第2课时 类比推理
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课件35张PPT。凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条;……猜想:凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线.由此,凸n边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n－2).凸n边形有多少条对角线?2. 凸n边形有多少条对角线?3.在同一平面内,两条直线相交,有一个交点; 三条直线相交,最多有几个交点? 四条直线相交,最多有几个交点?…… 六条直线相交,最多有几个交点?……n条直线相交,最多有几个交点? 传说:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这两个推理是归纳推理吗?可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星上是否存在生命这两个推理是归纳推理吗?第87课时 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为.类比推理!1、类比推理: 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯. 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.注意:
1.由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.
2.类比时,既要注意它们之间的共性(类比推广),又要注意个性,以防出现偏差.类比推理的几个特点:1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.例1.(G.波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出类似的性质.解:在实数的加法与乘法之间,可以建立如下对应关系: 加(+) 乘(×)
加数,被加数 乘数,被乘数
和 积圆的性质 球的性质球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2球的体积球的表面积例2.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.1.进行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验这个猜想.观察、比较联想、类推猜想新结论2.类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d?.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a?,b?,c?,(a,b,c与a?,b?,c?相似或相同)3.运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象. 基本原则是:要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.思考:平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象构成几何体的元素数目:
三角形 四面体平面图形(二维)立体图形(三维)点点或线线线或面平面直角坐标系空间直角坐标系例3(1).类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1,S2,S3和S
3个“直角面” S1,S2,S3和1个
“斜面” S(2).在空间中与“等边三角形内任意一点P到三边的距离之和等于三角形的高”相类似的结论是什么？ 练习.(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1与②x2+(y－3)2=1则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：
------------------------------------------------------------------------------
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----------------------------------------. 设圆的方程为①(x－a)2+(y－b)2=r2与②(x－c)2+(y－d)2=r2(a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴的方程.练习.(2)半径为r的圆的面积S(r)=?r2,周长C(r)=2?r,若将r看作(0,+?)上的变量,则(?r2)'=2?r①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数;对于半径为R的球,若将R看作(0,+?)上的变量,请你写出类似于①的式子:__________②,②式可以用语言叙述为:__________.几何中常见的类比对象三角形四面体(各面均为三角形)四边形六面体(各面均为四边形)圆球代数中常见的类比对象数向量方程函数不等式交集,并集,补集或,且,非运算无限有限五、课堂小结：1.运用类比方法解决问题,其基本过程可用框图表示如下：原问题类比问题2.运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象.例2.下面推理是归纳推理吗?所得结论正确吗?
(2)在数列{an}中,a1=1,
由于求出 所以归纳得出例3.(1)已知数列{an}的通项公式:
f(n)=(1－a1)(1－a2)… (1－an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.
(2)应用归纳推理猜测:同学们.再见!1.由上图(左)有面积关系： 则由上图(右),则类似的结论是： ①②③④⑤⑥若 ， 则 ⑦空间向量的性质利用平面向量的性质类比得空间向量平面向量
1.由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.
2.类比时,既要注意它们之间的共性(类比推广),又要注意个性,以防出现偏差.类比推理的几个特点:1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.例1.(G.波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出类似的性质.解:在实数的加法与乘法之间,可以建立如下对应关系: 加(+) 乘(×)
加数,被加数 乘数,被乘数
和 积圆的性质 球的性质球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2球的体积球的表面积例2.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.1.进行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验这个猜想.观察、比较联想、类推猜想新结论2.类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d?.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a?,b?,c?,(a,b,c与a?,b?,c?相似或相同)3.运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象. 基本原则是:要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.思考:平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象构成几何体的元素数目:
三角形 四面体平面图形(二维)立体图形(三维)点点或线线线或面平面直角坐标系空间直角坐标系例3(1).类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1,S2,S3和S
3个“直角面” S1,S2,S3和1个
“斜面” S(2).在空间中与“等边三角形内任意一点P到三边的距离之和等于三角形的高”相类似的结论是什么？ 练习.(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1与②x2+(y－3)2=1则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：
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----------------------------------------. 设圆的方程为①(x－a)2+(y－b)2=r2与②(x－c)2+(y－d)2=r2(a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴的方程.练习.(2)半径为r的圆的面积S(r)=?r2,周长C(r)=2?r,若将r看作(0,+?)上的变量,则(?r2)'=2?r①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数;对于半径为R的球,若将R看作(0,+?)上的变量,请你写出类似于①的式子:__________②,②式可以用语言叙述为:__________.几何中常见的类比对象三角形四面体(各面均为三角形)四边形六面体(各面均为四边形)圆球代数中常见的类比对象数向量方程函数不等式交集,并集,补集或,且,非运算无限有限五、课堂小结：1.运用类比方法解决问题,其基本过程可用框图表示如下：原问题类比问题2.运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象.例2.下面推理是归纳推理吗?所得结论正确吗?
(2)在数列{an}中,a1=1,
由于求出 所以归纳得出例3.(1)已知数列{an}的通项公式:
f(n)=(1－a1)(1－a2)… (1－an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.
(2)应用归纳推理猜测:同学们.再见!1.由上图(左)有面积关系： 则由上图(右),则类似的结论是： ①②③④⑤⑥若 ， 则 ⑦空间向量的性质利用平面向量的性质类比得空间向量平面向量