【优化方案】高中数学 几何概型 基础达标（含解析）新人教A版必修3

几何概型 基础达标（含解析）新人教A版必修3
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是(　　)
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
2．(2012·高考北京卷)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为.
3．在2013年五一劳动节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为11分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝.
4．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意可知，边长分别为5,12,13的三角形的边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为＝.故选A.
5．(2013·西安质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.设正方体棱长为a，
所求概率P＝＝＝，选B.
6.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
答案：
7．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.
解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧P上时，弦DC＞PD，∴P(A)＝.
答案：
8．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.
答案：
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为a，在正方体内随机取一点P，求：
(1)点P到面ABCD的距离大于的概率P1；
(2)点P到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率P2.
解：(1)由题意知，正方体体积V＝a3，而“点P到面ABCD的距离大于”可转化为“所取点P在如图所示的平面EFGH上方”，其中AE＝BF＝CG＝DH＝，而长方体EFGH-A1B1C1D1的体积V1＝a·a·a＝a3，
∴点P到面ABCD的距离大于的概率P1＝＝＝.
(2)由题意并参照(1)中的过程，知其概率为
P2＝＝.
10．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP,3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，
所以只有当S点落在阴影部分时，△SAB面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝××42－×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.