2→选修2—1→选修4—1→选修4—4；第三条线：数学3→选修2—3→选修4—2。
5．下校听、评课抓常规教学。常规教学五环节：备、教、批、辅、考，我们认为在全面落实的基础上，要主抓龙头：备与教。备课，在组织形式上强调年级组集体备课，并且要求四定，即定时间、定地点、定内容、定主讲人；在内容上强调目的明确，要求教师每节课的教学目的要写上这样一句话：本节课要让学生学会什么。接下来思考一个问题怎样教才能使学生更快更好地学会？在教的过程中，要求教师们时刻不忘“类比、推广、特殊化、化归”等九个字。
6．要求学校配备资源，搞好教研。巧妇难为无米之炊，要求教师搞好教学教研，没有资料不行。因此，我们要求学校：第一，给教师订教材，要求给所有数学教师每人订一整套教材，这样有利于教师整体把握高中教学内容，不然的话，教师们教了上学段，不知下学段教什么，并且要求学校要把所有版本的教材都订齐，这样便于更好把握课标；第二，增加数学课时。根据课程标准的要求，一个模块36课时，一学期分两学段，每学段要完成一个模块的教学。从实际情况来看，确实难以完成，必须增加课时。现在学生和教师提起数学就叫苦。第三，增加现代信息技术的投入等。
7．评价问题。评价是个难题，我们也没有好的办法。我们认为，学科教学有两个方面的价值取向，一是教育价值，也就是培养学生适应工作、生活、学习的能力；另一方面升学价值，即培养学生获取分数的能力。如何把这两方面有机地结合好，是评价要考虑的问题。
二、想法
1．课标的定位。从学科能力方面来说，课程标准是最低标准，考纲是最高标准。
2．教材的定位。教材是素材，教学时需要处理和加工。
3．三种学习方式的关系。自主学习、合作学习、探究学习三者的辩证关系，我们认为是以自主学习为主，以合作学习与探究学习为辅。
4．三维课程目标的关系。三维目标的关系，知识与技能目标是基础，其它两维目标是在知识与技能目标达到的过程中逐步实现的。
5．过程性评价与终结性评价的关系。终结性评价不可缺少，因此练习要做，测验考试也要搞。
6．教学常规的定位。教学常规的落实是教学质量提高的根本保证。
7．校本教研的立足点：备课组的集体备课。
8．课改后的课堂应是怎样的？有人总结了课改后课堂教学的六大转变：第一，变“以教师为中心”为“以学生为主体”；第二，变“师道尊严”为“平等合作”；第三，变“教教材”为“用教材”；第四，变“单纯传授知识”为“促进学生全面发展”；第五，变“教师满堂灌”为“学生主动学”；第六，变“结果性评价”为“过程性评价”。课堂上，我们主要追求两点：一是教师提出问题后，学生的头不再是抬着的；二是学生回答问题时，说的不仅仅是结果，而是得到结果的思维过程。
三、看法
1．有距离。第一，硬件有距离，学校的设施设备不能满足课程改革的要求；第二，软件有距离，教师的水平（知识结构）跟不上，教辅材料不齐全等。
2．有偏差。第一，模块化与学科体系有偏差；第二，教学内容与教师知识结构有偏差；第三，教学任务与教学时间有偏差；第四，课程目标与教学实际有偏差；第五，高考与课程改革理念有偏差。
3．有过程。新课程的适应要有过程。实施高中新课程数学教学中的感受与困惑
宁夏青铜峡 范桂云
从2004年秋季开始，我区作为全国首批实验区率先进行普通高中新课程实验，。两年来的实践，感受颇深，困惑亦多，自己认为是问题的也不少。现赘述如下。
一、新教材体现了新课标的全新思路和理念
首先是定位准确。新教材的定位着眼于新世纪人才素质的需求，体现鲜明的时代特色，重视教材的整体性，综合发挥数学课程的育人功能；重视学生的主体性，引导学生积极主动的学习；重视高中数学在培养学生的认识论、方法论、世界观、自然观等方面的重要作用，在此基础上使学生认识数学的应用性、工具性；培养学生的思维与发展学生的身心并进；传授知识和技能与培养能力和创新意识并重；使学生认识数学在人类历史发展中的重要作用，更重视理性和精神。
其次是理念全新。1、打好不同的基础，让不同的学生各获最佳发展。在设计必修课以满足所有高中生的共同需求的同时，充分关注不同学生的在数学上得到不同发展的需求而设计了选修课。2.新教材在强调师生的信息交流的同时，十分重视学生间的信息交流，让师与生、生与生之间建立起平等、和谐、民主的关系，相互取长补短，培养合作精神。3.改革封闭式教学，提倡教学的开放性、学习空间的开放性、教学内容的开放性、思维活动的开放性，以培养学生的创新精神和创新能力。4.突出数学的人文价值，强化人文内涵，使学生树立辨证唯物主义的世界观，养成求真务实，崇尚科学，反对迷信，热爱祖国，树立为中华民族复兴，为人类文明和社会进步而努力学习的责任感和使命感。5.提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的教学内容，实现信息技术与数学课程的有机结合。
二、新教材实践中的困惑和问题
在两年来的实践中，有许多困惑和问题。总有一种感觉：“老师不会教了，学生不会学了”。“是新教材的改革思路有问题？还是新教材传达的教育理念与我们多年习惯的方式冲突太大”？带着这些问题去思考、去学习，但还是有困惑和问题如下，和同行们商榷并望得到专家的指正。
1、课堂教学课时紧张
例：“平面向量的数量积”，规定2课时，“空间几何体的表面积与体积”规定1课时，等等，真的不够，如果勉强按规定时间讲完，肯定不利于学生掌握，形成似懂非懂，“夹生饭”造成差生越来越多。如有的学校实际教学课时数如下：
教学内容 模 块（1） 模 块（2）
集合与函数 基本初等函数 函数应用 空间几何体 点线面关系 直线与方程
教学时间 计划 14 15 10 9 11 9
实际 17 17 10 10 17 12
超时 3 2 0 1 6 3
教学内容 模 块（3） 模 块（4）
算法初步 统计 概率 圆与方程 三角函数 平面向量 三角恒等变换
教学时间 计划 12 16 8 9 16 12 8
实际 15 18 10 11 23 16 12
超时 3 2 2 2 7 4 4
教学内容 模 块（5）
解三角形 数列 不等式
教学时间 计划 8 12 16
实际 9 15 18
超时 1 3 2
教学内容 选修 1-1 选修 2-1
常用逻辑用语 圆锥曲线方程 导数及其应用 常用逻辑用语 圆锥曲线方程 空间向量与立体几何
教学时间 计划 8 12 16 8 16 12
实际 11 19 21 11 21 15
超时 3 7 5 3 5 3
2、知识的顺序编排不合理
例：未学解不等式，就学指数函数、对数函数，造成学函数的定义域、值域，集合的运算等等问题难以解决。
3、知识的删减不科学
例：立体几何常用几何体的性质删减后，学生对几何体的交线在底面的交点在什么地方都不知道，这是老教材没有的事。
4、与其它学科的协调没有做好
例：高一第一学期物理要学力学，会用到三角函数向量等知识，但数学却把这部分内容放在必修（4）才学，造成学科之间知识脱节。
5、教材中应用题的选用
值得考虑的地方：部分应用题过难（选修1-1 P111 例2，模块（1）P53 B组 7题）或需要较多的其它学科知识，而数学知识应用却很少（如模块（4）69页例3）或出现的时机不太合适（如模块（2）P46 B组 2 ）都为教学带来一些困难，影响教学进度。
6、新课程内容多
例算法初步、定积分，正态分布等等，并且高一第一学期就要上完必修（1）和必修（2），其中必修（1）集合与函数，基本初等函数、函数的应用，而高中数学的核心是函数，高一第一学期中期就要学完，后半学期完成必修（2）包括立体几何体，解析几何的全部内容，这对刚刚由初中进入高中的学生来说，内容多、学生很难掌握好，并且立体几何中好多定理，只需学生直观感知，操作确认，淡化理性推理证明。
7、知识内容的衔接存在脱节
（1）乘法公式只有两个（即平方差，完全平方公式）没有立方和立方差公式。
（2）多项式相乘仅指一次式相乘，会影响到今后二项式定理及其相关内容的教学。
（3）可化为一元二次方程的分式方程、无理方程、二元二次方程都已不作要求，会影响到今后学数列有关计算（往往用方程的思想解决问题）
（4）根式的运算明显淡化，如不加强根式运算，以后求圆锥曲线标准方程会受到影响。
（5）因式分解的要求降低。初中只要求提公因式法、公式法，而十字相乘法、分组分解法新课标不作要求，但高中要经常用到这两种方法。例如，设 {an} 是首项为 1 的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（n=1，2……）求它的通项公式an 。
（6）初中没有“轨迹”概念，高中讲解析几何时会讲到，学生对有关求轨迹问题很困惑，有无从下手之感。
（7）一元二次方程根的判别式在初中新课标不要求。在高中教直线与圆锥曲线综合应用时常常要用到，在涉及到函数图象交点问题也常用到，这无疑是一个障碍。
（8）圆内接四边形的性质（四点共圆）初中没有。
（9）在新课标中，圆的垂径定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理被删去了，在高中解析几何强常常会用到。
（10）反证法：课标只要求通过实例，体会反证法的含义，要求不高；但在高中遇到“至多”“最多”“至少”“唯一”等字词的证明题，需要用反证法。
例如选修 1-1《常用逻辑用语》一章经常出现。
（11）平行线线段成比例定理初中没有，这样在立体几何的教学中，空间的线面平行等问题受到影响。
（12）空间直线、平面的位置关系初中没有。因此，高中学立体几何时会受影响。
（13）相切在作图中的应用初中不作要求，在高中有相切问题。
（14）正多边形的有关计算。
8、课程结构变化太大
9、要求的教学资源过高
10、教师感觉累
课时紧张使教师参与研究《新课标》和教材的精力不足，由于教师教学负担过重，大部分数学老师没有时间和精力来思考深层次的问题。由于普通高中数学新课程中数学知识的编排系统出现了较大的调整，导致一些必备知识的学习有困难，为解决这些困难，教师不得采取一些措施，导致学生学习负担加重。
同时，也应该认识到，在新课程实验教学中产生的问题不能完全归咎于课程标准。事实上，产生这些问题的原因，也有教师自身的原因造成的，教师不但要转变观念，正确看待新教材教学出现的一些问题，而且应充分发挥我们的聪明才智，充分利用一切时间和机会努力钻研、积累经验、得到解决问题的有效办法，并努力在实践中加以实施，以便为课程标准和教材的修订与完善提供建议，为新课程在全国大面积实施，提供经验。这不仅是教师应有的态度，而且也是作为实验区的教师应尽的责任。
参考文献：*《普通高中数学课程标准（实验）》
*人教版普通高中试用教材
实施高中新课程数学教学中的感受与困惑
范 桂 云
宁 夏 青 铜 峡
2 0 0 6 – 10 - 27
PAGE
1普通高中课程标准实验教科书（人教版）《数学》必修4
《向量加法运算及其几何意义》教学设计
海口市第一中学 郑若蕊
2．2．1向量加法运算及其几何意义
〖教学目标〗
（1） 知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；
（2） 过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；
（3） 情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
〖教学重点、难点〗
教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；
教学难点：向量加法概念的形成过程；
〖教学方法与教学手段〗
教学方法：启发探究式教学
教学手段：多媒体辅助教学
〖教学过程〗
1、 设置情境、尝试探求
1． 设置问题情境
今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝 ，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？
2、学生自主探究与研讨
学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）
教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；
学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图
教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。
提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？
3、师生共同探究
学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；
（1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移 ， 的结果，与A点直接到C点的位移 结果相同。
（2）如图：表示橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同。
教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。
2、 形成概念，归纳方法。
向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
1、 提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？
同学们任意作出两个向量试一试。
2、 学生自主探究
学生可能答案：
（1） 共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；
（2） 首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；
（3） 任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；
（4） 共线的两个向量相加（同向或反向）
3、交流、研讨、辩析
投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。
4、归纳总结
在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：
1、 向量加法的定义
1、 三角形法则：
已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
a
a＋ｂ ｂ
ｂ
a
位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
2平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a、ｂ，为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
对于零向量与任一向量我们规定：
提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？
思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
a a
ｂ ｂ
a+b
探究：|+|与||+||的大小关系：
当向量与不共线时，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+||
思考：、处于什么位置时，
（1）|+|=||+|| （2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）
三、实践探索 形成能力
1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a、b有
a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c)
任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？
（1）让学生通过画图探索验证：+=+
（2）提问：你能否验证：
(+) +=+ (+)
小结：向量的加法满足交换律：+=+
向量的加法满足结合律：(+) +=+ (+)
2、 练习P93 3、4题
3、 例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）
（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）
4、 巩固作业
（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题
（2）选做题：在△ABC中，求证：
四、归纳小结：内化知识
通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
G
F
F2
F1
C
A B
b+c
a+b
b
a+b+c
c
a
D
C
B
A
V
V水
V船
a+b
O
E
O
B
A
C
PAGE
3浅谈新课标中数学课堂探究教学的几点认识
山东省临清市第二中学 赵孝金
教学课程标准的基本理念之一就是倡导积极主动，勇于探索的学习方式，而这种学习方式重点倡导自主探索，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
数学课堂探究教学，就是通过各种措施和途径，把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认知活动凸现出来，使学生数学学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、解决问题的过程，充分调动学生自主探索，发挥学生学习主动性的一种教学方式。从教学认识过程的任务来看，其根本目的不在于仅仅获得和验证真知，更主要的是在一定知识经验之上去构建学生主体的新的认识活动结构和实践行为能力，学生主体在认知过程中的建构活动本身就是一种创造的过程。因此，数学课堂探索教学更多的是强调探究过程对于学生个体发展的意义。本文结合实例，浅谈课堂探究教学的四点认识。
一、设置问题，自主探究
提出问题是探究教学的第一要素，也是探究活动的起点。有了问题，引起学生兴趣，才会努力去寻找答案，解决问题。这个阶段主要是向学生提出探究性问题，并允许学生对问题先自主探究。我在教学中以抛物线一习题为例进行探索：
例：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点和这条抛物线相交于两点的直线，设直线的斜率为k，两个交点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，试用p和k的代数式分别表示x1 x2，x1＋x2，y1 y2，y1＋y2。
问题提出后，教师给学生适量的时间供学生自主探究，目的是挖掘学生学习的自主性，让学生有时间去独立思考，有时间去试验自己的想法，不要考虑学生探究结果，即使探究不出来，也是一种自主探究。
二、解疑导拨，合作探究
在学生自主探究的基础上，对学生不理解或解决不了的疑难问题，再进行导拨。而对学生的疑难问题，教师不必过早解释，只要综合大家的提问，组织学生合作探究即可。合作探究可有三种方式：一是生生合作探究，即让学生和学生发挥各自的优势，就题中疑难问题相互启发，相互研讨；二是小组合作探究，合作小组中学生情况要均衡，合作探究是利用学生集思广益，思维互补的特点，使探究更加深入，使获得的知识更趋于准确；三是全班集体探究，即抓准题中关键性问题或有争议的问题，让学生各自发表见解，见仁见智，集中解决难点。
三、明确强化，实践探究
教师要根据学生自主探究和合作探究的情况，让学生概括探究方法及正确表达探究结果，然后对学生的表述作些补充，以求完善；再要求学生运用探究获得的知识，联想迁移，举一反三，解决类似或相关的问题。如学生探究完上例后，教师提出以下问题进行实践探究。
探究1 原题条件不变，求弦AB中点的轨迹方程。
探究2过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF和FB的长分别为m,n，则如何运用p的代数式表示1/m+1/n的结果.
探究3过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，则直线AC必经过原点O吗？
学生的实践探究是巩固和扩大知识，同时也是吸收、内化知识能力的过程，是开发学生创造性思维的有利时机，实践探究的内容和形式可灵活多样，只要有利于扩大学生的知识，增进学生的创造才能就行。教师要鼓励每一位学生深入思考，注重挖掘，大胆猜想，积极探索，鼓励学生不断“创造”出新的“结果”，哪怕只是一小点。
四、激励评价，引申探究
通过学生对上例探究活动的结果，教师对学生积极主动参与探究给予充分肯定，特别地，对学生在探究活动中表现出来的新异独特的思考方法和解题思路要表示极大的赞赏，并不失时机地激励学生把学生学习探究变成自己求知的一大乐趣。另外，教师要善于挖掘原题素材，进一步深挖学生的探究潜能，开发学生的创新思维。老师可提出探究：
探究1已知抛物线方程y2=2px(p>0),一条直线和这条抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，且y1 y2＝－p2，则直线必经过抛物线焦点F吗？
探究2 过抛物线方程y2=2px焦点F的直线与抛物线相交于A B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，判断A1F和B1F的位置关系。
探究3 A、B是抛物线方程y2=2px(p>0)上的两点，坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2)，且满足OA⊥OB，则直线AB必经过一个定点，试求这个定点。
教师把此题的探究进一步引向了深入，学生的情绪会进入再次高潮，思维火花会再次点燃，探究结果将更为丰硕。
以上四点仅是笔者对探究教学的几点认识，如有不当之处，请各位同行批评指正。数学课堂探究的实施并没有固定的模式，组织形式应该多种多样，老师应根据教学课程标准的要求和实际探究需要，灵活设计教学探究，以达成最佳的探究目标。解读数学教育理念 形成生态课堂教学
山东省泰安第一中学 夏繁军 271000
摘要：自2004年实施新课改以来，数学课堂教学都发生了哪些方面的变化？如何将新课改的教育理念融入到课堂教学中去？我们和大家一样做了积极的实验与探索，经过了认识上的一些曲折，逐步形成了一些较客观地认识。基于这些本文着重谈一下如何准确把握教育理念的真实内涵，形成生态的课堂教学。
关键词：新课改，教育理念，课堂教学。
一、要辩证地看待“教育新理念”
在《数学课程标准》中，提出了10条教育理念。如何准确把握这些教育理念是实施新课改的关键。
我们提倡用联系的、发展的、辩证的眼光看待这10条教育理念。
这10条教育理念是我们充分借鉴国内外的一些教育思想，结合我国的数学教学现状，特别是近二十年的教学改革实践，长期积淀而形成的，很多好的教育思想也并不是新课标第一次提出，因此，它是一个继承和发展的结果。更科学地讲，应把它叫做“科学的教育理念”而不是“新理念”。首先看它所依据的理论，如：建构思想→皮亚杰的、做中学→杜威的、发现学习→布鲁纳的、探究式学习→施瓦布的、再发现思想→波利亚的、合作学习→约翰逊的。从中看出除约翰逊是20世纪70年代外，其余都是20世纪上半叶的“老”教育家。但是“不新并不等于不可取，新并不一定正确，不一定实用”②。这说明老的教育理念中有很多可取的东西，像中国古代著名教育家孔子提出的“因材施教”原则，恐怕任何一个教育做得都还不够。此外，像基本理念中提到的“倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，强调本质，注意适度的形式化。”也并不是在新课程中第一次提出，早在10年前我国部分著名教育家如张奠宙、杨世明等就提出”拿数学当一个过程来教，要让学生亲自去尝试知识的发生、发展和变化的过程”。我手中有一份95年的《中学数学》杂志，在第一期中提出了“MM教学法”，并开设了“教学微型设计”栏目。十年来，数学界一直呼吁这方面的课堂教学改革，但种种原因一直在中学数学教学难以落实。
因此我们提倡用辩证的、联系的观点看待教育理念，它是从我们日常教学中的经验提炼出来的，我们每一个人都在平常教学中多多少少地应用了它们，这些理念就在我们身边。不能一味地迷信新理念，它也是一个继承和发展的结果，随着教育的改革和发展，这些教育理念还可能会进一步地改进，比如第6条教育理念中提出的“与时俱进的认识双基”，我觉得较为客观。知识随着时代发展而变化，那么理念也同样会变。
在中国历史上，凡是成功的范例，无一不是将先进的理念和中国的实际相结合的产物，从毛泽东对待马克思主义理论，邓小平对待西方先进的技术都贯彻了一个实事求是的科学世界观，我在大学时曾读了《毛泽东选集》，体会较深的是毛泽东的辩证思想和实事求是的态度，不唯上，不唯书。我们要培养学生辩证的思想，教师首先要具备这种思想才行。
二、准确把握教育理念的内涵
关于教育理念，在课程标准及《数学课程标准解读》（主编：严士健、张奠宙、王尚志，江苏教育出版社，2004.3）中都有详细的解释。在这里我想立足数学教育理念，结合数学课堂教学中出现的问题单独谈一谈。为什么要单独谈课堂教学，因为课堂教学是学校日常教学中的主要阵地，另外任何一项教育改革理念都要在课堂教学中才能得以落实与体现。
在当前课堂教学中出现了以下几种值得注意的情况：
①用“探究式学习”代替“接受学习”，“探究式教学”代替“讲授法”。
②“合作学习”的形式冲淡了“数学思维能力”的培养。
③强调数学本质，注重数学过程，忽视了适度的形式化。
④多媒体代替了黑板。
⑤合理、科学地评价体系变成了满堂课的表扬。
对问题①，教学理念3提出：“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”。因此在很多教师的课堂教学过度追求探究，似乎探究成了新课改的标签，讲授成了旧理念的代表。
丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念，在教育理念中提出：学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。但这并不就是否定了接受学习，接受学习仍是学生学习的一种主要形式。尽管新课改提倡探究式教学，但节节课都搞探究在现有教育阶段和条件下基本是不可能的，因为教学要有一个效率问题，一个真正有意义的探究教学要花很长时间。首先要有一个好的探究课题，然后还要受教学时间、教学进度、教师精力、班内学生层次的制约，因此大的探究问题每学期能有那么三四次就不错了，我们理解自主探究应当是一种教学理念，更多的应当是学生对教学中一个个小的问题的探究和学习。
教师在教学中要善于将一个个的知识点转化为一个个小的探究过程，设计一个个的问题情境，恰当地启发引导学生去自己发现一些问题、解决问题，提高解决问题能力。教师在这个过程中担当学习情境的创设者，学生学习的引导者和合作者。这些问题情景的创设就需要发挥老师的主导作用，如果教师不能准确地把握一节课的结构与实质，而一味得让学生进行探究，既消耗了学生的时间，又使学生学不到东西，这种探究还不如教师的讲授。但讲授法不等“填鸭式”的告知，讲授要求教师创设一个个好的教学环境，引导学生进行积极的思考与学习，并恰时给于点拨，这才能充分体现教师的“主导地位”和学生的“主体地位”。我认为教师的“主导地位”和学生的“主体地位”应当是并重的，是一个不可分隔的共同体，任何一方都不可偏废。名师没有一个不是讲授法的，不会讲授法的教师永远成不了名师。
下面我谈一个探究的例子，是在05年上半年讲授数学必修4三角恒等变换一节中，有这样的一个例题：P156例4
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，问怎样截可使矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。
由于我在1999年已对这种情况做过很好的研究，所以我决定实行一次探究，并设计了如下问题：
探究1： 当 时，还有哪种截法？引出第二种截法，并比较两种截法的最大值，得出Smax>S′max。
探究2 当是任意锐角时，两种截法面积最大值比较如何？仍有Smax>S′max
探究3 当 时，仍有Smax>S′max
探究4 当 时，第一种截法时，内接矩形不存在，但仍可画出一个矩形，其最大值仍与时相同，为，而第二种截法中面积却随增大而逐渐增大
必然有S′max>Smax ，让S′max=Smax 得：
因此当时，两种截法最大面积相等
当0°<≤106.26°时， Smax≥S′max
当106.26°<<180° 时， Smax>S′max
探究5 当时，两种截法相同。
探究6 当时，内接矩形不存在，但仍可画出一个矩形，最大值同时一样。
探究7 当时，成了圆内接正方形面积最大。
探究8 我们完成了一个扇形内截矩形面积最大值的探究问题，同学们能否将Smax= S′max=的函数图像画出来？
以上问题层层递进，环环相扣，一步步引导学生进行自主探究，独立思考。③
值得注意的是新课程拓广了学生的学习渠道与方式，比如在必修1第一章“集合与函数概念”的后面有一个实习作业，让学生了解函数的历程及其发展，作业布置后，学生通过查找资料写了许多精彩的论文，我把它装订成册展示给学生，学生看到自己的作品就像正式出版一样，十分的高兴，也增强了学习数学的兴趣。
对于问题②，教学理念4提出：“注重提高学生数学思维能力”。注重发展学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。也得到了大家的共识，但在实际教学中却出现了用“合作学习”的方式代替了学生思维的训练，“图热闹”代替“数学学习”，使数学课失去了数学课的味道。合作学习提倡在教学中师与师，师与生，生与生之间的合作交流，这种意识并不仅局限在课堂上，也并不是任何科目、任何课都适应合作学习，语文、历史、政治等科目更适合相互讨论，别人联想可能有激发你的联想，别人的观察可能帮你观察，但数学不同，数学是抽象思维性很强的学科，它更需要独立思考，独立思考能力正是学生要培养的一个重要能力。我们发现在合作过程中，仍是每组中成绩较好的同学发言，而大部分仍是听众，这等于变老师的讲为好学生的讲，把老师的告知变成了学生的告知，这与老师直接告诉学生区别不大，况且还不如老师讲得清楚④。因此要充分调动学生学习的积极性，不一定非得搞探究式，搞合作学习，再好的东西节节课利用学生也就厌烦了。各科有各科的目标与手段，语文要培养学生的听、说、读、写能力，数学则需要培养学生的独立思考能力。人吃五谷杂粮才能健康，学生只有各个科目共同学习，多种学习方式共同运用，才能得到一个完善的发展。这才是新课改的目的。
对于问题③，教学理念7提出：“强化本质，注意适度形式化”。新课改强调对数学本质的认识，强调让学生亲历知识的形成与发展过程，但在实际教学中，某些教师却忽视了形式化，我们认为强调数学本质和适度形式化并不矛盾，没有形式也就没有内容，形式化与数学本质在很大程度上是相互结合，相互补充的，在数学教学当中，要让学生在形式中体会数学的本质，亲历知识的形成发展过程，如讲授二分法中，让学生在一次次的寻找方程解（更精确的讲是函数的零点）步骤当中体会到无限逼近的数学思想，如讲授错位相减位求和的时候，就是让学生在一次次应用错位相减法的过程中，才体会到它的本质。
对于问题④，教学理念9提出：“要注重信息技术与数学课程的整合”。的确在高中数学教学当中，很多过去难以呈现的课堂内容在应用信息技术之后得到很好的解决，如与的大小比较，用信息技术展示就很明显，再就是在圆锥曲线的生成，概率与频率的关系等方面都体现了信息技术的优势。但是现在却出现一种让学生看屏幕代替看黑板，点鼠标代替板书的教学情况（在今年4月省数学优质课上就有部分教师整堂课无一点板书，所有教学过程全部用多媒体展示），这对于学生数学的学习是很不利的，数学讲究严密的逻辑推理和规范的解题步骤，一堂课学生仅仅跟着老师看屏幕，没有亲历公式的推导，式子结构的变换，那么学习的效果是可想而知的，只能是看着会，听着懂，做着错，一堂课下来学不着什么东西。因此，绝不能用多媒体来代替黑板，掩盖教师的推理过程与学生的练习过程。多媒体仅是课堂教学的辅助手段，而不是主体，主体应当仍是教师引导学生进行积极的思考和学习。
对于问题⑤，教学理念10提出：“建立合理、科学的评价体系”。科学的评价体系包括评价理念、评价内容、评价形式与评价体制等内容，评价既要关注学生学习的结果，又要关注学生学习的过程，因此在课堂教学中出现了教师满口是“很好”、“很正确”等表扬词，听不到一句批评的语言。我们认为，评价是一把双刃剑，表扬和鼓励固然能提高学生的积极性，但批评同样具有激励的效果。在课程教学三维目标中提到加强对学生进行情感、态度、价值观方面的教育，情感、态度、价值观是学生在学习中所表现出的一种内心的体验，对学生的学习起着重要的调控作用，这方面用得好将会对学生的学习起重要的推动作用，相反一味地应用表扬，学生也就不拿它当会事了，激励作用也就起不到了。教师应当恰如其分地对学生的反馈进行评价，既有表扬又有批评与分析，才能使学生体会到教师的评价正相关作用。但防止一种表面上没有批评，却对学生对成很大伤害的评价，那就是对学生在课堂上提出的新问题的冷漠。常常听课时出现这种情况，如果一个学生的回答没有按照教师预先设计好的思路说下去，这教师就不加评价地让他坐下，可能这个学生的回答是另一种较好地思路，你反而让他坐下对他的回答不置可否，这将会对学生造成很大的伤害，这就是我们讲的教师要善于处理这种“预设”与“生成”之间的矛盾。这番反映了一位教师的教学机智和教学态度，教师要善于、敢于向学生学习，这也是考验一个教师是否是成熟的一个重要标志。
三、新课程标准下的课堂教学方式的探索
正是基于我们对教育理念的科学实事求是的理解，结合我校学生学习的具体情况，我们积极进行教学改革，探索实验形成高中数学“问题引导，合作探究”教学法。下面就本教学法介绍如下：
“问题引导，合作探究”教学法的一般步骤：
所以称为“教学法”而不是“教学模式”，是我们从以往课改实验中体会到：一个本来很生动、活泼的教学方式，一旦被模式化，则就成了一种“样板”，如果被一些教师生搬硬套后，就失去了其自身的开放性和可发展性，从而走进“死胡同”，实验也就宣告终结。“教无定法”才是唯一的真理。每种教学法都各有所长，只有在教学中根据教学实际情况，特别是学生学习状况及老师的教学水平情况，集众家之长才能形成自己的教学风格。因此我们根据我校学生水平及教学中实践情况，制定一般步骤，仅供参考。
第一步：课程内容问题化。
一般是在集体备课时，在认真研究教材、学生基础的前提下，将课程内容分解成一个个问题，特别要商量好问题的设计。注意问题的提出方式、层次、学生可能出现的新问题等等。
第二步：在课堂教学中将问题展示给学生，用问题引导学生自主探究学习。
第三步：课后反思，调整问题，形成学案，二次备课。
用框图表示为：
因此问题的设计是关键，一般来讲，应随课堂内容而定，可能是一个大问题下一串小问题，也可以是相关的几个问题。但一般应遵循以下几个原则：
①设计问题应立足学生知识基础，不可跨度太大。
②有利于引导学生进行学习及探究。
③在问题情境中提供相关的基本概念。
下面给出必修4中的三个教学案例供大家参考：
案例1（公式教学）§2.4.2 平面向量的数量积的坐标表示，模，夹角
本节课的重点是：平面向量数量积的坐标运算及简单应用；难点是：数量积的坐标表示的推导。本节是平面的坐标表示，数量积这两部分相结合的自然产物，为此我设计以下问题情景：
问题1：前面我们学面向量的加法，减法和数乘坐标形式运算，上一节我们又学面向量的数量积，那么，数量积能否用坐标表示呢？（建立知识结构）
问题2：已知两个非零向量的夹角，则：
①___________， ②___________
③=___________ ， ④若___________
（复习旧知识，寻找本节课的知识生长点）
问题3：设非零向量 ，怎样用的坐标表示呢？
启发学生回忆向量的坐标形式的定义，类比向量的加法、减法和数乘的坐标表示的推出过程，把分别用坐标表示的定义写成，用运算律得出结果。
问题4：你能用语言表述这个公式吗？（归纳表达式的结构特征：“横×横 + 纵×纵”，同时与向量数量积的定义式相对比）
问题5：（自主练习）
1、已知
2、已知
问题6：有了数量积的坐标表示，与数量积有关的模、夹角的表示又是如何？请看下面这组自主探究。
1、设
2、设
3、
4、
（教师巡视，个别指导完后，提问学生答案，师依次对答案。）
问题7：有了这些公式，下面我们看它的利用。
应用举例
例1：设
（1）；
（2）和夹角的余弦值；
（3）。
（处理方式：放手让学生完成做完后，提问学生对答案。）
例2：已知A(1,2) ,B(2,3),C(-2,5)。试判断△ABC的形状，并给出证明。
请同学位思考有哪些思路？
（学生可给出不同方法：
方法1：计算三个向量的模，用勾股定理。
方法2: 计算了，，的坐标, 验证
方法3：
………….
画图观察，猜想∠A=90°,再选择合适途径去证明！）
问题8：现在在例2的基础上，你还能提出那些问题？
（考虑同学可能的提问，进行筛选，师生共同解答。问题①：若A（1，2），B（2，3）,在直线x=-2上是否还有其它点C，使得△ABC是直角三角形？
第一组∠B是直角，C（－2，7），
第二组：C不可能是直角！
为什么？
②. 试在直线x=－2上确定点C的纵坐标的范围,使△ABC是钝角三角形？锐角三角形？
③．在BC上找一点D，使AD⊥BC,
④.以AC为直角边，∠A为直角，做等腰直角三角形 △ABC，求点B的坐标
⑤：在y轴上是否存在点D，使得四边形ABDC是直角梯形？
设出点的坐标，转化为解方程问题，渗透方程思想。
我们还可以提出很多问题，课下同学们可进一步的提出探究⑥,⑦……，并互相交流！）
问题9：（巩固练习：）
1、已知，求。
2、已知，求。
3、已知，求与的夹角的余弦。
问题10：小结本节课的内容
问题①：本节课你学习了哪些知识？
问题②：在思想方法上有哪些收获？
案例2（概念教学）：§2.1 平面向量的实际背景及基本概念。
本节主要是平面向量的实际背景和基本概念，文字多，难度小。因此我们让学生自学教材，然后设计以下问题进行检测。
T1 试叙述以下概念：
向量，数量，有向线段，有向线段三要素，有向线段的长度，零向量，单位向量
平行向量， 共线向量，相等向量。
T2 下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；
④向量与是共线向量，则点A,B,C,D四点共线；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段；
其中真命题的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
T3 下列命题中，正确的是（ ）
A.= B. > > C.= D .=0 =0
T4 如图B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终
点最多可以写出______个互不相等的非零向量。
T5 判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由。
（1）若a、b都是单位向量，则a=b。 （ ）
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量。 （ ）
（3）方向为南偏向的向量与北偏东的向量是共线向量。 （ ）
（4）直向坐标平面上的x轴、y轴都是向量。 （ ）
T6 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中、、相等的向量。
案例3（例题探究）：即前面的探究问题“扇形内截矩形面积最大值的求法”。
并不是每节课都要用这种方式，但大部分是可以利用的。
以上做法与认识有不当之处敬请各位专家和老师给予指导，
参考文献：
①教育部制订 数学课程标准 人民教育出版社 2003.4
②④涂荣豹 谈提高对数学教学的认识 中学数学教学参考 2006.1-2
③夏繁军 一道数学应用题教学后记 中学数学杂志 1999.1
图1
α
D
A
Q
B
O
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
形成问题
课堂实践
课后反思
O
_
Q
C
D
A
B
P
1
_
2
_
_
_
è °
R,
_
2
_
1
_
D
_
B
_
C
_
A
_
C
_
Q
_
O
_
O
_
P
_
Q
_
M
_
D
_
B
_
P
O
O
B
C
A
D
PAGE
11导数的几何意义教案
广州大学附属中学 施永红
【教学目标】
知识与技能目标：
（1）使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在
处的切线的斜率。（数形结合），即：
＝切线的斜率
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。
【教学重点与难点】
重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义
【教学过程】
（一）作业点评，承上启下：
问题：在高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在时呢？
教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释，时运动员的运动状态。
（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）
（二）课题引入，类比探讨：
由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。
●问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。
学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：
导数的本质是函数在处的瞬时变化率，即：
（说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）
● 问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？
教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：
即：导数的代数表达式，并回忆求导数的步骤。
● 问（三）求导数的步骤有哪几步
教师引导学生回答：
第一步：求平均变化率；
第二步：当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是。（回归本质，数形结合）
教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：
●问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？
请在函数图像中画出来；
学生动手活动：见“学生动手实践”。
由学生乙回答：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率。
。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。
●问（五）：第二步：时，割线有什么变化？请画出来。
学生动手活动：见“学生动手实践”。
教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：
，
当，割线有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在处的切线，请把它画出来。
学生动手活动：见“学生动手实践”。
教师展示学生作品， 引导学生发现，并说出：
（形），割线切线，
则割线的斜率切线的斜率
由数形结合，得 ＝切线的斜率
所以，函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线AD的斜率。（数形结合）。
（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）
（3） 动画演示，总结归纳
1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。
2． 教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。
3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线
近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）
教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。
（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）
（四）训练巩固、加强理解：
1．在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？
（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）
2．如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率
（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）
（五）抽象概括，归纳小结：
1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：
是确定的数（静态），是的函数（动态）
由（特殊——一般）
（静态——动态）
（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想
2．归纳小结：
由学生进行开放式小结：
（1）函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在
处的切线AD的斜率。（数形结合），即：
＝切线的斜率
（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
（3）导函数（简称“导数”）的概念。
（六）作业布置，分层要求：
1．习题P10A5,6.B2,3.
2．如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数的图像，请根据图像，估计时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？
3．请给出求函数在处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。
（探索：若把3 ．“在点 处”改为“过点”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）
学生动手实践
提问：1．导数的本质是什么？请写数学表达式。
导数的本质是函数在 处的
即：
２．函数平均变化率的几何意义是什么，请在函数图 像中画出来。
3．导数的几何意义是什么？
导数的几何意义是
练习1．在函数的图像上，（1）说说，的几何意义。（2）请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？
(1)
(2)
2．如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率
抽象概括：
归纳小结：
附：动态直观消除神秘，启发点拨贯通曲直
——《导数的几何意义》课例点评
广州市教育局教学研究室 许世红
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下：
1． 教学思路清晰，学习重点突出
本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。
首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。
整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。
2． 设问合乎情理，探究活动自然
著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋,积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）——寻求想法——实施想法——发现规律——给出定义——应用定义解释现象（如何估计切线的斜率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。
3． 注重学法引导，揭示研究方法
无论是复习导数的实际意义、数值意义，还是研究导数的几何意义及其应用，教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问： “你为什么这样做？”、“你是怎样想的？”、“还可以怎样做？”等问题，问思路、问道理、问方法，及时组织学生交流思维过程，展现问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，借此引导学生学会必要的思维策略。从学生对例2、例3的分析可以看出，学生分析问题时表述清楚，思维方向正确，显得很是自信。
4． 巧用信息技术，强化直观感知
由于研究导数的几何意义时应用了“逼近”的思想，在学生动手画出一系列特殊位置的割线后，教师恰当地应用flash动画，让学生从直观上强烈感受到由割线逼近切线、产生切线的过程，再从理性的角度思考“切线产生”的深层原因，较好地培养了学生的观察能力和分析能力。另外，在解释“以直代曲”思想时，利用几何画板将曲线某一点附近的图象放大，让学生直观感受到“以直代曲”的合理性和有效性，加深了学生对这一重要思想的认识。
5． 整合教材资源，突破理解难点
由于版面的限制，教材例3中的图1.1-4的网格较密，不利于学生展开对该问题的研究。教师在实际处理时，直接将教材中的图形放大后印发给学生，让学生借助网格估计导数的近似值，有效地突破了研究难点，这种处理方式反映了教师的教学机智；又如，本节教材的课后练习中要求学生“利用信息技术工具，画出函数的图象，并根据其图象，估计V＝0.6、1.2时，气球的瞬时膨胀率”，由于大多数学生不具备这样的学习条件，教师直接给出了函数图象，这样的处理更符合教学实际；再如，教师在布置课后分层作业时，让学生研究“在某点处的切线”与“过某点的切线”的差异，较好地培养了学生思维的严谨性，也反映出教师对教学内容的深入思考。
当然，本节课在教学过程中，也有不尽如人意的地方，这里不再赘述。
1）平均变化率的几何意义：
2）当时，观察图形变化。
初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
PAGE
10谈谈新课程标准下的“问题教学”课堂模式
广东广雅中学 何智
摘要：高中数学新课程目标第3条指出：提高学生数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，强调的是“数学地提出”，可见新课程标准对“问题”的要求更高了。本文试图从问题的概念、类型和问题的提出过程进行阐述，着重论述“问题教学”的实施策略，营造课堂教学的民主氛围；设置问题情景，培养学生的问题意识；培养学生的提问能力；师生共同讨论，培养学生解决问题的能力；探讨问题教学的一般模式及应遵循的原则。
关键词：新课程下 问题教学 变式策略 思考与实践
1、问题的提出
问题教学法是指以问题为中心来展开教学活动的教学方法。一个人一旦向自己提出了某个问题，产生解决它的欲望，便形成了“问题意识”，所谓问题意识，是指人们在认识活动中，经常意识到一些难以解决或疑惑的实际问题及理论问题，并产生一种怀疑、困惑、探索的心理状态，这种心理又驱使个体积极思维，不断提出问题和解决问题，思维的这种问题性心理品质，称为问题意识。问题使人的注意力具有明显的指向性与选择性，对持续进行有目标的思维、探索活动具有显著的激励功能。
近几年来很多教师对“问题教学”进行了广泛的探讨，提出了许多有价值的观点和做法，但几乎集中在教师提出问题方面。而我们在教学实践中尝试用“问题教学”的教学模式，来培养学生的问题意识和培养学生提出问题的能力，从而达到培养学生的创新能力的目的。
2、理论依据
2.1．问题的概念
问题性教学的关键是必须界定什么是“问题”。问题有两类：一是指一些问答式的问题，它具有陈述性和简单性，如“求值域有哪几种方法？”、“圆的定义是什么？”等等；二是指一些求解式的问题，它具有程序性和复杂性，必须通过周密的思考，借助某些特定的有效程序，经过主观努力才能完成的。如“本节课里你学到了什么知识和数学思想方法？”，前者是学生学习或回忆陈述性知识，而后者能使学生在知道陈述性知识的同时，学习程序性知识或促使陈述性知识向程序性知识转化。在现实中有这样的课堂：教师提出的问题很多，回答得也很热闹，一堂课下来，课堂内没有学生静静思考问题的时间。据调查发现：教师的课堂提问次数很多，让学生思考的时间很少；从问题类型来看，事实性问题太多，理解性问题极少，应用与综合性的问题几乎没有，其实，这样的教学不是问题性教学。究其原因，我们很多教师没有搞清什么是“问题”？教学的组织中，只有增加第二类问题，才能在课堂上增加学生的思维力度，所以，我们所说的问题性教学中的“问题”主要是指第二类。
对问题而言，也有好的和一般之分，应尽量采用或选择一些“好问题”。一个“好问题”应具有以下一个或几个特征：
（1）有与它有关的简单的、学生能够理解和解决的问题；
（2）在学生已有的知识和能力范围内有多种解决途径；
（3）学生能据此导出其他类似的问题；
（4）学生有直接的兴趣或有一个有趣的答案；
（5）能用学生已有的知识和方法或通过探索可达到的知识和方法进行推广。
2.2问题的类型
在心理学上把问题大致分为三类：呈现型问题、发现型问题和创造型问题，这三类问题的要素如下表所示。
问题是否给定 求解的思路是否已知 答案是否一定
呈现型问题 是 是 是
发现型问题 否 否 是
创造型问题 否 否 否
以上三种“问题”是不等价的，“呈现性问题”往往追求唯一正确的答案，因而妨碍创造性的发挥；“创造型问题”因其独特、新颖而且富有科学意义而难得见到；中学生的问题意识主要体现在“发现型问题”，是让学生自由探讨、积极思维、大胆地提出问题、揭示问题。尽管这种探索并非每次都有所发现，有所创造；但它激发了学生对问题、现象保持一种敏感性和好奇心，通过批判性思维，形成自己的独特见解。
2.3．问题的提出
波利亚认为，“问题的提出”大致分为三个阶段：
（1）分析问题情境；
（2）看出问题的实质；
（3）用语言概述问题。
分析问题情境是独立认识活动的第一个阶段，由于详细分析了问题情境，明确划出了已知条件与未知条件，才能“看出”问题的本质所在，才能在学生的头脑里产生问题，并继而用语言概述出来。有时候学生提出来的问题只是片段，并不连续，这不是我们所要的，我们所期望的问题要具有发展性，要从全局、发展的立场来构成问题，只要从最初的问题情景开始便可能进行连续的教学活动。
3、问题教学的课堂实施策略
问题性教学的教学形式是教师和学生互相合作来提出问题、解决问题的过程。培养学生的问题意识，除了要有良好的教育教学环境外，还要精心设置问题环境，为学生问题意识从无到有，从少到多的培养提供科学的方法。有人认为，培养学生的问题意识，只要多问几个“为什么”就能达到目的，于是在短暂的时间里给学生提很多问题，而这些所谓的“问题”，多数不具备问题的价值，教师在教学过程中，不能把“问题”强加学生，而要培养学生的问题意识，让他们自己主动提出问题。
3.1营造课堂教学的民主氛围
激发学生问题意识的关键是创设良好的教育环境和气氛，增进教学民主，加强师生交往，鼓励学生质疑问难。青少年学生好奇心强，求知欲旺盛，这正是问题意识的表现，教师在教学活动中要充分爱护和尊重学生的问题意识，师生之间要保持民主、平等、和谐的人际关系，消除学生在学习中、课堂上的紧张感、压抑感和焦虑感，从而在轻松、愉快的气氛中展现个性。有了这样的适宜环境，学生的问题意识就可以获得充分发挥和显示，各种奇思异想、独立见解就会层出不穷。反之，教师对学生大胆的发问、质疑不予重视或视为刁难、捣乱、钻牛角尖，并加以批评、训斥甚至讽刺挖苦，毫无疑问不仅扼杀了学生的问题意识，同时扼杀了学生的创新精神。因此，当学生问“问题”时不能轻视，不能嘲笑，要满腔热情地接受和喜爱学生提出的“问题”。凡是能提出“问题”的学生都要想尽办法进行“合理”地表扬；凡是“问题”中的合理成份，要重在肯定，对不合理成份用积极的态度指正。总之，问题性教学中的课堂是师生平等地面对问题，平等地设法处理问题和解决问题的教学组织形式。
3.2设置问题情景，培养学生的问题意识
(1)联系生活实际，设置问题情景
数学作为基础学科，与我们每个人都有着十分密切的联系，利用人们熟悉的日常生活的例子设置问题情景，引发学生的问题意识。
如在《等比数列求和公式》的教学中，我首先说：“同学们，从今天开始，我愿意在一个月内每天给你100元钱，但在这个月内，你必须第一天回扣我1分钱，第二天回扣我2分钱，……，即后一天回扣给我的全数是前一天的2倍，有谁愿意？”，这个例子具有趣味性，学生顿时活跃起来，对问题产生了浓厚的兴趣。
又如在讲授“面面垂直判定定理”时，我设计了这样的导入语：“建筑工地上，泥水匠正在砌墙（构设情景，吸引学生的注意）。为了保证墙面与地面的垂直，用一根吊着铅锤的绳来看看细绳与培面是否吻合。如此，能保证墙面与地面垂直吗？泥水匠或许不知道其中的奥秘，但你们能不能找到理论依据呢（提出问题，使学生思考）？”从生活情景入手，提出在熟视无睹、习以为常情况下的新问题，可激发学生兴趣，进入良好学习状态。
（2）运用认知冲突设置问题情境。即运用认知冲突形成疑问，创设情境。
如在讲解“线性规划”这个内容时，我的处理方案：
提出问题1：已知，，，求的最值。
学生正常的解法是：将条件中两个同向不等式相加得：故，将第一个不等式化为后再与第二个不等式相加得，于是有。再用最小值6和最大值代回验证发现其实不能取到这两个最值。
这个过程会促使学生反思，使学生发现取6和的是不满足原始条件的，从而形成认知冲突，然后引导讨论、研究，发现了下面的思路：，而由条件有，，两式相加得：，进而解决问题。接着又提出新的问题：
问题2 ：已知，，，求的最值。
学生们在用上面的方法尝试一番后发现对此问题不适用，再一次陷入困境，从而出现新的认知冲突，问题情境自然形成了。
（3）习题教学中，展示原型题，设置问题情景。
习题教学是中学数学教学的重要组成部分。在习题教学中，学生往往容易成为解题的机器，教师出示一题，学生思考后在教师的指导下，解决一题，我们在习题课教学中，改变模式，教师出示的是一原型题，要求学生通过变化产生尽可能多的新问题。
例如:新教材高二（上）P132A组第6题：在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。
引申1: 椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当时，点P的横坐标是_______。
引申2: 椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______。
引申3:若在椭圆 (a>b>0) 上存在一点P，使得，则的取值范围为_______。
引申4:已知椭圆 (a>b>0)，F1、F2是两个焦点，对于给定的角，探求在椭圆上存在点P，使得的条件。
上面由原型题引申出来的4道题有一定的开放性和探究性，完全可以在课堂上采用分小组合作交流、讨论，共同探讨，让教学过程真正达到有效性。
3．3培养学生的提问能力
在问题教学中，学生感到最困难的是不知道从哪里着手来提问题，因此问题的数量和质量均不高。作为课堂教学的组织者，让学生逐渐掌握提问的技巧是问题教学成功与否的关键，我在教学实践中用了以下的方法来提高学生的提问能力。
（1）引导学生对数学基本知识、数学思想方法的提问，培养学生的提问能力。
围绕数学基本知识，引导学生提出下列一些问题：定义，概念是怎样引入（产生）的？它的关键是什么？定理的逆命题、否命题是否成立？公式、法则能否反用、变用？定义、概念、定理、公式在解题中的作用是什么？围绕教学内容，引导学生归纳这一节、这一章有哪些主要的数学思想方法？定理证明中用到了哪些数学思想方法？数学思想方法的解决问题时是如何应用的？
（2）习题教学通过问题变式来培养学生的提问能力。
根据波利亚的“怎样解题”表，通过实例引导学生从以下几方面提问：已知条件是什么？要求的问题是什么？你以前见过它吗？能否提出一个相似的问题？你能否提出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能解决问题的一部分吗？是否需要辅助问题？等等。问题变式是为了实现一定的教学目的，变化问题的条件、情景、思考角度而形成新问题的一种教学策略。
如在讲解轴对称这个内容时，我根据学生的思维特点，做了一个循序渐进的教学设计：
原题：已知直线及同侧两点、，试在直线上选一点，使点到点、的距离和最小。
略解：利用对称思想，将A或B对称到的另一侧，相连即可求出答案。
变式1：如下图（左），请你设计出下列两种方案下的最短行走路线。
方案1：小华由家先去姥姥家，再去河边（河流的上边界所在直线）；
方案2：小华由家先去河边，再去姥姥家。
略解：方案1：（红色折线）；方案2：（蓝色折线）
『注：黑白打印可能看不出彩色』
变式2：如下图(左)，已知表示两条相交于点A的小河，P点是河水化验室，现想从P点出发，先到河取点水样，然后再到河取点水样，最后回到P处化验河水，怎么走会使得路程最短呢？此处要引导学生积极讨论，如学生小王说：“我从P点垂直走向河，取好水后再垂直走向，然后回到点P。” 请同学们想想，对不对？
略解：作点P关于的对称点， 连接，与河相交于点（在该图的条件下是有两个交点的），则即为所求线路（红色折线）。
『注：黑白打印可能看不出彩色』
变式3：如下图（左），在河的两侧有A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，并要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处？(设河宽为定长m)
略解：(1)过B作BC⊥a，且使BC = m；
(2)连接AC交b于P；
(3)过点P作PQ⊥a，垂足为点Q，那么PQ就是桥所在的位置。
变式4：（2006年广州一模第10题）已知，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
略解：答案是D，这道题很好地考查了学生的识图能力，区分度比较好。这题只要将其中一个圆关于直线y=x对称，然后连接两圆的圆心，其延长线交直线y=x于原点，则原点为所求的P 点。
其实还可以启发学生去总结：若求直线上一动点到直线外两定点的距离之和的最小值，要把这两个定点转化到直线的异侧；若求直线上一动点到直线外两定点的距离之差（绝对值）的最大值，要把这两个定点转化到直线的同侧。
3．4师生共同讨论，培养学生解决问题的能力
问题教学的阶段性目的是学生能自主地解决各种数学问题，那么数学问题解决的过程是如何展开的？怎样才能培养学生数学问题解决的能力？下面以《等比数列》的教学为例来说明，数学问题解决过程分为几个阶段：
1．感觉到问题的存在，即让学生感到有某种解决的需要。
师：（1）一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（2）一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。
我们一起来分析一下这两个实例所包涵的数学问题。
生：（1）由尺的长度得到数列：
（2）由报纸的层数得到数列：2，4，8，…，，…
问：以上数列是等差数列吗？它们有何特点？
2．明确问题的各个方面。
学生受到困难或令人困惑的问题环境后，需要探寻其他信息，以明确问题之所在。例如在上面得到的两个新数列后引导学生合作交流，发现数列的本质，明确此新数列的研究与等差数列的研究存在着相似性。引导学生回忆前面学习的等差数列的定义、通项、前项和的公式及其重要性质。
问：那么，你认为从哪几个方面研究这个新的数列？
3．探求问题解决的方法。
在对数学问题有一个整体把握的基础上，让学生间充分地争论，探索问题解决的有效方法和途径，这是解决数学问题的关键。如我们如何来研究给等比数列下定义？如何导出等比数列的通项公式，找到之间的关系？引导学生提出各种不同的方案，通过类比、联想、比较、分析，找到最有效和简单的解决办法。
4．实施计划，即在确定解决问题的方案后，付诸实践，并在过程中对问题解决的方案进行合适的变更，使之更符合现实的问题情景。
5. 回顾反思。数学问题解决后，要对过程进行反思，对结论进行讨论，如符合实际情况吗？还有其它方法可以验证吗？等等。
如问：（1）等比数列的公比可以是任意常数吗？能否为零？首项呢？
（2）等比数列的各项的符号有什么特点？
4、理论总结
问题性教学是培养学生的合作能力与创新思维能力的十分有效的教学方法，成功地实施问题性教学必须运用合理的教学方法，遵循一定的教学原则。在问题性教学中设置的问题必须有利于激发学生的学习兴趣，引导学生积极思维，启动学生的创造性思维。把课堂教学的有效性作为出发点，我认为问题教学应该遵循下面三个原则。
4.1主体性原则
问题教学必须把学生当作实践和知识的主体来对待，充分肯定学生的主体地位，尊重和强化学生的主体性。要遵循这一原则，首先必须充分调动和发挥学生自身的能动性，即主动性和积极性，摒弃那种教师高高在上的姿势，对学生进行强迫灌输，视其为知识容器的做法，从根本上消除学生被动学习的状态；其次，必须充分尊重学生个人的独立人格，培养学生独立思考的能力和习惯，维护和加强学生个人认识的独立性，要敢于并且善于标新立异，使他们真正有自己的独立思想。
4.2．探索性原则
教师的教育、教学活动应富有探索性，为学生创设探索情境，提出探索的问题。通过创设与教材内容有关的情境，让他们在数学情境中产生各种疑问和设想，引导他们在亲身体验中探求新知，开发智力潜能；培养学生独立思考、自行发现问题，并寻求答案的精神。这就要求教师在教学中扩展学生眼界，让学生先用常规的办法理解和解决问题，然后引导他们举一反三，从联想中浓缩精确的结论；开阔学生思路，教师的教育内容应有弹性，给学生留有思考的余地。
4.3．发展性原则
问题是教学活动的归宿。教学活动不仅应以问题为开端和主线，而且还应以问题为终结——教学的最终结果绝不应当是用所传授的知识完全消灭问题，而应当是在初步解决已有问题的基础上引发出更多、更广泛的新问题。这些新问题出现的意义不仅在于使教学活动无止境地进行下去，而且更重要的还在于它能最终把学生引上创造之路，进而成为创造者。
5、思索探讨
5.1.“问题教学”课堂教学模式把教与学，教师的主导作用与学生的主体作用有机地结合起来，让学生在教师创设的问题情境下提出问题并进行独立探索，使教师的教始终围绕学生的学展开，增强学生的参与意识，培养学生发现问题、解决问题的能力。
5.2.“问题教学”课堂教学模式有利于面向全体学生，实施因材施教。探索问题，讨论解法促使每个学生积极思考，即使“差生”在师生的点拨下也能成为学习的主人。学生通过对问题的分析、比较、评价，摆脱了单一模仿的学习方法。这种教法有利于开拓学生思路，能体现个性差异，通过教师与学生、学生与学生多向信息交流，全面提高学生的学。“问题教学”课堂教学模式给学生创设了一种宽松、愉快、民主的教学气氛，能有效激发学生学习兴趣，使整个班集体形成了一种积极向上、生动、活泼的学习氛围。
5.3.“问题教学”课堂教学模式也存在一些问题。由于学生活动量大，教学时间较难控制，运用这种教法刚开始进行教学时，学生提出的问题有时提不到点子上，需要训练一段时间后才能适应。
5.4.新教材以学科的课题研究作为载体，提出了一种新的学习方式——研究性学习。教师指导学生提出研究课题，发动学生参与研究的过程，体会研究的乐趣，同时在实践中根据实际情况不断地提出新的问题。使学生在研究的过程中，形成自主学习、主动探究、敢于创新的学习方式。研究性学习是提高学生提问能力的一种好途径，它有待我们去研究，相信研究性学习必将对“问题教学”产生积极作用。
“问题教学”的教学模式有助于培养学生的主体意识、主动精神，培养学生的合作意识和创造能力，是当前新课程标准下进行课堂教学改革的一种潮流性方式，也是一个很大的课题。在新一轮课程改革中，它不仅仅是科研人员的话题，更需要我们一线教师主动参与，积极探索，让我们在现代教学观念、现代教育理论的指导下，携起手来，以新的观念，积极的心态，让“问题教学”的教学模式成为新课程改革中一个新亮点。
参考文献：
1．数学课程标准
2．《怎样解题》 G 波利亚 编
3．《数学解题思维策略》 安振平 编
4．《浅谈课堂教学中的问题设计》 中学数学月刊 2005.6
附 作者简介：
何智，男，数学中学一级教师，出生于1979年10月，2001年毕业于华南师范大学数学系（本科），同年7月到广东广雅中学工作，03年至今一直在高三毕业班任教。05学年、06学年被聘请为广州市中学数学教学研究会高三中心组成员。
通信地址：广州市西湾路1号 广东广雅中学高三年级办公室
邮编：510160
电话：13694225238
电子信箱：lyhz@21cn.com ( mailto:lyhz@21cn.com )
B
A
PAGE
1
第 页（共7页）空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
邹城市第二中学 孙爱青 邮编 273500
教学目标：
（1） 通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：
（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识
教学重点：
（1）空间向量的有关概念
（2） 空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。
（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用
教学难点：
（1） 空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。
易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用
教学用具：多媒体
教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学设计：
1、（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（矢量，由大小和方向确定）。
（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？
（老师）：通过这个实验，我们发现研究的问题是三个力的问题，但三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其运算”（板书黑板）。
实际上空间向量我们随处可见（同学们可先举）。然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）
2、（自主学习）：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么区别和联系？平面向量的运算法则、运算律空间中适用吗？
（类比学习——学生看书、然后讨论研究了哪些内容，体现类比思想）学生回答所学内容（目的，增强自主学习性））
一、平面向量、空间向量的基本概念
向量概念：在平面上（对比：在空间中），既有大小又有方向的量叫向量；画法：用有向线段画出来；表示方式：或（用小写的字母表示）；零向量：（在平面、空间中）长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；单位向量：（在平面、空间中）模为1的向量称为单位向量；相反向量：（在平面、空间中）长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；相等向量：（在平面、空间中）方向相同且模相等的向量称为相等向量；向量的平移。
二、平面向量、空间向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为；几何意义：如图为为平行四边形的对角线，或三角形ABO中边。减法法则：记为；几何意义：如图中为平行四边形的对角线，方向指向被减向量。
三、平面向量、空间向量的运算律：
交换律，结合律。
四、推广到平面中的多个力的和（首尾相接的多个力的和）、向量构成封闭图形时合力为零。（需要借助图形理解平面向量加减运算及其运算律的意义，体现数形结合思想）。（课件演示）：）：
3、（引导学生归纳总结）用类比（表格）形式对比给出空间向量的相关定义，采用填空形式填写下列有关内容：（课件）
内容 平面向量 空间向量
概念 在平面上，既有大小又有方向的量 在空间，具有大小和方向的量
画法及其表示 用有向线段画出来；表示方式：或 用有向线段AB画出来；表示方式：或
零向量 长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的 长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的
单位向量 平面中模为1的向量 空间中模为1的向量
相反向量 平面中长度相等，方向相反的两个向量， 空间中长度相等，方向相反的两个向量，
相等向量 平面中方向相同且模相等的向量 空间中方向相同且模相等的向量
加法法则 记为，首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（注意展示几何意义的图形及解释） 记为，空间中，首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（注意展示几何意义的图形及解释）
加法运算律 交换律，结合律（图示）可借助图形理解平面向量加减运算及其运算律的意义 交换律，结合律（图示）可借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义
减法法则 记为，同起点的两个向量，差向量连接两个向量的终点，并且指向被减向量。 记为，空间中，同起点的两个向量，连接两个向量的终点，并且指向被减向量。
4、（研讨课件）（1）空间中，任意两个向量是否可能异面？（学生讨论、演示、回答）
（2）平面向量可在同一平面内平移，而空间向量也可在空间中平移。平移后的向量与原向量是同一向量。由此得出：空间任意两个向量都可转化为共面向量。任意的空间中的两个向量，平面向量的结论都适用。（体现转化思想：空间问题向共面问题的转化）。
（3）注意与异面直线（不同在任何一个平面上的两条直线称为异面直线）作好区别。
5、课堂巩固练习：（采用学生做，学生上黑板做题、讲解）
6、探究：（课件）（课本中P92页）结合平行六面体，数形结合，理解空间向量运算的加法交换律和结合律。（学生做、学生讨论、学生回答）
总结为：一般地，三个不共面的向量的和可以与分别以这三个向量为边的平行六面题的对角线建立起联系。
7、思维巩固性练习（快速猜想训练）（课件）训练1、如图,共始点的两个不共线向量的加法满足平行四边形法则.和向量是平行四边形的对角线。请问,共始点的三个不共面的向量满足什么法则？和向量是什么向量？
8、探究练习：
（课件）（1）在平行六面体中,用表示。
（学生讨论、总结——类比、整和、应用的思维方式）
9、（课件）课堂小结：（学生先总结，然后演示）
10、作业P92页1、2；P106页1、2
11、（学生讨论问题：通过学习得到的启示和感想）
O
O
A
B
A
B
C
2、如图，已知平行六面体 ，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：
1、如图，向量 互相平行，标出
训练２：如图,已知 , 那么D是AB的中 点.
已知O为⊿ABC平面外一点,如果
,
那么D在图中⊿ABC平面中的位置为—（重心）——— （类比、应用）
D
C
B
A编号：571111
关于高中新课程数学选修2-3《概率》内容的教学分析
海口市第一中学 钱新一
摘要：高中新课程中的数学选修课，是课改中的一大亮点，克服了旧教材中选修课的形同虚设。如何开设好数学选修课，本文对数学选修2-3《概率》内容（人教版A版）如何教学，从知识要求及变化、重点和难点、教学案例三个方面加以阐述。
关键词：概率;整体定位;课程标准;教学要求;重点和难点;教学案例
一、问题提出的背景
作为信息时代的公民，无论从事什么职业，都会遇到大量无组织的数据和信息，人们需要有处理和解释信息的能力，需要有根据信息做出判断和决策的能力，概率统计知识已成为现代公民知识结构中必备的成分。
一些发达国家很早就在中小学课程中加入概念统计内容，经几十年的概率统计教学，积累了较丰富的经验。相反，这部分内容进入我国中学课程相对较晚，经过1960年、1978年、]1980年、1988年4次变动[1]，才在《九年义务教育初级中学数学教学大纲》中，将“统计初步”列入初中数学必修内容，至此，中学生开始较系统地学习统计知识。2001年，教育部颁布的《义务教育阶段数学课程标准（实验）》中，进一步把“概率统计”作为4个模块之一，分学段地规定了统计教学内容和达到的要求。2003年，教育部《普通高中数学课程标准》（实验稿）中，“概率统计”也是必修课5个模块之一，而且在选修模块中都是文理科学生必学内容，从而概率在中学课程中的地位得以重新确定。
由于“概率”在我国中小学数学教学中起步较晚，在实施新课程实验中，教师亟需掌握“概率”如何教，才能符合新课程标准，符合编写教材者真正的意图。对高中新课程数学选修2-3《概率》内容，本文将从知识要求及变化、教学的重点和难点、教学案例三个方面加以阐述。
二.知识要求及变化
1.整体定位
标准对常用逻辑用语这部分内容的整体定位如下：
学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差及内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念，观察、分析问题的意识。
为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（1）“离散型随机变量”与“样本数据”存在定位上的区别。“离散型随机变量” 与“样本数据” 两者概念不能混为一谈。“离散型随机变量”是由实验结果确定的，“样本数据” 是由抽样方式确定的，导致了两者的差别。应列举实例，加以区别。
（2）通过实例，理解所有的概念，避免过分注重形式化的倾向。
这部分内容的每个概念，都必须运用数学和生活中的大量详实事例引证或推理。教学中不应简单从抽象的定义出发，机械地模仿，得出概念。重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正态分布”的概念。
（3）“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。
首先要认识离散型随机变量的分布列对刻划随机现象的重要性；其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。另外正态分布应用更广泛。通过这些“分布” 的学习，初步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）。但“方法” 和“意识”的培养，仍然离不开实例。
2课程标准的要求
（1）离散型随机变量及其分布列
① 在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻划随机现象的重要性。
②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
（2）二项分布及其应用
在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解几次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
（3）离散型随机变量的均值与方差
通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
（4）正态分布
通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
3、课程标准要求的具体化和深广度分析
（1）如何理解“取有限值的离散随机变量及其分布列” 的含义。
①通过实例比较并体会“离散型随机变量” 与“随机变量” 的区别。
例如：问题1 某人射击一次可能出现命中0环，命中1环，…命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0，1，2，…10这11个数表示。
思考：a、某人射击一次的实验中，可能出现的结果（基本事件）是什么？
b、为什么可以由0，1，……10这11个数字表示实验中可能出现的结果？
分析：因为实验中的可能出现的结果自然的对应着一个实数，根据这种对应关系，我们可以用结果对应的数量表示它。如0表示命中0环，9表示命中9环等。
例如：问题2 某林场树木最高达到30米，林场树木的高度η一个随机变量。
①随机变量η可以取那些值？
②问题1中的命中环数ξ与问题2中的树木的高度η这两个随机变量取值有什么不同？
分析：随机变量η可以取（0，30）内的一切取值，问题1中的随机变量ξ的取值是可以按一定次序一一列出；问题2中的随机变量η的取值是一区间内的一切取值。
总结：通过对问题2的思考分析（问题2随机变量η不作教学要求）突出离散型机变量的取值特征，概括定义，加深对离散型随机变量的理解。
2 注意在离散型随机变量的分布列中，研究离散型随机变量X的可能值，只研究有限个的情况，无限个的情况不研究，这是新课程与传统课程的差别。
另外，还必须掌握离散型随机变量的分布列具有的两个性质：
（1） pi≥0，i=1，2，…，n （2）=1
例如：下面表中列出的是某随机变量的分布列的有（ ）
①
X 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
②
X 1 2 3 4 5
P 0.7 0.1 0.1 0.2 -0.1
③
X 0 1 2 … n …
P … …
④
X 1 2 3 … n
P …
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
解析: 离散型随机变量的分布列要满足两个性质:(1) pi≥0，i=1，2，…，n （2）=1用这个标准去衡量既可得到结果。
①和④是某随机变量的分布列；
②不是。因为不满足性质(1)；
③也不是。因为将概率求和不等于1，不满足性质(2)。答案是B
（2）如何理解“两点分布、超几何分布与二项分布”。
课程标准要求只研究两点分布、超几何分布与二项分布，注意超几何分布的使用条件为不放回地抽取，二项分布的使用条件为在n次独立重复实验中有放回地抽取。
（3）如何理解“离散型随机变量的期望与方差”的概念及其性质。
第一，通过对具体实例的分析，理解离散型随机变量的期望与方差。离散型随机变量的期望与方差反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量X的方差反映了X取值的稳定性。
例如：袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一样个红球则得2分，用X表示得分数，求：
（1）X的概率分布 （2）X的数字期望与方差
解析：（1）由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：
X 0 1 2 3 4
P
（2） EX=0×+1×＋2×＋3×＋4×＝
DX的求值略
注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。
第二，通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望与方差的性质在解决和分析数学问题中的作用，而且只掌握具有三种关系的随机变量的数学期望和方差，三种关系是①具有线性关系的随机变量②服从两点分布③服从二项分布
例如：一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。
解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X∽（50，0.7），η=3X
∴EX=50×0.7=35
DX=50×0.7×0.3=10.5
故Eη=E(3X)=3EX=105
Dη=D(3X)=9DX=94.5
总结：在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题。这样才能避免烦琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
（4）如何正确认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
第一、通过实例，认识正态分布和正态曲线的意义。可以由高尔顿板实验，从频率的角度探究小球的分布规律。以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵标，画出频率分布直方图。随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状就越来越像一条钟形曲线，即正态曲线。从而进一步认识正态分布。
第二，可以用计算机和几何画板研究正态曲线随着μ和σ变化而变化的特点。并结合的解析式及概率的性质，可以发现正态曲线有六个特点和3σ原则。
4 教学要求
（1）标准与大纲要求的对比与说明：
内 容 《标准》目标表达 《大纲》目标表达
离散型随机变量及其分布列 ① 在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
二项分布及其应用 在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解几次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
离散型随机变量的均值与方差 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
正态分布 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 了解正态分布的意义及主要性质，
在具体内容上,标准与大纲有明显区别：
①标准中这部分内容是理科选修内容，大纲要求也是理科选修内容，这是它们的相同点。
②在大纲中要求的“了解”、“会求”在标准中分别变为“通过实例理解”、“能解决”。从知识要求上来看，标准要求较大纲高一些，具体参看上表。
（2）教学要求
①新课标要求本章和统计案例一章约22个课时完成。与原教学大纲比较，约多了8课时；新课程要求学习两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，而原教学大纲只要求学习几何分布不学习超几何分布；新课程要求学习条件概率，而原教学大纲中不要求学习条件概率；新课标要求用定级分表示随机变量在某区间上的概率（即正态曲线在某区间上的面积），而原教学大纲要求利用标准分布表进行有关概率计算。
②研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率。分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。
③教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常用的统计软件解决实际问题。
三、重点和难点分析
1、在“离散型随机变量及其分布列”这一小节中，两点分布、超几何分布、二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位，因此本节内容的重点是离散型随机变量的分布列；由于随机变量与离散型随机变量不同于从前学习函数时遇到的变量，它是按照一定概率取值的变量。按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立随机变量与离散型随机变量的概念，以及对它们有正确的理解；关键是多考察实际例子，通过它们加深对随机试验、随机变量及离散型随机变量的认识，并熟悉它们的分布列。
2、在“二项分布及其应用”这一小节中，由于条件概率、事件的相互独立性这两个重要概念及相关公式，为独立重复试验中的二项分布打下铺垫，因此本节内容的重点为条件概率，事件的相互独立性、二项分布。由于条件概率、事件的相互独立性以前没有学习过，按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立条件概率、事件的相互独立性的概念、公式以及对它们有正确的理解；关键是多考察实际例子，加深对概念公式认识。
3、在“离散型随机变量的均值与方差”这一节中，离散型随机变量的均值（或数学期望）与方差，应着眼于随机现象的整体和全局问题。因此本节内容的重点和难点是离散型随机变量的期望与方差的求法。关键是分析实际例子，通过它们加深对随机变量的数学期望与方差的理解，并能熟练写出随机变量的分布列，根据分布列正确计算随机变量的期望与方差。
4、在“正态分布”这一节中，根据新课标的要求，要认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。因此本节的教学重点是正态分布的意义和正态曲线的性质，难点是要结合指数函数的性质来理解这些性质。突破难点的关键是把指数函数的性质与正态曲线图形结合起来，并配合多媒体手段以增强直观性。
四重点、难点教学案例
条件概率
一、教学目标：
1、 理解条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率。
2、 提高学生推理论证、抽象概括能力，培养学生对数学概念的理解能力和应用能力。
二、教学重点和难点
重点：条件概率的概念
难点：理解条件概率的概念
三、教学设计
（1） 创设情境，导入新课
问题1、3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？
分析：由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为.
问题2、如果已经知道第一名同学没有抽中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
分析：若抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽到用“”表示，因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为A=。由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为（用n（A）表示事件中基本事件的个数），不妨记为P（BㄧA）。
结论：知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，从而导致了P（B）≠P（BㄧA）。
（2） 分析问题，归纳概念
问题3、对于上面的事件A和B，计算P（BㄧA）的一般想法是什么？
分析：在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，即AB发生。对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为
P（BㄧA）=
为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：
P（BㄧA）===
因此有P（BㄧA）=
由于上式已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义。
设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（BㄧA）=
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把P（BㄧA）读作A发生的条件下B的概率。
条件概率的性质：
1、 0≤P（BㄧA）≤1
2、 若B和C是两个互斥事件，则
P（B∪C）=P（BㄧA）+P（CㄧA）
（三）例题示范，学会应用
例1 详见《数学》选修2-3，（人民教育出版社A版）P.60.例1
解析详见同上
例2 详见同上 (P60～61例2)
解析详见同上
(四) 课堂练习,巩固新知
详见同上(P61练习1.2)
(五)小结：本节主要学习了条件概率的概念、公式性质及其应用。
（六）作业
《数学》选修2-3（人民教育出版社A版）P68习题2.2 A组2，4
“概率”这部分内容长期处在被遗忘的角落，教师对这部分内容也生疏，这要求教师数学观和数学教学观要不断改变，如何进行“概率”内容的教学，本文仅是作者个人见解，仅供同行们参考和商榷。
致谢：感谢湖南师范大学昌国良教授对本文悉心指导，
感谢海南省教育研究培训院罗才忠老师对本文指出宝贵意见。
[参考文献]
[1]张福生，邹一心，赵小平。贴近生活，重视应用，强调参与。数学教学，1998，（6）.1
[2]教育部。普通高中数学课程标准（实验）。北京：人民教育出版社，2003。
[3]杨玉东，范文贵。高中数学新课程理念与实施。海南：海南出版社出版发行。2001
[4]人民教育出版社中学数学室编著。教师教学用书（数学第三册（选修II））。北京：人民教育出版社。2004。
[5]人民教育出版社，延边教育出版社联合出版。教案（数学 第三册 （选修II））。2002。
[6]人民教育出版社编著。教学第三册（选修II）全日制普通高级中学教科书。北京：人民教育出版社。2004。
[7]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著。数学（选修2-3）（普通高中课程标准实验教科书）。北京：人民教育出版社。2005。
作者联系方式
作者：钱新一
地址：海南省海口市第一中学（高中部）
邮政编码：570102
联系电话：13198912074 69334745
E-mail：xyqian2006@
第 1 页 共 7 页新课标下的教材观
山东省滨城区第六中学 张新军（256651）
高中数学教材是实现高中数学课程目标的具体体现，是学生籍此学习数学新知识的基本线索和教师赖以实施教学的重要资源，在高中数学课程实施上的重要性是显而易见的。在新课改前，高中数学教材一直被教师和学生奉为“圣经”。如果对数学有什么争论，一定要到教材上找到依据，才能让对方彻底服气。在教学过程中，老师和学生对数学教材上的东西几乎是一点也不敢忽视，生怕漏掉教材上一点点的东西。教师就是要好好地“教教材”，这句话谁都不会说有错。教材版本也单一，仅有人民教育出版社版。在这种背景下，教师把教材当标本，当作扔不掉的拐杖，恪守教材不敢越雷池半步，也就是只能“教教材”。
自从2004年秋季，高中课程实施改革后，高中数学教材也随之进行了改革。参加编写教材的人员，既有教材编写的专家，也有广大一线的高中数学教师和教学研究人员。高中数学教材的版本也呈现多样化，有人民教育出版社A版、人民教育出版社B版、北京师范大学出版社版、江苏教育出版社版等四种版本，随着改革的深入还会出现其它版本的数学新课标教材。编写教材的思路也发生了显著的变化，特别是注重体现知识的发生和发展过程，促进学生的自主探究，有利于改进学生的学习方式，促进学生主动地学习和发展，教材内容设计具有一定的弹性。下面结合我的教学经验，探讨新课标下的教材观。
1. 转变教材观
《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要（试行）》的指导下编写的，是数学学科教育目标的具体化，体现数学学科对学生最起码的要求，是编制高考大纲的依据，是数学教学和培养学生数学素质的主要依据，具有指导性。《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标：知识与技能；过程与方法；情感、态度与价值观。在这种教学过程中，教材仅仅是一种学习工具，是课程标准的具体化，教材内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体，并不要求学生将教材内容全部掌握。由于高中数学教材版本的多样化，高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的教材来命题。因此在处理新课标教材时，首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求。就教材来说，版本不同，对课程标准的理解就有不同，其处理的方式也就不同，因此，在教学中，要深入钻研课程标准、教材、学生，找准三者的连接点。这样在新课改的形势下，教材仅仅是教学的素材，在教学过程中，以教材为依托，把教材当作指导教学的素材和蓝本，创造性地使用、改造教材，最终突破教材，即变“教教材”为“用教材教”，树立“用教材教”的教材观。
2.立足教材
“用教材教”的前提是要研究教材，吃透教材，真正把握教材编写的意图，抓住教学重、难点，找准数学教学的切入点，在此基础上，才能确定教什么、怎样教的问题。特别是对于刚刚走上高中数学教师岗位的年轻人来说，必须首先要做到“立足教材、深入教材”，先从“教教材”开始，深刻分析教材的编写意图，一步步把握数学教材的特点，并在课堂教学中加以实践。因此，对新接触数学课的教师而言，依仗这根“拐杖”总比“摸着石头过河”强得多。
例如：人民教育出版社A版高中数学新课标教材，非常注重学生的认识规律，及学生的学习兴趣，对新知识的引入都是借助实例，这样不仅有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，更能激发学生的求知欲望，集中学生的注意力，提高课堂效率。通过对新课标教材的研究，可以来改变教师脑海中原有的授课模式，发现新问题，采取新方法、新策略，打破旧框框，找到更加合理的授课方法。又例如：人民教育出版社A版必修1中，关于反函数的处理，教材紧扣课程标准，仅要求学生知道反函数的概念即可。如果还是按老教材来处理，那么就会出现“课时不足”的尖锐矛盾。
3. 跳出教材
新一轮基础教育课程改革倡导教师要创造性地使用教材，用“教材教”是一种以学生的发展为本的“人本教学”，教材是“范本”，是“凭借”，相对于“教教材”来说，教师对教材的处理具有了更多的主动性，具体的教学内容需要教师根据学生的特点、学生的基础和学生的需求进行选择、改造甚至创生。教师对待教材要“入乎其内，出乎其外”。
例如人民教育出版社A版必修1中，对数运算性质：loga(M·N)=logaM+logaN。此性质在教材中的证明来的太突然，学生不好接受。选择如下讲解，①先让学生计算：log216、log22、log28；②提出问题：你能发现这三个对数之间的关系吗？学生不难找到log216= log22+log28；③进一步提问，等式中真数之间的关系如何？学生容易找到真数16=2×8；④再进一步提问：你能否推广到一般情况：loga(M·N)=logaM+logaN呢？这一推广是否成立呢？这样激发起学生的求知欲，此时教师可适当引导，让学生自己思考如何去证明。这样不仅解决了这一难点，也给后面性质的证明打下了基础。总之，要让学生自始至终地参与探究过程，以提高学生的创新能力。
立足新教材，并不是完全局限于新教材。若教材不能实现课程标准要求，就需要对教材进行取舍、整合，可作适当的补充，以满足不同学生的发展需要。例如在实例引入时，我们适当增加学生比较好理解的实例，教材跨度大的地方，我们依据学生的情况加入过渡知识。比如人民教育出版社A版必修1中幂函数这一节，明确给出只讨论的情形，而复习参考题（A）组又出现了的情况等等，这就需要教师对教材做出适当处理。又例如人民教育出版社A版必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》2.3节《直线、平面垂直的判定及其性质》一节，可以适当补充三垂线定理，这个证明线线垂直的定理是多么好啊，为什么不能用呢？
认真学习和研究各个版本的教材,依据课标, 把握方向, 找准定位. 例如，二次函数是高中数学中最重要的函数，待定系数法是高中最重要的数学方法之一，二次函数和待定系数法也是高考的热点内容之一，在初中学习过，但是很多学生没有掌握好，没有达到高考要求的标准。人民教育出版社A版必修1教材中没有对二次函数和待定系数法再研究，而人民教育出版社B版必修1教材中，在第二章专门设计了一大节，进行再学习。这样可以根据学生的实际，对使用人民教育出版社A版教材的学校，教师可适当参考人民教育出版社B版必修1对二次函数和待定系数法进行再深入、系统的学习，以达到高考的要求。
开展教学活动的依据，归根结底是课程标准，不管那个版本的教材都是课程标准的具体化，是显性化的课程标准，是我们教育教学活动“木之本、水之源”，从一定意义上讲，课程标准是课堂创生的基础，在新课程改革的进程中起着不可替代的作用。教材帮助教师和学生提出探究活动的目标、任务，使探究活动有的放矢；教材中创设问题及探究情境，激发学生的问题意识和探究欲望；教材为探究活动提供活动参考，降低师生活动设计上的难度；教材为探究活动提供思路，并对活动过程进行指导；教材可以为学生的方案设计提供范例和参考，使学生的探究活动易于实施；教材可以为学生的探究活动提供便捷的记录，增强了过程评价的可操作性；教材可以为学生的课后探究活动提供课题和方向，引领学生课外延续科学探究活动。从教材的以上作用看，它并不是可有可无的东西，决不能把“用教材教”无限扩大化，决不能完全脱离教材、放弃教材，以至于偏离课程标准，使得“用教材教”的观点陷入歧途。因此，提倡的“用教材教”是在对教材深刻把握的前提下，跳到更高的层面上重新审视教材，并结合教学实际情况，创造性地生成新教材、生成新活动。
创造性使用数学教材时，一定要依据学生情况而定。这是创造性地使用教材的核心。教学不仅仅是为了完成教材上的内容，更重要的是教育一个个富有个性活生生的人。我们面对的学生，来自城市与农村，汉族与少数民族，发达地区与落后地区等，他们各有各的特点，就是在同一个班，学生与学生之间也不一样。尽管在新一轮的课改中，要求教材具有多样性，尽可能满足不同地区、不同学校、不同学生的要求，这毕竟只是尽可能。我国幅员那么辽阔，东西部差距那么大，不可能也不能编排出适应每一所学校、每一个学生的教材。就算是选到了最适用的教材，提高教学质量还要取决于教师对教材的感受、理解、把握、创造、实施的质量和效果。创造性地使用教材，必须根据学生的认识水平、心理特征、学习规律而定。由于教材内容的分散性，应根据学生的认知特点、知识的连贯性和综合性、复习的有效性等加强教学内容的有效整合，可以打破必修与选修的界限，打破教材的顺序，使教学具有较强的针对性和实效性。例如，对于必修1中函数的单调性和最值问题，如果借助于导数解决非常方便，把选修中的《导数及其应用》作调整，在必修1函数的单调性结束后紧接学习，可以更好地讨论函数的性质，这样也符合高考的要求即用导数解决函数问题。对教材中放在后面模块中的有些知识，如必修5中不等式的解法，在学习必修1集合的基本运算及函数定义域、值域的求解时，对不等式的解法有要求，可以把必修5中不等式的解法一节作调整，提前进行讲解，以便更好地进行不等式知识的应用。
4.研究新课标教材的编排体系
新课标教材的编排体系较老教材发生了一系列的变化，针对变化我们分析删减及增加的原因，从而更好地把握对知识点的要求程度。由于教材本身容量大，课堂教学任务重，在尽量不增加学生的额外负担的情况下，对重点、难点以及方法、思想做到讲透、讲清，使学生清楚、明白，把方法、思想掌握准。例如人们教育出版社A版必修2第一章和第二章，是立体几何初步，对这部分内容，教材的编排设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，这就要求教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
5.吃透新课标教材的“思考”与“探究
人民教育出版社A版高中数学教材中的“思考”与“探究”是新、旧教材较明显的一个区别，教材中的“思考”与“探究”不仅有助于学生加深对知识的理解，同时对培养学生的发现问题、探索问题、分析、归纳能力有极大的帮助，对此类问题进行深刻的探讨，力争在教学中尽量多地去设计“思考”与“探究”，目的在于培养学生的能力。例如，人民教育出版社A版必修2中3.2.3节直线的一般方程，学习了一般方程后，可让学生思考：①直线的方程共有几种形式？②是否任意直线的方程都有这几种形式？③过点和点的任意直线的方程可以写成吗？这样即加深理解直线方程的形式，又培养学生思维能力。
6.正确把握教材中例题、习题的选取与讲解
教材例题的讲解注重规范、格式化，尤其是学生易出错的地方，跟着感觉走的地方，往往又是题目的关键处。例如学生在用函数单调性定义证明函数f(x)=x3+1在R上是增函数时，作差后，往往根据x1对习题的选择注重针对性，偏难题不选，选择能体现课本主要知识点，体现方法、思想的练习题，同时对课本中部分习题结合学生的知识结构进行适当调整，如人民教育出版社A版必修1教材第一章复习题“B”组最后一题，由于学生尚未学到物理上的知识，放在物理讲过之后再处理，总之，所选题一定符合学生的认知范围。
7.重视现代信息技术和数学教材的整合
随着时代的发展，信息技术已经渗透到高中数学教学中。新课标下的数学教材提倡在处理某些内容时，鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算、解决实际问题，以取得更多的时间和精力去发现和探索数学的规律，培养创新精神和实践能力，也可以使用计算器或计算机帮助学生理解数学概念、探索数学结论。
例如：人民教育出版社A版必修1中幂函数一节，用不同的颜色将幂函数、、、，的图象放在多媒体上，通过观察、归纳、对比，加深学生对幂函数性质的理解和掌握，引导学生积极主动地学习，使学生的数学学习不只限于对概念和技能的记忆、模仿和接受，而让学生学会独立思考、自主探索、动手实践、合作交流。又例如人民教育出版社A版必修4中余弦函数图象和性质这一节，采用让学生类比正弦函数图象和性质，由学生分工协作，在计算机中作出正弦函数和余弦函数的图象，让学生观察余弦函数的图象、类比正弦函数的性质，分析、归纳出余弦函数的性质，以培养学生的自主探索能力。再如人民教育出版社A版必修1教材第一章中的实习作业《函数的发展史》，可以安排有条件的同学从互联网上查找有关信息、资料，其他同学到阅览室查找资料，让学生学会搜集信息、整理信息然后共同整理，对信息进行归纳整理，既培养了团结合作精神，又锻炼了学生的能力。
总之，教师“用教材教”是新课标所要求的，如何做到“用教材教”，更是我们永远研究和探索的课题，也是我们追寻的教学真谛。
参考文献：
1. 史绍典主编：《高中课程方案教师读本》，武汉：华中师范大学出版社，2003年版。
2. 叶尧城主编：《高中数学课程标准教师读本》，武汉：华中师范大学出版社，2003年版。
3. 张德伟 、何晓芳主编：《新课程与教学改革》，北京：北京出版社，2004年版。
4. 张祖春、王祖琴主编：《基础教育课程改革简明读本（修订本）》，武汉：华中师范大学出版社，2003年版。人教A版普通高中数学课程标准实验教材经验交流课教案
课 题：向量的加法运算及其几何意义
汕头一中（515041） 郑晓燕
教材分析：本课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修·人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要，基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。同时也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。
学生情况：学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。为本课题的引入提供了较好的条件。
教学目标：
一、教学知识目标
⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶理解向量加法的运算律
二、教学能力目标：
让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力。发展运算能力和解决实际问题的能力。
三、情感态度：
理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.
教学难点：向量的运算律的理解
授课类型：新授课
教学方法：启发、讨论
课时安排：1课时
教 具：弹簧、橡皮筋、电脑、实物投影仪
教学过程：
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引入向量运算，本节课我们将一起探讨向量加法的定义：
【 环节一 引 入 】
【设计思路】：学生虽然具备一定的物理知识，不过对于合力的定义，同样是高一才开始接触，有必要安排实验让学生再次认识合力的大小和方向，学生经过直观实验的观察和分析，很自然地认识三角形法则和平行四边形法则，为向量的加法定义做铺垫。
准备适当的器材，让学生分组实验讨论：
问题（1）用二个互相垂直的力F1=3，F2=4把橡皮条拉长一定的距离OE，再撤去F1，F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录F的大小和方向
问题（2）改变F1，F2的大小和方向，重复以上实验，探究F与F1，F2的关系（学生代表发言）
结论：排除误差，合力F的方向在以F1，F2的为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形的对角线的长。
问题（3）飞机从点A经过点B到C，两次位移的结果与位移比较？
结论：的结果为，与从A点直接到C点的位移相同
结论：位移和力都可以看成向量，从物理的角度，力F和位移都得到相同的效果，我们把它们称为合力和合位移，从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加。那么根据以上实验结果，我们如何定义二个向量的加法呢？
【 环节二 向量加法定义的探究 】
【设计思路】：对于此环节，比较常见的处理方式是直接给出定义，事实上，学生通过引入环节的活动可以初步认识四边形法则和三角形法则，让学生通过讨论探究选择合适的方式作为定义，能调动学生的积极性，激发学生的思维，同时也让学生在比较讨论中进一步掌握二种方式的特点。
1、关于加法定义的探讨
让学生讨论，怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），学生讨论以后可能会出现以下二个定义方式：
（1）在平面内过同一点O作，，则以OE、EB为邻边构造平行四边形OEBA，则以O为起点的对角线向量即与的和
（2）已知向量，，在平面内任取一点，作，则向量叫做向量的和．记作：，即
．
学生发言完成后，
教师针对方式一提问： 把二个向量平移到什么位置即可做平行四边形？-----共起点
教师针对方式二提问： 把二个向量平移到什么位置------首尾连接
二个向量的和起点是哪个？终点是哪个？
针对二种方式让学生思考那种定义更加严密？仍然分小组讨论后发言，根据学生的回答，教师适当提示，启发学生注意到第一种定义方式对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？教师提示学生考虑：某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和为什么？学生可以很快得出
二个向量共线时； (1) 同向： （2）反向：
同样也满足第二种定义方式，因此用方式2给出出二向量和定义：
二向量加法定义：已知向量，，在平面内任取一点，作，则向量叫做向量的和．记作：，即．求两向量和的运算，叫向量的加法．
C
问题；当二向量中有一个向量为时，它们的和为？
学生根据生活经验马上可以得出： ， 教师从零向量的几何意义说明此结果也同样符合向量的加法定义。
【 环节三 向量加法的二个运算法则 】
【设计思路】：此环节目的为强化巩固以上二个环节，学生通过前面学习探究，已经掌握二个运算法则的关键所在，即三角形法则的“首尾连接”和四边形法则中的“起点相同”，本环节系统概括、适当拓展并且利用适当的练习，帮助学生找出易错点，进一步突出重点。
1、向量加法的三角形法则：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则
例题1：如图，已知向量，，用三角形法则求作向量
教师提示注意点
A 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
B 二个向量共线时向量和也满足三角形法则
练习1：如图：已知向量，用向量加法的三角形法则作出
练习2：下列各式中正确的有 ( )
（1） （2）
（3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C 三角形法则可以推广到n个向量相加的情况：（注意字母必须首尾顺次连接首尾）
练习3：根据图示填空：（1） （2） （3）
（4）
D 位移的合成可以看成是向量加法三角形法则的物理模型
（2）向量加法的四边形法则：
例题2： 如图，已知向量，，用平行四边形法则求作向量
教师通过例题2示范平行四边形的作图过程，并提示注意点：
A 从两个向量的公共始点出发作和向量．即三个向量都共起点
B 力的合成可以看成是向量加法的平行四边形法则的物理模型
【环节四 向量加法定义的运算律 】
【设计思路】： 本环节为本节课的难点，采用启发讨论式教学，让学生分组讨论，教师巡堂指导，学生在尝试证明和对比分析讨论的过程理解二个运算律
教师：向量的加法既然是一种运算，它应该具有一些运算律？请同学们类比实数加法运算律，猜测一下是什么？
学生：交换律：+ = + 结合律：(+ ) += + (+)
师：这仅是猜测，是否正确，请同学们利用下图讨论如何验证？
请同学协作讨论以后写出证明过程，教师投影学生习作，并根据情况进行归纳点评。
【 环节五 应用举例 】
例题3 ：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以每小时5公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时2公里。
（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两位有效数字）
（2） 求船实际航行的速度大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）
【 环节六 小结、课后思考题 】
1. 两个向量的和仍然是向量．
2. 向量加法的三角形法则:第二个向量的起点是第一个向量的终点,和向量是以第一个向量的起点为起点,第二个向量的终点为终点。首尾相接
3. 平行四边形法则:以两个已知向量为邻边作平行四边形,和向量是以两个已知向量的公共起点为起点的对角线所对应的向量．
４．向量加法的二个运算法则
课后探究题
（1）在平行四边形中，，则用、表示向量的是（ ）
A．＋ B． C．0 D．＋
（2）在平面内能否构造三个非零向量 使
（3）是非零向量，则与之间有什么关系？
B
A
D
A
B
E
O
C
B
A
EMBED Equation.DSMT4
E
D
C
B
A
PAGE
1编号：570039
《导数的概念》
海口一中 马丽雯
一、教材分析
导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率
问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度
--→
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点
2、 教学目标
1、 知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、 过程与方法：
1 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
2 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、 情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
3、 重点、难点
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
四、 教学设想（具体如下表）
教学环节 教学内容 师生互动 设计思路
创设情景、引入新课 幻灯片回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出 ：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况 呢？ 引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲
初步探索、展示内涵 根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：结合跳水问题，明确瞬时速度的定义问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？ 提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化 理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点
问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算的值？ΔtΔt-0.10.1-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001……….….…….… 学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二， 帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力
问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049……….….…….… 一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即 数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美
问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？ 引导学生继续思考:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示 学生意识到将代替2,可类比得到 与旧教材相比,这里不提及极限概念,而是通过形象生动的逼近思想来定义时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法
借助其它实例，抽象导数的概念问题五：气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢？ 类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示 积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义
问题六：如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？ 在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数在处的瞬时变化率即在处的导数,记作(也可记为) 引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃；同时提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，又服务于生活。
循序渐进、延伸拓展 例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：）为（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出和②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？③大家是否能用同样方法来解决问题二？④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢 步步设问，引导学生深入探究导数内涵 发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用
变式练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度（2）求物体在t时刻的瞬时速度（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？ 学生独立完成，上台板演，第三次体会逼近思想 目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律
归纳总结、内化知识 1、瞬时速度的概念2、导数的概念3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般 引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师评析，并用幻灯片给出 让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯
作业安排、板书设计 （必做）第10页习题A组第2、3、4 题（选做）：思考第11页习题B组第1题 作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教
附后 板书设计清楚整洁,便于突出知识目标
五、 学法与教法
学法与教学用具
学法：
（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如问题2的处理）
（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如问题3的处理）
（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理）
教学用具：电脑、多媒体、计算器
教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。②导——教师指导、循序渐进
（1） 新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲
（2） 理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义
（3） 例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识
（4） 变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知
六、评价分析
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。
新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。
通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生容易理解；
这样定义导数的优点：
1．避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；
2．将更多精力放在导数本质的理解上；
3．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.
（附）板书设计
§1.1.2导数的概念
一、回顾上节课的思考题
二、瞬时速度的概念
三、导数的概念
四、归纳小结
五、作业安排
电脑投影屏幕
列表
例1 变式练习
函数的瞬时变化率（即导数）
函数的平均变化率
第 6 页 共 6 页对人教版新教材中求二面角大小的两点补充
广东省广州市华南师大附中 周建锋
Tel:020-61023208 Email:
内容摘要：本文针对新教材人教版中用向量法求解二面角大小提出了一些切实可行的具体方法，解决了用法向量求二面角的一个难题，即如何判断法向量夹角与二面角大小之间的关系；对另外一种向量法，引用了空间的定比分点公式，解决了分别在两个半平面内构造两个垂直于棱的向量的问题．
关键词：人教版 二面角
在立体几何中适当地引入向量，对一些问题的求解有着十分重要的作用. 运用向量法思路简洁，可操作性强，与传统方法相比具有不可替代的优势. 用向量法解二面角，通常有两种途径可以考虑：一种是大家所熟悉的用两个平面的法向量的夹角来计算二面角，另一种则是用起点在棱上，分别在两个半平面内且均垂直于棱的两个向量的夹角来计算二面角．
一、用法向量解二面角
用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.
用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？
对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量则应分别垂直于该平面角的两边. 易知，当同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为 . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面（不包括棱）上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.
对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下穿过xOy平面？若是第一种情形，则与所夹的角是锐角，由>0即z>0，只需取法向量的z坐标为正即可；同理，若是第二种情形，则与所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可．若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx平面来确定．
例1 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC==1，M是PB的中点.
（1）求二面角CAMB的大小；
（2）求二面角AMCB的大小.
分析：如图建立空间直角坐标系，则对二面角CAMB而言，是平面AMB的法向量（向内），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy平面，所以与所夹的角是锐角. 对二面角AMCB而言，平面ACM选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴正向所夹的角是钝角.
（1）解：如图三，以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为=(1,0,0), 设平面ACM的法向量为=(x,y,z).
由已知C（1, 1, 0), P(0, 0, 1), B(0, 2, 0)，则M(0, 1, ),
∴ =(1, 1, 0), =(0, 1, ).
由 取z =2，则x =1, y = 1，
∴ =(1, 1, 2). （满足·>0）.
设二面角CAMB的大小为 ，则cos =,
∴ 所求二面角的大小为arccos.
（2）解：选取（1）中平面ACM的法向量=(1, 1, 2)，设平面BCM的法向量为
= (x,y,z).
= (1, 1, 0), = (0, 1, ),
由
取z =-2，则y =-1, x =-1，= (-1, -1, -2)，则，所夹的角大小即为二面角A-MC-B的大小，设为 ，
cos = ， ∴ 所求二面角的大小为 - arccos EQ \F(,3) .
二、用半平面内的向量解二面角
由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图四），起点在棱上且均垂直于棱，易知，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．
但这种方法需要解决的一个问题是：如图四中，B为定点，点A在棱PQ上运动时，如何确定A点的位置，使得⊥？事实上，可设= ·，这样由P、Q两点在空间直角坐标系中的坐标和 ，可以表示出A点的空间坐标，
设P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2), A(x,y,z)，则由= ·可得：
,
∴
再由·=0，解出 的值，即可确定点A的位置，向量自然也就确定了．
例2 如图五，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是BB1的中点．
（1）求二面角E-AC1-B的大小；
（2）求二面角C1-AE-B的大小．
分析：在第（1）题中，只需在AC1上找到两点G、H，使得、均与垂直，则、的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G、H的位置呢？可设= ·，用定比分点表示出G点坐标，再由· =0求出 的值，则G点即可确定，同理可定出H点．第（2）题方法类似．
解：以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0), A(0,1,0), C(1,0,0), B1(0,0,2), C1(1,0,2), E(0,0,1)．
（1）设= ·，则G(, , ),
= (, , ),
= (1, -1, 2),
由· =0 +=0，
解得：，
∴ = ().
同理可得：= ()，·= 0．
、的夹角等于二面角E-AC1-B的平面角．
cos<,> =
,
∴ 二面角E-AC1-B的大小为arccos.
（2）在AE上取点M、N，设= ·，则M (), ∴ = (), = (0, -1, 1),
由·= 0得：= 0，解得： = 1，
∴ = . 同理可求得：= ( 1, , ), · = 0.
∴ 、的夹角等于二面角C1-AE-B的平面角．
cos<, > = ,
∴ 二面角C1-AE-B的大小为arccos().
需要注意的一点是，在= ·中，无论 为何值，A点的运动轨迹都不包含Q点，所以在运用空间的等比分点公式之前，先确认Q点是否正是我们要找的A点，只需看⊥是否成立即可．
图一
x
y
z
O
图二
x
y
z
图三
图四
图五
x
y
z
G
H
图六
x
y
z
M
N
图七
A
B
P
Q
PAGE
5编号：570005
例谈解题教学中的空白艺术
海南省海口市第一中学 刘剑梅 项东阶 570102
新课标中倡导积极主动、勇于探索的学习方式，在课堂教学究竟如何实施呢？笔者认为在课堂教学中教师要给学留下适量的时间让他们自己去发现问题和解决问题。笔者在教学中进行了一些实践与探索供大家参考。
1、背景：笔者连续带高三文科班几年。每次高考成绩都很理想。学生对我的评价：说我与其他老师最大的区别是留的空白时间较多。便与他们吸收或进一步思考。培养了他们良好的思维习惯，同时对学数学不再畏惧。而是越来越喜欢，因为见题就思，思有所得。得即成就也！另外，在高中二次函数，方程，不等式是一大数学等思考，也是我们高三复习的重点…
2、案例
本节课是高三后期复习中结合性教强的例题。例：已知，，.求的取值范围.
2.1审题留空白
乍一看题,学生似乎傻了眼.刚刚复习二次方程根的分布,此题与”根的分布”有何联系 眼看不能留太多空白时间.老师启迪:题设关键是什么 一生回答: .其代表的几何意义又是什么 学生讨论回答:(1)两曲线有交点.(2)两曲线有交点且至少有一交点横坐标,留2-3分钟时间思考讨论并定夺(2)为准确立意.
2.2题意等价转化留空白
学生自己动手化简题设与结论.
由 在上有解.大部分同学正确,少部分同学私下辅导.
2.3 初次运算求解留空白
鼓励学生用我们所学的知识开始求解,学生的做法中大致有如下几种:
(1) 少数同学:直接求根.再由.解不下去了.
(2) 大部分同学:开始画函数的图象.有的画了一图.表示二根均在内,有的学生画了二图.其意表示恰有一根在内或二根均在内.
2.4 学生板演留空白
展示学生自己的成果.学生受到关注,感到欣慰.老师请上述解法的3位同学代表在黑板上板书.下面同学观察思考,也可以继续行使在自己的思维轨道上.
2.5学生评价留空白
请一二位学生上台评价:求根中含根号不易解不等式,只画一图审题不细致.因为原方程在上有解.没有说二解,一解的情况.所以要深刻理解题意.
2.6老师评讲归纳后留空白
老师先肯定板演同学及上台评价同学的勇气和思考价值,并和同学一起将正确的解法完整,暴露以及错解之教训.让学生在空白时间内细细体会求真之必要.同时再让同学观察思考本题,注意本题特征,看有没有其他的解法.
2.7 在总结与反思中留空白
一节课完了，有经验的教师课尾一定会设置空白，让学生有回顾与升华所学知识的时间，激起学生进一步探究的渴求心理。可已结束，而学生的思维活动却在持续，一曲弹罢，绕梁三日不绝，这是课堂的最佳境界。
本节课尾，我留时间给学生小结反思，学生在领悟了通性通法之后，再反思具体问题中的解法。有的学生观察中方程二根之积.要使方程在内有根,只需方程有根且二根均为正根.则可保证至少一根在上. ∴ 还有学生观察到 ∵ ∴.且二根为正. ∴ .
殊不知,不留时间空白,这么精彩独到的解法从何而来,师生一起收获的喜悦又如何共同分享.
总之，恰当的设置空白，对提高课堂教学效果，培养学生思维能力有着不可忽视的重要作用，它不仅是一种教学手段，更是一种教学艺术，笔者的看法只是一孔之见，有待于进一步的探索与修正。教学设计案例
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（高中必修4人教版（A））
宁夏银川唐徕回中 曹敏
一、教学任务分析
在前面学过的向量的线性运算的基础上，以物理中功为背景引入向量的另一个运算——数量积。教科书以物体受力做功为背景引入数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有的知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。
在建立了数量积的概念后，进一步探究了有关的特性、几何意义和运算律。使学生在探究中加深对有关概念、性质的理解和运用。
二、教学重点、难点
重点：平面向量的数量积的概念和特性；平面向量数量积的运算律的探究及应用。
难点：平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解，平面向量数量积的应用。
三、教学情景设计
教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，即向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量，并且这些结果都有明确的几何意义，即是一些与平行四边形的边、对角线、三角形的边以及平行、共线有关的向量。下面我们一起思考这样一个问题。（出示思考问题）
[情景1]
思考：既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能的话那运算的结果又会是什么呢？
[设计意图]
由加减联想到乘法这是个很自然的问题，明确本节课的任务，激发学生的探求欲望。
[情景2]
问题 如果一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功w等于多少？
[设计意图]
以物理问题为背景，使学生从中受到启发，为引入向量的数量积的概念做准备。
[师生互动]
生： 其中θ是F和s夹角。
师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？
互动：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一个启发：能不能将功看成是这两个向量的一种运算的结果呢？为此，引入平面向量的“数量积”的概念。
[情景3]
仿照“功”的概念引入平面向量数量积的概念；并对概念进行有关认识、分析和探究。
[设计意图]
1、在学生已有的物理中“功”的概念的背景下，建构数学模型，引入平面向量数量积的概念，突出物理背景的意义，便于学生自然过度和理解。
2、通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，认识、掌握有关的特性及几何意义。
[师生互动]
1、首先仿照物理问题构建数学模型。对照功的表达式写出类似的平面向量的表达式，引出平面向量数量积的概念：把数量称为与的数量积，记作： 即=（其中θ为与的夹角）。对于定义中的“非零向量” 的要求为了建立对任意向量的数量积的概念，规定： （其中为任意向量）
2、讨论数量积的运算与前面三种线性运算的区别（运算的结果是数量而不再是向量）。
3、研究数量积运算结果的符号取决于与的夹角。
4、探究特性：
①（θ=时的情况）（、为非零向量）
此处可与实数进行对比：对时而
此特性给我们提供了证明有关垂直问题的一个很好的方法。
② 此特性给我们提供了很好的求长度的方法。
5、投影的概念。为研究数量积的几何意义作准备。讨论：投影一定是正数吗？
师生共同完成例1，加一问：求在方向上的投影并作图。
6、数量积的几何意义。使学生明确数量积的运算结果其实就是有关投影的倍数。联系引入部分“功”的概念不难理解它是力F在位移s上的投影与位移大小的乘积。
[情景4]
运算律和运算是紧密相关的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。
[设计意图]
通过类比、探究使学生对数量积的概念有更深的认识，进一步培养学生严谨的学习态度和研究问题的能力。
[师生互动]
①师生共同回顾实数运算中有关乘法的运算律。请学生自己先写出有关的运算律：Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
根据上面的运算律，类似的改写出相关的数量积的式子：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
引导学生探究上面运算律的真假。学生易得Ⅰ真。对Ⅱ的真假可由学生自主讨论，然后通过交流达到统一认识的方法进行，得到Ⅱ是假命题。对三个向量间的结合律不成立，若两个向量一个实数情况会怎样呢？引导学生讨论：
的真假。由数乘运算的特点就＞0；＜0；=0分别研究讨论不难得到其的正确性。
对Ⅲ的真假探究可采用分析法引导学生进行：要探究的真假，由数量积的概念即探究（其中、、分别是与、与、与的夹角）的真假。若显然成立，若即探究的真假。根据投影的概念可知即探究、、在方向上的投影之间的关系，利用多媒体动画演示易得证。
从而探究出数量积的运算律：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
②师生共同完成例2、3、4。
[情景5]
小结部分：让学生回顾总结本节课的学习内容及研究、解决问题的方法。
[设计意图]
使学生整理相关内容，体会所学知识的引入基础及研究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考、解决问题的能力。
四、课后反思
本节课以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算。知识系统完备，使学生很好的体验了知识的产生、发展和完善的全过程，有利于培养学生分析、思考、解决问题的能力，为进一步形成良好的数学思想、数学思维奠定基础。采用多媒体辅助教学使教学效果和教学内容的容量充分的得以体现和展示，提高了课堂效率，取得了较好的教学效果。针对教学班级学生的具体情况可在后面的例3、4中作删减。
在难点运算律的探究中，应注重主次之分，不必面面俱到。如：对Ⅱ的真假探究应充分使学生展开讨论，目的是使学生加深对数量积以及前面所学数乘运算概念的理解。对的真假的探究则点到为止，留为课后作业。对Ⅲ的探究同样追求解决问题的思路，落实到投影的概念上后利用多媒体动画演示即可不必花费过多时间以免冲淡主题。
PAGE
1编号：570009
运用科学计算器进行数学实验的可行性初探
海南中学 莫礼安
数学规律和结论都是抽象的结果，抽象是反映具体事物共性的方式。共性来自于比较，而比较的原始出发点是观察和实验。数学实验是人们根据数学研究的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，并对其实行观察和研究的一种方式。数学实验可以把一些较为复杂的问题变的直观化和简单化，有利于问题的解决。而数学实验主要工具有计算机、图形计算器、学生专用科学计算器等，而科学计算器将成为高中数学实验最主要工具，以下从两大方面进行阐述：
（1）可普及性
由于图形计算器的价格昂贵，要想大面积普及是相当困难的；计算机虽然能普及到各个学校，但是扩招后学生过多，计算机较少的问题也很难解决，而学生操作计算机进行数学实验、尝试解决实际问题的机会不多，一般都是“教师操作，学生观看”的被动接受教学模式居多，有些学校干脆连教师操作都省掉，更别说学生动手操作，实在违背“注重培养学生动手操作能力”的新课程理念；而学生专用科学计算器则不同：学生专用计算器价格一般在25至50元左右（学生买得起），各文具店内均有销售（买得到），以“深南雁Lf-118B型计算器”为例，其价格为25~30元，而且简单计算器的操作简单、易学，教学中遇到处理数据、建摸等方面的许多问题都可以依靠操作学生专用计算器来完成。学生专用计算器作为一种简单运算工具，不仅可以给我们带来方便（减少繁琐的手算，高效率的解决问题），还能把我们带到另一个思维空间，用新的思想方法探究一些复杂的数学问题。这样通过过程设计，操作实验，由好奇心逐渐转变为一种探索精神，使学生真正体会到现代科技给人类带来的好处。
（2）可操作性
以人教版A版《必修3》统计、概率的有关内容为例进行说明：（以下操作方法均以“深南雁Lf-118B型计算器”为例）
《必修3》统计：利用计算器求具有线性相关关系的两个变量之间是回归直线方程
例：“我家小卖部”最近遇到的一个小的难题：前天因为最高气温高达37，生产的200杯珍珠奶茶下午就全部买完，晚上无货供应；因此昨天加大生产量，生产了250杯，谁知“天公不作美”，昨天降温，最高气温26oC，只买了102杯，剩下全部报废，妈妈损失不小。如果气象台预测明天：最高气温35，估计应该生产多少杯比较适合呢？就读高中的你能根据下列7天的有关数据利用数学知识帮助“妈妈”做出相对合理决策吗？
最高气温 20 24 22 31 29 27
销售数量 48杯 83杯 56杯 197杯 158杯 121杯
分析：本例的实质是根据统计数据建立气温与销售量之间的线性回归模型：，并利用回归方程进行预测，而求回归方程只需确定两个参数a与b，
解：问题中要求根据气温预报销
售量，因此选取气温为解释变量x，
销售量为预报变量y，作散点图：
从图中可以看出，样本点呈条形
分布，气温与销售量之间有较好
的线性相关关系，假设线性回归
方程为
下表是利用计算器计算两个参数a与b的步骤：
表1：
步骤（按键过程） 屏幕显示 “显示”说明
2ndf MODE MODE？0~2 进入统计模式按0退出统计模式，按1进入含一个变量的统计模式
2 stat xy 0 按2进入两个变量的统计模式（xy表示两个变量）0表示输入的数据为0组
2ndf DEL stat xy 0 清除以前统计运算中保存的有关数据
20 ， 48 M+ n=1 第1组数据（20，48）输入成功
24 ， 83 M+ n=2 第2组数据（24，83）输入成功
22 ， 56 M+ n=3 第3组数据（22，56）输入成功
31 ， 197 M+ n=4 第4组数据（31，197）输入成功
29 ， 158 M+ n=5 第5组数据（29，158）输入成功
27 ， 121 M+ n=6 第6组数据（27，121）输入成功
RCL a a=-240.944 RCL表示统计运算表示统计运算参数a=240.944
RCL b b=13.782 表示统计运算参数b=13.782
所以线性回归方程为
当时，
所以当最高气温为35 oC时，估计应该生产242杯比较适合。
《必修3》概率（教材P133-144）利用计算器模拟概率
例3、在图3.3-3的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与正方形中的豆子数之比并以此估算圆周率的值。
教前说明：（1）产生0~1之间的随机数:输入 2ndf RANDOM 后，每按下一次等号“＝”可出现一个随机数
（2）产生0~2之间的随机数: 输入 2 ╳ 2ndf RANDOM 后，每按下一次等号“＝”可出现一个随机数
（3）产生-1~1之间的随机数: 输入 2 ╳ 2ndf RANDOM － 1后，每按下一次等号“＝”可出现一个随机数
解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，“落在圆内的豆子数与落在正方形中的豆子数之比”近似等于“圆的面积与正方形的面积之比”，即
假设正方形的边长为2，则圆的半径为1，即
因为落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以：
这样可以得到的近似值。
用计算器模拟上述过程，步骤如下：
（1）如图3.3-4建立直角坐标系：
（2）产生两组-1~1之间的均匀随机数：
即表示正方形区域，
当 ，即时，表示豆子落在圆内
利用产生N个随机数，数出小于1的随机数的个数N1，计算
计算器操作过程如下：
（ 2 ╳ 2ndf RANDOM － 1 ） x2 － （ 2 ╳ 2ndf RANDOM － 1 ） x2
输入完毕后，每按下一次等号“＝”可出现一个随机数，既进行一次实验
下面进行了100次实验数据：（表2）
0.011 0.448 0.054 0.638 0.141 1.090 0.936 1.542 0.701 1.634
0.349 0.901 0.030 0.380 0.006 0.147 1.431 0.383 0.037 0.867
0.969 1.932 0.541 1.391 0.370 1.095 0.129 0.911 0.012 0.449
0.040 0.018 0.183 0.469 1.613 0.409 0.866 0.039 0.582 0.304
0.500 0.145 0.159 0.002 0.652 0.064 1.715 0.484 0.969 1.007
1.368 0.104 0.286 0.036 0.437 0.004 0.818 0.882 1.551 0.507
0.008 0.185 0.295 0.011 0.159 0.054 0.638 0.141 1.090 0.118
0.373 0.199 1.598 0.349 1.577 0.030 0.110 0.754 0.007 0.147
0.055 0.381 0.207 0.865 0.182 1.188 0.114 0.448 0.543 0.638
0.141 1.092 0.936 1.542 0.304 0.500 0.393 0.145 0.133 0.110
共有82个数字小于1,即落在圆内的豆子数为82个,
（随着实验次数的增加，的近似值的精度会越来越高）
例4、利用随机模拟方法计算图3.3-5中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积。
分析：在坐标系中画出矩形EFGH（x=1，x=-1，
y=1和y=0所围成的部分），可知：矩形EFGH的面积为2，
如何利用随机模拟的方法求出阴影部分的面积呢？
解：如图3.3-6，阴影部分内的任取一点B（x1、y2），过B作x轴的垂线交抛物线于点A（x1、y1），在BA的延长线上任取一点C（x1、y3），则点A在阴影部分（抛物线）内，点B在抛物线y=x2上，点C在阴影部分（抛物线）外，则有y30时，点P在抛物线内。
产生0~1之间的随机数y=RANDOM和-1~1之间的随机数
若：RANDOM ->0,则表示样本点落在阴影部分内
利用产生N个随机数，数出小于0的随机数的个数N1，计算：（随着实验次数的增加，面积的近似值的精度会越来越高）
计算器操作过程如下：
2ndf RANDOM － （ 2 ╳ 2ndf RANDOM － 1 ） x2
输入完毕后，每按下一次等号“＝”可出现一个随机数，既进行一次实验
下面进行了100次实验数据：（表2）
0.447 0.815 0.694 0.105 -0.592 0.290 0.650 -0.217 -0.798 0.206
0.556 -0.598 0.410 0.151 0.550 -0.116 0.213 0.258 0.647 0.645
-0.035 0.315 0.693 0.356 -0.334 0.320 0.688 0.015 -0.685 0.274
0.631 -0.159 -0.743 0.177 0.524 0.037 -0.556 0.028 0.365 0.183
0.579 -0.171 0.155 0.277 0.663 0.578 -0.105 0.321 0.696 0.275
-0.417 0.313 0.679 -0.077 -0.785 0.254 0.609 -0.105 -0.691 0.144
0.489 0.078 0.482 -0.016 0.318 0.211 0.605 -0.229 0.095 0.293
0.676 0.507 -0.178 0.324 0.679 0.192 -0.503 0.303 0.666 -0.173
-0.856 0.232 0.584 -0.054 -0.643 0.109 0.451 0.116 0.517 -0.064
0.267 0.236 0.627 0.709 0.031 0.306 0.686 0.433 -0.255 0.323
共有72个数字小于0,即落在阴影部分内的随机数有72个，
（随着实验次数的增加，面积的近似值的精度会越来越高）
例如做1000次实验，即N=1000，模拟得到N1=689，则S≈1.378
而利用定积分的知识可以精确得到：
总之，数学实验是学习过程中的一种尝试活动，许多复杂的数学问题的解决，一般都不是立即想出来的。学生在解答数学问题的过程中，经常是经历多次的尝试活动，通过计数器进行实验更能从中寻求解题的可能性和发现解题的突破口，在图形计算器几乎不可能普及的情况下，简单科学计算器体现了不少的数学实验（除绘图和编程），集中了课堂教与学中对一些数学问题进行研究所必需的计算与实验。教师掌握简单科学计算器计算器技术，不仅能更好地改进教学模式，使得每一位学生参与数学实验，更能提高教师的教学科研水平。简单科学计算器必将会普及在课堂教学中实施素质教育，让学生充分参与教学过程，在自主的探索性的学习中，更好地发挥它的作用。
图3.3-5
E
F
G
H
PAGE
5编号：569999
人教A版高中数学选修2－1 教学研究
邢福凯 邹志华 吴公强
一、教材的鲜明特点
由人民教育出版社、课程教材研究所与中学数学课程教材研究开发中心编著、人民教育出版社2005年6月第1版出版的高中数学选修教材，必选系列2-1的特点是思考导学、探究引路，题例编排由浅入深，语言表述简洁，围绕课程标准要求的三维教学目标逐步展开，教学知识要点、重点突出。注重知识间的横向、纵向的联系，螺旋式提升学生认知能力与知识结构，使学生通过观察、分析问题，开动脑筋形成知识链。探究创新能力的培养体现在章节知识的全过程。教材贴近学生、贴近现实生活，呈现课标，能够激发学生的学习兴趣，便于学生自学，该系列教材是使学生学起来感到轻松的好教材。
二、对本册教学内容的分析与理解
常用逻辑用语（约8课时）
一、知识要求及变化
1、整体定位
根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握常用逻辑用语的要求，首先需要明确整体定位。标准对常用逻辑用语这部分内容的整体定位如下：
“正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。”
为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（1）“常用逻辑用语”和“简易逻辑”存在定位上的区别
“常用逻辑用语”的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好的理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，避免在使用过程中产生错误。高中数学课程中，学“常用逻辑用语”不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，这与“简易逻辑”的目标不同，这一点需要老师们特别注意。
（2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向
常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用。事实上，在高中阶段，没有必要形式的理解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义。重点是理解常用逻辑用语在认识和表达数学中的作用。
（3）“常用逻辑用语”的学习重在使用
对于“常用逻辑用语”的学习，不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后继的数学学习中。因此，“常用逻辑用语”的学习重在使用，在使用中不断地加深对于常用逻辑用语的认识。
2、课程标准的要求
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
（2）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词：“或”“且”“非”的含义。
（3）全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
《标准》对“常用逻辑用语”的要求，既是阶段性要求也是终结性要求，正确的使用常用逻辑用语，不仅是学习这一部分内容的要求，而且还需要在今后的学习中，通过不断的正确使用常用逻辑用语，加深对常用逻辑用语的认识。
有兴趣选修 “开关电路与布尔代数”的同学还会接触到有关命题的一些知识，了解“命题演算”是布尔代数的一个具体模型。
3、课程标准要求的具体化和深广度分析
（1）如何认识“命题”的含义
对命题的认识我们不从一般的定义出发，而是通过实例了解“命题”，这些实例都能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，并且能判断真假。
例如：
①若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形。
②三角形内角和等于１８００。
③x>3.
①明确的给出了条件和结论，并能判断真假。②虽然没有明确的给出条件和结论，但是能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，即如果三个角是一个三角形的内角，则这三个角的和等于１８００。③不能判断真假，所以它不是一个命题。
（2）如何认识“了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”以及“会分析四种命题的相互关系”的含义
“了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”是指：
对给定的具体命题，可以写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并可以判断出它们的真假。
“会分析四种命题的相互关系”主要包括两部分内容：
第一，通过实例的分析，总结出表示四种命题之间的基本关系的图示。
第二，知道原命题与其逆否命题是同真同假的，原命题的逆命题与原命题的否命题是同真同假的，通常我们说他们是相互等价的。
（3）如何认识“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义”
可以从以下两个方面来把握标准的要求：
第一、通过对具体实例中条件之间的关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义。
例如，通过分析下列条件p与q之间的关系，来理解必要条件的意义。
p：四边形是正方形，q ：对角线相互垂直平分。
分析：“若四边形是正方形，则对角线相互垂直平分”是一个真命题，它可以写成
“四边形是正方形” “对角线相互垂直平分”
即p q。
总结：“若p则q ”为真命题是指：当p成立，q一定成立。换句话说，p成立时一定有q 成立，即p q ，这时，我们就说q是p的必要条件。
p q 可以理解为一旦p成立，q 必须要成立，即q对于p成立是必要的。也就是说，只要p成立，必须具备条件q。
第二，通过具体实例理解充分条件、必要条件和充要条件在解决和思考数学问题中的作用。
在数学中，寻求充分条件是一件很重要的事情。特别是在引入新的数学对象后，常常需要判断一个对象是不是我们引入的新对象。
例如：
①在引入平行四边形后，就需要寻找判定一个图形是不是平行四边形的条件，一组对边平行且相等就是判定一个四边形是平行四边形的充分条件。用命题形式表达就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
②在引入方程的解的概念后，需要寻找判定方程有解的条件。像这些条件都是充分条件。对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，f(a) f(b)<0就是判定方程f(x)=0在区间[a,b]内有解的充分条件。用命题形式表达就是：对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，若f(a) f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]内有解。
通常我们把上面的命题称之为判定定理。判定定理中的条件是给出判定一个事物的充分条件。
寻求必要条件也是数学中一件很重要的事情。在数学中，常常要确定一个对象的某些性质。特别是在引入新的数学对象后，常常需要研究这个对象具有什么性质。
例如：
①在引入平行四边形后，就需要研究平行四边形所具有的性质；对角线互相平分是平行四边形的一个性质。用命题形式表达就是：平行四边形的对角线互相平分；
②在引入连续函数的概念后，就需要研究连续函数的性质等。有界、取到最大最小值等是闭区间上连续函数的性质。用命题形式表达就是：闭区间上的连续函数有界、取到最大值和最小值。
通常我们把上面的命题称之为性质定理。性质定理中的性质是给出判定一个事物的必要条件，当然，它仅仅是从某些方面反映了事物的特征。因此，必要条件可用来区别一个事物与另一个事物。
在数学上，找到一个“事物”的充分必要条件是特别重要的一件事情，它可以帮助我们从不同的角度，全面地反映同一个“事物”的面貌。在历史上有很多非常重要的充分必要条件的结果。
例如：
①勾股定理。
勾股定理中的“”是直角三角形的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形。
②两条直线垂直的充要条件。
两条直线的方向向量的数量积等于零是两条直线垂直的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以利用向量的代数运算来研究几何中的垂直问题。
③一元二次方程有解的充分必要条件。
判别式 是一元二次方程有解的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以定性地研究一元二次方程的解。
一个事物的充分必要条件会给我们讨论问题带来很大的方便，给我们提供了全面刻画事物的另外一个角度，甚至可以帮助我们开拓新的研究方向。
（4）如何认识“通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”的含义”
可以从以下五个方面来把握标准的要求：
第一，认识逻辑联结词“或”、“且”、“非”是构造新命题的逻辑用语，利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结具体命题来构造新命题，通过分析这样构造出的新命题的真假，来理解“或”、“且”、“非”的含义。
例如：对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断新命题的真假。
（1）p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；
（2）p：π＞3，q：π＜2。
分析：
由（1）可得新命题：“12是3的倍数且12也是4的倍数”；
由（2）可得新命题：“π大于3且π小于2”。
在得出的新命题中，“12是3的倍数且12也是4的倍数”是真命题，“π大于3且π小于2”是假命题。
概括：
从上述例子可以看出，可以用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”。当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”就是真命题；当两个命题p和q之中，至少有一个命题是假命题时，新命题“p且q”就是假命题。
第二，了解在数学中也可以用逻辑连接词“且”与“或”联结一些“条件”，形成一个新的条件。
例如：“”且“”表示的是“” ； “”或“”表示的是“或者，或者” 。
第三，只要求用“或”、“且”把两个命题合成一个命题，不要求要把一个“复合”命题进行“分解”。
例如：“高一一班全体同学考试合格”，这是一个非常明了的命题，实在没有必要说成“高一一班的张三考试合格且李四同学合格、且…”。
第四，“非”的含义就是对“命题的否定”。标准不要求一般的讨论“命题的否定”，而要求通过具体的实例体会“命题的否定”的含义。标准只要求能正确地对“含有一个量词的命题”进行否定。
例如：
①所有的正方形都是矩形；该命题的否定是：存在一个正方形不是矩形。显然原命题是真命题，其否定是假命题。
②所有的一元二次方程都有实数解；该命题的否定是：存在一个一元二次方程没有实数解。显然原命题是假命题，其否定是真命题。
③至少存在一个锐角使得sin=；该命题的否定是：每一个锐角都使得sin。显然原命题是真命题，其否定是假命题。
第五，通过一些具体的实例来理解命题否定的作用。
命题的否定常常可以帮助我们证明一些结论。
例如：在②中，为了说明原命题是假命题，只需要找到一个无实数解的一元二次方程即可。这就帮助我们证明了原来的命题是错误的。这是数学中常用的一种思考和解决问题的方式。
（5）如何理解新增内容——“量词”的要求
第一，结合具体命题来理解全称量词、存在量词的意义，了解全称量词和存在量词在日常生活和数学中的各种表达形式。
例如：可以结合下面的具体命题来理解全称量词的意义。
(1)所有正方形都是矩形；
(2)每一个有理数都能写成分数的形式；
(3)一切三角形的内角和都等于1800
(4)有些三角形是直角三角形；
(5)如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数；
(6)存在一个实数x，使得x2+x-1=0
在以上命题的条件中，“所有”、“每一个”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词;“有些”、“至少有一个”“存在”等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词。
通常，全程量词的表达形式有“所有”、“每一个”、“一切”“任何一个”“任意一个”等，存在量词的表达形式有“有些”、“至少有一个”“存在”“有一个”、“至少”等。
第二，通过生活和数学中的丰富实例，体会“量词”在数学中和日常生活中的作用。
全称量词、存在量词是数学中和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语。大量的数学命题都要使用这样的逻辑用语。
例如，每一个等腰三角形的两个底角相等，过直线外一点存在唯一的一条直线与该直线平行，就使用了全称量词和存在量词。
在大学的学习中，对数列极限的概念的刻画，就需要多次使用全称量词和存在量词。对于每一个数列，如果存在一个常数A ，对于任意（所有）的，存在一个N ，对任意（所有）的n（n>N），都有 ，则称A为数列的极限。在日常生活中，这样的例子也很多。
第三，标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题。不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题。对于命题的否定，只要求对含有一个量词的命题进行否定。
例如，对于北京市任何一所高中，都至少有一个学生能跳过1米5的高度。
在这个命题中，有两个量词“任何一所”、“至少有一个”，对于这样的命题，不要求学生理解和掌握，也不要求对这样的命题进行否定。
4．教学要求
（1）标准与大纲要求的对比与说明
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
命题及其关系 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系. 掌握充要条件的意义，理解四种命题及其相互关系.
简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
全称量词与存在量词 ① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
在具体内容的要求上，标准与大纲有明显的区别。
①标准中这部分内容是选修内容，大纲要求为必修内容。但大纲与标准对文理科的要求都是相同的。
②大纲中要求的“两个理解”、一个“掌握”在标准中分别变为“通过数学实例了解”、“会分析”和“理解”。从知识要求上来看标准要求较大纲低了一些，具体的要求参照前面的论述。
③与大纲相比，标准新增了“全称量词与存在量词”。具体的要求参照前面的论述。
（2）教学要求
1）基本要求
①突出实例，淡化形式
在本部分内容的教学中，要通过具体实例来帮助学生按标准要求了解或理解常用逻辑用语，并学会正确使用逻辑用语，避免形式化的讨论。因为本部分内容不是为逻辑学和数学逻辑奠定基础，而是学习正确的使用逻辑用语来清晰的表达数学内容。
例如，对于一个具体命题，理解它的否定命题的真假并不难。但是，对于一般形式的命题“若p则q”，认识这个命题否定的含义就比较困难，因此不要求形式的讨论这类问题。
②注重联系，强调数学本质
在这部分内容的教学中，应以学生已经学过的数学内容为载体，帮助学生学会正确的使用逻辑用语，加深对已学过的数学知识之间的逻辑联系和数学本质的认识。
例如，在充要条件的教学中，可以勾股定理和直线斜率的刻画为具体实例。
勾股定理反映了三角形三边之间的一种特殊关系。这种特殊关系是刻画直角三角形的一个充分必要条件，有了这个条件，我们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形。
两条直线的方向向量的数量积等于零是刻画两条直线垂直的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以利用向量的代数运算来研究几何中的垂直问题。
③重视使用
在今后教学过程中，要结合具体数学内容不断的使用常用逻辑用语，加深对相关数学内容的认识。
例如，在用导数研究函数单调性时，有这样的结果：
一个函数在其定义域内，如果每一点的导数都大于零,则该函数为增函数。
由上述结论可以知道“每一点导数大于零”是“函数为增函数”的一个充分条件。所以上述结论可以作为一个判定函数单调性的定理。那么，“每一点导数大于零”是否是“函数为增函数”的必要条件？
以函数y=x3为例。我们知道函数y=x3是增函数，是否能保证“每一点导数大于零”？这是一个含有全称量词的命题。但是，我们知道y=x3在x=0处的导数等于零。这说明“函数为增函数”无法保证“每一点导数大于零”。即“每一点导数大于零”只是“函数为增函数”的充分条件，而不是必要条件。这个例子也说明了，如何对含有全称量词的命题进行否定。
2）某些具体内容的教学要求
①命题及其关系的教学
第一、对于“命题以及命题的逆命题、否命题、逆否命题”的教学要从具体实例出发，不要形式化的讨论。
例如：已知命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m =0有实数根”,试写出它的逆命题、否命题和逆否命题,并分别判断它们的真假。
第二、这部分教学的重点应放在“充分条件、必要条件、充要条件的理解”上，对于“充分条件、必要条件、充要条件”的教学要求应该参照前面的具体要求与深广度分析中的相关部分。
例如， 的一个充分不必要条件是 [ ]？
A、 B、 C、 D、
例如，下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？
①若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
②若，则；
③若，则函数是偶函数；
④若，则.
在教学中，应该注意在讨论“充分条件、必要条件、充要条件”时，首先应该考虑命题是否是真命题。上述例子②中，“若，则”不是真命题，这时，我们需要判断 “若，则” 是不是真命题。由于它是真命题，所以是的必要条件。因此我们不要去形式的讨论“若p则q”这种命题的充分条件和必要条件。
②简单的逻辑联结词的教学
第一、对于简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的教学，也要通过具体实例，帮助学生了解它们的含义。
例如:
a)：是无理数，：大于1，写出“”，“”，“”的形式，并判断他们的真假。
b)用p：表示实数满足的条件，用q：表示实数满足的另一个条件。“非p”是否等于q？
显然，x=2不满足条件p，也不满足条件q。由于x=2不满足条件p，所以x=2满足条件“非p”。因此，“非p”不等于q。
这个例子有助于理解“条件”（命题）的“非”。在对“非”的学习中，最基本的性质是“条件”（命题）和“条件”（命题）的“非”，不能同时成立。在教学中，要注意一个条件（命题）和这个条件（命题）所确定的集合是不同的概念。
第二、教学中只要求用这些逻辑联结词作“合成”，不要求对复合命题“分解”。
③全称量词与存在量词的教学
第一、量词的教学也需要通过实例，帮助学生理解全称量词与存在量词的意义。
第二、教学中只要求理解和掌握含有一个量词的命题，对于含有量词的命题的否定，也只要求对含有一个量词的命题进行否定。
例如：对于给定命题“所有能被3 整除的整数都是奇数”，写出它的否定命题。
学生有如下的解答：
①存在一个能被3 整除的整数不是奇数。
②有些能被3 整除的整数不是奇数。
③有些能被3 整除的整数是偶数。
④所有能被3 整除的数不都是奇数。
⑤并非所有能被3 整除的整数都是奇数。
这些解答都是正确的、本质上是一致的。有的老师在教学中，要求学生写出几种不同的解答形式，这是不必要的。
也有同学解答为：所有能被3 整除的数都不是奇数。这个解答是错误的。
二、重点和难点
1．重、难点的分析
（1）充分条件、必要条件与充要条件的意义
“命题的充分条件、必要条件、充要条件”是教学中的一个重点内容。根据学生学习的实际情况，许多学生对充分、必要及充要条件意义的理解还存在困难，所以“正确进行充分条件、必要条件、充要条件的判断”是本部分内容的一个难点。
判断“充分条件、必要条件、充要条件”的前提，是判断一个给定命题是否是真命题，解决这个问题关键是需要结合实例学习，在不断使用的实践中，加深认识和发展能力，而不是形式上的记忆，因此，讲“充分条件、必要条件、充要条件”一旦脱离实际就失去意义了。
（2）全称量词与存在量词的含义及对含有一个量词的命题进行否定
“全称量词与存在量词的含义及对含有一个量词的命题进行否定”是教学的重点。“对含有一个量词的命题进行否定”是教学的难点。
（3）逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义
“或”、“且”、“非”的含义是教学的难点。
２．重、难点教学案例
案例１ “且”的含义的教学片段
教师：请大家思考下列三个命题有什么关系？
1 2是偶数；②2是质数；③2是偶数且2是质数.
思考、讨论后，
学生A：命题③是命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题。
教师：大家还能举出类似命题③这样的命题吗？
学生B：正方形是平行四边形且正方形是矩形；
学生C：2是6的约数且3是6的约数；
……………
教师：以上大家举出的这些命题都有什么共同的特点？
（学生思考、讨论。教师视具体情况适当点拨）
学生D：它们都是用联结词“且”把两个命题联结起来得到的新命题。
教师：很好！我们就把用联结词“且”把两个命题、联结起来得到的新命题记作“且”.
教师：“2是偶数且2是质数”这个命题大家很容易就判断出它是真命题。下面大家再来看一个也是用“且”联结的命题：“3是偶数且3是质数”，这个命题是真命题吗？
（教师组织大家开展讨论）
学生E：不是真命题。
教师：为什么这个命题不是真命题了呢？
学生F: 因为3不是偶数。
教师：回答得很好！由上述讨论我们可以看出，对于用“且”联结两个命题组成的新命题，当两个命题都是真命题时，新命题才是真命题；当两个命题中有一个是假命题时，新命题便是假命题。这就是逻辑联结词“且”在联结两个命题时的含义。
……………
点评：此教学片段最大的特点是从实例入手，通过学生的观察、思考、讨论，逐步达到了解“且”的含义的目的。教学活动开展的很充分，气氛民主。学生的自己举例（如学生B、C等）很好的反馈了学生认知的程度和水平。
案例2 全程量词和存在量词的教学片段
教师：请同学们举几个命题的例子。
意图：创造引入“量词”概念的情境。
学生很容易说出好多命题的例子，这里先选一些简单的并具有明显特征的命题作为引例。如：（1）对所有的实数，成立；
（2）每一个正方形都是矩形；
（3）存在一个，使；
（4）有的平行四边形是菱形；
教师：观察上面四个命题在语句上有什么特点。
意图：引导学生观察特点：含有短语“所有的”、“每一个”、“存在一个”、“有的”，为引入概念做准备。
共同归纳：上面的四个命题在语句上有个共同的特征就是对某些量进行了限制，使用了短语“所有的”、“每一个”、“存在一个”、“有的”。
教师：短语“所有的”、“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词，短语“存在一个”、“有的”在逻辑中叫做存在量词。
常见的全称量词还有“一切”、“任意一个”、“任给”等，常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“至少有一个”等。
含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命称为存在命题。象上面命题（1）（2）是全称命题，（3）（4）是存在命题。
你能结合自己的理解再举出一些全称命题和存在命题吗？
意图：从观察中引出概念，体会量词的含义。通过学生自己的举例反馈学生理解的程度，以便把握教学的进程。
教师：对一开始自己提出的命题能作出属于全称命题还是存在命题的判断吗？
……………………
点评：“量词”是新课标中的增加内容，也是一个重点和难点内容。在教学中，首先要处理好对量词的学习和理解。本教学片段很好的利用了学生已有的知识基础，在自己提出命题的前提下进行研究学习，符合学生的实际情况，引入自然。教师有目的的进行创设学习情境和有目的的进行引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，逐步加深对量词含义的理解。
圆锥曲线与方程（约16课时)
一、知识要求及变化
1、整体定位
根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握圆锥曲线与方程这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对圆锥曲线与方程这部分内容的整体定位如下：
“在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。”
2、课程标准的要求
（1）圆锥曲线
① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
（2）曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
3、课程标准要求的具体化和深广度分析
在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。
案例
椭圆及其标准方程教学首先从探究活动开始
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么？(圆)，如果把两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？
讨论：这个环节，是为了更好的体现探究性，在传统教材的基础上，先设置了细绳的两端都固定在图板的同一点处的情况，实际的教学应怎样操作？
有这么几种：①教师自己演示（用自作的教具或《几何画板》），学生观察②教师课前要求所有的学生都自带学具到课堂上进行操作，③教师带教具，让学生到台前进行操作，其他同学观察。
案例
1、椭圆与抛物线的简单几何性质是指：
椭圆：范围、对称性、顶点和刻画椭圆的扁平程度的概念--离心率（定义性概念）
抛物线：范围、对称性、顶点和离心率（定义性概念）
例如：判断方程 6x2+10y2=60所描述的曲线是什么曲线？ 如果是椭圆请写出其标准方程并写出焦点、顶点坐标和离心率.
在这样的题目中我们不能再增加“并写出准线方程”一问.
2、双曲线的的有关性质是指：范围、对称性、顶点、渐近线和离心率（定义性概念）
3、圆锥曲线的参数方程在这里不作要求，不必引入教学，对它们的学习将在选修系列4《坐标系与参数方程》中学习.
例如：2002年全国理6 点P(1,0)到曲线
（其中参数tR）上的点的最短距离为：A、 0 B、 1 C、 D、 2 在此属超标题.
4、用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题仅限于直线与圆锥曲线的位置关系.解决实际问题也是初步利用圆锥曲线模型.
5、曲线与方程
例如：如果命题“坐标满足方程F（x,y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么，以下正确的命题是（ ）
A、坐标满足方程F（x,y）=0的点都不在曲线C上
B、曲线C上点坐的标都满足方程F（x,y）=0
C、一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F（x,y）=0
D、坐标满足方程F（x,y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
虽然这是一个很好的既复习逻辑内容又欲帮助学生理解曲线与方程关系的题目.我们认为在这里提出不太适宜，虽然学生在必修部分的 《数学2 》的直线和方程、圆与方程，也学习了圆锥曲线方程，有了一定的感性认识， 因为本题给出的是抽象的曲线和方程，太抽象，不利于实现《课程标准》提出的：“结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.”的要求.使学生经过内化，对曲线和方程的关系从具体到一般，形成一个更加系统、完整的认识。
4、教学要求
1、课程标准要求，与大纲比较
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质.③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程.（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.（4）能够利用工具画圆锥曲线的图形，了解圆锥曲线的简单应用.（5）结合教学内容，继续进行运动、变化观点的教育.
曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.
二、重点和难点
1、重、难点的分析
教学重点是：
①经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.理解坐标法的基本思想.
②了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及有关性质
③经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质.
④掌握圆锥曲线标准方程中a,b,c,p的几何意义；初步了解圆锥曲线的离心率e
⑤能用坐标法判断直线和圆锥曲线的位置关系.
⑥了解曲线的方程与方程的曲线的概念，使学生体会曲线与方程的对应关系，通过解决简单的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想.
教学难点是：
①椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的应用
②双曲线的标准方程推导与化简
③理解曲线的方程与方程的曲线的概念；曲线与方程的对应关系；求曲线方程
2、重、难点教学案例
三个例题的处理
例1 、（已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（，-），求它的标准方程）、练习3 （已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A,B 两点，F1是椭圆的左焦点（1）求⊿A F1 B的周长（2 ）如果AB不垂直于x轴，⊿A F1 B的周长有变化吗？为什么？） 以及习题2 . 1 中的习题1 、7（略） 都是为加深对椭圆的定义的理解而设置的．例题1 的边空提出：你还能用其他方法求它的方程吗？这里的“其他方法”指待定系数法．由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，因此，可以设椭圆的标准方程为:
(a >b > 0 )·
由己知，c=2 ，所以，-=4 ．①
又由己知得． 。 ②
联立① ② 解方程组，得 = 10 ，=6 .
所以，所求椭圆的方程为：
这也是为了教会学生学会利用椭圆的标准方程解决问题．
在例2 （在圆+=4上任取一点P，过P作X轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ 为什么？ ）之后教科书提出一个思考题：你能从例2 发现椭圆与圆之间的关系吗？例2 （以及习题2 . 1 的B组中的题l ）有3 个作用：第一，是又一次教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二，是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三，是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．
例3（设点A，B的坐标分别为（-5 ，0），（5，0 ）。直线ＡＭ，ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是 -，求Ｍ的轨迹方程。 ）给出了生成椭圆的另一种方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数，这可以使学生体会椭圆几何特征可以有不同的表现形式．另外，这里第一次提出了求动点轨迹方程时，需要注意以方程的解为坐标的点是否在曲线上的问题，这是在强调正确理解“方程的曲线”“曲线的方程”的概念．当然，教学时只要点到为止，不必深究．
空间向量与立体几何(约12课时)
一、知识要求及变化
1、整体定位
根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：
“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”
2、课程标准的要求
（1）空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量。
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、课程标准要求的具体化和深广度分析
空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。
例如：(03年．现行理、新课程理(18)、江苏、河南(19)．0.137)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离．
本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．
解法1： (Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，
则 A (2a，0，0)，B (0，2a，0)，D(0，0，1)，
A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，．
∴ ，．
∵EG⊥DG，
∴ ，解得 a＝1．
又 ，．
∴ ．
A1B与平面ABD所成角是．
(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．
，
，
∴ ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，
∴ 点A1在平面AED的射影K在AE上．
设 ，
则．
由 ，即++－2＝0，
解得 ．
∴ ．
∴ ．故A1到平面AED的距离为．
解法2：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵ D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF为矩形．
连结DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF．
在直角三角形EFD中，
，
∵ EF＝1，∴ ……4分
于是
∵ ∴
∴
∴ A1B与平面ABC所成的角是
(Ⅱ)连结A1D，有
∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，
∴ ED⊥平面A1AB．
设A1到平面AED的距离为h．
则
又
∴
即A1到平面AED的距离为
4、教学要求
1、 课程标准要求，与大纲比较
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
空间向量及其运算 (1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. (2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(3) 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(4) 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.（2）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.（3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式.
空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量.② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见《标准》P55~56例1、例2、例3）.④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. （1）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.（2）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.（3）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念.(4)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(5）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.（6）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式.（7）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.（8）通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点.
2、 阶段性要求与终结要求的说明
按照《课程标准》对《空间向量与立体几何》进行的教学要求，既是阶段性要求也是终结性要求.
二、重点和难点
1、重、难点的分析
教学重点是：
①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律.
②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要求学生会证明此定理）和共面向量定理及其推论 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.
③了解两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用.
④了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不同向量 作为基底表示其它向量.
⑤掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题.
⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
教学的难点是：
①空间向量的基本定理
②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题
2、重、难点教学案例
教学设计案例
课题3 . 2 立体几何中的向量方法（例4）
例4 如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，
ＰＤ＝ＤＣ，Ｅ是ＰＣ的中点，作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｆ．
（１）求证：ＰＡ∥平面ＥＤＢ
（２）求证：ＰＢ⊥平面ＥＦＤ
（３）求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小
（一）教学任务分析
1 ．通过利用向见方法解决例4 这个综合性较强的问题，使学生进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”.
2 ．结合例4 的解题过程，重点讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性．
3 ．结合例4 ，对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
（二）教学重点、难点
重点：例4 的解法（坐标法与向量法结合）.
难点：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
（三）教学基本流程
回顾立体几何中的向量方法“三步曲”
分析例4 的已知条件及求解内容，考虑如何通过坐标把问题向量化
分步讨论例4 的解法
结合例4 的解法，再次回顾“三步曲”讨论建立坐标系在解法中的作用
讨论思考题
小结练合法、向量法、坐标法的联系
做练习题，布置作业
（四）教学情境设计问题
问题 设计意图 师生活动
问题1 ：回顾前面讨论过的问题，请你概述用向量方法解决立体几何问题时一般经历怎样的过程． 立体几何中的向量方法可以归纳为三步：( l ）把几何问题转化为向量问题；( 2 ）进行向量运算；〔 3 ）由向量运算解释几何问题，间题1 有助于加强学生对解题通法的整体认识． 教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备
问题2 ：阅读例4 ，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？ 通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路． 学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．
问题3 ：从例4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？ 初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力． 教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P , A ，Ｂ，Ｃ , D , E 的坐标．并进一步写出，等的坐标．
问题4 ：考虑例4 ( 1 ) ，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？ 运用直线与平面平行的判定定理，需证明ＰＡ与平而EDB 内一直线平行．找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解． 教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA 与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出的坐标，并由＝k证出ＰＡ∥ＥＧ ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ
问题5 ：考虑例4 ( 2 ) ，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？ 运用直线与平面垂直的判定定理，需证明PB 与平面EFD 内两相交直线垂直．找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的 “数量积为0 ”的几何意义的认识 教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）·＝０，⊥，ＰＢ⊥ＤＥ ＰＢ⊥平面ＥＦＤ
问题6 ：考虑例4( 3 ) ，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？ 计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握． 教师从“计算二面角C 一PB 一D 的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一PB 一D 的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos ∠EFD＝ 计算∠EFＤ 的过程
问题7 ：考虑例4 后的思考题． 思考题1 可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2 可以加强不同方法之间的联系． 学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．
小结立体几何中的不同方法． 加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识． 教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．
练习，布置作业． 独立思考，巩固提高． 练习题3 作业：习题3.２ A 组9～ 12 题B 组2 , 3 题
X=t2
y=2t
设K的坐标
如何设定K
条件
怎样确定K
垂足在AE上
垂足K在哪儿？
EG⊥DG
重心G坐标
向量
∠EGB
条件：
①∠ACB＝90°；
②侧棱AA1＝2；
③点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
确定
直三棱柱
底面边长
选择适当位置建立坐标系
用坐标描述所需要的点
PAGE
14编号：570034
2.1.1合情推理的教学设计
设计人:吴生春 单位:海南省海南中学 邮编:571158
目的要求 结合已学过的数学实例和生活中的实例，使学生了解合情推理的含义，能利用归纳和类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用，提高学生学习数学的兴趣．
内容分析 1.由于本节是该章的第一节，所以教师有必要利用章头引言向学生简要介绍本章的主要内容及学生学完后应达到的目标．2.本章乃至本节的内容属于数学思维方法的范畴，在教学过程中教师的立意应该是轻概念的教学，重原理的讲述．即使学生了解数学思维方法――归纳、类比的含义，能够学会用归纳、类比的方法进行数学推理和猜想．3.本节开头所提的几个猜想，在教学中可用计算机将猜想内容及研究进展向同学做一展示，以免学生产生疑问，甚至开始琢磨起猜想来，而耽误了真正要学的知识．4.本节教学可以分为二课时，第一课时集中学习用归纳法进行合情推理，以哥德巴赫猜想及例1作线索，向学生渗透归纳推理的过程；第二课时集中学习用类比法进行合情推理，以生活中几个实例及例2、例3为引子，让学生体会用类比推理的方法进行思考时的思维过程及方法．这一部分教学要充分展示科学家未解的难题、生活中的实例及数学实例的魅力，激发学生的学习兴趣，及为国争光的爱国热情．5.例4既有归纳推理又有类比推理，具有一定综合性，在教学中我将其制成电脑动画，让学生亲自动手，先感受怎样移，然后再上升到理论认识，进行合理地猜想．这样循序渐进、螺旋上升有利于学生认知水平的提高．6.最后的小结要使学生明白：合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，但合情推理的结论未必可靠，数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式（如演绎推理等）加以证明才能得以确认．这样小结承上启下，体现了知识的连贯性，有助于学生对总体知识的把握．
教学过程 第一课时1.以小品“钟点工”中的笑话为开场白开始新课，激起学生学习兴趣，活跃课堂气氛。2.利用章头引言介绍本章的主要内容，以及学完本章后应达到的目标。3.利用电脑打出“费马猜想”、“四色猜想”、“哥尼斯堡七桥问题”的提出及研究情况，以“哥德巴赫猜想”为主来介绍猜想提出的过程，以及对我们学习的启示，引出归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。4.利用电脑打出例1，让学生自己进行归纳得出结论。5.再举一例，供学生思考：（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①（ ）；②（ ）；③（ ）； ④（ ）．（2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围： 6.在进行合情推理时，我们有的时候也用到别的方法，比如鲁班对锯的发明，人类对火星上是否有生命的探索都采用了不同于归纳的方法，那它是什么方法呢？且听下节课分解！第二课时1.上节课我们提到鲁班发明了锯，据说鲁班是受到了带齿的草叶和蝗虫的齿牙的启发，人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理发明了潜水艇；等等。其实这些发明都是运用了我们数学中常用的一种推理方法——类比推理。2.引例1：“火星上是否有生命？”为了回答这个问题我们可以进行这样的类比：地 球火 星行星、围绕太阳运行、绕轴自传有大气层一年中有季节的变更温度适合生物的生存有生命存在3.类比圆的特征，我们来看看球有哪些特征？圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长。以点P(xo,yo)为圆心，r为半径的圆的方程为(x-xo)2+(y- yo)2=r24. 由上面例子可以总结出类比推理的概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。5.分析例2，例3。向学生强调进行类比时合理地确定类比对象是非常重要的，否则会演变成“乱比”，类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象。6.例4的解答需要同时应用归纳推理和类比推理，即由移动1，2，3，4个金属片的简单情形，到移动n个金属片的情形，需要归纳推理；而移动2个金属片的情形，到移动3个金属片的情形，再到移动4个金属片的情形，需要类比推理。这里使用电脑动画让学生亲自动手移一下试试。7.小结：合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。但有时合情推理也是不可靠的，例如费马猜想。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式（如演绎推理等）加以证明才能得以确认。预知演绎推理如何？且听下节分解。
布置作业 练习：Ｐ８７ １、２、３作业：Ｐ９３ １、２、４
PAGE
1《直线与圆的位置关系》的教学设计
青岛第十五中学 苏延红
一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直线与圆的位置关系”第一课时。
二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。
三、教学目标：
1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；
2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；
3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
四、教学重点、难点、关键：
（1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系
（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解
（3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。
五、教学方法与手段：
1．教学方法：探究式教学法
2。教学手段：多媒体、实物投影仪
六、教学过程：
1．创设情境，提出问题
教师利用多媒体展示如下问题：
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。
设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。
2．切入主题，提出课题
（1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
（2）教师提出：能否用所学的坐标法来解决这个问题，提出本节课要研究的课题。
设计意图：让学生利用初中所学平面几何知识先来解决这一问题，一方面，让学生体会数学知识在实际中应用，另一方面为后面坐标法的研究做了铺垫。
3．探索研究，解决问题
（1）寻找切口：
师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？
生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度。
则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：
轮船航线所在直线 l 的方程为：
设计意图：统一建立的直角坐标系，将后面学生的自主探究放在一个统一的平台上，对学生之间的交流提供了方便。
（2）自主探究：
师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系。
设计意图：通过学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。这里教师的任务是：对学生知识上进行适当的补遗，思维上进行恰当的启迪，方法上进行恰当的点拨，鼓励学生积极、主动的探究，以较高的热情完成整个探究过程。
（3）交流方法，探究新知
经过生生、师生间的探讨、合作，总结出以下两种证明方法：
方法一：代数法
由直线与圆的方程，得： 消去y，得
因为
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
方法二：几何法
圆心（0，0）到直线的距离
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
设计意图：通过展示学生解决问题的方法，揭示知识之间的内在联系，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，教师的任务是：提出问题，为学生创设一种环境的氛围，让学生在交往中学习数学。
（4）总结方法
直线与圆的位置关系的判定:
①代数法：
由方程组，得，
方程组有两解 相交
方程组有一解 相切
方程组无解 相离
②几何法：
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
4．新知应用，深化理解
课堂练习：
（1）．判断直线与圆的位置关系。
变式练习1：若直线与圆相切，求a的值。
变式练习2：若k为实数，直线与圆能否相离？
设计意图：要求学生会利用两种方法判断直线与圆的位置关系。变式练习是为增加思维的梯度，对于含有参数的方程，既能从基本方法上解决，又能从参数的几何意义上运用变化的观点看问题，讲解后，教师可以通过多媒体演示直线不动圆动、圆不动直线动的动画，让学生能用变化的眼光看问题。
（2）．已知直线l： 和圆心为C的圆, 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
思考：能否求出直线被圆截得的弦AB的长度。
设计意图：这是课本例题，要求学生能从方程的角度求交点，题后的思考是解决弦长问题，代数法的应用为以后圆锥曲线的学习打好基础。
5．总结反思，共同提高
引导学生从知识、思想、方法上总结
（1）
位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法
相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0
相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0
相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0
（2）研究直线与圆的位置关系主要方法有：
代数法，几何法
（3）研究直线与圆的位置关系：
注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的综合运用。
6。研究性问题：
圆x2+y2=4上有___个点,到直线3x+4y-10=0 的距离为1.
7．作业：
（1）P136 练习3、4
（2）P140 A组1、5、6
（3）思考题：练习册P86第14题。
设计意图：研究性问题是为让学生学会用方程解决几何问题的一个例子，让学生通过又一次的探究，体会几何法与代数法在解析几何中的应用。作业分层落实，思考题供学有余力的学生自主探索，提高他们的探索能力。
PAGE
6选修2—2 1.1.2 导数的概念 ( 第1课时)
中山一中 李德明
教学目标
1知识目标：通过对高台跳水问题的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数概念，知道瞬时变化率就是导数，了解导数的内涵；
2能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力；
3情感目标：通过对导数概念的学习，使学生感受到数学知识的产生是水到渠成的，数学的发展与人类文明的发展相互促进。
教学重点、难点
形成导数概念，了解导数的内涵即是本节的重点也是难点。
教学方法
教师用问题启发、引导学生，通过由特殊到一般得到导数的概念；学生通过积极探究、讨论，逐步理解导数的定义和内涵。
教学用具
教师用多媒体投影，学生要用计算器。
教学过程
（1）引入
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
（2）新课
我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1
时，在这段时间内 时，在这段时间内
当0.01时， = 当0.01时， =
当0.001时， = 当0.001时， =
当0.000 1时， = 当0.000 1时， =
当0.000 01时，= 当0.000 01时， =
当0.000 001时， = 当0.000 001时， =
。。。。。。 。。。。。。
表格2
时，在这段时间内 时，在这段时间内
当0.01时，13.051； 当0.01时，13.149；
当0.001时，13.095 1； 当0.001时，13.104 9；
当0.000 1时，13.099 51； 当0.000 1时，13.100 49；
当0.000 01时，13.099 951； 当0.000 01时，13.100 049；
当0.000 001时，13.099 995 1； 当0.000 001时，13.100 004 9；
。。。。。。 。。。。。。
问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）
关于这些数据，下面的判断对吗？
3． 2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
4． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
5． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
6． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。
分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。
这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：
首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”。
问题：1。当秒时的瞬时速度如何计算？当秒时的瞬时速度如何表示？
2．如果知道气球的半径和体积的函数关系式是，你会表示气球在体积为时的瞬时膨胀率吗？
3．函数在处的瞬时变化率如何表示？
新课板书：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即，例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或。
17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。
由导数的定义，我们知道，高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：）为.计算第2和第6时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
分析：在第2时，原油温度的瞬时变化率就是，根据导数的定义，先算，再接着求出。若=，则说明在第2附近，原油温度大约以3/的速率下降
解：略
小结
1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；
2．导数就是瞬时变化率；
3．导数的计算公式：。
布置作业
教科书习题1.1A组1，2，3，4，5。剖析教材 对症下药
宁夏长庆高级中学 王伟
[摘要]：《新课程标准》实施两年来，存在着诸多问题。有教材编排的不合理性，也有教师观念不能及时更新，课堂实效性差的问题。针对现状，本文从分析教材入手，提出提高数学课堂实效性的途径：（1）从教材的束缚中走出来；（2）选择、设计恰当的问题情境，吻合学生的实际情况；（3）突出数学本质——加强概念的理解和认识；（4）思想方法贯穿教学的全过程；（5）、改进学生的学习方式——强调问题意识。
[关键词]：数学教材 问题情境 数学本质
正文
一、问题的提出
《新课程标准》在包括宁夏在内的四省市已实施两年。此次课改，从课程的目标、结构、内容、实施、评价和管理等方面都有重大的创新和突破。数学学科更为突出，从对数学的描述、数学目标、学习内容、评价方法等方面都有了重大变化，通过我校两年来对人教版数学教材的试验，我深深感觉到：
（1）再好的课程标准、再好的教材、再好的学习方案，没有理解并能正确引导学生学习的教师，对数学课程改革的实施来说都是纸上谈兵。数学教师对新课程理念的理解、对数学课程标准精神的领会、对教材的把握，都对数学课堂的实效性起到关键的作用。因此，需要教师认真研读教材，发挥自我的能动性，将新课标的理念和精神贯穿于教学的全过程。
（2）《高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）明确指出：“数学课程其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解与支持的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展”。因此，我们的课堂需要在教师的组织引导下使学生积极参与教学活动，将知识学习与能力提高落到实处。
二、教材的优缺点分析
1、教材的优点
在使用中，我们发现现行的人教版普通高中课程标准试验教科书（数学）无论从内容编排，还是教材的呈现方式都有很大的创新，具体体现在：
（1）教材中的探究题、思考题，以生动活泼的呈现方式,激发学生的兴趣和美感, 为学生提供了更大的思考空间，学习不再是书本知识的重复，而是自己思考加工后得到的结果，这有利于学生独立自主意识的培养；
（2）教材以思想方法贯穿始终，以模块的方式，先介绍数学基本方法，通过不同数学内容的联系与启发,强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，在教师用书的首页说明中，倡导教师尽最大可能的展示一下常用的逻辑思考方法：
例如必修（1）的“函数”其横向联系是——方程、不等式、数列、解析几何、导数等；纵向联系是——指数、对数、幂函数、三角函数、多项式函数等。长期坚持这种思维方式的训练，有助于学生体会数学探索活动的基本规律，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行数学的推理和探究，从而发展学生认识事物的“数”“形”属性的规律，学会数学地思考问题的方式，对培育学生的理性精神大有好处；
（3）教材内容的编排符合学生的认知规律。例如“函数”概念的引入，教材使用了更合理的编排方式。为使初中的函数定义产生正迁移的作用，并使学生感到现在所学的定义只是比初中的观点更高而已，采用在复习初中阶段函数定义的基础上，提出原定义在解决某些问题上的困惑，引起学生的认知冲突，再从学生熟悉的背景素材出发，在集合与对应的基础上学习函数的概念。将映射作为函数概念的一般扩展，只要求直观了解。教材的这一淡化处理，突出了函数概念的实质——对应，符合学生的认知规律，有助于学生合理数学认知结构的形成。
（4）课本习题的A(B)类型设计，满足不同学生的需求，对发展不同学生的数学能力提供了舞台。特别是B中的某些问题，既是课本知识的补充，又为后续学习埋下伏笔，课本中不乏有精彩习题出现；
（5）教材中在每一章节都按排了一些“探究与发现”，介绍该部分知识产生的背景，前人的思考方式，使数学知识还原其本质，让学生既了解了数学的历史，也使知识变得不再枯燥、苍白，使数学内容更加丰满，教材更具亲和力；
（6）教材为教师的教学提供了更广阔的发挥空间。
2、教材使用中的一些问题
（1）章头图设计的问题背景过难。如必修（1）第二章——基本初等函数提出的两个问题：（1）增长率问题；（2）碳14的“衰变”问题，其目的是说明指数的取值范围从整数推广到实数的合理性，但教学实施中，若以此为背景，学生的困难不在于理解推广的合理性，而是两问题的代数化过程较为困难；
（2）内容的人为割裂，使学生在前进的道路上困难重重。例如立体几何内容将“试验”和“论证”分开，搞“通过试验获得一个猜想，逻辑证明且听下回分解”的教材编排，这种人为设计“螺旋”，就不能很好的解决不同内容之间的广阔联系，使学生本能在一个相对连贯的系统中学习和掌握的内容被支离破碎，加重学生的学习负担；
（3）配套习题设计还需进一步斟酌。新课程实施中，课本习题都较简单和基础，而市面发行的各类教辅参考书几乎都不能适应新课程改革的需要，骗、难、超纲现象严重，这些大大加重了学生的学习负担，使学生进行大量机械重复训练；强调细枝末节，不注重基本概念；强调题型训练，注重解题技巧而忽视核心数学思想方法；……因此，编订出适合新课程大纲要求的同步练测势在必行。
三、提高课堂时效性的途径
1、从教材的束缚中走出来
在传统的教学，“教材”就是教学的目标和归宿，我们所要求的就是所有学生都把教科书所呈现的知识形态作为模本，复制到自己的头脑中去，教师所作的就是将教材所赋予的知识传达给学生，这是一种静态的知识观，僵化而没有趣味。这就需要我们对教学的“载体”教材应有重新的认识。在过去的教材中，我们是“教教材”，所起的作用仅仅是“中介转换”。在新的课程体系中，教材以全新的面貌出现，它只是提供给师生数学学习的起点和素材，为师生的选择和自我发展提供了宽广的舞台。同时，也向教师提出了挑战：如何重新看待教材？
[案例1]：在我校的优质课评比中，两位老师同上《异面直线的概念及其夹角》，一节。教材的安排是：异面直线的概念——平行公理——等角定理——异面直线的夹角的定义及求夹角的方法，教材呈现的方式是感性认识，直观定义，猜想结论……，结构较为凌乱，在一课时的教学时间内完成这些内容只能是蜻蜓点水，对培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力作用都不很大。经过对教材和学生实际分析，另一位教师对教材作了较大的调整，将平行公理和等角定理与平面的基本定理作为整体进行教学，本节的重点放在异面直线的定义和如何定量的研究两异面的相对位置关系。教学中通过对生活中若干事例的观察和分析，引导学生自主给出异面直线的定义，比较两直线的三种位置关系：平行、相交、异面在图形、符号表示、公共点个数和属性几方面的不同，使学生从不同的层次和侧面对这一概念有充分的认识，再研究两异面直线的夹角不但顺理成章，而且学生有足够的知识储备完成对这一课题的学习。
因此，教师不能成为教科书的奴隶，教科书为我们仅仅提供了一个知识的平台，在教学实践中，我们要勇于发现和质疑教材中存在结构缺陷，寻找学生学习的“空白点”，丰满教材内容，努力实现“教与学”的和谐统一，在贯彻新课程理念的同时，大胆创新教法，灵活使用教材，才能使我校的新课程改革在前进中少走弯路，全面提高教育教学质量。
2、选择、设计恰当的问题情境，吻合学生的实际情况
问题是数学的心脏，是数学思维的动力和方向，数学思维的过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程。事实上，每个学生在走进课堂前，并不是空着脑袋的，他们的头脑中都充满了不同的先前经验和积累，有各自对问题的看法和理解。在教学中要真正体现学生的主体性，就必须使认知过程是一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用，在学习中学会学习。而恰当的的问题情境，能引发学生的认知冲突，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，激发他们的求知欲和探索精神，引导学生主动思考。因此，在数学课堂教学中，教师应设置富有挑战性的问题情境，为学生更深入的、具体的数学思维活动提供动力和方向，让学生自始至终保持较强的学习迫切性，并产生积极思维的心理气氛。
恰当的问题情境要有利于激发学生思维的积极性，有利于教学目标的实现。好的问题要有明确的目的，使学生的思维趋向于教学目标；好的问题难易适中，有利于不同层次学生展开思维活动；好的问题不在多少，在于是否具有启发性，是否是关键性的问题，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考。
[案例2]：“对数概念”的教学，教材的背景知识是：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”，该如何解决呢？教材的设计意图是从实际背景出发，引发矛盾，从而为概念的建立搭建平台。但这一引例的难点在于学生对设未知数列等式掌握的不好，因而学生的注意力一开始全集中的例题的解法上，而对“对数的概念”无暇顾及。由此例引出概念，只是教材与教师的一厢情愿，忽视了学生原有知识结构的差异性和接受新知识的层次性，将新概念强制地灌输到学生的头脑中去，学生只能被动的接受这一定义而未能内化，课堂的实效性差。针对高一学生习惯于形象思维，教学中我采用类比的方法，从互逆运算入手，激发学生学习数学兴趣和信心，提出问题链：（1）观察下列等式，你发现了什么？
（2）你还有其他互逆运算的例子提供大家吗？这样通过类比，很顺利的过渡到指数与对数的互逆运算关系的研究，既培养了学生良好的思维品质，也沟通了数学概念间的内在联系，使“数学美”得以完善。
因此，好的课堂教学，需要从好的问题开始，为学生思考、探索、发现和创新提供尽可能大自由空间，让学生在教师创设的问题情境中，学会观察、分析、揭示和概括，从而对学生的主动建构提供帮助和促进。
[案例3]：双曲线渐进线的教学中，首先利用几何画板演示双曲线形成的动画，并出示问题一：双曲线在第一象限的变化趋势如何？为什么？引导学生由双曲线的方程变形出函数，根据函数的单调递增说明双曲线是无限伸展的。再引导学生由函数的基础上，出示问题二：猜想双曲线向外伸展时与直线是怎样的关系？在几何画板的动画演示下，学生直观感知是“无限趋近”的，在此基础上给出问题三：如何证明你的猜想？在学生独立思考和师生的交流讨论中会分析出以下四种方法：
法1：
法2：
法3：
法4：证明
该课脉络清晰，问题精练，是一种以学生的思考与表达、思维与推理、交流与反省为主体的教学过程。整个设计主题框架明确，但细节不定，课堂上教师的调控随学生思维进展而定，这样的问题情境有利于学生逐步展开深层次的思维活动，真正体现了“把学习的主动权交给学生”。
3、突出数学本质——加强概念的理解和认识
[案例4]：函数符号“f”的教学片断
（1）、提供函数概念的发展简史，“变量说”在解决某些问题上的困惑，以“平方机”的趣例引入对应。
（2）、提出问题：若是“2倍机”、“倒数机”，又会是什么情景呢？这些对应的共同特点是什么？
（3）、你能从集合、对应的角度给函数下定义吗？
（4）、师生共同分析、讨论，给出函数的定义。
（5）、你对符号“f”有怎样地理解和认识？（教学中给学生充分的思考时间，集体讨论），如：
学生一：只要是A中的元素，经过“f”这个暗箱，一定会变成B中的元素，即f(x)=y∈B；
学生二：f的作用是将A中的元素按一定的要求加工成B中的元素，是一种规则；
学生三：y=f(x)与y=ab是不同的，它不表示f与x的乘积，而是将x通过f的作用转变成B中的元素y。如f(x)=x2，f作用是平方；f(x)=2x+1，f作用是2倍加1等；
学生四：A中的每一个元素在f的作用下都能找到B中的元素与之对应，而且是唯一的一个元素；但B中的元素却不一定都在A中能找到对应的元素，即使找到了，也不一定唯一；
学生五：我注意到f：A→B与f：B→A是不一样的……
课堂因学生的思考和思辨而充满活力，学生对函数符号“f”的认识，逐渐从形式走向实质的理解。课后反馈表明，上述系列问题的探讨，不仅解决了问题本身，更可贵的是唤起了学生使用数学符号的意识。一学生在课后反思中写道：我原来的学习知识机械的记忆数学概念、公式、法则中的每一个字词及记号，不理解其内在含义，将符号及表达式与数学对象、数学关序割裂。现在我认识到，每一个数学符号都有其意义，只有“形”与“意”相结合，才能正确理解数学概念。
[案例5]：符号“∈”与“”的区别。提供习题组，用“∈”与“”填空，并说明理由。① 0 {0}；② 0 {1}；③ {0}；④ {0} {0，1}；⑤ {}；⑥ 0 {}。
学生通过这些类似材料作比较，分辨各类问题的实质，在头脑中形成分化。用同学的话说：“在不断的比较、辨析中，我分清了两个符号的不同。我想学习中要学会比较，经常将现在所学与过去的知识比较异同，数学知识就会形成知识网络，有机的结合起来。”
可见，在数学知识的形成过程中，通用、精确、简约的数学符号语言是其重要特征，当我们在使用大量数学符号带领学生遨游数学世界时，千万不要忽视学生学习数学符号中存在的困惑和疑难。学习这类符号语言，必须理解概念的本质意义，把握概念的内涵和外延。学生对概念本质意义的抽象过程，对概念外延的概括过程体验越深，对这类符号语言的抽象概括意义就理解得越透彻，概念也就掌握得越牢。
4、思想方法贯穿教学的全过程
新课标加强了对数学思想方法的渗透，对数学文化给予很大的关注，教学中不仅需要知识的传授，还要让学生受到数学文化的熏陶，提高科学文化素质。数学教学的本质是“思维过程”，学生学习“主动”还是“被动”，是指思维是否活动或思维活动的质量。课堂教学学生活动实效性的一个重要标志是学生的数学思维是否展开、活跃与深化。
[案例6]：对“函数性质”的研究，都经历了“四部曲”——第一步，观察图像，描述函数图像特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；第三步，用数学符号的语言定义函数性质；第四步，在练习、交流、反馈中，加强对概念的认识。这样，函数性质的发现以函数图像为直观载体，教学中给学生充分的时间让其静思细想，通过其深层次的独立思维，再与他人交流。将独立探索与相互交流恰当配合、协调统一，让数学思想的火花点燃每一位求知者的大脑。
5、改进学生的学习方式——强调问题意识
“学风建设”是我校今年的一项主要工作。在日常的教学中，有的老师为培养学分风，要求每位学生每周必须问多少个问题，并实行量化。表面上看，学生似乎好学好问，下课总有人拿书问题，但细想之，其中又有多少学生只是为了凑够数，应付检查，老师辛辛苦苦讲解的并不是学生百思不得其解的问题，而是随意找来应付的问题，这岂不是教师的悲哀？
笔者认为，改进学生的学习方式，有必要从教学中好的问题开始，教会学生发现问题的方法。以问题引导学生应成为数学教学的一条基本原则。要使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”。通过恰时恰点的提出好问题，使学生领悟到发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣的学，富有探索的学，培养问题意识，孕育创新精神。
具体的，可以在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的问题，引导学生的思考和探索活动使他们经历观察、试验、蔡祥、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式。
总之，新课程标准的实施，必将带给课堂教学以深刻的变革。每一位处于变革年代的教师，都应积极做好准备，迎接新课程。用自己的智慧和教学实践，使每一位学生都拥有：一双能用数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑；一副为谋国家富强人民幸福的心肠。
[参考文献]：
1、 章建跃，当前数学课改中的一些问题
2、 马复，设计合理的数学教学
3、 孔启平，数学新课程与数学学习
推广
当前内容
类比
类比
特殊化
3能用2和8表示吗？
2=
3=62
2=63
6=32
3=5-2
2=5-3
5=3+2
Q
y
M
N
x
P
O
PAGE
1循环语句
高青县第二中学
李军
二 新课讲解
两种循环语句：
（1）WHILE语句的一般格式：
WHILE 条件
循环体
WEND
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句.
设计意图：对应循环结构，写出相应的循环语句，在写程序时使学生便于转化。
例1 根据1.1.2例3中的程序框图，编写计算机程序来计算1+2+…+100的值
设计意图：由程序框图写程序时，首先找出所对应的语句，然后安顺序写好。目的是让学生学会程序框图的翻译。让学生在微机上输上程序，一是可以验证程序的对错，二可以提高学生的兴趣。
程序：
小结：1，注意循环语句的格式。
2，一定要有输出语句。
练习：练习题第二题
设计意图：让学生自己练习写while语句，提示学生一个是“累加求和”，一个是“累乘求积”。
师生互动：在这道练习题上应该让学生到黑板上来解。等学生做完后，教师应给予准确的评价，即应给予肯定，如果有错误，应及时纠正，并当全班同学面反复强调易错点。
（2）UNTIL语句的一般格式：
直到型循环
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
思考：参照直到型循环结构，说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的？
师生互动：可以让学生自己动口试着来说，教师给予补充。目的是让学生经历知识的得出过程，培养学生的语言组织能力.
例2：用UNTIL语句编写计算机程序，来计算1+2+…+100的值.
解： i=1
Sum=0
DO
Sum=sum+i
i=i+i
LOOP UNTIL i>100
PRINT sum
END
设计意图：同一个题目，可以用两种方法，同时可以体现两种语句的转化，但要注意条件的不同。教师把程序输到微机上，验证程序的对错。
三 练习
1.编写程序，计算函数f(x)=x2-3x+5当x=1,2, 3,…，20时的函数值。
2.编写一个程序，输入正整数n，计算它的
阶乘n!(n!=n*(n-1)*…*3*2*1)
四 小结
设计思路：教师可以先让学生起来总结，这节课我们学习了什么，最后教师给予以下结论。
WHILE 条件
循环体
WEND
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
五 作业
课本35页A组3题
循环语句
教学目的：1，让学生掌握while语句和until语句的形式；
2，会把结构框图翻译成程序语句。
教学重点：while语句和until语句的应用。
教学难点：把结构框图翻译成程序语句。
考点：会读循环语句，能编写基本的程序。
易错点：while语句和until语句的格式。
教学基本流程：
知识回顾 巩固练习
新课讲解 例题讲解
教学过程：
一 知识回顾
设计意图：首先，教师提出问题，让学生巩固旧知识。
循环结构
两种循环结构有什么差别？
当型循环
不成立
成立
P
A
直到型循环
不成立
P
A
成立
先判断 后执行
先执行 后判断
先判断指定的条件是否为真，若条件为真，执行循环条件，条件为假时退出循环。
先执行循环体，然后再检查条件是否成立，如果不成立就重复执行循环体，直到条件成立退出循环。
直到型循环
当型循环
不成立
成立
P
A
不成立
P
A
成立
当型循环
否
是
满足条件？
循环体
sum=sum+i
i=i+1
sum=0
是
否
结束
输出sum
开始
i=1
i<=100
i=1
sum=0
WHILE i<=100
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
是
否
满足条件？
循环体
是
否
满足条件
循环体
（2）直到型循环
（1）当型循环
否
是
满足条件
循环体
两种循环语句：全国高中数学新课程实验评比参评案例
山东省泗水一中 杨波 邮编：273200 电话：13563789193
（人教A版高中数学选修２－１）
2.3.2 双曲线的简单几何性质（第一课时教学设计）
一. 教学任务分析
1. 学生已有的主要知识结构
学生已经经历了根据标准椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程。
2. 建立新的知识结构
类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程通过学生自我思考，得出结论，同学交流回答展示，得出与椭圆相近的几何性质。
通过多媒体展示渐近线的发现与论证过程。
3. 在整个过程中教师的作用：启发诱导，点拨释疑，补充完善。
二. 教学目标
1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质。
2. 了解双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e的关系及其几何意义。
3. 通过启发诱导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比，分析，归纳，猜想，概括，讨论等逻辑思维能力。
4. 通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新精神。
三. 教学重点、难点
重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间相互依存关系，特别是双曲线的渐近线的性质。
难点：有关离心率，渐近线的问题。
关键：要注重数形结合，类比归纳及等价转化思想的运用。
四. 教学方法
启发诱导、类比探究
五. 教学手段
多媒体
六．教学基本流程
七. 教学情境设计
教 学 程 序 设计意图
［情境设置］提问：（1）双曲线的定义（2）双曲线的标准方程（3）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质［探索研究］1.类比椭圆,（a>b>0）的几何性质，借助 ,（a>0,b>0）图象探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；程序是：学生：自主思考→得出结论→小组讨论→回答所得结论（与大家讨论）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善2. 渐近线的发现与论证：思考：双曲线 ① 在位于第一象限内的双曲线上找一点M，点M的横坐标xM与它到直线 的距离d有什么关系？（几何画板演示，学生回答）② d能否为0？若d=0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x0,y0)则，又∴点M不在双曲线上， ∴ d≠0 。 归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线 。（几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系）结论：①双曲线，（a>0,b>0）的渐近线方程为②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。3. 离心率的几何意义思考：渐近线、e、双曲线张口有什么关系？（（学生独立完成焦点在y轴上的双曲线的几何性质、完善表格）（引导学生找出焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线的几何性质的异同。以帮助学生准确记忆。）4. 例题：、 ⑴求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。（学生独立完成、交流强调）(2)求双曲线x2－y2＝a2的实轴和虚轴长、渐近线方程。定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。巩固练习：5. 巩固练习6．总结提练 6．总结提练1. 通过类比椭圆学习了双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，并且感悟双曲线与渐近线的关系；2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法。3. 渗透了类比、数形结合等重要的数学思想。7．布置作业： 1. 课本 P66 3,4 2. 求一个渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线方程。 3．求以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程。 回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决。通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题解决问题的能力。，通过几何画板的演示，让学生直观感受离心率对双曲线开口大小的影响。通过几何画板的演示，让学生直观感受，以完善对双曲线渐近线的正确认识。借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识。培养学生类比归纳，独立思考的能力，巩固双曲线的几何性质。学生自主归纳完成，进一步明确本节课所学内容及体现的思想方法
例题与练习
小结与布置作业
离心率的几何意义
渐近线的发现与论证
类比得出双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率
回忆椭圆的简单几何性质、双曲线的定义及标准方程浅 谈 新 课 标 下
对 高 中 数 学 教 学 设 计 的 几 点 认 识
揭阳市揭西县河婆中学 彭文献
随着《普通高中数学课程标准（实验）》的实施，新课程教学改革试验在全国四省市的展开，《课程标准》理念也在广大师生中逐步深入。但在新的理念下究竟如何展开课堂教学却是一些教师感到困惑的问题。《课程标准》指出教育应围绕: 学会认知，学会做事，学会共同生活，学会生存这四种基本学习加以安排。可以说，这四种学习将是每个人一生中的知识支柱：学会认知，即获取知识的手段；学会做事，以便能够对自己所处的环境产生影响；学会共同生活，以便与他人一道参加人的所有活动并在这些活动中合作；学会生存，这是前三种学习成果的主要表现形式 。因此数学教学也要紧密围绕此四大支柱进行设计。
一、教学设计应有利于让学生学会学习，发挥学生的主体作用
心理学研究表明，学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。传统的课堂设计，常常是“教师问，学生答，教师写，学生记，教师考，学生背。”在这样教学下，学生机械被动地学习，不能主动对话、沟通、交流。久而久之，他们学习数学的兴趣会逐渐褪去。新课程标准要求教师必需转变角色，尊重学生的主体性，以新的理念指导设计教学。在教学过程中，要根据不同学习内容，使学习成为在教师指导下自动的、建构过程。教师是教学过程的组织者和引导者，教师在设计教学目标，组织教学活动等方面，应面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生自主参与探究问题。
二、教学设计应有利于让学生学会做事，加强应用意识的培养
《课程标准》认为：学会认知和学会做事在很大程度上是密不可分的。因此数学教学的一大任务就是教会学生实践他所学的知识，还有在不能完全预计到未来工作变化的情况下，如何适应未来的工作。因而数学课堂教学中应用意识的培养就显得格外重要。因此，我们有必要改变传统教学观念，着力加强数学应用意识的培养，并将之渗透到整个课堂教学过程中去。所以教师必须认真研究新课程标准，设计富有情趣，联系生活的教学活动，让学生有更多的机会以周围熟悉的事物中学习数学，理解数学。使学生自觉地联系数学以及其他学科的知识，让学生参与提出问题，分析问题，解决问题这一全过程，并深刻体会教学的应用价值。如《课程标准》在综合实践的教学建议部分提供了这样一个案例:
“要求学生统计自己家庭一周内丢弃的塑料袋个数,并依据所收集的数据展开讨论。”其程序是:(1)作为家庭作业提出此问题；（2）学生自主进行统计活动；(3)请某同学在课堂上对结果作现场统计(列出统计表,老师也把自己的统计结果融入其中)；(4)统计分析(引导学生根据数据对全班一周丢弃塑料袋情况用不同的算法进行描述和评价)；(5)结合问题情景深入领会有关概念(如平均数、中位数、众数等)的含义,并通过问题的层层深入让学生进一步感受不同统计量的差异以及用不同统计量来表示同一问题的必要性；(6)问题自然延伸(计算这些袋对土地造成的污染、先估算一个袋的污染,然后通过多种方式计算推及到一周呢 一年呢 全校同学的家庭呢 照此速度要多久就会污染整个学校呢 )。
由此例可看出,这种模式的一个关键点就是围绕着学生日常生活来展开的:由学生身边的事所引出的数学问题使学生体会到数学与生活的紧密和谐的关系，朴素的问题情景自然地对学生产生一种情感上的亲和力和感召力,可以让他们真正应用数学，并引导他们学会做事。
三、教学设计应有利于让学生学会共同生活，培养学生的合作精神
这种学习可能是今后教育的重大问题之一。教育的使命是教会学生懂得人类的多样性，同时还要教他们认识地球上所有人之间既具有相似性又相互依存，为实现共同的目标而努力学习。当代科学的发展已呈现出既高度分化，又高度综合的趋势，单凭个人的力量无法胜任科学研究工作。据统计，诺贝尔奖金有60%是集体获得的。美国女科学家哈里特·朱克曼在《科学的精神》一书中说；荣获诺贝尔奖金的研究成果大都是通过合作获得的。
为了促使学生的合作交流，教学设计时应考虑到以单一的班级授课制转向小组合作学习，如把班级的学生分成几个组，有明确的责任分工，教师能有效的组织学生的合作学习、交流。这种设计有助于培养学生合作的精神和竞争意识，同时有助于教师的因材施教，弥补一个教师难以面向有差异的众多学生的教学的不足。从而真正实现“不同的人在教学上有不同的发展”的教学目标。例如，用一根长为40米的铁丝围成一个长方形，怎样围面积最大？我在教学时把学生分成四个小组：第一小组同学根据所设置的长方形的条件，独立计算出长、宽和面积，然后把六位同学计算的结果填入下表
长与宽的差（米）
长方形的面积（平方米）
计算人姓名
第二小组观察讨论：长方形的长与宽的变化与面积的变化之间有什么规律？ 第三小组探索猜测：通过上面的变化规律，你能猜测出围成的长方形中有面积最大的吗？
第四小组验证猜测：用计算验证猜测的结论 。
小组讨论：你从这次活动中得到哪些体验和收获？
可见，在数学学习中，个人努力与合作学习相结合则能促进学生对数学的理解。在交流与讨论中，能够澄清认识，纠正错误。这有助于扩展思路，提高能力，加强自信，培养合作精神。
四、教学设计应有利于让学生学会生存，培养学生的创新意识
《课程标准》认为：应该培养每个学生具有一种独立自主的富有批判精神的思想意识，以及他们自己的判断能力。教学中教师要精心设计教学，不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应把数学知识方法贯彻到每一次探索活动中去，使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体验到成功的快乐，从而激发学生的创新欲望，体会到数学思想方法的作用。如在《对数函数的图象和性质》教学设计中，一般先复习指数函数的图象和性质，然后让学生自己研究。大多数同学类比指数函数性质的研究方法，观察图形特征，总结出对数函数的一般性质。教师为了启发学生突破思维定势，让学生探讨：不作图象能否得出对数函数的性质？这是一个很有挑战性的问题。学生纷纷投入到问题的研究，最后由学生提出运用函数与反函数的关系，根据指数函数的性质直接映射出对数函数的性质。这一方法展示了学生对知识的深刻理解，反映出更高层次的思维水平。发现学生思想的火花，激发学生思考，培养学生的创新思维，这正是我们追求的教学目标。
随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为四大支柱的学习能力也有了更高的要求。作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。
2006年8月
PAGE
4导数的概念教学设计（初稿）
《导数的概念》
海南中学 贺航飞
2006年10月24日
※教学设计
课题：导数的概念
教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修2—2§1.1.2
授课教师：海南中学 贺航飞（571158）
授课时间：2006年12月2日（海南华侨中学）
1． 教学目标：
知识与技能：通过具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的逼近过程，明确瞬时变化率即导数，从而形成导数概念．
过程与方法：⑴借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；
⑵通过对瞬时速度的逼近过程，结合平均变化率，使学生认识到瞬时变化率的重大意义；
⑶结合其他实例，抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数的内涵．
情感、态度、价值观：通过运动的观点展现导数的内涵，使学生认识到“瞬时与永恒”的辨证关系，从而激发学生学习的兴趣．
2． 教学重、难点：
重点：利用平均变化率的逼近瞬时变化率的过程及其理解；
难点：导数概念的形成，导数内涵的理解．
3． 学法与教学用具：
教学方法：教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅；
教学手段：黑板和多媒体相结合，利用几何画板等数学工具演示逼近过程；
教学思想：以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解题方法”为主，强调数学知识（导数概念）的建构过程；
教学用具：乒乓球（两枚）、几何画板课件、实物投影等．
4． 教学设想：
教学基本情境 设计意图与评述 师生活动
激趣激疑，引出课题情境一：教师手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？回答：一枚是静止的，一枚是运动的T：但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两枚乒乓球是一样的，因为在某个瞬间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）．现代物理学告诉我们，这两枚乒乓球不一样，因为一个的瞬时速度为0，一个不为0．那怎样求一个物体的瞬时速度呢？引例分析，思想奠基引例1：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t) =－4.9t 2＋6.5t＋10．计算运动员在这段时间里的平均速度．解答：平均速度为0．点评：平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度．问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？回答：利用平均速度逼近瞬时速度问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？回顾点拨：利用有理指数幂逼近无理指数幂，利用“二分法”逼近函数零点．师生合作，共同探究情境二：小组活动，计算平均速度-0.10.1-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001……………………问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049生甲（口答）：完成表格左边数据生乙（口答）：完成表格右边数据生丙：（观察并口答）在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度．练习：求在t=1及1.5时刻，运动员的瞬时速度．解：；．问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？回答：．问题拓展，深化概念T：由上节课我们知道，速度是位移的变化率，那么瞬时速度就是位移的瞬时变化率，你能求出一般情况下的瞬时变化率吗？引例2：气球体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系是当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率为你能写出气球在体积时的瞬时膨胀率吗？回答：．一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称之为函数在处的导数，记作或，即．T：导数就是瞬时变化率，瞬时变化率是平均变化率的逼近．古希腊大哲学家芝诺无法理解这种逼近，他只知道瞬间可以堆积成永恒，殊不知永恒也可以通过逼近来表现瞬间，这就是唯物辨证论；人类用了几千年，直到17世纪的工业革命，人们才逐渐认识到这种逼近．一旦认识到这种逼近，我们才定义了导数的概念——导数是研究变化的一种强有力的工具！例题分析，练习巩固例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：）为．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．解答：，；它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油问答大约以5℃/h的速率上升．练习：计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．解答：，意义同上．点评：导数即瞬时变化率，可刻画物体变化的快慢．课堂小结，布置作业1°平均速度逼近瞬时速度2°瞬时变化率即导数的概念3°公式：课后练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t⑴求物体第5秒和第6秒的瞬时速度⑵求物体在t时刻的瞬时速度⑶求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？作业（必做）：P10，3、4作业（选做）：P11，A组，5；P11，B组，1 利用芝诺“飞矢不动”悖论，吸引眼球，激发学生学习兴趣，并提出瞬时速度问题．通过具体问题，引导学生利用平均速度逼近瞬时速度．回顾无理指数幂及“二分法”中的逼近，引导学生自主探究，逼近瞬时速度．组织学生分组计算、填写速度逼近表格，感受平均速度逼近瞬时速度的过程．好一个两边夹逼！巩固逼近的思想方法，为后面的推广埋下伏笔！为瞬时变化率打下基础！速度是位移关于时间的变化率！从瞬时速度向瞬时变化率过渡！从特殊到一般，提出导数概念！承前起后，指出芝诺悖论的根源在于无法理解“瞬时与永恒”之间的辨证关系，升华学生的认识，并继续激发学习兴趣！巩固导数概念！导数的概念及其符号表示！作业体现层次性和选择性！ 教师结合数学史实提出问题，引出课题．教师引导学生回顾必修1中的两个逼近案例．学生分小组计算，教师适当引进激励机制，让学生又快又准计算平均速度并发现数据特征．学生练习，教师纠错．类比、推广！学生接受导数符号，了解极限符号的意义！教师不失时机的进行数学文化渗透！学生练习！学生小结本节课所学内容！
板书设计§1.1.2导数的概念一、引例1二、逼近思想（无理指数幂与“二分法”）三、导数的概念四、归纳小结
评价设计本节课的教学安排是按照建构主义展开的，笔者力求让导数概念的生成符合螺旋上升特征！这尤其体现在本节课的例习题安排上，可以说适时的例习题演练是对学生学习情况最好反馈和评价．引例1的前三个问题，一环扣一环，力求让学生理解瞬时速度、理解逼近过程；问题三后的练习就是针对这种学习情况的评价，教师以此检阅学生对逼近过程的理解程度，要求学生至少在形式上知道这种逼近方法（实质是取极限）．引例2是对引例1的推广，也就是将瞬时速度推广到瞬时变化率，这是本节课的第二次思维提升；例1及后面的练习则是在给出导数概念后，进一步巩固所学知识．课后练习是对本节课的又一次小结，教师通过习题揭示导数的内涵；必做的作业是对导数概念的基本要求，选做的作业则提出更高的要求，为后面的几何意义及进一步推广埋下伏笔！
5． 课后反思：
从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。
新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生更易于理解。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合。灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标。
在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识导数及发明导数的现实意义，这对接受和理解导数这个概念大有裨益！
本节课内容较多，一课时难以完成，教师可以根据教学实际删减该课例中的某些环节，比如后面的例1及练习题等！
电脑投影屏幕
列表（实物投影）
例1 课后练习
作业：
第1页（共8页）
第8页（共8页）如何在课堂教学中体现课程改革的精髓
青岛25中 高峰
课程改革的核心环节是课程的实施，课程实施的基本途径是课堂教学，那么，如何在课堂教学中体现课程改革的精髓，实现师生双方的协同发展呢？经过笔者近3年的课堂教学改革实验探索，认为在课堂教学中，教师应注意构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，爱护学生的好奇心、求知欲，倡导自主、合作、探究的学习方式，为学生提供发表不同意见的机会，逐步形成创新意识。
培养学生创新能力的关键在于教师，教师应引导学生展开想象的翅膀，发挥创新潜能，培养创新能力，经过课改实践，我认为教师至少应作好以下几点：
一、铺好创新之路
新课程标准指出：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境”。认知心理学关于学习机制的最新研究成果揭示了学习主动性的本质是认识主体的主动建构。只有当认识主体意识到是其自身在影响和决定学习成败的时候，主动建构才有可能实现。
教师在备课的过程中必须精心创设教学情境，有效地调动学生主动参与教学活动，使其学习的内部动机从好奇逐步升华为兴趣、志趣、理想以及自我价值的实现。
教师应就教学内容设计出富有趣味性、探索性、适应性和开放性的情境性问题，并为学生提供适当的指导，通过精心设置支架，巧妙地将学习目标任务置于学生的最近发展区，让学生产生认知困惑，引起反思。形成必要的认知冲突，从而促成对新的知识意义的建构。
因为数学的产生和发展，始终与人类社会的生产、生活有着密不可分的联系。任何一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要。新教材在这一点上已吹响了号角，和旧教材相比更注重问题情境的创设，比如在学习数列之前给出印度国王与国际象棋的故事等等，其实更多的情境需要我们来挖掘：
如“函数”的概念是高一数学中较难理解的概念，教学中就可以从一个有趣的“绕圈子”问题谈起：在世界著名水都威尼斯，有一个马尔克广场，广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂，教堂的前面是一方开阔地，这片开阔地经常吸引着四方游人到这里来做一种奇特的游戏，先把眼睛蒙上，然后从广场的一端走向另一端去看谁能到教堂的正面，你猜怎么着？尽管这段距离只有175米，竟没有一名游客能幸运地做到这一点，他们都走了弧线或左右偏斜到了另一边。
1896年，挪威生物学家揭开了这个谜团。他搜集了大量事例后分析说：这一切都是由于个人自身的两条腿在作怪！长年累月的习惯，使每个人伸出的步子要比另一条腿伸出的步子长一段微不足道的距离，而正是这一段很小 步差x，导致人们走出了一个半径为y的大圆圈！设某人两脚踏线间隔0.1米,平均步长为0.7米,当人们在打圈子时,圆圈的半径y与步差x为如下的关系:
上述生动和趣味性的学习材料是学习的最佳刺激,在这种问题情境下,将函数的定义有变量(传统定义)引向集合、映射说（近似定义），学生在这种情景下，乐于学习，有利于信息的储存和概念的理解。
又如我们在学习两个平面垂直的判定定理时，青岛市正准备2007年的奥帆赛，于是就以帆船为例进行提问：“帆船的帆只要紧靠船杆，则不论风向如何，船帆怎样旋转，船帆总是与船面保持垂直，为什么呢？这样一提问，必会激起学生深入的思考，从而利于激发学生的求知欲和调动思维的积极性。
二、引好创新之路
心理学的研究表明：意识到问题的存在是思维的起点，没有问题的思维是肤浅的、被动的思维，在数学思维中，最可贵的、层次最高的品质是创造性思维，创造性思维是指在强烈的创新意识的指导下，把头脑中已有的信息重新加工，产生有进步意义的新设想、新方法的思维。而创新源于问题，没有问题就不可能有创新，问题是创新的动力和源泉。问题意识是创新的开始，是创新意识的重要组成部分。
在数学教学中如果能让学生意识到问题的存在，感到需要问个“为什么？”、“是什么？”、“怎么形成的？”、“如何变化的？”等等，那么就能激发学生积极思维。学生的问题意识越强烈，他们的思维就越活跃，越富有创造性。
课堂教学中，教师应努力在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学四方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“”联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，使学生领悟发现和提出问题的艺术，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神。
培养学生的问题意识就是要让学生敢于开口，，为此教师要达破“师道尊严”的师生观，鼓励学生质疑问难，对教材写的，教师说的，名人提出的问题敢于质疑，敢于说出自己的问题，明确要求学生“说比不说好，说错了也没有关系”。这就要求教师努力创设民主的、开放的教学情境，所谓的教学情境就是课堂教学的一种“气氛”，开放的教学情境包括以下几个方面”：
1． 教学方法开放——如在解不等式时，除了常见的解
法外，有的学生提出不等式两边同时乘以，既可以去分母又不需要分类讨论。对于这种方法教师不必急于表态，应让学生去思考下列问题：这个解法可不可以？为什么？是偶然还是必然的？可以推广吗？并给学生留有足够思考的时间和空间，然后再请学生提出自己的看法，教师通过民主的方式示范如何提出问题、又如何思考问题，使学生领悟发现和提出问题的方法，逐步培养学生的问题意识。因此，只有在民主的教学情境中，学生才能自由学习、自由提问，并在提问中感受到自己是一个真正的思考者、探索者，他们的个性也可以尽情地发展。
2． 问题开放——如在直线与圆锥曲线的位置关系的教学中可
以设置这样的开放性问题：“直线y=3x+m与抛物线相交于A、B两点， ，求直线AB的方程。 你能对直线补充一个恰当的条件，使直线方程得以确定吗？”此题一出示，学生的思维必会很活跃，补充的条件也会形形色色
学生畅所欲言，涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标
公式、两条直线互相垂直的充要条件、最值问题、数形结合思想等等，学生确实进入了自主学习的状态。这是一个开放题，其目的在于通过学习提高学生发现问题、吸收信息；主动获取知识、重组应用的能力
3． 解题开放——在函数的教学中，单调性是一个难点，学了
函数的单调性和奇偶性的结合，更是让学生经常头疼犯难。有这样一个常规题：“已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，求证f（x）在（-∞，0）上是减函数”这是一个封闭式的问题，于是做了如下改动“试问f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？”经过学生自己思考、探索，不难得出结论，那么对于这个问题是否可以画上句号了呢？其实可以对这个问题的结论做进一步的探究、拓展，我启发学生变换原题中的条件，得到下列的一些变式：
（1） 已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减
函数，试问，f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？
（2） 已知函数f（x）是奇函数，而且在（0，+∞）上是增
函数，试问，f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？
（3） 已知函数f（x）是奇函数，而且在（0，+∞）上是减
函数，试问，f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？
经学生讨论解决，然后要学生将这些问题的条件和结论列出
表格，如下
f（x）的奇偶性 （0，+∞）上的单调性（条件） （-∞，0）上的单调性（结论）
奇函数 增 增
奇函数 减 减
偶函数 增 减
偶函数 减 增
观察表格，并思考交换结论和条件，上述命题是否还成立？从中你是否能发现什么规律？由于有了上面的铺垫，学生容易得出规律：奇函数在其定义域内的两个对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域的两个对称区间上的单调性相反。这个规律的得出，虽并非创新，知识属于重复发现，但就意义来说却十分重大：一是对学生本人而言，这个成果的获得在其思维过程中是带有创造性的；二是学生明白了解题后的反思、探究，可以为自己提供再发现、在创造的机会，可以瓤子机品尝到成功的喜悦，感到学习的快乐。因此，我认为，学生的数学创造性思维主要就存在和表现与这样的探究活动中，并在这样的探究活动中不断发展提高。
4． 学习方法开放——《普通高中新课程方案（实验）》指出，
中学数学建模将成为高中数学的一个专题课程，这一变化凸显了数学的应用价值，数学建模教学是一个引导学生学数学、作数学、用数学的过程，这对于提高学生数学素质，培养创新能力大有益处。新课程教材在必修1部分引入了大量的贴近学生生活的实际问题，如用数列思想解决分期贷款的还款问题，出租车的计价问题等。在课堂教学中，教师还应因地制宜的收集、改造、编制新颖的应用问题，并引导学生开展探究活动，就可以初步改变学生的学习方式，激活学生的创新意识，提高课堂教学效率，进而使学生学会探究学习。
一般讲授这部分内容的时间正好在十一左右，黄金周
期间商场免不了要进行促销，则可以利用报纸上的广告编制研究性问题如下：利群商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名；百盛商厦则实行九五折优惠销售。请你判断一下：哪一种消费方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大？
学生分小组研讨相继得出结论，在自行纠正的过程中，终于总结
汇总如下：由于利群商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制，所以这个问题应分类讨论分析如下
（1） 若利群商厦确定每组设奖，参加的人数较少，少于213
（1+2+10+200=230）人，获奖机率较大，则利群商厦的销售方式更吸引顾客
（2） 当利群商厦每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相
应的小。因为利群商厦提供的优惠金额是固定的，共14000元（10000+2000+1000+1000=14000）；假设两商厦提供的优惠都是14000远，则可求百盛商厦的营业额为280000元
由此得出结论
（1） 当两商厦的营业额都为280000元时，两商厦提供的优惠一
样多
（2） 当两商厦的营业额都不足280000元时，百盛商厦的优惠则
少于14000元，利群商厦提供的优惠仍是14000元优惠大
（3） 当两商厦的营业额都超过280000元时，百盛商厦的优惠则
大于14000元，利群商厦提供的优惠仍是14000元，百盛商厦提供的优惠大
其实，象这样的问题在日常生活中随处可见，采用自探互研、合
作学习的模式，可以增强学生的学习兴趣、学习信心、竞争意识、主动合作的精神，促进学生个性的发展。在过程中学会学习，在过程中学会创造。
总之，教师在授课过程中要有“创新举措”——创新的思维方式和创造性解决问题的方案。实践表明：这种“创新举措”能对学生产生潜移默化的影响，学生就会产生跃跃欲试的创新想法。教师要充分挖掘教材在培养与训练创新能力方面的内在因素，为学生提供运用知识解决问题的机会和条件，启发学生自己发现问题、分析问题和解决问题，逐步养成独立思考、创造性运用知识的习惯，为学生开掘广阔的思维潜能，施展创新才能。学生在自己开辟的创新路上尝到了成功的甜头，就会持之以恒地保持这种欲望和行为，从而使这种创新能力不断加强，进而形成良好的创新个性。
以上，仅是本人在近3年的新课程改革的教学中的一点体会，愿写出来与大家共同探讨，已期不断提高，不当之处敬请批评指正。
2006年10月“算法案例——秦九韶算法”(第一课时）教学设计案例
揭阳市揭西县河婆中学 彭文献
一.教学任务分析
(1) 在学习中国古代数学算法案例的同时,进一步体会算法的特点。
(2) 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。对学生进行爱国主义教育。
二．教学重点与难点
重点：理解秦九韶算法的思想。
难点：用循环结构表示秦九韶算法的步骤。
三．教学基本流程
设计算法,求具体多项式的值
改进算法,提高运算效率
介绍秦九韶算法,求一般多项式的值
用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤
对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结
四．教学方法—— “再创造”活动教学
其操作步骤：创新问题 ——→ “开创” 思路、问题解决——→ 解后再“创”。
五．教学情景设计
1、创新问题
创设问题情境①： 设计求多项式 当时的值的算法，并写出程序（设计意图，使学生在自己操作的过程中进一步认识问题本身及其算法）。学生提出一般的解决方案：
PRINT ；
END
师： 上述算法一共做了多少次乘法运算？多少次加法运算？
由代表发言：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算。
2、“开创”思路、问题解决
创设问题情境②：上述算法有何优、缺点？有没有更高效的算法？（激发学生探究，改进算法，提高计算效率的意识。）
经学生探究后举手回答：计算的幂时可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算，然后依次计算，，的值。
教师点评：上次算法共做了9次乘法，5次加法运算。两次做法相比，第二次乘法运算减少了，因而能提高运算效率。
创设问题情境③：能否从第二次做法中受到启发，探索更高效的算法，来解决任意多项式的求值问题？（鼓励学生进一步探索具有一般意义的算法。）
适时启发学生从多项式变形入手，学生把多项式变形为：
教师提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？的系数依次是什么？
生：，，，，
共5个一次式，的系数依次是2，，，，．
创设问题情境④：若将的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？（引导学生发现规律，归纳总结。）经过学生探索发现：计算的过程可以列表表示如下，
原多项式的常数 －5 －4 3 －6 7 运算
＋
变形后的“系数” 2 5 21 108 534 2677 ×5
师：最后的系数2677即为所求的值。同时提出问题：如何描述上述计算过程？
生：将变形前的第1个系数乘以的值，加上变形前第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以的值，再加上变形前第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前最后一个系数相加，得到一个新系数为止。（在描述过程中教师加上箭头）这个系数即为所求的多项式的值。
师：指出这种算法就是“秦九韶算法”。她是我国有古代劳动人民智慧的结晶，是我国伟大国库中的瑰宝。直到今天，秦九韶算法仍是世界上多项求值的最先进的方法，这一成就比西方同样的算法早五、六百年。
秦九韶算法应用：
[例题] 已知一个5次多项式
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。
解：根据秦九韶算法，把多项式变形为：
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：
所以，当时，多项式的值等于．
3、解后再“创”
创设问题情境⑤：用秦九韶算法求上述例题多项式的值，与多项式的组成有直接关系吗？需要多少次乘法运算和多少次加法运算？（通过例题引导学生分析秦九韶算法的特点。）由学生发现在求值的过程中，计算只与多项式的系数有关。让学生统计所进行的乘法和加法运算的次数。
生：共做了5次乘法运算，5次加法运算。
创设问题情境⑥：
师：怎样用秦九韶算法求一般的多项式当时的值？
生：先将多项式变为
，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值。
教师引导学生思考：把几次多项式的求值问题转化成求几个一次多项式的值的问题，即求：
……
的值的过程，共做了多少次乘法运算，多少次加法运算？
生：次乘法运算，次加法运算。
创设问题情境⑦：秦九韶算法是世界上多项式求值最先进的方法，今天能否用程序框图表示这种算法？（引导学生认识秦九韶算法中的循环过程，并用算法的循环结构来表示这个过程。）
教师适时启发、诱导：观察秦九韶算法的数学模型，计算时要用的值。若令，可以得到怎样的递推公式？
生：可得下面的递推公式：
（，2，…，）.
师：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。
4．课堂练习：（1）画秦九韶算法的程序框图。（由学生板演，教师作进一步的修改并讲评。）
(2) 求多项式,当时的值。（由学生板演，教师讲评。）
5．课堂小结：通过对秦九韶算法的学习,你对算法本身有哪些进一步的认识？
（教师引导学生思考、讨论、概括。）小结时要关注如下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法；等等。
6．课外作业：习题1.3A组第2题。
2006年8月
10
25
105
540
2670
PAGE
4新课改中数学教学的一点体会
王考兴
青岛志成实验中学（266022）
内容提要：数学学科的基础性、工具性以及在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中所发挥的独特的、不可替代的作用告诉我们，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.新的课改精神在倡导学生学习方式的转变和教师教学行为的变化的同时，特别注重学生创新精神和实践能力的培养,实际上就是培养学生的“数感”。我们在教学中应当充分挖掘教材的内涵，通过揭示数学知识产生的背景、数学知识的形成过程，不断挖掘教材内容潜在的、由数学知识反映、提炼出来的数学思想方法的并逐步渗透，来培养学生的数学应用意识，以提高学生的数学学科能力，使他们具备作为未来公民所必须具备的基本素质，具有较强的“数感”，更好地应用于学生一生的生活、学习、研究和实际工作。
关键词：新课改 数感 培养 体会
我们在实施新课改的过程中，始终把引导和培养学生的“数感”作为教学的主线。所谓“数感”，实际上就是我们推崇和经常提到的数学素养。也就是指“人们在社会活动中，逐渐积累的对于数学关系和空间形式的认识”，它包括知识技能素养、逻辑思维素养、运用数学素养、唯物辩证素养等。我们说，一个人具有较高的数学素养，某种意义上就是指它又较强的“数感”，主要体现在以下几个方面：
（一） 掌握必要的数学基础知识和基本技能，能理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法。并通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
（二）具有一定的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理等基本能力。
（三）能数学地提出问题、分析和解决问题，具有数学表达和交流的能力，有独立获取数学知识的能力。
（四）具有数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和做出判断。
（五）具有学习数学的兴趣，以及学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
（六）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
那么，在实施新课改的过程中，我是怎样培养学生的“数感”的呢？
我们知道，学习的目的在于应用，数学教学的重要任务之一是让学生运用所学知识去分析和解决现实世界中的各种问题。新的课改精神在倡导学生学习方式的转变和教师教学行为的变化的同时，特别注重学生创新精神和实践能力的培养。新的数学课程标准明确提出，在数学教学中，应注重发展学生的应用意识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，让学生对数学有亲切感。传统的数学教学在培养学生知识技能和逻辑思维能力方面都有独到之处，着重强调数学知识的严谨和结果的精确性，往往淡化学生的数学应用意识。在新的课改精神指导下，我们评价数学的教和学，不仅仅看学生掌握了多少数学知识，更要看它是否能够谈论数学，进行数学交流，是否具有应用数学的意识，具有“数学头脑”。因此，我们在教学中，应充分挖掘教材的内涵，创设问题情景，让学生在自身的生活背景中发现数学，运用数学，创造数学，培养学生对“数的感觉”，从而培养学生应用数学的意识。
（1） 揭示知识的产生背景，展现知识的形成过程
数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。这一思维过程就是科学家对数学知识和方法形成的规律性的理性认识的过程；任何一个规律，都经历着有特殊到一般的归纳过程。如果我们把这些认识过程返朴归真，引导学生以探索者的姿态出现，去参与概念的形成和规律的揭示过程，学生获得的就不仅仅是数学概念、定理、法则，更重要的事发展了抽象概括的思维和归纳的思维，可以养成良好的思维品质，使学生产生很好的“数感”。如在导出“一元二次方程的根与系数的关系”时，首先举两个例子，从中“看出”关系，然后“一般地”利用求根公式证明这种关系，最后得出结论。如果把“实例试验——归纳猜想”的过程略去，直接证明也未尝不可，但是，缺少了具体例子作铺垫，证明将成为一种纯理性的“注入”，目标不够明确，启发性也不强。可见，在教学中设计的“实例——猜想——证明”的过程，不仅符合学生的认知水平，而且有助于加强归纳思想的渗透。像这样在解决实际问题的过程中内化数学思想方法，对于提高学生的应用意识是十分有效的。数学的起源是对实际问题的描述，数学的发展主要依赖于生产和科学实践。几何学的产生、公理的形成、无理数的发现等，都是实践的产物。因此，我们在学习数学知识的过程中，应尽量联系生产和生活实际，展示知识的发生发展背景，让学生从中获得学习数学的兴趣和动力。
贴近生活，构设背景，发展已知，探求矛盾恰恰是认识的出发点，也是提高学生学数学、用数学，从而去感觉数学的能力的根本所在。
（二）体现数学的应用天地，展示数学的靓丽风采
著名数学家华罗庚说过：“那里有‘形’，那里有‘数’，哪里就有数学。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。当今世界，数学已渗透到了生活的每个角落。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。新的数学课程标准明确提出，高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
木工师傅弹墨线的方法，实际应用了“两点确定一条直线”的数学知识；自行车架、房屋支架、钻机铁架的骨架中，是利用了三角形的稳定性；一些商店的捐帘门、安全门是借助了平行四边形的不稳定性；黄金分割在生活中的应用更是数不胜数：一幅画、一幕舞台的设计，都有它的中心，这个中心往往放在黄金分割点处使人感到更美。舞台上，报幕员并不是站在舞台上的正中央，而是偏在舞台的一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播效果最好。作曲家在曲式结构上，乐曲较长的一段是总长度和较短的一段的比例中项，这些都正好与黄金分割合拍。0.618不仅在精神上、心理上给了我们美的享受，在工农业生产和科学试验中也有着广泛的应用，从一个侧面展示出了数学的靓丽风采。数学家华罗庚创造的优选法，曾为国家创造了巨大的财富。
数学应用与数学知识学习是相互促进、相辅相成的，在数学教学中加强数学应用和联系实际，不仅有利于提高学生的数学学习兴趣，加强学生的数学应用意识，而且有利于学生的数学理解，提高学生的数学创造力，使学生对数学“有所感觉”。 随社会主义市场经济大潮的兴起，股票、利息、保险、有奖储蓄、分期付款等经济方面的数学问题已日渐成为人们的常识。而我国应用意识失落是数学教育的一个严重问题，课堂上不讲数学的实际来源和具体应用，“掐头去尾烧中段”，让学生在符号的海洋里做波浪运动。如果我们的数学教学仍然视为不见，只满足于“思维体操”的功能，不管实际应用，恐怕要落后时代，误人子弟。我在教学中特别注重通过抽象、概括，建立数学模型等思想方法的学习和训练，可以让学生体会到数学中的定义、概念、定理、公式等，是从现实世界中经过逐步抽象概括而得到的数学模型，与现实的世界有着千丝万缕的联系，并且可以反过来应用于现实世界来解决各种实际问题。
（三）寻求概念的生活原型，还数学的本来面目
数学是自然的，数学是清楚的。中学数学内容是人类在长期的实践中经千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。数学概念源于实践，任何数学概念都可以在生活中找到它的原型。可以说，任何一个概念，只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用以及与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成的、浑成天然的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。有一些抽象难懂的数学概念，不易从实例中归纳抽象出来，但在给出概念之后，可以用形象生动的语言或生活中的实例帮助学生理解概念，这样就能使本来比较抽象的内容变得通俗易懂，学生不但易于理解，而且也培养了他们的应用意识。随着世界性的科学技术的迅猛发展，数字化技术已深入到现实生活的各个领域，未来信息化社会对人的素质要求中，数学能力将是极其重要的组成部分。近年来国内外数学教育改革强调数学的“人人有份”和“问题解决”，正是基于社会对数学的需求。数学的进步及其活力，总是以来与抽象对具体的帮助，以及具体对抽象的哺育。在生活中寻找数学概念的原型，不仅使学生感到数学亲切、有趣，更重要的是在数学与生活之间架起了一座桥梁，是学生理解怎样去数学地认识生活、认识事物，形成用数学的意识，完成“实践——理论——再实践”的认识飞跃。从而对数学的感觉越来越亲切。
（四）挖掘教材内容潜在的数学思想方法
著名数学家玻利亚曾统计，学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，基本不用或很少用数学的占70%，我国的情况大抵相仿。所以对大多数人来说，数学思想方法比形式化的数学知识更加重要。因为前者具有普遍性，在他们未来的生活和工作中能派上用场。例如，我们确信三角形的面积公式相当重要吧！但很多人在校外生活使用这个公式至多不超过一次。所以更重要是获得这样的思想方法，就是通过分割一个表面成一些简单的小块，并且用一种不同的方式重新组成这个图形来求出它的面积值。这种注重知识形成过程得到的结论比单纯教会学生面积公式结论不知享用多少倍。
学生有没有“数感”的重要标志是，能把相关学科、生产和日常生活中的实际问题抽象成数学问题，运用数学知识、技能去分析解决他们。我们在教学中应当充分挖掘教材的内涵，通过由数学知识反映、提炼出来的数学思想方法的渗透，来培养学生的数学应用意识，以提高学生的数学学科能力，使他们具有较高的数学素养，从而产生对“数的感觉”，更好地应用于学生一生的生活、学习、研究和实际工作。
数学概念、公式、定理、法则等，都是从现实世界中为解决各种实际问题而经过抽象概括得到的数学模型。因此，要运用所学知识解决实际问题，一定要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，使学生通过理解和掌握数学思想方法，增强用数学的意识。传统的教学注重知识的传授，但忽视知识发生过程中数学思想方法的教学。在新课标教材的使用过程中，不能把数学思想方法的教学作为一种形式，更重要的是要明确数学思想方法的地位和作用，并且认识到，数学思想方法是渗透在知识的发生过程之中的，根植于知识的发生、发现、发展之中。在教学过程中，要把握渗透的时机，选择适当的方法，使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决实际问题。加强对解题的正确指导，引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。而化归，数学模型、数形结合、类比、归纳猜想等思想方法，也是解题思路分析中必不可少的思想方法，是一种思维导向型的思想方法。其中，化归是一种基本的解题思路，学生一旦形成了化归的意识，就能化未知为已知、化繁为简、化一般为特殊，优化解题方法。数形结合是充分利用图形直观，帮助学生理解题意的重要手段，它可以使抽象的内容变为具体，从而化难为易。数学思想方法在解题思路探索中的渗透，可以使学生的思维品质更具合理性、条理性、敏捷性，促进学生应用数学的自觉性，提高数学的应用意识。使学生对“数学的感觉”达到一个新的层次。
记得一位数学家曾经说过，数学素质可以归结为：“归纳、演绎、建模、创新”，但传统的数学教学往往偏爱“归纳、演绎”，而轻视“建模、创新”，其实数学科学来源于实际，又回到实际中去，在科学链：基本背景——基础知识——基本技能——基本应用中，我们既要重视产生基础知识的基本背景的分析（即实际问题是怎样提出来的），也要重视基础知识基本技能的转化应用“数学是怎样回到实际中去的”，只有这样，才真正掌握了数学的内涵，形成全面的数学素养，使之产生“数感”。归根结底，我们不只是为了培养人数极少的数学家和数学工作者，而是为了使多数学生通过学习数学而变得聪明起来，能用数学内涵去提出问题，分析问题和解决问题，学会数学地思维，掌握数学方法，获得更高的数学素养，使学生在数学的知识、思维、方法以及理性精神等方面得到较为全面的发展。另一方面，提高学生数学素养，培养学生的“数感”，还要求教师应树立教书育人的数学观、教育观，不能把数学教学看成是单纯的知识传授，而应育人于教书中，树立“教师是主导，学生是主体”的思想，使数学教育成为真正意义上的素质教育，成为数学化的教育，让学生学习、参与数学化过程，充分发挥数学的形式训练价值及应用价值。同时应结合我国改革开放及经济建设的实际，把辩证唯物主义和爱国主义教育的内容始终贯彻在教学中，激发学生的民族自豪感和建设祖国的责任感。这既是数学教育的作用所在，也是数学教育的目的所在。
主要参考文献：
刘来福、曾文艺 《问题解决的数学模型方法》 北京师范大学出版社 1999
钱佩玲、邵光华 《数学思想方法与中学数学教学》北京师范大学出版社 1999
毛永聪 《中学数学创新教法》 学苑出版社 1999
张楚廷 《数学教育心理学》 警官出版社 1998
胡建军 《思维体操与思维文化》 科学出版社 2002
奚定华 《数学教学设计》 华东师范大学出版社 2000
张奠州 《数学素质教育设计》 江苏教育出版社 1996《正弦定理》教学设计
山东省莱芜市第十七中学 田才林
一、教学内容：
本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证明，最后进行简单的应用。
二、教材分析：
1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（A版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证明；难点是三角形外接圆法证明。
三、教学目标：
1、知识目标：
掌握正弦定理，理解证明过程。
2、能力目标：
（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：
五、教学过程：
（一）创设问题情景
课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？
[设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：
1、考察角A的范围，回忆“大边对大角”的性质
2、让学生猜测角A的准确角度，由AC=2BC, 从而B=2A
从而抽象出一个雏形:
3、测量角A的实际角度,与猜测有误差, 从而产生矛盾:
定性研究如何转化为定量研究
4、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:以及等
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:
1、如何对以上等式进行检验呢 激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，筛选出能成立的等式（）。
2、那这一结论对任意三角形都适用吗？指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。
3、让学生总结实验结果，得出猜想：
在三角形中，角与所对的边满足关系
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！]
（四）让学生进行各种尝试，探寻理论证明的方法。
提出问题:
1、如何把猜想变成定理呢？使学生注意到猜想和定理的区别，强化学生思维的严密性。
2、怎样进行理论证明呢？培养学生的转化思想，通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。
3、你能找出它们的比值吗？借以检验学生是否掌握了以上的研究思路。用几何画板动画演示，找到比值，突破难点。
4、将猜想变为定理，并用以解决课首提出的问题，并进行适当的思想教育。
[学生成为发现者，成为创造者！让学生享受成功的喜悦！]
（五）反思总结，布置作业
1、正弦定理具有对称和谐美
2、“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的研究问题的思路和方法
课下思考：三角形中还有其它的边角定量关系吗？
六、板书设计：
正弦定理
1、 问题：大边对大角→边角准确的量化关系？
2、 研究思路：特例→类比→实验→猜想→证明
3、 结论：在△ABC中，边与所对角满足关系：
七、课后反思
本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的兴趣。
（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：
1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向： “怎样调整发射角度呢？”、“我们的工作该怎样进行呢？”、“我们的‘根据地’是什么？”、“对任意三角形都成立吗？”……促使学生去思考问题，去发现问题。
（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证明方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。
（三）数学实验走进了课堂，这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。
一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。
一些感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
→
→
→
→
简单应用总结评估
深入思考证明猜想
探寻特例提出猜想
观察实验建立模型
创设情境
布疑激趣对 秦九韶算法教学 的几点思考
饶月娥
（银川市第二十五中学 750026）
摘要：为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容.根据新课标中算法的内容和要求，结合学生已有的认知结构和学习能力，本文就秦九韶算法的教学中如何既体现新课程、新理念、新课标，又注意结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣提出几点思考，供交流学习.
关键词： 秦九韶算法 教学 新课标
数学是一门思维的学科，而逻辑思维能力是数学学科能力的核心，是数学的“灵魂”.在新的课程标准中，对《算法初步》加以要求和考查，是提高学生思维素质和能力的又一重要途径.但是，多数教师都没有算法的教学经验，该内容具有很大的挑战性.
我们学校使用人教A版教材，《算法初步》一章内容的教学已经结束.还存在两个突出的问题：一是教师不注重挖掘教材中隐含的数学思想方法，对数学逻辑思维在教材中的层次性缺乏深度的思考和认识，缺乏教学的整体规划和安排.二是只注重数学思想方法结论的解析和证明，忽视了对数学思想方法的抽象、概括或探索推理的心智活动过程.其结果就是学生没有体会到对问题的探究从而形成认知的过程，更未形成建立和发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力.“知其然而不知其所以然”，不能够举一反三，欠缺站在巨人的肩头去研究、分析新的问题的能力.这无疑与数学新课标的目的是相去甚远的.
以下以秦九韶算法的教学，谈谈自己的几点思考
从一道已学过的习题出发在求解过程中引概念，并且把算法思想方法渗透在高中数学课程及其有关内容中，鼓励学生运用算法解决有关问题.
以下是教材（人教版高中《数学》必修3，第39页“秦九韶算法”中的内容
怎样求多项式当x=5时的值呢？
一个自然的做法是把5代入多项式，计算各项的值，然后把它们加起来，这时一共做了=10次乘法运算、5次加法运算.
1 逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路
对数学概念的认识，既要呈现知识，又要使学生体会人类认识数学经历的一切，因此很多时候教材中只能看到漂亮的结论和严格的证明。由此产生的认识困难问题必须通过教师的教学加以解决.这就需要教师首先了解清楚所教的内容的发生发展过程，在教学过程中，有意识有目的的设置一些情境，从具体事例和事实中帮助学生发现、抽象、概括；并能加强自身的综合素养，这就需要教师采用数学探究性课堂教学.
思考1 对计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长的多，所以能否找到其他的做法，减少乘法的运算次数，从而提高运算效率？
教师引导学生分析、推理：另外一种做法是先计算的值，然后依次计算，，的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.
思考2 我们知道，这是只对求多项式当x=5时的值而言的，那么再举一例如下：求多项式当x=2时的值？
教师引导学生解答：利用思考1总结出来的方法，每次计算利用上一次结果.所以解决办法如下：
将原式变形如下
将x=2代入上式，从内往外依次计算
用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法.
思考3 一个n次多项式的值？
教师引导学生解答：将原式变形得
求多项式的值时，类推练习的方法.首先计算最内层括号内的一次多项式的值，即：
然后由内往外逐层计算一次多项式的值，即
由上解答过程，教师引导学生总结.
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.
教师小结：上述方法为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法，同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人.先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所.他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家.早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》.《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类.其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.
2 注重将“算法”提升到“程序框图”的层面
数学“算法”与“程序框图”之间，并不是毫无关联的.在数学中，我们习惯上把按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法.而把一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形称为程序框图.程序框图揭示的是算法所描述的每一步骤，为算法的描述起到抽象概括的作用.因此，要注重将“算法”提升到“程序框图”的层面.提高学生的数学“意识”，这对拓展学生的思维形成“程序框图”是十分重要的.
思考1 观察上述秦九韶算法中的n个一次式.在秦九韶算法中反复执行的步骤是什么，应该用什么结构来实现？
教师引导学生分析：观察秦九韶算法的数学模型，计算时要用到的值.若令可以得到下面的递推公式：
（v=1、2、3……n）
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用算法逻辑结构来实现.
由秦九韶的概念得出算法步骤如下：
第一步：输入多项式次数n,最高次项的系数和的值.
第二步：将v的值初始化为，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数.
第四步：
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.
思考2 怎样用程序框图表示秦九韶算法？
教师引导学生分析 由算法步骤画出程序框图：
提升：由以上“算法”转化为“程序框图”.就是一种十分重要的数学思想.由此发现，“算法”与“程序框图”它们既是研究问题的不同方面，又是相互依存、相互联系的，在一定条件下可以由“算法”画出“程序框图”：由“程序框图”写出“算法”——这就是哲学思想.
3 注重“程序框图”写出“程序”并进行迁移、运用
把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题, 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题.如果说对秦九韶算法的学习是“认识”，那么，让学生对秦九韶算法的认识过程及运用则是“实践”，实践——认识——再实践——再认识.这是认识发展的必然规律.因此，教师要精心设计训练的平台.将秦九韶算法的思想与学生原有知识建立起联系，让学生感受到中国古代数学对世界数学发展的贡献.通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”.教育心理学表明，学习的疑难太多，会影响到学生的信心，对于一些新的知识，其与学生已有的知识没有内在的逻辑联系，必须提前给予解释，对于如何表述要给予示范.如程序框图中使学生的思维更规范、更科学.对秦九韶算法的认识、理解，不仅来源于会写算法，会将算法转化成程序框图，更来源于用程序框图写出计算机识别的程序.由以上程序框图对应写出程序：
第一步 INPUT n
INPUT
INPUT x
另一种写法：INPUT “n，，x”；n，，x
评析： 如果不注意输入语句的格式，则写出的程序，计算机就不会执行或输出错误的信息，这是很多学生常犯的错误.
第二步 LET
LET
评析：学生在写赋值语句时常常一句给出多个变量赋值，这也是错误的.
第三步 WHILE
INPUT “”;
WEND
评析：根据程序框图及前面提到的循环结构，递推公式.引导学生选对循环语句写出程序，问题就会迎刃而解.
以上可见，即使是教材中某一段不起眼的内容，通过对解决具体问题过程与步骤的分析.也能体会到算法的思想，理解算法的含义；通过模仿、操作、探索、经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.
把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题, 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题.让人从一些机械重复、繁杂的工作中解放出来. 同时通过电脑操作，让学生自我去探索，及时验证自己的算法是否可行，及时获得成就感，激发其学习兴趣，也符合新课程的理念.我们拥有丰富的资源，只要认真去探索，研究，实践，我们是可以大有作为的，这也是数学教师的重要使命.
[参考文献]
1．《普通高中数学课程标准（实验）解读》 江苏教育出版社 2004年4月第1版
2．《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》 人民教育出版社 2004年7月
开始
输入n, ,x的值
输入
i>=0
输出v
结束
是
否
PAGE
2数理逻辑初步
秦庆尧（临沂沂水县教育局教研室）
1. 引言：
逻辑学是研究人类正确思维的规律和形式的科学. “逻辑”一词是拉丁文logic的音译，logic一词导源于希腊文logos，有“思维”及“表达思考的言词”之意. 逻辑学分类：
1.形式逻辑：形式逻辑是由古希腊大哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384—322年）创立的. 主要是对思维的形式和规律进行研究的类似于语法的一门工具性学科，思维的形式包括概念，判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性或关系进行肯定或否定的回答，这就是判断；由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式叫做推理. 形式逻辑的主要内容还包括关于正确思维的三个基本规律和演绎推理的基本形式：三段论. 这三个定律是：
（1）同一律：A就是A，而不是非A. 在思维和推理的过程中，一个概念必须保证它的外延的确定性和内涵的同一性，用同一个概念去表达两个不同的对象，或用两个不同的概念去表达同一个对象，都是违犯同一律的，违反同一律的逻辑错误叫做偷换概念. 古希腊诡辩学派就是通过这样的办法与人辩论的.
（2）矛盾律：A不能既是B，又是非B. 第二个说法是：命题p不能既真又假. 第三个说法是：命题p与非p不能同真（但可以同假）. 这里的非p与下文的“非p”意义不同，例如，命题p：质数是奇数；非p：质数是偶数. 这两个命题就违反了矛盾律，他们不可能都是真命题，事实上，他们都是假命题.
（3）排中律：A或者是B，或者是非B，二者必居其一. 第二个说法是：命题p非真即假.，二者必居其一.
在十七世纪末，德国哲学家、数学家莱布尼兹又增入了一条：
（4）充足理由律：所以有A，是因为有B.
三段论是演绎推理的形式，由大前提、小前提和结论组成.
亚里士多德在形式逻辑的基础上又提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想. 欧几里德在此基础上创立了公理化方法：尽可能少的选取原始概念和一组不加证明的原始命题即公理，以此为出发点，应用演绎推理，推出各门学科的全部内容. 他的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《分析力学》、拉瓦锡的《化学纲要》等科学名著都是按照公理化方法写成的，所以说，没有形式逻辑，就没有现代数学和现代自然科学.
2.辩证逻辑：辩证逻辑是由19世纪德国哲学家黑格尔创立的. 主要是三个定律：量变与质变规律；对立统一规律；否定之否定规律. 辩证逻辑也叫辩证法，马克思与恩格斯运用黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义创立了辩证唯物主义，影响是巨大的.
3.数理逻辑：也叫符号逻辑，它既是一个数学的分支，也是一个逻辑的分支. 它是用数学的方法研究形式逻辑的学科，所谓数学方法，是指使用符号、公式、公理化方法和一般的数学知识. 主要内容是命题逻辑和谓词逻辑. 现在，数理逻辑又有了四个主要分支：证明论，公理集合论，递归论和模型论. 中学数学中的逻辑内容主要是命题逻辑和谓词逻辑的一点初步知识. 符号逻辑的创立者主要有：莱布尼兹，布尔，摩尔根，皮尔斯，弗雷格，罗素，皮亚诺，哥德尔等人，这些人主要是数学家或哲学家. 学习数理逻辑的意义：它是数学的基础和学习数学的工具；对培养学生的逻辑思维能力有重要意义；数理逻辑是计算机理论的基础，它是计算机专业和人工智能专业的基础课.
二. 命题、开句与量词：
1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫命题.
在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫判断，表达判断的陈述语句叫命题.
判断一个句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述语句，其次看看它能不能判定真假.
下列语句不是命题：
（1）感叹句. 例如，祝你健康！
（2）疑问句. 例如，难道平行四边形的对角线不是互相平分吗？
（3）祈使句. 例如，你快离开这里！
注意：下列陈述句不是命题：纽约离我们沂水很遥远.；方程2x2＋3x＋1=0可能有实根. 这种语句在模糊逻辑中才是命题. 模糊逻辑是1965年由美国的数学家扎德（Lolri Zadeh 1921年—）创立的，到现在还很不成熟.
“教师是人类灵魂的工程师”，这个语句不是命题，这只是一个比喻，无所谓真假. “人为万物之灵” 也不是命题，这只是一个形容，也是无所谓真假的. “张三是东西”也不是命题，因为“东西”的含义不明确，无法对其做出判断. “火星上曾经有水”，这是一个命题，虽然现在还不知道它的真假，但它的真假是客观存在的，随着科学技术的发展，总有一天会知道它的真假的. “我正在说假话”，这不是一个命题，这是一个悖论，所谓悖论，就是由真推出假，又由假推出真的陈述语句，凡是悖论都不是命题.
判断一个语句是不是陈述语句很简单，但是判断一个陈述句的真假有时是很困难的，它与人的思想感情，语言环境，判断标准，认识程度等等有密切联系. “这盘菜太咸”这是一个命题，虽然这个语句的真假似乎不能唯一判定，因为它因人而异，但是我们可以认为这个语句的真假取决于说话人的主观判断，即认为此语句是“我认为这盘菜太咸”的简写. “1＋1=10”这也是一个命题，在二进制中它是一个真命题，在十进制中它是一个假命题，但并不是说它的真值不唯一，既真又假，而是说它的真假与语言环境有关. “水是生命之源”，这是一个命题，判断它的真假，需要生物学的知识. “太阳系有九大行星”，这个命题在2006年8月24日之前是真命题，在2006年8月24日之后就是一个假命题，因为在2006年8月24日晚上9点20分，国际天文学联合会在捷克首都布拉格宣布，太阳系有八颗行星，冥王星不具有行星的资格. 这个命题的真假是受人们对天文学的认识程度决定的.
2.开句：含有变量的陈述语句叫做开语句，简称开句. 例如，“x－1=6”，“x>3”，“x是无理数”，都是开句. 开句也叫命题函数，在谓词逻辑中，开句就是谓词.
开句不是命题，但却是符号逻辑研究的主要对象，是符号逻辑的基本概念. 另外，在数学的好多地方，都用开句作为基本的数学语言. 例如，在集合的表示方法中，有一个描述法｛x︱p（x）｝，其中，p（x）就是开句. 开句一般用p（x），q（x），r（x），…等符号表示，给变量x赋值，就得到命题，用p（a），p（b），…等表示. 这也是开句叫命题函数的原因. 用开句制造命题的这种方法叫做赋值法.
例1 设x∈N， p（x）表示：“x是奇数”. 则p（2）是假命题，p（3）是真命题.
例2 设x∈R，p（x）表示：“x>3”. 则p（5）是真命题，p（2）是假命题.
使开句p（x）成为命题的所有x的集合叫p（x）的定义域，p（x）的值域是一个命题集. 需要注意的是，这里的定义域同函数的定义域是不同的两个概念，这里的定义域类似于集合中的全集，随问题情景的不同而不同. 例如例1中的p（x），它的定义域可以是整数集，也可以是有理数集，实数集，甚至是复数集.
3.量词：在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不再对简单命题进行分解，这也是简单命题也叫做原子命题的原因，在谓词逻辑中，为了要研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，需要对简单命题作进一步的分解，一个命题一般由个体词（主词）、谓词和量词构成，个体词在命题中是被判断的对象，谓词表示个体词具有的性质或关系，谓词是表示个体词内涵的词句，例如，“是无理数”，“”是个体词，“…是无理数”是谓词，可以表示为“x是无理数”，因而也叫一元谓词，一般的用p（x）表示，“5>3”，5，3是个体词，“…>…”是谓词，可以表示为“x>y”，因而也叫二元谓词，一般地用p（x，y）表示，一般地，n元谓词用p（x1，x2，…，xn）表示，一元谓词是表示个体词性质的语句，二元谓词是表示这两个个体词之间的关系的语句，n元谓词是表示这n个个体词之间的关系的语句.
量词：表示个体词数量范围的词叫量词. 个体词的数量范围就是个体词的外延，量词是表示个体词外延的词句，量词有两种：全称量词和存在量词.
19世纪末，美国的哲学家、数学家和逻辑学家皮尔斯（Peirce，1839—1914年）和德国的数学家、逻辑学家、耶拿大学数学教授弗雷格（Frege，1848—1925年）分别独立的在数理逻辑中引入量词这个重要的概念. 全称量词用“”表示，意思是“任意”、“任意一个”、“所有的”.任意一词的英文是Arbitrarg，将它的第一个字母A倒过来用，表示全称量词；存在量词用“”表示，意思是“存在”、“存在一个”、“某些”、“至少有一个”. 存在一词的英文是Existential，将它的第一个字母E反过来用，表示存在量词.
开句不是命题，但却是制造命题的主要材料，用开句制造命题，有三个办法，一个就是上述的赋值法，第二个就是量词法，在开句的前面加上量词就构成命题：“x，p（x）”，是命题，“x，p（x）”，也是命题. 第三个办法是用逻辑联结词和联结两个开句构成命题.
例3 x∈R，x>3； x∈R，x>3. 都是命题.
用全称量词构成的命题叫全称命题，用存在量词构成的命题叫特称命题. 由于全称量词表示个体词的全部外延，往往可以省略不写，例如：“所有质数都是奇数”，可以简写为“质数是奇数”，“x∈R，x>5x>3 ”可以简写为“x>5x>3”. 但一般的，全称命题“x，p（x）”的量词不能省略，省略后就只剩下开句了. 除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的个体词的外延不是一类事物，而是单独的个体. 例如，“2是偶数”. 这就是一个单称命题. 特别要注意的是，由于全称命题的量词往往可以省略不写，从而将全称命题误当单称命题. 例如，“实数的绝对值是正数”，它是全称命题“所有的实数的绝对值都是正数”的简写，而不是一个单称命题. “直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”，也是一个全称命题. 这方面的例子实在是太多了.
4.命题的分类：
命题分简单命题和复合命题两种. 简单命题和复合命题不是绝对对立的，复合命题经过化简可以成为简单命题，化简的过程就是命题演算的过程. 简单命题又分性质命题和关系命题.
性质命题：判断某一对象具有或不具有某种性质的命题. 关系命题：判断两个对象之间具有或不具有某种关系的命题. 常见的关系有：=，<，>，≈，≡，≠，≤，≥，⊥，∥，≌，∽等.
复合命题有五种：
（1）非命题，记为p，读作“非p”，也叫p的否定式.
（2）联言命题，记作pq，读作“p且q”，也叫p，q的合取式.
（3）选言命题，记作pq，读作“p或q”，也叫p，q的析取式.
（4）假言命题，记作pq，读作“若p，则q”，也叫p，q的蕴涵式，称p蕴含q.
（5）等值式命题，记作pq，读作“p当且仅当q”.
理解这五种命题，可以与集合的补集、交集、并集、集合的包含和集合的相等进行类比，他们的定义在形式上是一致的.
三. 逻辑联结词及复合命题真值表：
1.逻辑联结词：一些命题或开句可用逻辑联结词把它们联结起来构成一个新的命题或开句. 常用的联结词有五种：非（），且（），或（），若…，则…（），当且仅当（）.
非、且、或这三个联结词是最基本的，用它们可以联结命题，也可以联结开句，联结命题得到的语句是命题，连接开句得到的语句仍是开句. 用“若…，则…（）”，“当且仅当（）”可以联结命题，也可以联结开句，无论联结命题还是联结开句，得到的语句都是命题.
2.复合命题真值表：
（1）联言命题与选言命题真值表：
p q pq pq
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0
（2）非命题真值表：
p p
1 0
0 1
注：矛盾律和排中律：
p p pp pp
1 0 0 1
0 1 0 1
由上表可以看到，无论p是怎样的命题，“ pp”总是假命题，这个规律叫矛盾律，“pp”总是真命题，这个规律叫排中律. 这两个规律是非命题特有的，写一个命题的非命题时，必须注意要同时满足矛盾律和排中律.
（3）假言命题真值表：
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
当pq的真值是1时，即“若p则q”为真命题时，我们说由p可以推出q，此时，pq用pq表示，并且称P是q的充分条件，q是p的必要条件.
注意：（1）“”不是逻辑联结词符，千万不能将与混为一谈.（2）在自然语言中，“若p，则q”中的p，q往往有某种内在的联系，但在数理逻辑中，p，q可以没有任何联系，例如，若太阳绕地球转动，则雪是黑的.（3）在一般数学命题中，pq往往表示p，q都为真的一种推理关系，但在数理逻辑中，p，q的真值是任意的.
这个真值表是弗雷格给出的，这个表的后两行不好理解，可以通过举例的办法理解它.
例1 “若木头是金属，则木头可以锻造”. 这个命题的条件和结论都是假的，但这个蕴涵却是真的.
例2 我们约定“如果天气好，就去野游”，这是一个假言命题：（天气好）（去野游）.如果我们约定“天气好就去野游”时，那么若天气不好时，去野游或不去野游都不违反这个约定，所以，（天气不好）（去野游）和（天气不好）（不去野游）都是真命题. 又，如果要去野游，无论天气好与不好，也不违反这个约定. 只有当天气好，而不去野游时，才违反了这个约定. 所以，（天气好）（不去野游）是假命题.
例3 判断下列命题的真假：
（1）x>5x>3 ；（2） x>3x>5.
解：（1）这个命题是全称命题：x∈R，x>5x>3. “x>5”和“x>3”都是开句，无法判断真假，对x进行讨论才能判断真假.
x>5 x>3 x>5x>3
x∈（－∞,3] 0 0 1
x∈(3，5] 0 1 1
x∈(5,＋∞) 1 1 1
这个表的最后一列的真值全是1，所以, “x∈R, x>5x>3”是真命题.
（2）这个命题也是全称命题：x∈R ，x>3x>5.
x>3 x>5 x>3x>5
x∈（－∞,3] 0 0 1
x∈(3，5] 1 0 0
x∈(5,＋∞) 1 1 1
证明一个全称命题是假命题时，只需举一个反例，证明一个特称命题是真命题时，只需举一个正例. 因为“x∈(3，5)， x>3x>5”是假的，所以原命题是一个假命题.
注意：下列两个命题是真命题：
x∈R，x>3x>5；x∈（－∞，3）(5，＋∞)，x>3x>5.
例4 证明：ФA. 其中，Ф是空集，A是任意集合.
证：ФA若x∈Ф，则x∈A. 因为x∈Ф是假的，所以无论x∈A是真还是假，“若x∈Ф，则x∈A”都是真的. 所以ФA是真命题.
例5 命题“若2＞3，则1＝1”是真命题，即2＞31＝1，所以，2＞3是1＝1的充分条件；命题“若2＜3，则1＝1”是真命题，即2＜31＝1，所以，2＜3也是1＝1的充分条件.
注意：很多人不理解这一点. 事实上，1＝1的成立不需要任何条件，因此，任何条件都可以作为1＝1的充分条件，只是这些条件有些对1＝1来说不必要而已.
5.等值式命题：
p q pq qp pq) (qp)
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
因为(pq) (qp) pq，所以等值式命题的真值表为：
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
当pq的真值是1时，我们说p与q等价，或者说p是q的充要条件，此时，pq表示为pq，由真值表看出，只有当p，q同真，或同假时，p，q才是等价的.
注意：“”不是逻辑联结词符，千万不能将与混为一谈.
注：这五个复合命题的真值表除第五个外，其他四个都是公理.
例6 证明原命题和它的逆否命题等价.
证：
p q pq q p qp
1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
由上述真值表看到，pq与qp的真值总是一致的，所以，pqqp.
注：当p，q都是真命题时，q，p都是假命题，而蕴涵式qp却是真命题，这从另一个方面加强了我们对假言命题的真值表的认识.
例7 命题“3＞52＞3”是真命题，所以有3＞52＞3，亦即3＞5是2＞3的充要条件.
四. 命题的否定：
写命题的否定时，必须注意：命题和它的否定要同时满足矛盾律和排中律.
1.单称命题的否定：只要否定结论就行了.
例1 已知p：2是质数，非p：2不是质数.
2.含有一个量词的命题的否定（德·摩尔根法则）：全称命题“x，p（x）”的否定是特称命题“x，p（x）”，特称命题“x， p（x）”的否定是全称命题“x，p（x）”.
例2 已知命题p：实数的绝对值是正数. 写出p.
解：p是全称命题：所有的实数的绝对值都是正数. 所以p为：存在一个实数，它的绝对值不是正数.
注：也可以将p写为：实数的绝对值不都是正数. 但不能将p写为：实数的绝对值不是正数. 后一个写法是误把命题p当成了单称命题.
例3 已知命题p：质数是奇数. 写出p.
解：这个命题是：所有的质数都是奇数. p：有些质数不是奇数.（即：质数不都是奇数）.
注意：有些人将命题p当成了单称命题，而将p写成了：质数不是奇数. 这显然是错误的.
3.联言命题与选言命题的否定（德·摩尔根法则）：
（pq）pq；（pq）pq.
证：列真值表：
p q p q pq pq （pq） （pq） pq pq
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
由真值表就能得到上述法则.
4.假言命题的否定：
（1）蕴涵等值式：pqpq.
证：
p q p q pq pq
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
由上述真值表可得：pqpq，于是由德·摩尔根法则得假言命题的否定为：
（2）法则：（pq）pq.
例4 已知命题p：若m≤0或n≤0，则m+n≤0. 写出p.
解：这是一个全称命题：m，n∈R，若m≤0或n≤0，则m+n≤0. p是：
m，n∈R，使得m≤0或n≤0，且m+n>0.
例5 已知命题p：若x+y<1，则x2＋y2<1. 写出p.
解：先将命题写成带有量词的形式：x，y∈R，若x+y<1，则x2＋y2<1. p是：
x，y∈R，使得x+y<1，且x2＋y2≥1.
例6 已知命题p：x>3x>5. 写出p.
解：命题p是： x∈R，x>3x>5. p是： x∈R，使得x>3且x≤5. 即： x∈R，使得3例7 已知极限的定义： an=aε>0，N，n>N，<ε.写出数列｛｝的极限不是a的定义.
解： an≠aε>0， N， n>N，≥ε.
例8 已知数列的柯西收敛准则：｛｝收敛ε>0，N，m，n>N，<ε.
写出这个收敛准则的否定形式.
解：｛｝发散ε>0， N， m，n>N，≥ε.
这两个例子说明了学习数理逻辑对进一步学习大学数学的必要性，如果不学习它，将很难理解这两个定义的否定形式，凡是学过数学分析的人都有这种体会.
例9 已知命题：是奇数. 写出它的否定.
解：设开句p（x）：x是奇数，其中x∈R, 实数集由三部分构成：
奇数 偶数 非整数
是奇数的否定是：不是奇数. 由于不是奇数是偶数或是非整数，而是非整数是一个真命题，所以，不是奇数也是一个真命题.
注意：是奇数的否定不能写成是偶数. 这两个命题仅满足矛盾律，而不满足排中律. 两个命题都是假命题.
例10 已知i是虚数单位，命题：i>0. 写出它的否定.
解：i>0的否定是：i不大于0.
注：设开句p（x）：x＞0，其中x∈C，复数集由四部分组成：
大于零的实数 等于零的实数 小于零的实数 虚数（不等于零）
i>0的否定不能写成：i≤0. 因为i>0和i≤0只满足矛盾律，而不满足排中律，都是假命题.
i不大于0 i等于零或i小于零或i≠0（i是虚数），因为i≠0（i是虚数）是真命题，所以i不大于0也是真命题.
例11 已知命题：2 ＞0. 写出它的否定.
解：2 ＞0的否定是：2≤0（也可以写为2不大于零）.
由这三个例子可以看到，写某些命题的否定时，先搞清得出这个命题的开句的定义域，是很重要的. 只有搞清了这个问题，写出的非命题才不违反矛盾律和排中律.
5.等值式命题的否定：将“当且仅当”改为“不等价于”就行了.
注意：命题的否定也叫非命题，它与四种命题的关系中的否命题是两个不同的概念，千万不能将它们混为一谈. 任何一个命题都有非命题，但是并非所有的命题都有逆命题、否命题和逆否命题，“四种命题”是专门针对“若p则q”型命题而说的；命题“若p则q”的非命题是“p且非q”，而否命题是“若非p则非q”. 好多命题都可以写成“若p则q”的形式，但并非所有的命题都能写成“若p则q”的形式. 例如命题：某些三角形没有外接圆. 这个命题就不能写成“若p则q”的形式. 不能写成“若p则q”的形式的命题实在是太多了.
五. 数理逻辑（命题演算和谓词演算）等值式：
1. 双否律：（1）AA；
2. 等幂律：（2）A A A；（3）A A A；
3. 交换律：（4）AB BA；（5）AB BA；
4. 结合律：（6）（AB）C A（BC）；（7）（AB）C A（BC）；
5. 分配律：（8）A（BC）（AB）（AC）；
（9）A（BC）（AB）（AC）；
6. 德·摩尔根律：（10）（AB） A B；
（11）（ AB） A B；
7. 吸收律：（12）A（AB） A；（13）A （AB） A；
8. 零幂：（14）A 11；（15）A 00；
9. 同一律：（16）A 0 A；（17）A 1 A；
10. 排中律：（18）A A1；
11. 矛盾律：（19）A A0；
12. 蕴涵等值式：（20）ABAB；
13. 等价等值式：（21）AB（AB）（BA）；
14. 假言易位：（22）ABBA；
15. 等价否定等值式：（23）ABAB；
16. 归谬论：（24）（AB）（AB）A；
17. 量词否定等值式（德·摩尔根法则）：（25）（xp（x））x p（x）；
（26）（x p（x））xp（x）；
18.量词分配等值式：（27）x（A（x）B（x））xA（x）x B（x）;
（28）x（A（x）B（x））xA（x）x B（x）.
注意：（27）为对的分配，（28）为对的分配，但不存在对、对的分配，这一点必须清楚. 但是，在证明论上，关于量词分配的推理定律有：
xA（x）x B（x）x（A（x）B（x））；
x（A（x）B（x））xA（x）x B（x）.
推论：（29）x（A（x）B（x））x（A（x）B（x））
（30）x（A（x）B（x））x（A（x）B（x））
例1 已知命题p：正方形的对角线相等；q：正方形的对角线互相平分. 写出pq.
解：pq：正方形的对角线相等且正方形的对角线互相平分. 由于命题p和q都是全称命题，所以，根据等值式（27），pq可以简写为：正方形的对角线相等且互相平分.
例2 已知命题p：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2；q：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x>3. 写出pq.
解：pq：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2或不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x>3.
注意：由于命题p，q都是单称命题，而不是特称命题，所以，pq不能写为：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2或x>3. 事实上，这个命题是一个简单命题，命题中的或联结两个开句x<2和x>3构成一个新的开句x<2或x>3，这个开句作为这个命题的谓词是一个整体，与复合命题pq中的或意义不同.
例3 已知命题p：有些实数是整数；q：有些实数是分数. 写出pq.
解：pq：有些实数是整数或有些实数是分数. 由于这两个命题都是特称命题，所以可以将
pq写为：有些实数是整数或分数.
例4 已知命题p：正方形的对角线互相平分且垂直. 写出非p.
解：利用推论（29），非p是：有些正方形的对角线不互相平分或不垂直.
六. 推理理论：
从逻辑学上讲，数学内容是这样呈现的：概念构成了判断和命题，判断和命题构成了推理，推理构成了证明. 整个数学大厦就是这样建立起来的. 用两个或几个判断（命题）获得一个新的判断（命题）的逻辑方法叫推理，推理有两种：一种是合情推理，主要包括归纳和类比，一种是逻辑推理. 归纳推理的逻辑方法是由特殊到一般，类比推理的逻辑方法是由特殊到特殊，由合情推理得到的结论不一定正确，它是发现新知识的主要方法. 逻辑推理也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，由演绎推理得到的结论是正确的. 演绎推理具有三段论法的形式（公理）：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：S是P.
下面简单的介绍一下推理理论.
由假言命题真值表我们得到：“若p则q”是真命题有下列三种情况：
（1）p和q都是真命题；（2）p是假命题，q是真命题；（3）p和q都是假命题.
这三种情况下，我们都说由p可以推出q. 因此，由“若p则q”为真，我们并不能得出p和q的真假来，但是，我们通过假言命题真值表可以得到：
1.推理定律1：由条件“若p则q”为真命题，并且p为真命题，我们可以推出q为真命题的结论. 即：（pq）pq.
这是推理的基本法则，被称为分离法则，这是三段论推理的一种形式.
2.推理定律2：由条件“若p则q”为真命题，并且q为假命题，我们可以推出p为假命题的结论. 即：（pq）qp.
这也是三段论推理的一种形式.
由于这两个推理定律的大前提都是一个假言命题，所以这两个推理定律都叫假言推理.
由选言命题真值表我们得到：
3.推理定律3：由条件“pq”为真命题，并且p为假命题，我们可以推出q为真命题的结论. 即：（pq）pq.
这也是三段论推理的一种形式. 由于大前提是一个析取式命题，所以叫做析取三段论.
主要的推理定律还有：
4.p pq.
5. pqp.
6.假言三段论：（pq）（qr）pr.
7.等价三段论：（pq）（qr）pr.
例1 判断下列推理是否正确：
（1）如果天气凉快，张三就不去游泳，今天天气凉快，所以今天张三没去游泳.
（2）如果我上街，我一定去书店，今天我没上街，所以今天我没去书店.
（3）如果我上街，我一定去书店，今天我去了书店，所以今天我上了街.
解：（1）由分离法则可知，这个推理是正确的.
（2）设p：我上街；q：我去书店. 这个推理的形式结构为：（pq）p q. 我们由假言命题真值表可知，由条件“若p则q”为真，且p为假，是无法推出q的真假来的. 所以这个看似正确的推理，事实上是不正确的.
（3）这个推理的形式结构为：（pq）qp. 由假言命题真值表可知，由条件“若p则q”为真，且q为真，是无法推出p的真假来的，这个看似正确的推理，其实也是不正确的.
数学课程标准将“常用逻辑用语”和“推理与证明”分别放到选修1—1和1—2（文科）或选修2—1和2—2（理科）中去，是不合理的，因为这两个内容都是属于数理逻辑的.
参考文献：
1.夏春盛. 浅谈命题之否定. 数学通报，2002年第6期.
2.龚雷. 关于命题的学习与思考；徐彦明. 试析关于命题的困惑；秦庆尧. 简易逻辑教学中存在的问题. 中学数学教学参考，2002年第9期.
3.罗增儒、李三平. 复合命题的构造. 中学数学教学参考，2003年第9期.
4.[日]小平邦彦著，《数学》（Ⅰ）（日本高中数学教材）. 高绪珏等译，吉林人民出版社. 1977年.
5.耿素云等著，《离散数学》. 清华大学出版社，1999年2月.
6.中等职业学校教材《数学》第一册. 人民教育出版社.
7.普通高中教材《数学》选修2—1. 人民教育出版社.
8.[美]M·克莱因著，《数学：确定性的丧失》. 湖南科学技术出版社，2004年2月.
9.刘显训. “pq”与“若p则q”的关系. 数学通讯，2005年第15期.
10.寿望斗著，逻辑与数学教学. 科学出版社，1979年.
11.[美] 《统一的现代数学》第二册第一分册（美国中学数学教材），王申怀译，人民教育出版社，1978年.
12.左孝凌等著，《离散数学》. 上海科技文献出版社，1982年9月.
（本文写作时间大约在2005年10月—2006年1月）
PAGE
1题目：《高中数学课堂教学新视点》
姓名：孙钢坪
性别：男
年龄：26
职称：中教二级
单位：湛江市麻章区第一中学
地址：广东省湛江市麻章区第一中学
邮编：524094
电话：13356527505
信箱：sungangping5215@
【摘要】新课程实施近三年，新课程理念与课堂实践不断地碰撞、融合、发展，课堂教学也焕发出新的活力、光彩照人，下面，笔者就高中数学课堂教学的一些感悟，谈几点看法。
1、 提倡教师创新，引发学生探真
2、 鼓励学生创造，开发学生潜能
3、 感悟编者创意，培养学生思维
4、 借助语言创趣，融洽师生关系
【关键词】创新 创造 创意 创趣
高中数学课堂教学新视点
新课程实施近三年，新课程理念与课堂实践不断地碰撞、融合、发展，课堂教学也焕发出新的活力、光彩照人，下面，笔者就高中数学课堂教学的一些感悟，谈几点看法。
5、 提倡教师创新，引发学生探真
教育创新的主体是学生创新，但学生创新的火种，却需要通过教师创新来点燃，“问渠哪得清如许,为有源头活水来”，大胆地提倡教师创新，播下教师革新的种子，才能引发学生探真的兴趣，收获学生创新的果实，那么教师如何创新呢？笔者认为可从以下几个方面着手。
1、构建有趣的实际背景
任何数学理念的提出，都不是凭空出现、强加于人的，刘绍学教授指出“数学是自然的”，“它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至还很有人情味。”细细品味之下，笔者认为通过问题、活动、游戏、典故结合声光图象等多种形式，“自然”和有“人情味”地构建新的有趣背景或展现其原有历史风貌，将可较好地将学生引入数学殿堂，使其自然地接受和消化新知 。
2、开发新颖的例题习题
传统的例题习题优势在于逻辑性强，结构完整且严谨，但缺点同样明显，缺乏一定的时代气息，过于保守，不足以引起学生的共鸣，因此，若能从学生的角度出发，设计一些新颖、现代的题目，将是对原有题型的完美补充和拓展。
3、优化知识的生活链接
学生最大的困惑并不是如何学好数学，而是不知道学了数学究竟有什么用？其实，数学与生活密切相关，若能将生活问题引入数学课堂，并用数学知识加以解决，这将起到以“生活”点燃课堂“活力”的良效。
4、辅以先进的信息技术
信息技术具有“生动、形象、直观”的主体特征，能把一些抽象的思维转化为具体的实物情境，这有助于辅助学生记忆思考，发展学生智能，对于提高学生的积极性和主动性有一定的帮助。
笔者现通过一个设计片段，来具体阐述一下自己的设想。
【案例1】《归纳推理》设计片段
首先通过多媒体引入NBA中国巨星—姚明，并展示他的冠军梦想，然后出示习题《冠军之梦》：经统计，姚明在NBA赛场上的场均得分如下（数据经过近似处理），①试归纳：第9年，他场均将得到多少分？②前9年，场均得分总和是多少？
NBA 第1年 第2年 第3年 第4年 …… 第9年
场均得分 13 16 19 22 ……
设计说明：第①问考查学生的观察、归纳能力；第②问旨在引出方法2“等差数列求和”；目的是激励学生要有梦想、力争上游，最后，进行情感教育：篮球不是一个人的运动，火箭队要想夺取总冠军，单靠个人技术行吗？还需要团队的合作无间。同学们在学习中，也该团结友爱、相互帮助，才能取得更好的成绩。
教学反思：教师创新，应大力提倡，但在创新的过程中应避免陷入形式化的怪圈：过于注重生活，却忽略了数学本质，过于依赖多媒体，却疏忽了学生思维的开发。须知，数学源于生活，却也需要应用于生活，才能相得益彰；多媒体确能提供帮助，却不能盲目夸大其功效，甚至勤于多媒体运作，而轻于教学思想的把握。只有分清主次，找准联系，以生活为依据，以信息为辅助，以数学为核心，创新的价值才能得以体现。
6、 鼓励学生创造，开发学生潜能
著名心理学专家罗杰斯认为：“人的先天潜能是无比优秀的，后天的教育就是创造一种适宜的环境和条件，使之得以实现。”此话笔者深有感触，往往教师正在实施精心预设的教学程序时，突然，有学生现场生成了教师预设外的观点、方法，此时，教师该何去何从呢？是扼杀学生的创造性于摇篮？还是轻描淡写一笔带过？仰或是鼓励、支持和赞赏？笔者认为：鼓励学生的创造性，将有利于学生潜能的开发。
鼓励学生的创造性，笔者认为必须注意以下两个方面。
1、不吝赞美、张弛有度
教师不应吝啬自己的赞美之词，但要注意“度”的把握。不表扬，会严整戳伤学生的积极性，但赞美的过火，却反而显得浮夸、泛滥。因此，恰到好处地拿捏个中分寸，使学生自信、自豪，但不自傲，甚为关键。
2、鼓励创造、兼重逻辑
不能片面地强调创造，也要注重思维的逻辑性。有人认为：“创造就是要摒弃逻辑的枷锁，让思维在自由的天空翱翔。”此观点我认为不妥，创造和逻辑就好比人的左手和右手，看似独立，其实却血脉相连，思维的逻辑性既是创造性爆发的导火索，也是对创造果实进行检验的准则，因此，我们必须创造与逻辑并重，让“思维的天马”插上“逻辑的翅膀”，学生才能越飞越高。
【案例2】《任意角与弧度制》教学片段
习题：（2005全国Ⅲ）已知 。
教学回放：在学生探究后，笔者通过投影仪，展示了学生甲的解题过程：先求出的范围，，然后通过讨论的奇偶性，为第二或第四象限角。点评完后，笔者注意到角落里，学生乙高举左手、双眼放光（笔者跟学生约定过：回答问题举右手，发现问题举左手），根据经验，好戏即将上演，果然，在笔者的鼓励下，学生乙现场生成了精彩的方法2：先作图
（如图所示），
当为正角时，逆时针将其从中间一分为二，发现落在第二象限；当为负角时，顺时针将其从中间一分为二，发现落在第四象限，综上可知，为第二或第四象限角。
随后，笔者提出思考：“当为其他象限角时，情况又如何呢？”同学们兴趣盎然，一部分运用学生乙的方法进行求解，一部分运用学生甲的方法进行验证，发现其他情况也完全适用，登时，掌声雷动，学生乙自信自豪之情溢于言表。（此后，该生学习积极性高涨，能力进一步提高。）
教学反思：学生的创造性是学生潜能突发的外在表现，因此，教师一定要加以适当的引导，尤其是课堂上一些精彩的现场生成，更应大力支持、给予赞赏，但，创造要鼓励，证明更要严谨，只有经过严格论证的“创造”，才是真正的学生智慧的闪光。
7、 感悟编者创意，培养学生思维
审视近几年的高考数学，不难发现，命题专家们正致力于研制一系列新颖的、富有时代气息的新型考题，例如：探索题、开放题、信息迁移题、组合题等。高考数学试题正经历着一个从“知识立意”到“问题立意”再发展为以“能力立意”的过程，目的是突出考查学生的能力，并发掘学生潜能，以符合新时代的人才要求，但千变万变，本质不变，如何教导学生从数学的角度出发，突破层层表象的封锁，抓住隐含的数学本质问题呢？笔者认为：首先就是要感悟编者的创意，转变学生的理念，再结合教师的细化点拨，来提高学生的思维能力。
1、感悟创意、转变理念
在新理念的指导方针下，新题型难度并不大，只是年龄和心态决定了学生在面对新事物、新概念时，或多或少都有一点畏惧，因此我们首先要做的就是要感悟编者的创意，转变学生的理念，排除学生对新事物的恐惧，树立他们战胜新题型的信心。
2、细化点拨、培养思维
新题型由于“新”，就注定数学的本质隐藏的更深些，学生的主体探究也就容易陷入困境，此时，借助教师适宜的点拨，通过暗示、诱导、逆向启发等多种手段，将可破除阻碍，进一步完善学生的思维能力。
故此，笔者整理了一系列的新题型，进行针对性的专题训练：
【案例3】《披着狼皮的羊 — 专题训练》教学片段
专题感言：在高考中，总有一些题像一群“披着狼皮的羊”，张牙舞爪，令人丢分，但（笔者稍作停顿），这些题表面看起来狼牙突兀，令人望而生畏，其实，却是一只只温柔的小绵羊。只要我们满怀信心，抓住本质，它们就能手到擒来。（在爽朗的笑声中，专题训练开始了）
专题训练1：如图所示，一个半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系：，求
教学回放：①寻找突破：
师：点运动到哪里时，最大？最大等于多少？
生：点运动到点正上方时，。
②逆向点拨：
师：跟什么有关？ 生：周期，。
师：要求，题中有和周期相关的信息吗？
生：水轮每分钟旋转4圈……
教学反思：在感悟编者创意、培养学生思维时，教师的点拨极为关键，教师应精炼语言，在问题衔接处设问，在学生迷茫处点拨，在思维转变处诱导，这样，思维的脉络才会清晰，启发的效果才会凸现。
8、 借助语言创趣，融洽师生关系
一堂数学课40分钟，口沫横飞下，即便老师说的不累，学生也听的昏昏欲睡，如何消除审美疲劳，使学生在融洽的氛围中重新焕发出学习热情呢？《学记》指出：“亲其师”才能“信其道”，即是说学生被教师的个人魅力所感染，在友好、亲近的气氛下，他才愿意学，他才学的好。课堂语言作为教学中师生之间情感交流的最大传媒载体，是引导学生、传播思想的核心所在，也是教师彰现个性魅力的独特标志，笔者认为：若能在课堂语言中“创趣”，即加入适宜的幽默元素，使其趣味化，必可使课堂气氛更加融洽，师生关系更加和谐，学生才能抛开顾虑，在笑声中发现，在开怀中领悟，在喜悦中成功。课堂语言趣味化，有以下几条策略。
1、肢体语言人情化
教师的一举一动都被学生所关注、甚至模仿，因此，课堂上彼此间一个调皮的眼神、一个善意的微笑、一个夸张的手势，往往能沟通师生之间的隔膜，使温情充盈在欢乐的氛围中。
2、文字语言时尚化
工整的板书、飘逸的字体总能博得学生的一致好评，但，另类的文字技巧，却往往能将气氛推向高潮。前面提到，在介绍新题型的特性时，笔者先板书“披着狼皮的羊”几个大字，让学生慢慢感受个中细味，稍加解析后，顿时，笑声如雷，师生关系融洽到极点，学生也领悟到此类题其实不难，从而树立信心并且印象深刻，随后，顺势一带，就自然而然地进入到了细化点拨的环节。
3、口头语言幽默化
幽默的口头语言是教师个性鲜明的一面旗帜，也是语言趣味化的灵魂所在。有趣的语言描述和赋含情感的表述，都极具穿透性和感染力，这对于拓展课堂趣味深度，活跃课堂气氛极为有利。笔者在复习《正余弦定理》，运用到技巧“边化角”时，这样对学生描述“（沉重地）边已经完成了它的使命，永久地退出了历史的舞台，（喜悦地）现在进入了角的时代……”话未说完，学生已经发出了爽朗的笑声。
教学反思：一节课中，趣味用语不可过多，不然就变成了口水课，这类用语应用到少而精，在气氛沉闷时来上一句，足可起到画龙点睛之成效，否则，变成画蛇添足就得不偿失了。
综上所述，通过“提倡教师创新、鼓励学生创造、感悟编者创意、借助语言创趣”四条策略，将可展现教师的人格魅力，完善教师的个性特长，有利于教师成为“学生学习的激发者、辅导者、各种能力和积极个性的培养者”，从而课堂教学也将由此而勃发出新的活力。
参考文献：
[1] 朱慕菊．走进新课程—与课程实施者对话［M］．北京：北京师范大学出版社，2002．
[2] 叶柱．数学教学新视界探真［M］．杭州：浙江大学出版社，2005．
PAGE
2新课程标准下现代教育技术
在高中数学教学中的应用
姓名 郭传斌
职务 高中数学教师
职称 中学一级教师
学校 山东省莱芜市第一中学
地址 山东省莱芜市第一中学高三数学组
邮编 271100
电邮 lwgchb2004@
电话 0634----6412011
新课程标准下现代教育技术在高中数学教学中的应用
[摘要] 将现代教育技术应用于中小学教学，已成为教育发展的必然趋势，更是推进素质教育的突破口。现代教育技术使数学知识的发生发展过程与结果的教育得到更好的结合，使数学兴趣、情感与数学的理性思维教育得到有机的融合，为现代数学教学改革的实施提供了有利的技术保障。本文笔者通过自己的实践与思考，从教学内容、教师的教、学生的学三方面就如何运用现代教育技术与高中数学教学整合做了初步研究，并对存在的问题及对策进行了探讨。
[关键词] 现代教育技术 整合 情境 促进 数学教学
1. 引言
当我们步入21世纪时，以计算机和网络为核心的现代技术的不断发展，正在越来越深刻的改变着我们的生活、工作和学习方式；同时以建构主义学习理论和认知主义学习理论为代表的现代教育理论的蓬勃发展和广泛传播，以及新课程标准的实施，使我国基础教育特别是高中教育面临着难得的发展机遇，也面临着严峻挑战。如何运用现代教育技术，提高教育教学质量，就成了我们探讨和研究的一个重要课题。
简单的说，现代教育技术主要指现代教育媒体和现代教育理论在教育中的运用。李克东教授根据我国国情，结合美国教育技术学会（AECT）的1994年新定义，给出了更为全面的说明，即：“现代教育技术是指运用现代教育理论和现代信息技术，通过对教与学过程和教与学资源的设计、开发、评价和管理，以实现教学最优化的理论和实践。”本文笔者结合自己的实践与思考，就如何运用以现代信息技术为依托，以现代教育与心理学的理论为基础的现代教育技术来优化高中数学教学，做了一些初步的研究。
2．实践与思考
2．1运用现代教育技术整合数学课程内容，使教材“活”起来
由于教学大纲和教材编写的限制，当今世界上最鲜活的、具有明显时代特征的数学学科教学素材和教学内容很难在教材中反映出来。华罗庚曾经说过，对数学产生枯燥乏味、神秘难懂的印象的主要原因就是脱离实际。其实，数学本身就是一门与生活联系比较紧密地学科，不同的是，学生所要学习的知识是人类几千年来积累的直接经验，它具有较高的抽象性，要使他们理解性的接受、消化，仅凭目前课堂上教师的口耳接受是够的，还应充分利用信息资源跨越时空界限的特点，将信息技术融合到高中数学课程教学中来，充分利用各种信息资源，引入时代活水与高中数学教学内容相结合，创设出多种教学情境，使学生的学习内容更加丰富多彩，更具有时代气息，更贴近生活，使教材“活”起来，从而有效的促进教师的教和学生的学。
（1）创设真实情境，激发学生学习数学的兴趣与好奇心
建构主义学习理论强调创设真实情境，把创设情境看作是“意义建构”的必要前提，并作为数学设计的最重要内容之一。而多媒体技术正好是创设真实情境的有效工具；如果再与仿真技术相结合，则更能产生身临其境的逼真效果。
个案 1、 对于高中数学新教材三角函数y=Asin(wx+∮)+k的图象随A、W、R的变化而变化一节， 通过让学生接触、观察各种图象，使其意识到A、w、∮、k可能对图象有影响，进一步让学生相互合作，自主探索得出规律。教师仅仅是提供资料和建议,这可使学生的探索能力得到发展。
个案2：利用几何画板讲椭圆的定义。
打开几何画板，做一个圆心为A的圆，在圆内任取不同于A的点B，在圆上取一点C，连接线段AC、BC，做线段BC的中垂线交AC于点P，连线段PB，引导学生发现|PA|+|PB|=|CA|，即圆的半径，且大于|AB|，然后让学生操作电脑拖动点C在圆上运动，得到P的轨迹——椭圆。启发学生得到椭圆的第一定义。再进行发散思维训练，当点B在圆上、圆外时，点P的轨迹是什么图形？通过这样的教学设计，不仅使学生亲自参与了对椭圆形成过程的探索，还使学生动手操作电脑，提高了学习兴趣，有利于学生数学知识的建构。
因此我认为应让学生更多地操作电脑来完成对数学知识的再发现，体验数学美的魅力。如在上三角函数的图像、“立体几何”导言课时，运用多媒体手段可以变静为动，变抽象为具体，使教学内容得到深化。再如，在教授有关“最值”和“定值”一类问题的处理时，笔者结合实际提出了一个问题：丰富的钢铁和煤炭资源促进了我市经济的发展，但环境污染问题也必须引起我们的重视。现在汶河南岸的一家煤矿和一家铁厂准备联合在河边建一座一家污水处理厂，问如何选址到两厂的距离之和最小（两厂间的河段近似看作直线）？并制作了多媒体课件指导学生来进行动态分析、思考、讨论、探索出解决问题的方法。使学生认识到了数学的实际应用，培养了学生用数形结合、转化等思想方法解决实际问题的能力和建模能力。
在实际情境下进行学习，激发了学生的联想思维，激发了学生学习数学的兴趣和好奇心，有效地降低了学生对数学的恐惧。使学生能利用自己原有认知结构中的有关经验，去同化和索引当前学习到的新知识，从而在新旧知识之间建立起联系，并赋予新知识某种意义。
（2） 拓宽学习资源，通过“情境再现”，使数学教学成为再创造、再发现的教学
利用多媒体向学生展示科技发展史尤其是数学发展史，运用电脑模拟数学发现的历程，使用计算机进行数学试验，通过电脑证明数学定理，让学生通过数学问题的发现、提出、探究、解决过程的情景再现，意识到“问题是数学的心脏”，重要的问题历来就是推动数学前进的最重要的力量，进而“启发学生如何去发现问题和提出问题；并善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题。”例如，笔者在讲解解析几何内容时就通过课件《奇妙的坐标系》向学生展示了坐标系的诞生、完善及应用历程，使数学教学成为了再创造、再发现的教学。
（3）创设想象情境，拓宽思维空间，培养学生的想象能力和发散思维
贝弗里奇教授说：“独创性常常在于发现两个或两个以上研究对象之间的相似点，而原来以为这些对象或设想彼此没有关系。”这种使两个本不相干的概念相互接受的能力 ，一些心理学家称之为“遥远想象”能力，它是创造力的一项重要指标 。让学生在两个看似无关的事物之间进行想象，如同给了学生一块驰骋的空间。人的生活中有一种比知识更重要的东西，那就是人的想象力，它是知识进化的源泉。因此，在教学中可充分利用一切可共想象的空间，挖掘发展想象力的因素，发挥学生的想象力。
例如：课本上的图形是“死图”，无法表现二次曲线的形成过程，而黑板上的图形鉴于技术原因，很难画的准确，更难展现二次曲线的连续变化，而利用多媒体就可以生动的把离心率的大小变化与圆锥曲线的形状变化，这种数与形之间的内在联系完美的展现出来。同时，也可展示出椭圆、抛物线、双曲线三种“看似不相关”的二次曲线之间的内在联系。在教学过程中，可由学生通过网络访问教师放置的服务器上的课件，让学生独立探索得出结论。
（4）创设纠错情境，培养学生严谨的逻辑推理能力
“错误是正确的先导”，学生在解题时，常常出现这样或那样的错误，对此我针对学生常犯的隐晦错误利用现代教育技术，创设纠错情境，引导学生分析研究错误的原因，寻找治错良方，在知错中改错，在改错中防错，以弥补学生知识上的缺陷和逻辑推理上的缺陷，提高解题的准确性，增强思维的严谨性。例如：学生常常想当然的把平面几何的有关性质照搬到立体几何中，教师在黑板中很难表示清楚，我利用几何画板设计并创作了“边对应垂直的两个角”的课件，让学生自主探索，自己纠错，就收到了良好的效果。
2．2运用现代教育技术，使教师的教学方式活起来，真正体现学生主体，促进意义构建
在运用多媒体的同时，加上教师的精讲与启发，再结合学生的自主探索、质疑、问难和讨论，使学生通过身临其境的直观感受和仔细观察，从而得出正确的结论，改变了过去那种光靠教师“灌”，学生被动接受的形式，有效的激发了学生学习的兴趣；真正体现了学生的主体地位。例如：在上高二数学“二面角定义及其应用”时，利用几何画板制作“二面角定义及其应用”的课件，并将要解决的问题：“二面角概念”、“怎样度量二面角的大小”、“二面角的平面角的概念”、“如何作二面角的平面角”、“如何求二面角的平面角的大小”、“已知二面角的大小，山路与水平面的角，和山路与山脚所成的角中的两个，如何求第三个？”、“解决折叠问题的方法和规律是什么？”等隐藏在精心设计的、循序渐进的教学情境中，让学生独立探索，并通过实验猜测推导论证，由学生在个人自主探索的基础上，开展小组讨论协商，教师帮助学生共同完成以上问题，并加以整理，然后教师启发性的回答、解决学生的问题。这样就进一步完善和深化了对主题——“二面角的概念及其平面角的求法”的意义建构，既有效的解决了教学中的重点，又突破了难点，优化了教学过程，丰富了教学形式，提高了教育质量。
再如：笔者在上高一数学y=Asin(wx+∮)+k的图象时，利用多媒体技术，制作好课件，在教学中让学生分别拖动、控制A、w、∮、k等调数棒，自己观察、探索、讨论，教师再适当点拨，就可由学生自己得出结论，并不需要教师象传统教学中那样做滔滔不绝的讲解，而学生的理解与掌握反而比传统教学要深刻的多。
2．3运用现代教育技术，促进学生学会学习
（1）运用现代教育技术，促进学生形成良好的学习心态。
利用现代教育技术的形象化和多样化，把学科内容与优美的艺术形式结合起来，展示给学生，引起学生的兴趣和注意，增强学生的求知欲，并创造条件，逐步促进各种非智力因素的发展，帮助他们克服畏难情绪，激发学习积极性，增强学生学习的信心和勇气，使这些非智力因素转化为学生学习的动力，发展并形成良好的学习心态，以满足他们学习和身心发展的需求。
（2）在促进知识的迁移，形成新的知识结构过程中，选用适宜的电教媒体促进学生学会学习。
心理学认为，迁移的实质是概括，迁移是灵活的运用知识的基础，在教学中教师通过选择和设计内在逻辑联系密切，便于加强比较，便于进行概括的多媒体课件，促进学生知识的迁移，由于有序地提供合适的电教媒体作为思维材料，学生有了正确的思维方向，运用“迁移”认识了知识之间的内在联系，推导出新的知识，建立新的知识结构，同时学会了迁移的学习方法。
（3）在不同的课型中，依据教学目标，选用适宜的电教媒体，促进学生学会学习。
例如，在概念教学中，以相关知识为载体，运用电教媒体揭示概念本质，引导学生学会抽象、概括的学习方法，便于深刻理解概念。笔者在上《函数单调性》一课时，运用课件第一次演示，帮助学生直观的感受单调性的概念，再次使用时，帮助学生理解单调性概念的本质。在两次使用多媒体课件的过程中，引导学生掌握抽象、概括的学习方法。
3．问题和对策探讨
任何事物都有其两面性，我们在感慨现代教育技术给数学所带来的种种益处的同时，也不能不注意它的负面影响。
3．1影响师生情感交流
“情感能左右注意力对智力活动的引导，能影响对输入信息的反应。”教学过程同时也是师生情感交流的过程。而在多媒体教室上课，由于教师要求操作各种机器设备，且教学内容大部分是由机器呈现，客观上减少了师生间的直接交流，再加上光线等原因，学生的情感体验也就易被忽视。这必然在一定程度上影响了学生对知识的吸收。因此，在进行多媒体教学时，更要注重教学设计，要充分考虑学生的需要，要尽量创造机会使学生获得成就感，要设法帮助学生排除心理障碍，提高自学能力，树立信心。
3．2警惕认知交流中的“多媒体霸权”
由于缺少合适的网络课件和工具平台，缺乏专家和相关的理论指导，易导致教师的精神被多媒体所操纵，学生的思维被多媒体所束缚，师生共同成为被多媒体牵着鼻子走的人。因此教师必须加强现代教育理论、现代计算机知识与技能的学习和探索，转变教育理念，让学生成为学习的主人，不要让媒体成为辅助教师向学生灌输的工具，教材成为灌输的内容。
3．3影响学生身体健康
由于多媒体教室光线昏暗，加之长时间盯看投影屏幕，学生易产生头晕、眼睛疲劳等不适感觉，时间长了就会导致注意力分散，甚至影响身体健康。因此，进行多媒体教学必须注意适时、适度等原则。要考虑教学内容和学生实际，要从有利于更好的突出教学重点、攻破教学难点；有利于帮助学生更快的构建新的认知结构；有利于取得更好的教学效果的角度考虑，当用则用，不当用则不用。
总之，现代教育技术能够变革课堂教学的传递结构，扩展信息功能，增加个别化教学的能力，优化教学；但也要注意，现代教育技术也不可能解决教学中的所有问题，因此夸大其作用，试图以此盲目代替传统教学的做法是不现实的，在未来的教学当中，现代教育技术必将得到进一步的应用；但现代教育技术的运用不能无节制，要与常规教学相结合，要以促进教学过程的优化为重点，设计好媒体使用的强度和时机。当然，这还需要我们在今后的教学实践中，继续去探索和完善。
参考文献
[1] 郭琴 信息技术对现代教育的影响J. 电化教育研究 2000
[2] 何克抗 现代教育技术M.. 北京：北京师范大学出版社 1998
[3] 栗亚东 论计算机多媒体技术的发展与现代课堂教学的应用J. 中小学电教 2000
[4] 刘电芝 学习策略研究 北京：人民教育出版社 1998
[5] 李成军 自主学习方式与学本教材的构建 北京：中国教育学刊 2001
[6] 樊恺等 中学数学教学导论 武汉： 华中理工大学出版社 1999
PAGE
3浅谈高中数学新教材A版的“反璞归真”
隆湖中学 王建林
数学不仅是研究数量关系和空间结构的科学，更是研究“模式”与“秩序”的科学。本质上说，数学是一门自然科学，自然科学应该反映自然界的本来面目。高中新课改从某种意义上讲，就是让数学回归自然，也让学生回归了自然。我认为，新课改的实质，就是落实素质教育和创新教育。
一、工作感受
笔者从事高中数学教学十五年，给应届生、往届生多次轮流带课，十几年来培养了几十名重点大学生，也培养了三百多名一般本科类大学生，但和教过的四千多名学生相比，应该说是失败的。和其他同事交谈，也有同感。几年来，除了培养了部分学生之外，同时也积累了部分资料，取得了一些相应的教学经验，几十本资料成了我教学的“法宝”。这些年，走访听取了一些重点中学的课，就数学课来说仍然离不了“满堂灌”的模式，只不过，比普通中学讲的内容更多、原理更深，教学手段比普通中学多了“多媒体”。同时，参加了一些优质评选课活动，反馈的信息是“专业知识掌握扎实、基本功好”；参与了重点中学的招聘考试，和落榜考生没有什么两样。我们常要求学生沉着应战，但自己考试却不沉着。抱怨学生考不上好大学，学生有时也调皮的反问：“老师，那你怎么没考上重点大学？”教师凭借标准答案加上多年的经验，讲的头头是道，却批评学生为什么想不到该这样做。听了一节课，有位教师提问学生什么是函数，课后，教师说学生太差，连函数概念都不懂，我反问了一句：“那你说什么是函数？”又听了一节新课改课，长方体和正方体的表面积，想一想这节课用多媒体教直观呢还是用实物教更直观呢？学生在考试时因题目所给数据不“巧”而放弃做题。“温差”的概念在数学中有人不理解。一元一次方程在文科学科中不会解。高一刚上学的孩子因不知道“斜率、二面角的平面角、线面所成角”受到了批评（这些知识在高二讲 ）。试问到底是学生不懂还是教师不知道？总之，过去的教育是让学生按照设计好的模式，在学校和教师的强制下，有目的、有计划、有步骤的朝着某个方向发展，最终培养成人才，过去写“八股文”、高考限文体写作文就是具体的体现。当然过去的教育也培养了一批优秀人才，但对大多数学生来说限制了学生的自由发展，不利于个性发展。新课改面对的是全体学生，让全体学生得到全面发展。
二、新教材使数学回归自然
新教材更体现了数学的自然性。在函数概念引入时，利用了抛出去的物体的运动轨迹，温度随时间的变化而变化，细胞分裂，大气中臭氧的变化，由具体抽象出自然界中一些量随另一些量变化的情况，从而抽象出函数的概念。而以往是从对应到映射，利用映射的概念给出函数概念。新教材使函数的概念更贴近了生活，使学生感受到了函数是研究自然界的一种确定性关系，是用运动、发展、变化、联系的观点研究运动变化的自然界。特别是立体几何方面较原教材变化更大。首先，让学生感受生活中具体的几何体，从身边寻找研究对象，感到几何学就是身边的科学，也是解决身边问题的直接可用知识。然后以三视图为背景，培养学生观察问题的能力。最后，由学生最熟悉的长方体出发，让学生观察空间点、线、面的位置关系，注重性质定理的应用，体现了数学的应用价植。又加强了面积及体积的度量教学，与几何学最初接轨，使学生容易从生活中找模型，达到解决问题的目的。在选修课中，又利用空间向量解决了空间的角和空间的距离问题，从数量上解决了几何学中利用性质、定理证明计算的繁杂过程。概率与统计知识在生活中应用很广，因而新课程将概率由古典概率推广到几何概率，体现数学与生活相吻合。新增加的算法语言更体现了数学跟时代的结合，符合学生实际，与学生乐于使用计算机的心理相吻合，为学生查找资料提供了方便。随着计算机的发展，计算机的运用将成为大众必学的知识。课程设置为今后学习开了个头。，
三、新教材既降低了难度，扩大了知识面，又有利于人才的培养
与原教材相比，新教材必修部分很大程度降低了难度，必修部分成了“大众数学”，相信经过小学和初中的学习，加上高中学生和教师的共同努力，全部学生基本上都能掌握，能够为学生做好未来人生规划奠定一定的基础。选修部分是在必修的基础上的延伸，更具有广度和深度，有利于不同学生的学习，有利于培养各层次的人才。原教材中的简易逻辑部分放在高一讲，符合数学本身的逻辑，因为数学本身就是探究自然界的因果关系，解题的过程就是探究充分、必要、充要条件。逻辑“或、且、非”十分抽象，学生不具备一定的知识是无法理解的。数学归纳法中的归纳、猜想、证明思想已渗透科学探索中常用的方法。明显随着知识面的扩大，教材实际降低了难度，只是让学生知道是什么的知识，并不让学生知道为什么的知识。从培养的人才方面看，过去培养的人才应该是现在培养人才的子集。选修部分充分体现了“不同的人学习不同知识”的新理念。原来的分层次教学是学生学到一定的层次由学校和教师强制性分班，违背了学生的意愿，本来有些学生适合学习人文社会方面的知识，而让教师强制性的学习自然科学方面知识，而新课改的分层次完全是由学生根据自己选的课程决定的，合理规划自己的未来人生。更有利于各层次人才的培养。
四、新课改让学生也回归了自然
有人说：“让孩子十岁上学，小学中的好多知识不用讲也能具备。”一个文盲的“买菜数学”比一个高中毕业生计算的又对又快。相当一部分高中毕业生甚至大学毕业生不会辅导自家一年级的学生。这些现象的从在，说明教育在一个人个体发展过程中从某些方面抑制了个体的发展。新课程的基本理念是让一个人学会生活，学会学习，在一定的基础上有选择性的学习，根据自身的需要选择生活和学习。新课改的必修和选修正是从这个理念出发的，让学生在选择课程的过程中回到了自然。
五、新课改是素质教育与创新教育的落实过程
无论是素质教育、创新教育还是新课改，都应该有共同的归宿，那就是以促进人的全面发展为目的。应试教育、素质教育、创新教育、新课程改革都是社会发过程中不同历史阶段的产物，应该与社会发展的不同阶段相吻合，与人们的思想发展相伴而行。作为我们一个十几亿人口的大国，需要的是各级各类分层次的人才，原来大一统的教育更本不能满足社会的这一要求，多年的应试教育，也培养了大部分人才，但社会上出现了岗位上无人，大学生无处就业的现象。真正要按照新课改实施，首先需要充足的教师，特别是具有多年教学经验和各层次的教师，学校开设的信息技术、通用技术，研究性学习、社区服务等都需要教师的精心指导，这些知识的开展，有利于学生素质的提高，能够培养学生的创新能力，促使学生全面发展。如何落实创新教育、素质教育，新课改是具体的实施步骤。
六、新教材实施过程中的几个问题
1、数学的基础性、工具性功能体现不够。新教材数学安排顺序与物理、化学和地理教学不相一致，比如：立体几何安排较后，极不利于地理课的教学；解析几何部分安排较后不利于物理中运动学的教学；古典概率教学放到排列组合之后不利于学生学习。新教材在安排体系上，起不到相应服务作用。
2、新教材不能体现教育资源的平等性，特别是随着信息技术和通用技术的推广，不利于农村中学的教学。农村中学学生学习范围小，社会实践能力差，不能够广泛开展调查研究，所学知识得不到广泛应用，当然使所学知识枯燥无味，极不利于对知识的掌握。
3、新教材有利于培养学生的创新能力，但缺乏一定的训练。教材中安排的练习题较少，不利于学生对基础知识的掌握，选取的课外资料大多受高考的影响而高于课本，不利于教育教学。
PAGE
1