6.2+6.3排列组合及二项式定理 复习课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
排列组合常见典型解题方法
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么　完成这件事共有 种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.
两个计数原理
分类计数原理 分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
区别1
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
区别2
区别3
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示.
排列数公式：
其中：
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.
组合数公式：
其中：
组合数性质：
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安
排,以免不合要求的元素占了这两个位置
先排末位共有___
然后排首位共有___
最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
甲
乙
丙
丁
由分步计数原理可得共有
种不同的排法
=480
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
复合元素，再与其它元素进行排列，
同时对相邻元素内部进行自排。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有 种，
第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 不同的方法
由分步计数原理,节目的
不同顺序共有 种
相
相
独
独
独
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
少不同的排法
解:
(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之间的全排列数,则共有不同排法种数
是：
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插
空模型处理
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有
多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配
到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究
对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排
各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限
制地安排在m个位置上的排列数为 种
n
m
六.环排问题线排策略
例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成
圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从
此位置把圆形展成直线其余4人共有____
种排法即
A
B
C
E
D
D
A
A
B
C
E
（5-1)！
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
前排,丁在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以
把椅子排成一排.
先在前4个位置排甲乙两
个特殊元素有____种,再排后4个位置上的
特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置
上任意排列有____种,则共有_________种.
前排
后排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,
每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有__种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.
根据分步计数原理装球的方法共有_____
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本
的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似
吗
九.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数
其中恰有两个偶数夹1,５这两个奇数之
间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队
　　共有____种排法，再排小集团内部共有
　　_______种排法，由分步计数原理共有
　　_______种排法.
3
1524
小集团
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每
　　班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
　　一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
共有___________种分法。
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三
个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很
困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5
个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有_________
再淘汰和小于10的偶数共___________
符合条件的取法共有___________
9
013
015
017
023
025
027
041
045
043
+
- 9
+
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有
多少分法？
解: 分三步取书得 种方法,但这里出现
重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF
若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF
该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)
(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而
这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共
有 种分法。
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。
①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；
②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，
丙组3人；
③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的
分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55
A22
⑤ C124.C84.C44
A33
小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名
而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名
（或给出组名但不指明各组多少个）种数的
基础上乘以组数的全排列数。
2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种
数的基础上，乘以组数的阶乘。
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：
10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞
3人为全能演员。
以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有____
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员________种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有____种，由分类计数
原理共有______________________种。
+
+
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素
的性质进行分类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不
漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的
始终。
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的
九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关
掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2
盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏
亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯
有________ 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为
非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队
模型，装盒模型等，可使问题直观解决
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种
还剩下3球3盒序号不能对应，
利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法
3号盒
4号盒
5号盒
3
4
5
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种
还剩下3球3盒序号不能对应，
利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,
同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数原理有2 种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用
公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状
图会收到意想不到的结果
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式
30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题
意可知偶因数必先取2,再从其余5个
因数中任取若干个组成乘积，所有
的偶因数为：
十七.化归策略
例18. 25人排成5×5方队,现从中选3人,要
求3人不在同一行也不在同一列,不同的
选法有多少种？
解：
将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，
从5×5方队中选取3行3列有_____选法
所以从5×5方队选不在同一行也不在同
一列的3人有__________________选法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法
有___________种。再从5×5方队选出3×3
方队便可解决问题
210
210
十九、爬 格问题
210
210
十九、爬 格问题
如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.
【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：
①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），
则不同的种植方案共有（种）.
故答案为：72
72
二十、染色问题
【方法技巧】涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
二十、染色问题
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
　二项式定理
k＋1
相等
2n
2n－1
考向1　求二项展开式中的特定项(或系数)
A．－60 B．60
C．－240 D．240
答案
解析
考点一　二项展开式的通项及其应用(多考向探究)
求二项展开式中特定项(或系数)的步骤


第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；
第三步，把k代入通项中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
考向2　已知两个因式之积求其特定项(或系数)
　(1)(2023·湖南益阳质量检测)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，则a2的值为(　　)
A．－20 B．20
C．40 D．60
答案
解析
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题．
考向3　已知三项式求其特定项(或系数)


A．－61 B．－59
C．－57 D．－55
答案
解析
求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
A．16 B．32
C．1 D．－32
解析　因为二项式系数的和是16，所以2n＝16，解得n＝4.令x＝1得展开式中各项系数的和为(－2)4＝16.故选A.
答案
解析
考点二　二项式系数与各项的系数和问题
(2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
答案
解析
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
　4.在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960
C．1120 D．1680
答案
解析
考向1　二项式系数的最值问题
　已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，且13a＝7b，则m的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案
解析
考点三　二项展开式中的系数最值问题(多考向探究)
二项式系数最大项的确定方法
答案　1120
答案
解析
考向2　项的系数的最值问题
　(2023·江苏南京模拟)若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　)
答案
解析
二项展开式系数最大项的求法
考点四　二项式定理的综合应用
　 (1)(2023·湖北荆州中学模拟)已知m>0，且152022＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　　)
A．1 B．12
C．7 D．27
答案
解析
(2)(2023·广东佛山模拟)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
答案
解析
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.