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人教版九年级上册数学21.2.1 配方法教学设计
课题 21.2.1 配方法 单元 第21单元 学科 数学 年级 九
教材分析 本课是人教版九年级上册 21 章第2部分配方法的第2 节配方法。解一元二次方程是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。配方法是解一元二次方程的重要解法之一，为下一章二次函数的学习奠定基础。
核心素养分析 本节课是在前一节课学生掌握了直接开平方法后进行的教学，已经打下了基础，同时，配方法的掌握也为后面的公式法作好铺垫，本节内容在本章中非常重要，关系到学生能否掌握这种解一元二次方程的方法。从复习完全平方公式开始导入新课，让学生在结合学过的知识得出解决新问题方法的过程中，充分体验化归思想，构建、锻炼学生独立思考解决问题的能力。
学习 目标 1.了解配方的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程. 3.运用配方法求最值
重点 掌握用配方法解一元二次方程．
难点 运用配方法求最值．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
知识回顾 解下列方程： (1) 9x2=9 (2) (x+5)2=9； x=±1 x1=﹣8，x2=﹣2 (3) 16x2 13=3； (4) (3x+2)2 49=0； x=±1 x1=﹣3，x2= 5/3 学生回答，检查、巩固已学知识. 可以口答或抢答，节省时间，调动学生积极性。
导入新课 问题：1.根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 填空． 2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是 ±16． 学生思考、回顾完全平方公式的使用过程填写。 根据完全平方公式的运用过程和经验，填写
讲授新课 【新知探究】 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0 我们已经会解方程(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程． 那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？ 【新知小结】 知识点一 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 ． 用配方法解一元二次方程的基本思路： 把方程化为 (x + n)2= p 的形式 将一元二次方程降次 转化为一元一次方程求解 【例1】解方程： 【新知练习】 1.解下列方程 (1)x2－8x＋1＝0； (2)2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0． 【新知小结】 知识点二 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 , 方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0, x+n=0,开平方得方程的两个根为x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p 无实数根. 【例2】求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 注意：二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式． 【新知练习】 2. 解：-2x2+8x-11 =-2(x2-4x)-11 =-2(x2-4x+4)-11+8 =-2(x-2)2-3, 即不论x取何值时-2x2+8x-11的值总小于0. 【例3】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 解析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式． 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题可列方程： 即：x2－14x+24=0, (x－7)2=25， x－7=±5， ∴x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 【新知练习】 3.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 学生根据知识回顾里的问题回顾。 学生根据例题和练习总结归纳x2=p（p≥0）型方程的解法。 学生通过所学知识，跟随老师引导完成例题，巩固、记忆新知。 学生上台板演，其余学生写在练习本上。 学生在老师的引导下，类比例1解决例2 学生上台板演，其余学生写在练习本上。 学生根据老师的引导共同完成例题 学生对应练习，完成后举手由老师批改。 引导学生发现所谓的可以直接降次的方程，就是上节所学的可以直接开平方的方程. 分布引导学生进行配方，最后总结配方的具体过程。 强调降次为主题思想 用表格的形式呈现配方法的具体步骤 教师注意强调解配方的具体步骤，引导学生完成例题。 通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 教师和学生一起订正存在的问题，注意解题格式，根据学生熟练程度可以简化步骤。 总结方程(x+n)2=p的3中情况. 教师随机批改座位上同学练习并指导，教师带领全班同学批改板演。 例3为一元二次方程的一个实际运用，一是练习配方法，二是强调根据实际情况的出符合题意的解。 教师注意控制好时间和课堂纪律，并可用实物展台，展示优秀练习.
课堂练习 3.代数式x2－8x＋18的值( A ) A．恒为正 B．恒为负 C．可能为0 D．不能确定 4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则 m＝ ，k= . 5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋ 2 )2= -1 ，该式有最 大 值，是 -1 ． 6.试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0， ∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程． 与学生做练习，教师订正答案。 通过各种题型的练习，进一步提高学生新知掌握程度，使学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？ 学生总结本节课所学内容。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：21.2.1 直接开平方法 一、知识点一 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 ． 二、知识点二 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. 三、总结
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21.2.1 配方法
人教版九年级上册
知识回顾
解下列方程：
(1) 9x2=9； (2) (x+5)2=9；
(3) 16x2 13=3； (4) (3x+2)2 49=0；
x=±1
x1=﹣8，x2=﹣2
x=±1
x1=﹣3，x2=
教学目标
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程.
3.运用配方法求最值.
新知导入
(1)x2＋6x＋______＝(x＋________)2；
(2)x2-5x+(________)2＝[x-(________)]2;
(3)x2+x+ （ ）2＝(x+________)2．
9
3
你发现了什么规律？
2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是 ．
±16
1.根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 填空
新知探究
我们已经会解方程(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程．
怎样解方程 x2＋6x＋4＝0
那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
新知探究
移项
x2 + 6x= – 4
两边加 9
x2 + 6x + 9= – 4 + 9
左边写成完全平方形式
(x + 3)2= 5
为什么加9？加其他数可以吗？
解得
怎样解方程 x2 + 6x + 4=0？
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
注意：是在二次项系数为1的前提下进行的.
新知小结
知识点1
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 ．
用配方法解一元二次方程的基本思路：
把方程化为 (x + n)2= p 的形式
将一元二次方程降次
转化为一元一次方程求解
新知小结
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方
新知典例
解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
即( x－4)2=15.
由此可得
例1
x－4=± ,
x1=4+ , x2=4－ .
新知探究
（2）3x2-2x-1＝0
解：移项，得 3x2－2x＝1.
二次项系数化为1，得
配方，得
所以
新知练习
1.解下列方程：
(1)x2－8x＋1＝0； (2)2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0．
解： (1)移项，得
x2－8x＝－1．
配方，得
x2－8x＋42＝－1＋42，
(x－4)2＝15．
由此可得
新知练习
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1．
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
解下列方程：
(1)x2－8x＋1＝0； (2)2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0．
解：
新知练习
(3)移项，得 3x2－6x＝－4，
二次项系数化为1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
x2－2x＝ ．
x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12．
(x－1)2＝ ．
解下列方程：
(1)x2－8x＋1＝0； (2)2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0．
解：
新知小结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 , 方程的两个根为
③当p<0时,则方程(x+n)2=p 无实数根.
②当p=0时,则(x+n)2=0, x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
新知探究
求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
例2
解：2x2－4x＋3=
因为 ≥0，所以 ≥1.
所以2x2－4x＋3的值恒大于0.
二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．
新知练习
解：
-2x2+8x-11
=-2(x2-4x)-11
=-2(x2-4x+4)-11+8
=-2(x-2)2-3,
∵（x-2）2≥0，
∴-2（x-2）2≤0，
∴-2（x-2）2-3＜0.
2.
新知提升
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
解析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：
即：x2－14x+24=0,
A
C
B
P
Q
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题可列方程：
(x－7)2=25，
x－7=±5，
∴x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
例3
新知练习
3.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm. 根据题意，得
（35-x)(26-x)=850，
整理，得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.
答：道路的宽为1m.
课堂总结
配方法
方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
课堂练习
(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；
(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；
(4)x2－ x＋____＝(x－____)2．
25
5
36
6
1.填空：
课堂练习
解：(1)移项，得x2－x＝，
配方，得x2－x＋ ＝ ＋ ，
(x－ )2＝2，
由此可得，x－ ＝± ，
x1＝ ＋ ，x2＝ － ．
2.解下列方程：
(1)x2－x－ ＝0； (2)x(x＋4)＝8x＋12．
解： (2)化简，得x2－4x＝12，
配方，得x2－4x＋4＝12＋4，
(x－2)2＝16，
由此可得x－2＝±4，
x1＝6，x2＝－2．
课堂练习
3.代数式x2－8x＋18的值( )
A．恒为正 B．恒为负
C．可能为0 D．不能确定
4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则
m＝ ，k= .
A
课堂练习
6.试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．
证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，
5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋ )2 ，该式有
最 值，是 ．
2
-1
大
-1
∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．
谢谢
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