高中数学：《函数与方程》教案（新人教A版必修1）
文档属性
| 名称 | 高中数学：《函数与方程》教案（新人教A版必修1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 117.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-17 07:40:37 | ||
图片预览
文档简介
函数与方程
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
例1.（1）若，则方程的根是( )
A． B．－ C．2 D．－2
解：A．
（2）设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
解：由知的图象有对称轴，方程的6个根在 轴上对应的点关于直线对称，依次设为，故6个根的和为18，答案为D．
（3）已知，（、、∈R），则有（ ）
A． B． C． D．
解法一：：依题设有
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴，答案为B．
解法二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．
∴，答案为B．
（4）关于的方程 的两个实根 、 满足 ，则实数m的取值范围
解：设，则，
即：，解得：．
（5）若对于任意，函数的值恒大于零, 则的取值范围是
解：设，显然，
则，即，解得：．
变式训练1： 当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：D
例2.设依次是方程,，
的实数根，试比较的大小 ．
解：在同一坐标内作出函数，，的图象
从图中可以看出，
又，故
变式训练2：已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．
例3. 已知二次函数为常数，且 满足条件：，且方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ．
由知此函数图象的对称轴方程为，得，
故 ．
（2），∴4n1，即
而抛物线的对称轴为 ∴时，在［m，n］上为增函数.
若满足题设条件的m，n存在，则，
又， ∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.
由以上知满足条件的m、n存在， ．
变式训练3：已知函数 (.
（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；
（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围.
解：（1）证明 任取
∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函数.
（2）解： ∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴ 在（0，+∞）上恒成立，
令 ( http: / / www.21cnjy.com )，当且仅当即x=时取等号
要使在(0,+∞)上恒成立，则
故的取值范围是［,+∞)．
（3）解： 由（1）在定义域上是增函数.
∴，即，
故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，
故只需要(,由于，则 ．
例4．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：令，得：，∵ ，∴ ，即．
变式训练4：对于函数，若存在∈R,使成立，则称为的不动点. 已知函数
（1）当时，求的不动点；
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
解：（1）当时，
由题意可知，得
故当当时，的不动点 ．
（2）∵恒有两个不动点，
∴，
即恒有两相异实根
∴恒成立.
于是解得
故当b∈R，恒有两个相异的不动点时，.
本节主要注意以下几个问题：
1．利用函数的图象求方程的解的个数；
2．一元二次方程的根的分布；
3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题
基础过关
典型例题
小结归纳
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
例1.（1）若，则方程的根是( )
A． B．－ C．2 D．－2
解：A．
（2）设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
解：由知的图象有对称轴，方程的6个根在 轴上对应的点关于直线对称，依次设为，故6个根的和为18，答案为D．
（3）已知，（、、∈R），则有（ ）
A． B． C． D．
解法一：：依题设有
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴，答案为B．
解法二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．
∴，答案为B．
（4）关于的方程 的两个实根 、 满足 ，则实数m的取值范围
解：设，则，
即：，解得：．
（5）若对于任意，函数的值恒大于零, 则的取值范围是
解：设，显然，
则，即，解得：．
变式训练1： 当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：D
例2.设依次是方程,，
的实数根，试比较的大小 ．
解：在同一坐标内作出函数，，的图象
从图中可以看出，
又，故
变式训练2：已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．
例3. 已知二次函数为常数，且 满足条件：，且方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ．
由知此函数图象的对称轴方程为，得，
故 ．
（2），∴4n1，即
而抛物线的对称轴为 ∴时，在［m，n］上为增函数.
若满足题设条件的m，n存在，则，
又， ∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.
由以上知满足条件的m、n存在， ．
变式训练3：已知函数 (.
（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；
（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围.
解：（1）证明 任取
∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函数.
（2）解： ∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴ 在（0，+∞）上恒成立，
令 ( http: / / www.21cnjy.com )，当且仅当即x=时取等号
要使在(0,+∞)上恒成立，则
故的取值范围是［,+∞)．
（3）解： 由（1）在定义域上是增函数.
∴，即，
故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，
故只需要(,由于，则 ．
例4．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：令，得：，∵ ，∴ ，即．
变式训练4：对于函数，若存在∈R,使成立，则称为的不动点. 已知函数
（1）当时，求的不动点；
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
解：（1）当时，
由题意可知，得
故当当时，的不动点 ．
（2）∵恒有两个不动点，
∴，
即恒有两相异实根
∴恒成立.
于是解得
故当b∈R，恒有两个相异的不动点时，.
本节主要注意以下几个问题：
1．利用函数的图象求方程的解的个数；
2．一元二次方程的根的分布；
3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题
基础过关
典型例题
小结归纳