沪科版2022-2023学年度下学期七年级期末练习数学试2（含解析）

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沪科版2022-2023学年度下学期七年级期末练习数学试2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
4．如图，直线，，则的度数是（ ）　

A． B． C． D．
5．口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（ ）
A．16 B．6 C．17 D．7
6．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，需要类卡片（　　）张．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列分式方程有解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图：能判断的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．若：，，，则：代数式的值等于（　　）
A． B． C． D．
10．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
11．下列判断正确的是（ ）
A．若x为有理数，则 B．若x为有理数，则
C．若，则 D．若，则
12．如果不等式的正整数解是1，2，3，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若，，则___________________．
14．不等式组的解集为_____．
15．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为___________．
16．庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
17．已知，则分式的值为______________．
18．如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，则剩余部分面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．计算：．
20．解不等式组：．
21．已知，求的值．
22．已知：如图，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，∠CDG=∠B，
（1)能否得出DG∥BA？试说明理由.（2）EF与BC有什么关系？试说明理由.
23．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本．
(1)这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
(2)若准备用60元购买科普书和文学书两种书共10本，则至少要购买文学书多少本？
24．某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元．销售时，每件甲产品售价为20元，每件乙产品售价为35元．
(1)求每件甲产品和每件乙产品的成本价；
(2)若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元，请问有几种购进方案？
25．由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)计算 ，由此可知 （填不等号）；
(2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小；
(3)试求分式的最大值．
26．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，与之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明
参考答案：
1．【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,合并同类项,完全平方公式以及幂的乘方,熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
2．【分析】根据实数的大小比较即可求解．
解： ∵ ，
∴这四个实数中，最大的数是，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．
3．【分析】根据算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值，逐项分析判断即可求解．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值，熟练掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值是解题的关键．
4．【分析】根据平行线的性质可得，再根据，即可得到答案．
解：如图所示，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、互补的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
5．【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据题意列出不等式组即可解答．
设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有：，且x和y都是正整数，
解得：，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解答本题的关键．
6．【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果．
解：∵ 长方形长为，宽为
∴长方形的面积：
∴需要B内卡片5张．
故选C．
【点评】本题考查多项式的乘法，灵活运用多项式乘法法则和数形结合思想是解题的关键．
7．【分析】分别解分式方程，即可求解．
解：A.
方程两边同时乘以得，
解得：，
经检验是原方程的增根，则原方程无解；故该选项不正确，不符合题意；
B. ，方程两边同时乘以，得，
∵，
∴原方程无解；故该选项不正确，不符合题意；
C. ，去分母得，不成立，
∴原方程无解；故该选项不正确，不符合题意；
D. ，去分母得，解得：，
经检验，是原方程的解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
8．【分析】根据平行线的判定方法对各选项进行判断．
解：A．当时，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故A符合题意；
B．当时，无法判断，故B不符合题意；
C．当时，无法判断，故C不符合题意；
D．当时，无法判断，故D不符合题意．
故答案选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
9．【分析】首先根据题意，联立方程组，得出，用字母表示出、的值，然后把、的值代入代数式，计算即可得出结果．
解：∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
．
故选：D
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、分式的化简求值，解本题的关键在根据已知二元一次方程组进行消元，将分式中的三个未知数化成只含一个未知数的式子表示．
10．【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
解：多项式的公因式是，
故选C．
【点评】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
11．【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
解：，，
，
A错误；
，，
，
C错误；
，，
D错误；
∵，
∴，即成立，
∴B选项正确，
故选B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练运用不等式的基本性质是解题关键．
12．【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解．
解：解不等式得到：，
正整数解为，，，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质．
13．【分析】将变形为即可求解．
解：，
．
故答案为：
【点评】本题考查求一个数的算术平方根，将变形为是解题的关键．
14．【分析】分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定公共解集即可．
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组．掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
15．【分析】根据题目中的新定义，理解公式并利用公式将已知条件转化为方程，最后得出结论．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴经检验：是分式方程的解，
故答案为：．
【点评】本题有理数的混合运算，解分式方程，注意检验，解答本题的关键是根据新运算列出方程．
16．【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可．
要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；
观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少．
故答案为：②，①，③
【点评】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则．
17．【分析】根据分式的加减将已知等式变形为，代入分式即可求解．
解：∵，
∴，
即，
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键．
18．【分析】用大矩形的面积减去小矩形的面积得出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．
解：根据题意可得剩余部分的面积为
，
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，读懂题意，根据题意列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算是解本题的关键．
19．【分析】先根据乘方运算、绝对值的意义，算术平方根的运算化简，再进行加减运算即可．
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．【分析】将变形得，将化简得，代入求解即可．
解：∵ ，
则 ，
，
原式，
，
将 代入得：
原式．
【点评】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的化简求值，整体代入法；解题的关键是掌握整体代入法，并由已知式子的值得到．
22．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）先由平行线的性质得到∠1=∠3，又∠1=∠2，所以∠2=∠3，再次推出EF∥AD，即得到∠EFB=∠ADB，已知AD⊥BC于点D，故得到EF与BC的位置关系是垂直．
（1）DG∥BA,
∵∠CDG=∠B（已知），∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），
（2）EF⊥BC
∵∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠3，
∴EF∥AD（内同位角相等，两直线平行），
∴∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等），
又AD⊥BC于点D（已知），
∴∠ADB=90°，
∴∠EFB=∠ADB=90°，
∴EF⊥CB.
【点评】考查的知识点是平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
23．【分析】（1）设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，根据所买的科普书比所买的文学书少1本列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设购买文学书m本．根据用60元购买科普书和文学书两种书共10本列出不等式，解不等式，即可得到答案．
（1）解：设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则科普书的价格为：（元）．
答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元；
（2）设购买文学书m本．
则有，
解得，．
答：至少要购买文学书6本．
【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
24．【分析】（1）设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，根据“购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元”列得二元一次方程组，即可求解；
（2）设商店从批发商处购进甲产品件，则购进乙产品件，根据“购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元”列得不等式组，即可求解．
（1）解：设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，
，
解之得：，
答：每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；
（2）解：设商店从批发商处购进甲产品件，则购进乙产品件，
，
解之得：，
∵为整数，
∴，41，42，
答：有3种购进方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．【分析】（1）根据资料提示的算法即可求解；
（2）分别按多项成乘法运算方法展开与，再根据资料提供的方法即可求解；
（3）根据分式的运算方法，计算，再根据资料提供的解题方法即可求解．
（1）解：，
，
∵，
∴，
故答案为：，．
（2）解：，
∵
又
∴．
（3）解：，当时，原式；
当时，
，
∵（当时，等号成立）
∴，
当时，的最大值为．
【点评】本题主要考查分式的运算，理解题干意思，掌握分式的混合运算是解题的关键．
26．【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEM=∠FEM，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEM=∠FME，进而得出ABCD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG=120°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=∠AEG=60°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°-65°=25°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α=2β．当点G在点F的左侧时，α=180°-2β．
（1）
解：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM=∠FEM，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠FME，
∴ABCD；
（2）
解：①如图2，
∵ABCD，α=60°，
∴∠AEG=120°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=60°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-60°=30°，
即β=30°；
②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α=2β．
证明：∵ABCD，
∴∠AEG=180°-α，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=（180°-α），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°-（180°-α）=α，
即α=2β；
如图3，当点G在点F的左侧时，α=180°-2β．
证明：∵ABCD，
∴∠AEG=∠EGF=α，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF-∠HEF
=（∠AEF-∠FEG）
=∠AEG
=α，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH，
即β=90°-α．即α=180°-2β．
综上所述 ，α=2β或α=180°-2β．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
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