第二十二章 一元二次方程
22．1 一元二次方程
学习内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
学习目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程
一、自学教材
针对目标自学教材18页—19页内容
二、合作交流，解读探究
先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：
1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
三、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．
四、巩固练习
教材19页 练习
五、应用拓展
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
六、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
七、作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
三、综合提高题
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
所以，________第二步：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.96
-0.36
所以，________ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
作业参考答案:
一、1．A 2．B 3．C
二、1．3，-2，-4
2．ax+bx+c=0（a≠0）
3．a≠1
三、1．化为：ax2+（a-+1）x+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．
2．可能，因为当，
∴当m=1时，该方程是一元二次方程．
3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3
课件14张PPT。第二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程你还认识“老朋友”吗？1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答。问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
思考：
1、根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？2、若设长方形绿地的宽为X米，则长方形绿地的长为多少米？3、你能根据题意，列出方程吗？(X+10)米X(X+10)=900把以上方程整理得：X2+10X-900=0 （1）问题２：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？
思考：
1、去年年底的图书数是5万册，若设两年的年平均增长率为X，则今年年底的图书数是多少万册？5(1+X)万册2、明年年底的图书又是今年年底图书数的多少倍？(1+X)倍3、你能根据题意，列出方程吗？5(1+X)2 =7.2整理以上方程可得：5X2+10X-2.2=0 （2）仔细观察，你会发现什么规律？说说你的结论一元一次方程一般形式：
ax+b=0 (a≠0)
新方程：X2+10X-900=0 (1)
5X2+10X-2.2=0 (2)问题3：以上两个方程与一元一次方程的区别在哪里？他们有什么共同点呢？
◆(区别在于未知数的最高次数不同，一元一次方程未知数的最高次数是1，以上俩个方程未知数的最高次数是2；他们的共同特点是：都是整式方程；都只含有一个未知数）把ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）
称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数． 上面的方程都是只含有一个未知数X、X的最高次数为2的整式方程,并且都可以化为
（ a，b，c为常数， a≠０）的形式，这样的方程叫做一元二次方程 例题讲解1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1)
(2)解：1、a≠0是方程ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件。
2、一元二次方程化成一般形式后，二次项系数既可以写成正数，也可以写成负数，此时相应的一次项系数、常数项均不同，要特别注意符号！为了便于交流，一般将二次项系数化为正数。
3、方程根的意义对一元二次方程也成立，即使方程左右两边相等的未知数的值。（1）下列哪些数是方程的根？从中你能体会根的作用吗？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4 （2）若x＝2是方程 的一个 根，你能求出a的值吗？根的作用：
可以使等号成立.[例1]下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）
（2）
（3）练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） （ ）（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×√×√×√ [例2]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；1、若 是关于 的一元二次方程，则（ ）2、是关于 的一元二次方程，则m的值为。C变式1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
