【学案导学设计】2014-2015学年高中数学 均匀随机数的产生课时达标训练 新人教A版必修3

均匀随机数的产生
课时达标训练
一、基础过关
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是 (　　)
A．y＝3x－1 B．y＝3x＋1
C．y＝4x＋1 D．y＝4x－1
答案　D
解析　将区间[0,1]伸长为原来的4倍，再向左平移一个单位得区间[－1,3]，所以需要经过的线性变换是y＝4x－1.
2．与均匀随机数特点不符的是 (　　)
A．它是[0,1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
答案　D
解析　A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
3．质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为 (　　)
A. B.
C. D．以上都不对
答案　C
解析　区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A.则事件A的区间长度为1，则P(A)＝.
4．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，海豚离岸边不超过2 m的概率为(注：海豚所占区域忽略不计) (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记“海豚离岸边不超过2 m”为A，则＝“海豚离岸边超过2 m”．且P()＝＝.
∴P(A)＝1－P()＝.
5．方程x2＋x＋n＝0 (n∈(0,1))有实根的概率为________．
答案　
解析　方程有实根，则Δ＝12－4n≥0，即n≤，
又n∈(0,1)，∴方程有实根的概率为P＝＝.
6．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．
答案　
解析　由3a－1<0得a<.
由几何概型概率公式得p＝.
7.
已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
答案　33
解析　据题意可知黄豆落在阴影部分的概率约为＝ ，其概率可用阴影部分的面积与矩形面积的比来度量即＝＝?S阴影＝33.
8．取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率？(用模拟的方法求解)
解　方法一　(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．
方法二　做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝即为概率P(A)的近似值．
9．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，请用随机模拟法估算两人能会面的概率．
解　设事件A＝{两人能会面}．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，x＝x1]N1,N)，即为概率P(A)的近似值．
二、能力提升
10.
如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积约为 (　　)
A. B.
C. D．无法计算
答案　B
解析　∵≈，∴S阴影≈S正方形＝.
11．向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 (　　)
A.
B.
C.
D．1
答案　C
解析　直线6x－3y－4＝0与直线x＝1交于点，与直线y＝－1交于点，易知阴影部分面积为××＝.∴P＝＝＝.
12．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．
答案　
解析　设△ABC，BC边上的高为h，△PBC，BC边上的高为h′，则＝＝<，
∴h′<h.
设DE为△ABC的中位线，则点P在四边形BCED内，
∴P＝1－＝1－＝.
13.
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1所围成的部分)的面积．
解　(1)利用计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换得到一组[－1,1]区间上的均匀随机数和一组[0,2]区间上的均匀随机数；
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的点(a，b)的个数)；
(4)计算频率，即落在阴影部分的概率的近似值；
(5)设阴影面积为S，
则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P＝.
所以≈，
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
三、探究与拓展
14．将长为l的棒随机折成3段，求3段能构成三角形的概率．
解　设A＝“3段能构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y.
则试验的全部结果可构成集合
Ω＝{(x，y)|0要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x＋y>l－x－y?x＋y>，x＋l－x－y>y?y<，
y＋l－x－y>x?x<.
故所求结果构成集合
A＝.
由图可知，所求概率为
P(A)＝＝
＝.