【学案导学设计】2014-2015学年高中数学 均匀随机数的产生习题课 新人教A版必修3

均匀随机数的产生习题课 新人教A版必修3
【明目标、知重点】
1．进一步了解频率与概率的区别，了解概率的意义．
2．加深对互斥事件、对立事件的意义及其运算公式的了解．
3．理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．
【忆要点、固基础】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 (　　)
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D ．0.9
答案　A
解析　依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.
2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9
[23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11
[31.5,35.5)　12　[35.5,39.5)　7
[39.5,43.5)　3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为＝.
3．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
答案　
解析　从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P＝.
4．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．
答案　
解析　因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
5．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球事件的概率是________．
答案　
解析　摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P＝＝.
【探题型、提能力】
题型一　随机事件的频率与概率
例1　某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数m
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
解　(1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
反思与感悟　随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．
跟踪训练1　下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.
每批粒数
2
5
10
70
130
310
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1 339
1 806
2 715
(1)完成上面表格；
(2)该油菜子发芽的概率约是多少？
解　(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.879.
题型二　互斥事件的概率
例2　某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不超过7环的概率．
解　记“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，“射中8环”为事件C，“射中7环”为事件D.
则事件A、B、C、D两两互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16.
(1)∵射中10环或9环为事件A＋B，
∴由概率加法公式得
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.
(2)∵至少射中7环的事件为A＋B＋C＋D，
∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
(3)记“射中环数不超过7环”为事件E，
则事件E的对立事件为A＋B＋C.
∵P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，
∴P(E)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.71＝0.29.
反思与感悟　求互斥事件的概率的方法有以下两种：
(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目用间接求法更简洁．
跟踪训练2　下表为某班英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．设x、y表示英语成绩和数学成绩.
y分
人数
x分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
解　(1)P(x＝4)＝＝；
P(x＝4，y＝3)＝，
P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)
＝＋＋＝.
当x≥3时，有×50＝35(人)，
∴在x≥3的基础上，y＝3有8人．
∴在x≥3的基础上P(y＝3)＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)
＝1－－＝.
又∵P(x＝2)＝＝，
∴a＋b＝3.
题型三　古典概型的概率
例3　甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解　(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果为(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.
反思与感悟　解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．
跟踪训练3　盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；
(2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．
解　(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1，则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，(a1，a2)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，共4个基本事件；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共4个基本事件．
(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率为P＝.
题型四　古典概型概率的综合应用
例4　为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解　(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝.
跟踪训练4　某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
x
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解　(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，即基本事件的总数为10.
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．故所求的概率P(A)＝＝0.4.
反思与感悟　一些古典概型问题经常涉及统计的简单知识，在与分层抽样、样本平均数、方差等知识交汇处命制．解答该类问题的关键是用列举法计算随机事件所包含的基本事件数．
【呈重点、现规律】
1．概率的一般加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A＋B的概率，当AB＝?时，A、B互斥，此时P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A＋B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
2．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
3．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．