5.5.1.2 两角差与和的余弦公式 教学设计

5.4.1 两角差的余弦公式 教学设计
教学目标：1.理解并掌握两角差的余弦公式（重点）
2.能运用两角差的余弦公式进行运算应用（重点）
学科素养：1.数学运算：对两角差的余弦公式的运用运算，
2.逻辑推理：理解两角差的余弦公式的生成过程
3.直观想象：了解两角差的余弦公式的生成过程
预备知识：
距离公式：在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1),
P2(x2, y2),|P1Q|=|M1M2|=|x1–x2|，
|QP2|=|N1N2|=|y1–y2|，
由勾股定理，可得|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2=(x1–x2)2+(y1–y2)2
由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离公式：
情境引入：
探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正弦、余弦么？比如求15°、75°的正余弦？
有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举例说明
例如：当，时，
而
∴
探究新知
两角差余弦公式的探索
不妨令α≠2kπ+β, k∈Z
如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α, β , α-β ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα, sinα)， A1(cosβ, sinβ)，P(cos(α-β), sin(α-β)).连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知 ，与 重合，从而，所以AP= A1P1.
根据两点间的距离公式，得
化简得
当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立.
所以，对于任意角α，β有，
典例分析
例1 利用公式证明：
例2 利用两角差与和的余弦公式求：cos15°,cos75°
例3 已知，β是第三象限角，求的值.
巩固练习
1.教材练习题3,4,5
2.已知α,β是锐角， ，求cosβ的值.
归纳总结
两角差与和的余弦公式
口诀：余余正正符号反
注意：(1)公式中的α,β是任意角；
(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，
右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；
(3)公式两边符号相反.
作业
教材P228 习题5.5复习巩固 第1，2，3题